Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo (Tự luận) có đáp án - Đề 4
5 câu hỏi
1.1. Tìm \(x,\) biết:
a) \[\frac{{ - 6}}{x} = \frac{9}{{ - 15}};\] b) \[\frac{{2x + 3}}{{24}} = \frac{{3x - 1}}{{32}}\].
1.2. Ba đội công nhân cùng làm ba khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 5 ngày, đội thứ hai hoàn thành công việc trong 6 ngày, đội thứ ba hoàn thành công việc trong 4 ngày. Tính số người của mỗi đội, biết rằng năng suất của mỗi người là như nhau và đội thứ ba nhiều hơn đội thứ hai là 20 người.
1.1.
a) \[\frac{{ - 6}}{x} = \frac{9}{{ - 15}}\] \[9x = - 6.\left( { - 15} \right)\] \[9x = 90\] \[x = 10\] Vậy \[x = 10\], | b) \[\frac{{2x + 3}}{{24}} = \frac{{3x - 1}}{{32}}\] \[32.\left( {2x + 3} \right) = 24.\left( {3x - 1} \right)\] \[64x + 96 = 72x - 24\] \[72x - 64x = 96 + 24\] \[8x = 120\] \[x = 15\] Vậy \[x = 15\]. |
1.2. Gọi số người của đội một, đội hai, đội ba lần lượt là \(x,y,z\) (công nhân) với \(x,y,z \in {\mathbb{N}^*}\).
Đội thứ ba nhiều hơn đội thứ hai là 20 người nên ta có: \(z - y = 20\).
Vì khối lượng công việc như nhau, số công nhân và số ngày tỉ lệ nghịch với nhau nên:
\(5x = 6y = 4z\) hay \(\frac{x}{{12}} = \frac{y}{{10}} = \frac{z}{{15}}\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{{12}} = \frac{y}{{10}} = \frac{z}{{15}} = \frac{{z - y}}{{15 - 10}} = \frac{{20}}{5} = 4\).
Do đó, \(x = 4.12 = 48;{\rm{ }}y = 10.4 = 40;{\rm{ }}z = 15.4 = 60\).
Vậy số người của ba đội lần lượt là 48; 40; 60 người.
2.1. Tính giá trị của biểu thức \(B = 3{x^2}y + 6{x^2}{y^2} + 3x{y^2}\) tại \(x = - 1,y = 3.\)
2.2. Cho đa thức \(A\left( x \right) = - \frac{5}{3}{x^2} + \frac{3}{4}{x^4} + 2x - \frac{7}{3}{x^2} - 3 + 4x + \frac{1}{4}{x^4}\).
a) Thu gọn và sắp xếp đa thức \(A\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tìm bậc và hệ số cao nhất của đa thức \(A\left( x \right)\).
c) Cho \(B\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)\). Tìm đa thức \(C\left( x \right)\) sao cho \(A\left( x \right) + C\left( x \right) = B\left( x \right)\).
d) Chứng tỏ \(x = - 1\) là nghiệm của đa thức \(B\left( x \right)\) nhưng không là nghiệm của đa thức\(C\left( x \right)\).
2.1. Thay \(x = - 1,y = 3\) vào biểu thức \(B = 3{x^2}y + 6{x^2}{y^2} + 3x{y^2}\), ta được:
\(B = 3.{\left( { - 1} \right)^2}.3 + 6{\left( { - 1} \right)^2}{.3^2} + 3.\left( { - 1} \right){.3^2} = 36\).
Vậy giá trị của biểu thức \(B = 36\).
2.2. a) \(A\left( x \right) = - \frac{5}{3}{x^2} + \frac{3}{4}{x^4} + 2x - \frac{7}{3}{x^2} - 3 + 4x + \frac{1}{4}{x^4}\)
\( = \left( {\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} \right){x^4} + \left( { - \frac{5}{3} - \frac{7}{3}} \right){x^2} + \left( {2 + 4} \right)x - 3\)
\( = {x^4} - 4{x^2} + 6x - 3\).
b) Đa thức \(A\left( x \right)\) có bậc 4 và hệ số cao nhất là 1.
c) \(B\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)\)
\( = {x^4} - 2{x^2} - {x^2} + 2\)
\( = {x^4} - 3{x^2} + 2\).
Ta có \(A\left( x \right) + C\left( x \right) = B\left( x \right)\)
Suy ra \(C\left( x \right) = B\left( x \right) - A\left( x \right)\)
\( = {x^4} - 3{x^2} + 2 - \left( {{x^4} - 4{x^2} + 6x - 3} \right)\)
\( = {x^4} - 3{x^2} + 2 - {x^4} + 4{x^2} - 6x + 3\)
\( = {x^2} - 6x + 5\).
d) Ta có:
• \(B\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^4} - 3.{\left( { - 1} \right)^2} + 2 = 1 - 3 + 2 = 0\).
Do đó \(x = - 1\) là nghiệm của đa thức \(B\left( x \right)\).
• \(C\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} - 6.\left( { - 1} \right) + 5 = 1 + 6 + 5 = 12\).
Do đó \(x = - 1\) không là nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\).
Trong một thùng đựng \(20\) quả bóng được đánh số \(5;6;7;....;23;24\). Lấy ngẫu nhiên một quả bóng.
a) Viết tập hợp \(M\) gồm các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên quả bóng được rút ra.
b) Tính xác suất của biến cố \(N\): “Quả bóng lấy ra là số lẻ”.
c) Tính xác suất của biến cố \(P\) : “Quả bóng lấy ra là ước của \(48\)”.
a) Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên quả bóng được rút ra là:
\(M = \left\{ {5;6;7;....;23;24} \right\}\).
Do đó, có 20 kết quả có thể xảy ra.
b) Các kết quả thuận lợi cho biến cố \(N\) là: \(5;7;9;....;21;23.\)
Do đó, có \(\left( {23 - 5} \right):2 + 1 = 10\) kết quả thuận lợi cho biến cố này.
Vậy xác suất của biến cố \(N\) là \(\frac{{10}}{{20}} = \frac{1}{2}\).
c) Các kết quả thuận lợi cho biến cố \(P\) là: \(6;8;12;16;24\).
Do đó, có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố này.
Vậy xác suất của biến cố \(P\) là \(\frac{5}{{20}} = \frac{1}{4}.\)
Cho \(\widehat {xOy}\) là góc nhọn. Trên tia \(Ox\) lấy điểm \(A\) (\(A \ne O\)). Trên tia \(Oy\) lấy điểm \(B\) sao cho \(OA = OB\). Từ \(A\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(OA\), cắt \(Oy\) tại \(E\). Từ \(B\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(OB\), cắt \(Ox\) tại \(F\).
a) Chứng minh \(\Delta OAE = \Delta OBF\), từ đó suy ra \(OE = OF\).
b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AE\) và \(BF\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(EF\). So sánh \(EM\) và \(\frac{{EI + IF}}{2}.\)
c) Chứng minh ba điểm \(O\), \(I\), \(M\) thẳng hàng.
a) Xét \(\Delta OAE\) và \(\Delta OBF\), có:
\(\widehat {OAE} = \widehat {OBF} = 90^\circ \)
\(OA = OB\) (giả thiết)
\(\widehat {AOB}\) là góc chung
Do đó, \(\Delta OAE = \Delta OBF\) (cgv – gn)
Suy ra \(OE = OF\) (hai cạnh tương ứng)
b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho \(\Delta EIF\), ta được: \(EF < EI + IF\).
Mà \(2EM = EF\) (do \(M\) là trung điểm của \(EF\))
Suy ra \(2EM < EI + IF.\)
Vậy \(EM < \frac{{EI + IF}}{2}.\)
c) Xét \(\Delta EOF\) có hai đường cao \(FB\) và \(AE\) cắt nhau tại \(I\).
Suy ra \(I\) là trực tâm của \(\Delta OEF.\)
Do đó, \(OI \bot EF\) (1)
Xét \(\Delta OEM\) và \(\Delta OFM\), có:
\(OM\) là cạnh chung
\(ME = MF\) (do \(M\) là trung điểm của \(EF\))
\(OE = OF\) (câu a)
Do đó, \(\Delta OEM = \Delta OFM\) (c.c.c)
Suy ra \(\widehat {OME} = \widehat {OMF}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {OME} + \widehat {OMF} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Do đó, \(\widehat {OME} = \widehat {OMF} = 90^\circ \) hay \(OM \bot EF\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(O,I,M\) thẳng hàng.
Mật mã két sắt nhà Trang là số có ba chữ số và được tạo thành từ các chữ số \(1,2,3\).
Do đó, số các số được lập thành từ ba chữ số \(1,2,3\) là \(3.3.3 = 27\).
Mà mật mã két sắt chỉ có một.
Suy ra xác suất để mẹ Trang mở một lần đúng được mật mã là: \(\frac{1}{{27}}.\)
