Bộ 5 Đề thi cuối kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 5
29 câu hỏi
Phần 1. (3,0 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Trong mỗi câu hỏi từ câu 1 đến câu 12, hãy viết chữ cái in hoa đứng trước phương án đúng duy nhất vào bài làm.
Giá trị của \(x\) thỏa mãn \(12,5:2,5 = x:\frac{3}{5}\) là
\(\frac{1}{3}.\)
\(5.\)
\(3.\)
\(\frac{1}{5}.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(12,5:2,5 = x:\frac{3}{5}\) hay \(x:\frac{3}{5} = 5\) suy ra \(x = 5.\frac{3}{5}\) hay \(x = 3\).
Phần 2. (2,0 điểm) Câu trắc nghiệm đúng sai
Trong câu 13, 14, hãy chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d).
Trong một hộp có 20 thẻ gồm 4 thẻ được đánh số 1; 4 thẻ được đánh số 2; 6 thẻ được đánh số 3; 3 thẻ được đánh số 4 và 3 thẻ được đánh số 5. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp.
a) Biến cố “Thẻ rút ra được đánh số lớn hơn 1” là biến cố ngẫu nhiên.
Đ
Do các thẻ được đánh số từ 1 đến 5 nên biến cố “Thẻ rút ra được đánh số lớn hơn 1” là biến cố ngẫu nhiên.
b) Biến cố “Thẻ rút ra được đánh số nhỏ hơn 6” là biến cố không thể.
S
Các thẻ trong hộp được đánh số từ 1 đến 5 nên biến cố “Thẻ rút ra được đánh số nhỏ hơn 6” là biến cố chắc chắn.
c) Xác suất của biến cố “Thẻ rút ra được đánh số lẻ” là \(\frac{1}{{10}}.\)
S
Số khả năng có thể xảy ra của biến cố “Thẻ rút được đánh số lẻ” là \(13\) (4 thẻ được đánh số 1; 6 thẻ được đánh số 3 và 3 thẻ được đánh số 5)
Do đó, xác suất của biến cố trên là \(\frac{{13}}{{20}}.\)
d) Xác suất của biến cố “Thẻ rút ra trong hộp được đánh số không lớn hơn 4” là \(\frac{{17}}{{20}}.\)
Đ
Số khả năng có thể xảy ra của biến cố “Thẻ rút ra trong hộp được đánh số không lớn hơn 4” là \(17.\)
(4 thẻ được đánh số 1; 4 thẻ được đánh số 2; 6 thẻ được đánh số 3; 3 thẻ được đánh số 4)
Do đó, xác suất của biến cố trên là: \(\frac{{17}}{{20}}.\)
Biết rằng đại lượng \(y\) tỉ lệ nghịch với đại lượng \(x\) theo hệ số tỉ lệ là \(a\), biết khi \(x = - 3\) thì \(y = \frac{1}{9}\). Ta có
\(a = - 3.\)
\(a = 3.\)
\(a = - \frac{1}{{27}}.\)
\(a = \frac{{ - 1}}{3}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: đại lượng \(y\) tỉ lệ nghịch với đại lượng \(x\) theo hệ số tỉ lệ là \(a\) nên \(xy = a\).
Do đó, khi \(x = - 3\) thì \(y = \frac{1}{9}\) thì \(a = - 3.\frac{1}{9} = - \frac{1}{3}\).
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Kẻ tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) cắt \(BC\) tại \(M.\) Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AB\) tại \(K.\) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AM\) và \(CK,\) \(BH\) cắt \(AC\) tại \(E\).
a) \(\Delta ABM = \Delta AMC.\)
S
Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta AMC\) có:
\(AM\) chung (gt)
\(\widehat {CAM} = \widehat {MAB}\) (gt)
\(AB = AC\) (gt)
Do đó, \(\Delta ABM = \Delta ACM\) (c.g.c).
b) \(K\) là trung điểm của \(AB.\)
Đ
Do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AM\) vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, đường trung tuyến.
Suy ra \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Mà \(MK\parallel AC\) nên \(MK\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).
Do đó, \(K\) là trung điểm của \(AB.\)
c) \(KA = KM.\)
Đ
Ta có \(\Delta AMB\) vuông tại \(M\)có \(K\) là trung điểm của \(AB.\)
Do đó, \(MK\) là đường trung tuyến của tam giác vuông \(AMB\).
Suy ra \(MK = KA = KB\).
d) \(AB + BC < 2BE.\)
S
Trên tia \(BE\) lấy điểm \(F\) sao cho \(E\) là trung điểm của \(BF.\)
Ta có hai đường trung tuyến \(AM,CK\) cắt nhau ở \(H\).
Suy ra \(H\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).
Mà \(BH\) cắt \(AC\) tại \(E\) nên \(E\) là trung điểm của \(AC\).
Xét tam giác \(\Delta FAE\) và \(\Delta BCE\) có:
\(BE = EF\) (gt)
\(\widehat {CEB} = \widehat {AEF}\) (đối đỉnh)
\(AE = EC\)
Do đó, \(\Delta FAE = \Delta BCE\) (c.g.c)
Suy ra \(FA = BC\) (hai cạnh tương ứng)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác \(ABF\) có \(AB + AF > BF\). Suy ra \(AB + BC > 2BE\).
Cho đa thức một biến \(P\left( x \right) = 7x + 3{x^2} - 1 + 2{x^3}\). Cách biểu diễn nào sau đây là sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến?
\(P\left( x \right) = - 1 + 7x + 3{x^2} + 2{x^3}.\)
\(P\left( x \right) = 2{x^3} + 3{x^2} + 7x - 1.\)
\(P\left( x \right) = 3{x^2} + 7x + 2{x^3} - 1.\)
\(P\left( x \right) = 7x + 3{x^2} + 2{x^3} - 1.\)
Đáp án đúng là: B
Biểu diễn đa thức theo lũy thừa giảm dần là \(P\left( x \right) = 2{x^3} + 3{x^2} + 7x - 1.\)
Câu 26-28: (1,5 điểm)Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) (góc \(A\) nhọn). Vẽ \(AH \bot BC{\rm{ }}\left( {H \in BC} \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CH.\) Từ \(M\) vẽ đường thẳng vuông góc với \(BC\) cắt \(AC\) tại \(D.\)
a) Chứng minh \(\Delta DMC = \Delta DMH.\)
a) Xét \(\Delta DMC\) và \(\Delta DMH\), có:
\(HM = MC\) (gt)
\(\widehat {DMH} = \widehat {DMC} = 90^\circ \) (gt)
\(DM\) chung (gt)
Do đó, \(\Delta DMC = \Delta DMH\) (c.g.c)
b) Chứng minh \(HD\parallel AB\).
b) Do \(\Delta DMC = \Delta DMH\) (cmt) nên \(\widehat {DCM} = \widehat {DHM}\) (hai cạnh tương ứng).
Mà tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\).
Do đó, \(\widehat {MHC} = \widehat {ABC}\left( { = \widehat {BCA}} \right)\).
Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \(HD\parallel AB\).
c) Vẽ \(BD\) cắt \(AH\) tại \(G\). Chứng minh \(AH + BD > \frac{3}{2}AB.\)
c) Ta có \(AH \bot BC{\rm{ }}\left( {H \in BC} \right)\) mà tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(H\) là trung điểm của \(BC\).
Mà \(HD\parallel AB\) nên \(HD\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\).
Do đó, \(D\) là trung điểm của \(AC\).
Ta có: \(BD,AH\) là hai đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) cắt nhau tại \(G\).
Do đó, \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\).
Xét \(\Delta ABG\) có: \(AG + BG > AB\) (bất đẳng thức tam giác).
Hay \(\frac{2}{3}\left( {AH + BD} \right) > AB\) nên \(AH + BD > \frac{3}{2}AB.\)
Đa thức dư của phép chia \(\left( {8{x^5} + 4} \right):4{x^3}\) là
\(2{x^2}.\)
\(4.\)
\( - {x^3}.\)
\( - 4.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\left( {8{x^5} + 4} \right):4{x^3}\) được \(2{x^2}\) dư \(4\).
Kết quả của phép chia \(\left( { - 5{x^3} + 10{x^2} + 20x} \right):\left( { - 5x} \right)\) bằng
\({x^2} - 2x + 4.\)
\({x^2} - 2x - 4.\)
\({x^2} + 2x - 4.\)
\( - {x^2} + 2x + 4.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\left( { - 5{x^3} + 10{x^2} + 20x} \right):\left( { - 5x} \right) = {x^2} - 2x - 4\).
Từ các số \(2;3;4;6;9;15\) lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số nguyên tố là
\(\frac{1}{6}.\)
\(\frac{1}{2}.\)
\(\frac{1}{3}.\)
\(\frac{1}{4}.\)
Đáp án đúng là: C
Các kết quả có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên một số là 6 kết quả.
Các kết quả thuận lợi cho biến cố “Lấy được một số nguyên tố” là: \(2;3\).
Do đó, có 2 kết quả thuận lợi.
Vậy xác suất để lấy được một số nguyên tố là \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).
Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất. Xác suất để gieo được mặt có 6 chấm là
\(\frac{1}{6}.\)
\(\frac{1}{2}.\)
\(\frac{1}{3}.\)
\(\frac{1}{4}.\)
Đáp án đúng là: A
Các kết quả có thể xảy ra khi gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất là: mặt 1 chấm, mặt 2 chấm, mặt 3 chấm, mặt 4 chấm, mặt 5 chấm, mặt 6 chấm.
Do đó, có 6 kết quả có thể xảy ra.
Vậy xác suất để xuất hiện mặt 6 chấm là: \(\frac{1}{6}.\)
Cho ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng và \(B\) nằm giữa \(A\) và \(C\). Trên đường thẳng vuông góc với \(AC\) tại \(B\) ta lấy điểm \(H\). Khi đó,
\(AH > BH.\)
\(AH < BH.\)
\(AH < AB.\)
\(AH = BH.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có \(AH > BH\) (Quan hệ ba cạnh trong một tam giác).
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ba đường cao trong tam giác luôn đồng quy tại một điểm.
Ba đường cao trong tam giác luôn vuông góc với nhau.
Ba đường cao trong tam giác không đồng quy tại một điểm.
Ba đương cao trong tam giác luôn song song với nhau.
Đáp án đúng là: A
Ba đường cao trong tam giác luôn đồng quy tại một điểm.
Điền cụm từ thích hợp vào chỗ trống: “Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều…. của tam giác đó”.
hai đỉnh.
ba đỉnh.
hai cạnh.
ba cạnh.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Cạnh bên của hình lăng trụ đứng tam giác có tính chất nào dưới đây?
Song song.
Bằng nhau.
Vuông góc với nhau.
Cả A và B.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Cạnh bên của hình lăng trụ đứng tam giác song song và bằng nhau.
Hình lăng trụ đứng tứ giác có
8 đỉnh, 12 cạnh, 6 mặt.
10 đỉnh, 8 cạnh, 6 mặt.
6 đỉnh, 12 cạnh, 8 mặt.
8 đỉnh, 10 cạnh, 6 mặt.
Đáp án đúng là: A
Hình lăng trụ đứng tứ giác có 8 đỉnh, 12 cạnh, 6 mặt.
Phần 3. (2,0 điểm) Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn
Trong các câu từ 15 đến 18, hãy viết câu trả lời/ đáp án vào bài làm mà không cần trình bày lời giải chi tiết.
Cho biết 12 công nhân hoàn thành một công việc trong 16 ngày. Hỏi cần phải tăng thêm bao nhiêu công nhân nữa để có thể hoàn thành công việc trong 12 ngày (năng suất của các công nhân như nhau).
Đáp án: \(4\)
Vì khối lượng công việc không đổi, năng suất mỗi công nhân là như nhau nên số công nhân và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Gọi \(x\) là số công nhân hoàn thành công việc trong 12 ngày.
Khi đó, ta có: \(\frac{x}{{12}} = \frac{{16}}{{12}}\) nên \(x = 16.\)
Vậy số công nhân cần tăng thêm là \(16 - 12 = 4\) (công nhân)
Tìm hệ số \(m\) biết đa thức \(g\left( x \right) = {x^2} + 2mx - 3\) có nghiệm \(x = 3.\)
Đáp án: \( - 1\)
Thay \(x = 3\) vào \(g\left( x \right) = {x^2} + 2mx - 3\), ta được: \({3^2} + 2m.3 - 3 = 0\) hay \(6 + 6m = 0\) nên \(m = - 1\).
Cho hai đa thức \(f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)\) và \(g\left( x \right) = {x^3} - a{x^2} + bx - 3\). Biết rằng nghiệm của đa thức \(f\left( x \right)\) cũng là nghiệm của đa thức \(g\left( x \right)\). Tính tổng của hai hệ số \(a,b\) của đa thức \(g\left( x \right)\).
Đáp án: \( - 4\)
Xét \(f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\) ta được \(x = 1\) hoặc \(x = - 3\).
Do đó, \(x = 1\) và \(x = - 3\) cũng là nghiệm của đa thức \(g\left( x \right)\).
Thay \(x = 1\) vào \(g\left( x \right)\), ta được: \({1^3} - a{.1^2} + b.1 - 3 = 0\) hay \(b - a = 2\) (1).
Thay \(x = - 3\) vào \(g\left( x \right)\), ta được: \({\left( { - 3} \right)^3} - a.{\left( { - 3} \right)^2} + b.\left( { - 3} \right) - 3 = 0\) hay \(9a + 3b = - 30\)
hay \(3a + b = - 10\) (2).
Từ phương trình (1), ta có: \(b = 2 + a\), thay vào (2) ta được:
\(3a + 2 + a = - 10\) hay \(4a = - 12\) nên \(a = - 3\).
Thay \(a = - 3\) vào \(b = 2 + a\) được \(b = 2 + \left( { - 3} \right) = - 1\).
Vậy ta có: \(a + b = - 1 + \left( { - 3} \right) = - 4\).
Một xí nghiệp làm bánh cần dùng \(30{\rm{ 000}}\) chiếc hộp bằng bìa cứng để đựng bánh. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh \(25{\rm{ cm}}\)và cao \(6{\rm{ cm}}{\rm{.}}\) Hỏi cần bao nhiêu mét vuông bìa để làm đủ số hộp kể trên, biết rằng các mép gấp dán hộp chiếm \(\frac{8}{{100}}\) diện tích hộp. (Đơn vị: m2)
Đáp án: \(5994\)
Diện tích toàn phần của một chiếc hộp đựng bánh là: \(2.25.25 + 4.25.6 = 1{\rm{ }}850{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right) = 0,185{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Tổng diện tích toàn phần của \(30{\rm{ 000}}\) chiếc hộp là: \(30{\rm{ 000}}{\rm{.0,185}} = 5{\rm{ }}550{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Diện tích các mép gấp dán của \(30{\rm{ 000}}\) chiếc hộp là: \(\frac{8}{{100}}.5{\rm{ }}550 = 444{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)
Diện tích bìa để làm số hộp trên là: \(5{\rm{ }}550 + 444 = 5{\rm{ }}994{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,0 điểm) Ba đội công nhân cùng làm ba khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 5 ngày, đội thứ hai hoàn thành công việc trong 6 ngày, đội thứ ba hoàn thành công việc trong 4 ngày. Tính số người của mỗi đội, biết rằng năng suất của mỗi người là như nhau và đội thứ ba nhiều hơn đội thứ hai là 20 người.
Gọi số người của đội một, đội hai, đội ba lần lượt là \(x,y,z\) (công nhân) với \(x,y,z \in {\mathbb{N}^*}\).
Đội thứ ba nhiều hơn đội thứ hai là 20 người nên ta có: \(z - y = 20\).
Vì khối lượng công việc như nhau, số công nhân và số ngày tỉ lệ nghịch với nhau nên:
\(5x = 6y = 4z\) hay \(\frac{x}{{12}} = \frac{y}{{10}} = \frac{z}{{15}}\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{{12}} = \frac{y}{{10}} = \frac{z}{{15}} = \frac{{z - y}}{{15 - 10}} = \frac{{20}}{5} = 4\).
Do đó, \(x = 4.12 = 48;{\rm{ }}y = 10.4 = 40;{\rm{ }}z = 15.4 = 60\).
Vậy số người của ba đội lần lượt là 48; 40; 60 người.
(0,5 điểm) Một hộp có \(100\) chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số \(1;2;3;...;\)\(99;100\) (hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố: “Số trên thẻ được rút ra là số có tổng các chữ số bằng 9”.
Số có tổng các chữ số bằng 9 là các số chia hết cho 9.
Do đó, các số có tổng các chữ số bằng 9 chia hết cho 9 là: \(9;18;27;36;45;54;63;72;81;90\).
Vậy có 10 số có tổng các chữ số chia hết cho 9.
Suy ra, xác suất của biến cố “Số trên thể được rút ra là số có tổng các chữ số bằng 9” là: \(\frac{{10}}{{100}} = \frac{1}{{10}}.\)
