Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 4
14 câu hỏi
Cho 4 số \( - 3{;_{}}7{;_{}}x{;_{}}y\) với \(x;y \ne 0\) và \( - 3x = 7y\), một tỉ lệ thức đúng được thiết lập từ \(4\) số trên là
\[\frac{{ - 3}}{y} = \frac{x}{7}\];
\[\frac{{ - 3}}{x} = \frac{7}{y}\];
\[\frac{y}{7} = \frac{{ - 3}}{x}\];
\[\frac{7}{{ - 3}} = \frac{x}{y}\].
Đáp án đúng là: D
Từ \( - 3x = 7y\) với \(x;y \ne 0\) ta có tỉ lệ thức \(\frac{{ - 3}}{y} = \frac{7}{x}\), \(\frac{{ - 3}}{7} = \frac{y}{x}\), \(\frac{x}{7} = \frac{y}{{ - 3}}\), \(\frac{x}{y} = \frac{7}{{ - 3}}\).
Vậy D đúng; A, B, C sai.
Giả sử \[x\] và \[y\] là hai đại lượng tỉ lệ thuận, \[{x_1},{x_2}\] là hai giá trị khác nhau của \[x\] và \[{y_1},{y_2}\] là hai giá trị tương ứng của \[y\]. Biết \[{x_2} = - 6;\,\,{y_2} = 3\] và \[2{y_1} + 3{x_1} = 24\]. Giá trị của \[{x_1};{y_1}\] là
\({x_1} = 12;{y_1} = 6\);
\({x_1} = - 12;{y_1} = - 6\);
\({x_1} = 12;{y_1} = - 6\);
\({x_1} = - 12;{y_1} = 6\).
Đáp án đúng là: C
Vì \[x\] và \[y\] là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên \[\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_1}}}{{{y_2}}}\] mà \[{x_2} = - 6;\,\,{y_2} = 3\] và \[2{y_1} + 3{x_1} = 24\]
Suy ra \[\frac{{{x_1}}}{{ - 6}} = \frac{{{y_1}}}{3} = \frac{{3{x_1}}}{{ - 18}} = \frac{{2{y_1}}}{6} = \frac{{3{x_1} + 2{y_1}}}{{ - 18 + 6}} = \frac{{24}}{{ - 12}} = - 2\]
Nên \[{x_1} = \left( { - 2} \right).\left( { - 6} \right) = 12;\,\,{y_1} = \left( { - 2} \right).3 = - 6\].
Biểu thức nào sau đây là biểu thức đại số?
\({2^2} - {3^3}\);
\(x - \frac{1}{y}\);
\({x^5} + y\);
Cả \(A,B,C\) đều đúng.
Đáp án đúng là: D
Cả ba biểu thức \({2^2} - {3^3}\); \(x - \frac{1}{y}\); \({x^5} + y\) đều là biểu thức đại số.
Cho biểu thức \(B = {x^3} + 6y - 35\). Giá trị của biểu thức \(B\) tại \(x = 3\); \(y = - 4\) là
\( - 32\);
\( - 28\);
\(16\);
\(86\).
Đáp án đúng là: A
Thay \(x = 3\); \(y = - 4\) vào biểu thức \(B\) ta có: \(B = {3^3} + 6.\left( { - 4} \right) - 35 = 27 - 24 - 35 = - 32\).
Cho tam giác \[ABC\], chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
\(AB + BC > AC\);
\(BC - AB < AC\);TN7.12
\(BC - AB < AC < BC + AB\);
\(AB - AC > BC\).
Đáp án đúng là: D
Vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại và hiệu độ dài hai cạnh bất kì nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại nên các phương án A, B, C đều đúng; phương án D sai.
Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat A = 108^\circ \), \(\widehat C = 36^\circ \). Hỏi \(\Delta ABC\) là tam giác gì?
Tam giác nhọn;
Tam giác cân;
Tam giác đều;
Tam giác vuông.
Đáp án đúng là: B
\(\Delta ABC\) có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra \(\widehat B = 180^\circ - \widehat A - \widehat C = 180^\circ - 108^\circ - 36^\circ = 36^\circ \).
Tam giác \(ABC\) có \(\widehat B = \widehat C\) (cùng bằng \(36^\circ \)) nên \(\Delta ABC\) cân tại \(A\).
Cho \(\Delta ABC\). Ba đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) cùng đi qua một điểm \(M\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(M\) cách đều ba đỉnh của \(\Delta ABC\);
\(M\) cách đều ba cạnh của \(\Delta ABC\);
\(M\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\);
\(M\) là trực tâm của \(\Delta ABC\).
Đáp án đúng là: C
Ba đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) cùng đi qua một điểm \(M\), điểm \(M\) này gọi là trọng tâm của \(\Delta ABC\).
Một biến cố càng có ít khả năng xảy ra khi xác suất của biến cố đó
càng gần 0;
càng gần 1;
càng gần \(\frac{1}{2}\);
là một số bất kì.
Đáp án đúng là: A
Một biến cố càng có ít khả năng xảy ra khi xác suất của biến cố đó càng gần 0.
(1,0 điểm) Tìm \(x\), biết:
(a) \(\frac{{3 - 4x}}{{ - 3}} = \frac{{x - 2}}{5}\);
(b) \[12{x^2} - 4x\left( {3x + 1} \right) = x - 15\].
a) \(\frac{{3 - 4x}}{{ - 3}} = \frac{{x - 2}}{5}\)
\(5\left( {3 - 4x} \right) = - 3\left( {x - 2} \right)\)
\(15 - 20x = - 3x + 6\)
\( - 17x = - 9\)
\(x = \frac{9}{{17}}\).
Vậy \(x = \frac{9}{{17}}\).
b) \[12{x^2} - 4x\left( {3x + 1} \right) = x - 15\]
\(12{x^2} - 12{x^2} - 4x - x = - 15\)
\( - 5x = - 15\)
\(x = 3\)
Vậy \(x = 3\).
(2,0 điểm) Cho các đa thức: \(A\left( x \right) = 2{x^4} + 3{x^2} - x + 3 - {x^2} - {x^4} - 6{x^3}\);
\(B\left( x \right) = 10{x^3} + 3 - {x^4} - 4{x^3} + 4x - 2{x^2}\).
(a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.
(b) Xác định bậc và hệ số cao nhất của đa thức \(A\left( x \right)\).
(c) Tính \(M\left( x \right) = A\left( x \right) + B\left( x \right)\). Tìm nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\).
a) \(A\left( x \right) = 2{x^4} + 3{x^2} - x + 3 - {x^2} - {x^4} - 6{x^3}\)
\( = \left( {2{x^4} - {x^4}} \right) - 6{x^3} + \left( {3{x^2} - {x^2}} \right) - x + 3\)
\( = {x^4} - 6{x^3} + 2{x^2} - x + 3\).
\(B\left( x \right) = 10{x^3} + 3 - {x^4} - 4{x^3} + 4x - 2{x^2}\)
\( = - {x^4} + \left( {10{x^3} - 4{x^3}} \right) - 2{x^2} + 4x + 3\)
\( = - {x^4} + 6{x^3} - 2{x^2} + 4x + 3\).
b) Đa thức \(A\left( x \right)\) có bậc là 4, hệ số cao nhất là 1.
c) \(M\left( x \right) = A\left( x \right) + B\left( x \right)\)
\(M\left( x \right) = \left( {{x^4} - 6{x^3} + 2{x^2} - x + 3} \right) + \left( { - {x^4} + 6{x^3} - 2{x^2} + 4x + 3} \right)\)
\[ = {x^4} - 6{x^3} + 2{x^2} - x + 3 - {x^4} + 6{x^3} - 2{x^2} + 4x + 3\]
\[ = \left( {{x^4} - {x^4}} \right) + \left( { - 6{x^3} + 6{x^3}} \right) + \left( {2{x^2} - 2{x^2}} \right) + \left( { - x + 4x} \right) + \left( {3 + 3} \right)\]
\[ = 3x + 6.\]
Để tìm nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\), ta cho \(M\left( x \right) = 0\)
Do đó \(3x + 6 = 0\), suy ra \(x = - 2\).
Vậy \(x = - 2\) là nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\).
(1,0 điểm) Ba đội công nhân cùng chuyển một khối lượng gạch như nhau. Thời gian để đội thứ nhất, đội thứ hai và đội thứ ba làm xong công việc lần lượt là \(2\) giờ, \(3\) giờ, \(4\) giờ. Tính số công nhân tham gia làm việc của mỗi đội, biết rằng số công nhân của đội thứ ba ít hơn số công nhân của đội thứ hai là \(5\) người và năng suất lao động của các công nhân là như nhau.
Gọi \(x,y,z\) lần lượt là số công nhân tham gia làm việc của đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba.
Số công nhân của đội thứ ba ít hơn số công nhân của đội thứ hai là 5 người nên \(y - z = 5\)
Với cùng một khối lượng công việc, số công nhân tham gia làm việc và thời gian hoàn thành công việc của mỗi đội là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.
Do đó, ta có \(2x = 3y = 4z\)suy ra \(\frac{x}{{\frac{1}{2}}} = \frac{y}{{\frac{1}{3}}} = \frac{z}{{\frac{1}{4}}}\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{x}{{\frac{1}{2}}} = \frac{y}{{\frac{1}{3}}} = \frac{z}{{\frac{1}{4}}} = \frac{{y - z}}{{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}}} = \frac{5}{{\frac{1}{{12}}}} = 60\).
Từ đó suy ra \(x = 60.\frac{1}{2} = 30\), \(y = 60.\frac{1}{3} = 20\), \(z = 60.\frac{1}{4} = 15\).
Vậy số công nhân tham gia làm việc của đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba lần lượt là 30 người, 20 người, 15 người.
(1,0 điểm) Bạn An tham gia trò chơi rút tiền lì xì. Có tất cả 5 bao lì xì bên ngoài giống hệt nhau, bên trong mỗi bao có 1 tờ tiền mệnh giá là \(20\,\,000\) đồng; \(50\,\,000\) đồng; \(100\,\,000\) đồng; \(200\,\,000\) đồng; \(500\,\,000\) đồng. Bạn An rút ngẫu nhiên 1 lần và nhận được số tiền trong bao lì xì tương ứng. Xét các biến cố sau:
A: “Bạn An nhận được tiền lì xì \(1\,\,000\,\,000\) đồng”;
B: “Bạn An nhận được tiền lì xì không nhiều hơn \(500\,\,000\) đồng”.
C: “Bạn An nhận được tiền lì xì \(200\,\,000\) đồng”.
D: “Bạn An nhận được tiền lì xì nhiều hơn \(100\,\,000\) đồng”.
(a) Trong các biến cố trên, hãy chỉ ra biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố nào là biến cố không thể.
(b) Tính xác suất của mỗi biến cố ngẫu nhiên trong các biến cố đã cho.
a) Biến cố \(A\) là biến cố không thể, vì không có bao lì xì có tờ tiền nào mệnh giá \(1\,\,000\,\,000\) đồng.
Biến cố \(B\) là biến cố chắc chắn, vì tất cả các bao lì xì đều có tờ tiền mệnh giá không lớn hơn \(500\,\,000\) đồng.
b) Biến cố ngẫu nhiên có trong các biến cố đã cho là \(C,D\).
Trong 5 bao lì xì, có 1 bao lì xì có tờ tiền mệnh giá \(200\,\,000\) đồng” nên xác suất của biến cố \(C\) là \(\frac{1}{5}\).
Trong 5 bao lì xì, có 2 bao lì xì có tờ tiền mệnh giá nhiều hơn \(100\,\,000\) đồng là \(200\,\,000\) đồng và \(500\,\,000\) đồng. Vậy xác suất của biến cố \(D\) là \(\frac{2}{5}\).
(2,5 điểm) Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) (\(AB < AC\)). Tia phân giác của \(\widehat B\) cắt \(AC\) tại \(D\). Kẻ \(DE\) vuông góc với \(BC\) tại \(E\). Gọi \(M\) là giao điểm của \(AB\) và \(DE\).
(a) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta EBD\), từ đó suy ra \(BA = BE\).
(b) So sánh độ dài các cạnh của \(\Delta ADM\).
(c) Gọi \(K\) là trung điểm của \(MC\). Chứng minh ba điểm \(B\), \(D\), \(K\) thẳng hàng.
a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBD\), có:
\(\widehat {BAD} = \widehat {BED} = 90^\circ \);
\(BD\) là cạnh chung;
\(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (do \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat B\)).
Do đó \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra \(BA = BE\) (hai cạnh tương ứng).
b) Xét \(\Delta BEM\) và \(\Delta BAC\), có:
\(\widehat {BEM} = \widehat {BAC} = 90^\circ \);
\(BA = BE\) (chứng minh câu a);
\(\widehat {ABE}\) là góc chung.
Do đó \(\Delta BEM = \Delta BAC\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Suy ra \(\widehat {BME} = \widehat {BCA}\) (cặp góc tương ứng).
Mà \(\widehat {ADM}\) phụ với \[\widehat {BME}\]; \(\widehat {ABC}\) phụ với \(\widehat {BCA}\).
Do đó \(\widehat {ADM} = \widehat {ABC}\).
Lại có \(\widehat {BCA} < \widehat {ABC}\) (do \(AB < AC\)).
Suy ra \(\widehat {BME} = \widehat {BCA} < \widehat {ABC}\) hay \(\widehat {AMD} < \widehat {ADM}\).
Khi đó \(AD < AM\) (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác).
Mà \(AM < DM\) (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc).
Vậy trong \(\Delta ADM\), \(AD < AM < DM\).
c) \(\Delta MBC\) có \(CA\) và \(ME\) là hai đường cao cắt nhau tại \(D\).
Suy ra \(D\) là trực tâm của \(\Delta MBC\).
Do đó \(BD\) là đường cao thứ ba của \(\Delta MBC\) hay \(BD \bot MC\,\,\,\left( 1 \right)\)
Do \(\Delta BEM = \Delta BAC\) (câu b) nên \(BM = BC\) (hai cạnh tương ứng).
Suy ra \(B\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(MC\).
Lại có \(K\) là trung điểm của \(MC\) nên \(K\) cũng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(MC\).
Khi đó \(BK\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(MC\) nên \(BK \bot MC\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra ba điểm \(B\), \(D\), \(K\) thẳng hàng.
(0,5 điểm) Cho \({x^2} - 4x + 1 = 0\).
Tính giá trị của biểu thức \(A = {x^5} - 3{x^4} - 3{x^3} + 6{x^2} - 20x + 6\).
Ta thực hiện đặt tính chia đa thức \(A\) cho đa thức \({x^2} - 4x + 1\) như sau:
Do đó ta có \(A = \left( {{x^2} - 4x + 1} \right).\left( {{x^3} + {x^2} + 5} \right) + 1\).
Mà theo bài, \({x^2} - 4x + 1 = 0\) nên \(A = 0.\left( {{x^3} + {x^2} + 5} \right) + 1 = 1\).
Vậy \(A = 1\).
