Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 2
14 câu hỏi
Cặp tỉ số nào sau đây lập thành một tỉ lệ thức?
\(\frac{{ - 1}}{3}\) và \(\frac{{ - 21}}{{63}}\);
\(\frac{4}{3}\) và \(\frac{3}{2}\);
\(\frac{4}{6}\) và \(\frac{3}{2}\);
\(\frac{1}{3}\) và \(\frac{{ - 1}}{3}\).
Đáp án đúng là: A
Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) nếu \(ad = bc\) \(\left( {b,d \ne 0} \right)\).
Xét hai tỉ số \(\frac{{ - 1}}{3}\) và \(\frac{{ - 21}}{{63}}\) có \[-1.63 = -21.3 = - 63\] nên \(\frac{{ - 1}}{3}\) = \(\frac{{ - 21}}{{63}}\). Phương án A đúng.
Xét hai tỉ số \(\frac{4}{3}\) và \(\frac{3}{2}\) có \[4.2 \ne 3.3\] nên hai tỉ số này không lập được tỉ lệ thức.
Xét hai tỉ số \(\frac{4}{6}\) và \(\frac{3}{2}\) có \[4.2 \ne 3.6\] nên hai tỉ số này không lập được tỉ lệ thức.
Xét hai tỉ số \(\frac{1}{3}\) và \(\frac{{ - 1}}{3}\) có \[1.3 \ne -1.3\] nên hai tỉ số này không lập được tỉ lệ thức.
Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch \(x\) và \(y\); \[{x_1}\]; \[{x_2}\] là hai giá trị của \(x\); \[{y_1}\]; \[{y_2}\] là hai giá trị tương ứng của \(y\). Biết \[{y_1} = 3\], \[{y_2} = 5\] và \[{x_1} + {x_2} = 16\]. Giá trị của \[{x_1}\] là
\({x_1} = 10\);
\({x_1} = 8\);
\[{x_1} = 7\];
\({x_1} = 6\).
Đáp án đúng là: A
Với \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch ta có \({x_1}.{y_1} = {x_2}.{y_2}\) mà \[{y_1} = 3\], \[{y_2} = 5\] và \[{x_1} + {x_2} = 16\]
Suy ra \(3{x_1} = 5{x_2}\) hay \(\frac{{{x_1}}}{5} = \frac{{{x_2}}}{3}\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được: \(\frac{{{x_1}}}{5} = \frac{{{x_2}}}{3} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{5 + 3}} = \frac{{16}}{8} = 2\).
Do đó \(\frac{{{x_1}}}{5} = 2\), nên \({x_1} = 10\).
Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là biểu thức số?
\(\frac{1}{x} + x + 1\);
\(x + y - 6\);
\({x^2} - x\);\(\)
\({3^2} - 3\).
Đáp án đúng là: D
Biểu thức \({3^2} - 3\) là biểu thức số.
Các biểu thức \(\frac{1}{x} + x + 1\); \(x + y - 6\); \({x^2} - x\) không là biểu thức số.
Giá trị của biểu thức \(2{x^3}y - 4{y^2} + 1\) tại \(x = - 2\) và \(y = - 1\) là
\( - 13\);
\(13\);
\( - 19\);
\(19\).
Đáp án đúng là: C
Thay \(x = - 2\) và \(y = - 1\) vào biểu thức \(2{x^3}y - 4{y^2} + 1\) ta được:
\(2.{\left( { - 2} \right)^3}.\left( { - 1} \right) - 4{\left( { - 1} \right)^2} + 1 = - 16 - 4 + 1 = - 19\).
Cho \(\Delta AMN = \Delta DEK\). Đâu là cách kí hiệu bằng nhau khác của hai tam giác trên?
\[\Delta ANM{\rm{ = }}\Delta DEK\];
\[\Delta ANM = \Delta DKE\];
\[\Delta MAN = \Delta EKD\];
\[\Delta MAN = \Delta DKE\].
Đáp án đúng là: B
Vì \(\Delta AMN = \Delta DEK\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\widehat A = \widehat D\,;\,\,\widehat M = \widehat E\,;\,\,\widehat N = \widehat K}\\{AM = DE\,;\,\,MN = EK\,;\,\,AN = DK}\end{array}} \right.\)
Vậy một trong những cách kí hiệu bằng nhau khác của hai tam giác trên là: \[\Delta ANM = \Delta DKE\].
Cho \(\Delta GHK\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(GH + HK < GK\);
\(GH + HK = GK\);
\(GH - HK > GK\);
\(GH + HK > GK\).
Đáp án đúng là: D
Xét \(\Delta GHK\), theo bất đẳng thức tam giác ta có: \(GH + HK > GK\).
Trong một tam giác, trực tâm là giao điểm của ba đường nào?
Ba đường phân giác;
Ba đường trung tuyến;
Ba đường trung trực;
Ba đường cao.
Đáp án đúng là: D
Trong một tam giác, trực tâm là giao điểm của ba đường cao.
Khẳng định nào sau đây là không đúng?
Biến cố chắc chắn luôn xảy ra;
Biến cố không thể không bao giờ xảy ra;
Xác suất của biến cố ngẫu nhiên bằng 1;
Biến cố có khả năng xảy ra cao hơn sẽ có xác suất lớn hơn.
Đáp án đúng là: C
Biến cố ngẫu nhiên \(A\) có xác suất như sau: \(0 < P\left( A \right) < 1\).
(1,0 điểm) Tìm \(x\), biết:
(a) \(\frac{{x - 3}}{7} = \frac{3}{{10}}\);
(b) \(\left( {42{x^3} - 12x} \right):\left( { - 6x} \right) + 7x\left( {x + 2} \right) = 8\).
a) \(\frac{{x - 3}}{7} = \frac{3}{{10}}\)
\(10.\left( {x - 3} \right) = 7.3\)
\(10x - 30 = 21\)
\(10x = 51\)
\(x = \frac{{51}}{{10}}\)
Vậy \(x = \frac{{51}}{{10}}\).
b) \(\left( {42{x^3} - 12x} \right):\left( { - 6x} \right) + 7x\left( {x + 2} \right) = 8\)
\(\left( {42{x^3}} \right):\left( { - 6x} \right) - \left( {12x} \right):\left( { - 6x} \right) + 7{x^2} + 14x = 8\)
\( - 7{x^2} + 2 + 7{x^2} + 14x = 8\)
\(14x = 6\)
\(x = \frac{3}{7}\)
Vậy \(x = \frac{3}{7}\).
(2,0 điểm) Cho đa thức \(A\left( x \right) = - \frac{5}{3}{x^2} + \frac{3}{4}{x^4} + 2x - \frac{7}{3}{x^2} - 2 + 4x + \frac{1}{4}{x^4}\).
(a) Thu gọn và sắp xếp đa thức \(A\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến.
(b) Tìm bậc và hệ số cao nhất của đa thức \(A\left( x \right)\);
(c) Tìm đa thức \(C\left( x \right)\) sao cho \(A\left( x \right) + C\left( x \right) = B\left( x \right)\), biết \(B\left( x \right) = {x^4} - 3{x^2} + 2x + 1\). Tìm nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\).
a) \(A\left( x \right) = - \frac{5}{3}{x^2} + \frac{3}{4}{x^4} + 2x - \frac{7}{3}{x^2} - 2 + 4x + \frac{1}{4}{x^4}\)
\( = \left( {\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} \right){x^4} + \left( { - \frac{5}{3} - \frac{7}{3}} \right){x^2} + \left( {2 + 4} \right)x - 2\)
\( = {x^4} - 4{x^2} + 6x - 2\).
b) Đa thức \(A\left( x \right)\) có bậc 4 và hệ số cao nhất là 1.
c) Ta có \(A\left( x \right) + C\left( x \right) = B\left( x \right)\).
Suy ra \(C\left( x \right) = B\left( x \right) - A\left( x \right)\)
\( = \left( {{x^4} - 3{x^2} + 2x + 1} \right) - \left( {{x^4} - 4{x^2} + 6x - 2} \right)\)
\( = {x^4} - 3{x^2} + 2x + 1 - {x^4} + 4{x^2} - 6x + 2\)
\( = {x^2} - 4x + 3\).
Để tìm nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\), ta cho \(C\left( x \right) = 0\)
Do đó \({x^2} - 4x + 3 = 0\)
\({x^2} - x - 3x + 3 = 0\)
\(x\left( {x - 1} \right) - 3\left( {x - 1} \right) = 0\)
\(\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\)
Suy ra \(x = 3\) hoặc \(x = 1\).
Vậy nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\) là \(x \in \left\{ {3;1} \right\}\).
(1,0 điểm) Đoạn đường \(AB\) dài \(275\,\,{\mkern 1mu} {\rm{km}}\). Cùng một lúc, một ô tô chạy từ \(A\) và một xe máy chạy từ \(B\), đi ngược chiều để gặp nhau. Vận tốc ô tô là \(60{\mkern 1mu} \,\,{\rm{km/h}}\); vận tốc của xe máy là \(50{\mkern 1mu} \,\,{\rm{km/h}}\). Đến khi gặp nhau thì mỗi xe đã đi được một quãng đường là bao nhiêu?
Gọi \[x,y\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\] lần lượt là quãng đường xe ô tô và xe máy đi được.
Vì hai xe đi ngược chiều trên đoạn đường \(AB\) dài \(275\,\,{\mkern 1mu} {\rm{km}}\) để gặp nhau nên \(x + y = 275\)
Do hai xe di chuyển trong cùng một khoảng thời gian nên vận tốc và quãng đường đi được của mỗi xe là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
Do đó ta có: \(\frac{x}{{60}} = \frac{y}{{50}}\) hay \(\frac{x}{6} = \frac{y}{5}\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x}{6} = \frac{y}{5} = \frac{{x + y}}{{6 + 5}} = \frac{{275}}{{11}} = 25\)
Suy ra \(x = 25.6 = 150\); \(y = 25.5 = 125\).
Vậy đến khi gặp nhau thì xe ô tô và xe máy đi được lần lượt là \(150\,\,{\rm{km}}\) và \(125\,\,{\rm{km}}\).
(1,0 điểm) Danh sách đội dự thi trực tuyến về “An toàn giao thông” của học sinh lớp \(7A\) được đánh số thứ tự từ 1 đến 25, trong đó bạn Ngọc có số thứ tự là 15. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong đội đó. Xét các biến cố sau:
A: “Bạn Ngọc được chọn”.
B: “Bạn được chọn có số thứ tự nhỏ hơn 2 lần số thứ tự của bạn Ngọc”.
C: “Bạn được chọn có số thứ tự lớn hơn số thứ tự của bạn Ngọc”.
(a) Trong các biến cố trên, hãy chỉ ra biến cố nào là biến cố ngẫu nhiên, biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố nào là biến cố không thể.
(b) Tính xác suất của biến cố ngẫu nhiên tìm được ở câu a.
a) Biến cố \(A\) và \(C\) là biến cố ngẫu nhiên.
Biến cố \(B\) là biến cố chắc chắn, vì tất cả các bạn đều có số thứ tự nhỏ hơn 2 lần số thứ tự của bạn Ngọc (nhỏ hơn \(2.15 = 30\)).
Trong ba biến cố đã cho, không có biến cố nào là biến cố không thể.
b) Xác suất của biến cố \(A\) là: \(\frac{1}{{25}}\).
Trong 25 số, có 10 số lớn hơn số 15 là: \(16;17;...;24;25\). Vậy xác suất của biến cố \(C\) là: \(\frac{{10}}{{25}} = \frac{2}{5}\).
(2,5 điểm) Cho tam giác \[ABC\] cân tại \(A\). Lấy điểm \(D\) trên cạnh \(AC\), điểm \(E\) trên cạnh \(AC\) sao cho \(BD = CE\).
(a) Chứng minh \(AD = AE\) và \(\Delta ABE = \Delta ACD\).
(b) Chứng minh \[\Delta ABI = \Delta ACI\], từ đó suy ra \[AI\] là đường phân giác của góc \[BAC\].
(c) Tìm vị trí của hai điểm \[D\] và \[E\] sao cho \[BD = DE = EC\]. Khi đó tìm vị trí của điểm \(I\).
a) Ta có \[AB = AC\] (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)) và \[BD = CE\] (giả thiết)
Suy ra \(AB - BD = AC - CE\) hay \(AD = AE\).
Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACD\) có:
\[AB = AC\] (chứng minh trên);
\(\widehat {BAC}\) là góc chung;
\[AD = AE\] (chứng minh trên).
Do đó \[\Delta ABE = \Delta ACD\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\].
b) Từ \[\Delta ABE = \Delta ACD\] suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))
Suy ra \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\)
Tam giác \[IBC\] có \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\) nên là tam giác cân tại \(I\).
Do đó \[IB = IC\].
Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta ACI\) có:
\[AB = AC\] (chứng minh trên);
\[AI\] là cạnh chung;
\[IB = IC\] (chứng minh trên).
Do đó \[\Delta ABI = \Delta ACI\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.c}}{\rm{.c}}} \right)\]
Suy ra \(\widehat {BAI} = \widehat {CAI}\) (hai góc tương ứng).
Nên \[AI\] là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).
c) Xét \(\Delta ADE\) có \[AD = AE\] nên \(\Delta ADE\) cân tại \(A\), do đó \(\widehat {ADE} = \widehat {AED}\).
Mà \(\widehat {DAE} + \widehat {ADE} + \widehat {AED} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {AED} = \frac{{180^\circ - \widehat {DAE}}}{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
Tương tự với \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) ta có \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(DE\,{\rm{//}}\,BC\).
Suy ra \(\widehat {DEB} = \widehat {EBC}\) (hai góc so le trong) \(\left( 3 \right)\)
\(\Delta BDE\) có \[BD = DE\] nên là tam giác cân tại \(D\), suy ra \(\widehat {DBE} = \widehat {DEB}\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\)
Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) suy ra \(\widehat {DBE} = \widehat {EBC}\)
Khi đó \[BE\] là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\).
Tương tự, với \[DE = EC\] ta cũng chứng minh được \[CD\] là đường phân giác của \(\widehat {ACB}\)
Xét \(\Delta ABC\) có \[BE,CD\] là hai đường phân giác của tam giác cắt nhau tại \(I\).
Suy ra \(I\) cách đều ba cạnh của \(\Delta ABC\).
Vậy để \[BD = DE = EC\] thì \[BE\] và \[CD\] là hai đường phân giác của \(\Delta ABC\), khi đó \(I\) cách đều ba cạnh của \(\Delta ABC\).
(0,5 điểm) Cho đa thức \(P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có \(x = - 2\) là một nghiệm.
Xác định \(a\), \(b\), \(c\) biết số \(a\) lớn hơn số \(c\) năm đơn vị và đa thức \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x - 2\).\[\]
• Do số \(a\) lớn hơn số \(c\) năm đơn vị nên ta có \(a = c + 5\).
• Theo đề, ta có \(x = - 2\) là một nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\).
Suy ra \(P\left( { - 2} \right) = 0\).
Do đó \(4a - 2b + c = 0\).
Suy ra \(4a + c = 2b\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
• Ta có đa thức \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x - 2\) \(\left( * \right)\)
Nên \(P\left( x \right) = \left( {x - 2} \right).Q\left( x \right)\) với \(Q\left( x \right)\) là thương của phép chia đa thức \(P\left( x \right)\) cho đa thức \(x - 2\).
Khi đó \(P\left( 2 \right) = \left( {2 - 2} \right).Q\left( 2 \right) = 0\)
Do đó \(4a + 2b + c = 0\).
Suy ra \(4a + c = - 2b\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra \(2b = - 2b\).
Do đó \(4b = 0\), nên \(b = 0\).
Thế \(b = 0\) và \(a = c + 5\) vào \(\left( 1 \right)\), ta được \(4\left( {c + 5} \right) + c = 0\).
Hay \(4c + 20 + c = 0\).
Suy ra \(5c = - 20\), nên \(c = - 4\).
Với \(a = c + 5\), ta có \(a = - 4 + 5 = 1\).
Vậy \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = - 4\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
\(\left( * \right)\) Lưu ý: Với dữ kiện đa thức \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x - 2\), ta có thể thực hiện đặt tính chia đa thức và vẫn suy ra được điều kiện \(\left( 2 \right)\) như sau:
Khi đó, để \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x - 2\) thì \(c + 2b + 4a = 0\).
Suy ra \(4a + c = - 2b\,\,\,\,\left( 2 \right)\).
