Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 5
14 câu hỏi
Cặp tỉ số nào sau đây không lập thành tỉ lệ thức?
\(\frac{4}{5}\) và \(\frac{6}{7}\);
\(\frac{6}{7}\) và \(\frac{{12}}{{14}}\);
\(\frac{4}{5}\) và \(\frac{{24}}{{30}}\);
\(\frac{{24}}{{30}}\) và \(\frac{8}{{10}}\) .
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\frac{6}{7} \ne \frac{4}{5}\) nên \(\frac{4}{5}\) và \(\frac{6}{7}\) không lập thành tỉ lệ thức.
Giả sử \[x\] và \[y\] là hai đại lượng tỉ lệ thuận, \[{x_1},{x_2}\] là hai giá trị khác nhau của \[x\] và \[{y_1},{y_2}\] là hai giá trị tương ứng của \[y\]. Biết \[{x_2} = - 4;\,\,{y_2} = 3\] và \[{y_1} - {x_1} = - 7\]. Giá trị của \[{x_1};{y_1}\] là
\({x_1} = - 28;{y_1} = 21\);
\({x_1} = - 3;{y_1} = 4\);
\({x_1} = - 4;{y_1} = 3\);
\({x_1} = 4;{y_1} = - 3\).
Đáp án đúng là: D
Vì \[x\] và \[y\] là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên \[\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_1}}}{{{y_2}}}\] mà \[{x_2} = - 4;\,\,{y_2} = 3\] và \[{y_1} - {x_1} = - 7\].
Suy ra \[\frac{{{x_1}}}{{ - 4}} = \frac{{{y_1}}}{3}\].
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: \[\frac{{{x_1}}}{{ - 4}} = \frac{{{y_1}}}{3} = \frac{{{y_1} - {x_1}}}{{3 - \left( { - 4} \right)}} = \frac{{ - 7}}{7} = - 1\]
Do đó \[{x_1} = \left( { - 1} \right).\left( { - 4} \right) = 4;\,\,{y_1} = \left( { - 1} \right).3 = - 3\].
Biểu thức nào sau đây là biểu thức đại số?
\(x + \frac{y}{2}\);
\(x + \frac{1}{x}\);
\({5^2} + 2.\left( {3 + 4} \right)\);
Cả \(A,B,C\) đều đúng.
Đáp án đúng là: D
Các biểu thức \(x + \frac{y}{2}\); \(x + \frac{1}{x}\); \({5^2} + 2.\left( {3 + 4} \right)\) đều là biểu thức đại số.
Giá trị của biểu thức \(A = 2{x^3} - 3{y^2} + 8z + 5\) tại \(x = - 3\); \(y = - 2\) và \(z = 3\) là
\(A = - 73\);
\(A = - 37\);
\(A = - 36\);
\(A = 37\).
Đáp án đúng là: B
Thay \(x = - 3\); \(y = - 2\) và \(z = 3\) vào biểu thức \(A = 2{x^3} - 3{y^2} + 8z + 5\) ta được:
\(A = 2.{\left( { - 3} \right)^3} - 3.{\left( { - 2} \right)^2} + 8.3 + 5 = - 37\).
Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 5\,\,{\rm{cm}}\), \(BC = 9\,\,{\rm{cm}}\) và \(AC = 13\,\,{\rm{cm}}\). Sắp xếp các góc của \(\Delta ABC\) theo số đo giảm dần là
\(\widehat A;\widehat B;\widehat C\);
\(\widehat B;\widehat A;\widehat C\);
\(\widehat A;\widehat C;\widehat B\);
\(\widehat C;\widehat B;\widehat A\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\widehat A;\widehat B;\widehat C\) lần lượt là các góc đối diện của các cạnh \[BC;{\rm{ }}AC;{\rm{ }}AB\].
Mà \[AB < BC < AC\] (do \[5\,\,{\rm{cm}} < 9\,\,{\rm{cm}} < 13\,\,{\rm{cm}}\]).
Suy ra \(\widehat C < \widehat A < \widehat B\) (quan hệ giữa cạnh và góc trong một tam giác).
Vậy các góc của \(\Delta ABC\) sắp xếp theo thứ tự giảm dần là: \(\widehat B;\widehat A;\widehat C\).
Bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài dưới đây là ba cạnh của tam giác?
\[3\,\,{\rm{cm; }}2\,\,{\rm{cm}};{\rm{ }}9\,\,{\rm{cm}}\];
\[1\,\,{\rm{cm; 5}}\,\,{\rm{cm}};{\rm{ 7}}\,\,{\rm{cm}}\];
\[4\,\,{\rm{cm; 6}}\,\,{\rm{cm}};{\rm{ 10}}\,\,{\rm{cm}}\];
\[5\,\,{\rm{cm; 4}}\,\,{\rm{cm}};{\rm{ 2}}\,\,{\rm{cm}}\].
Đáp án đúng là: D
Ta có:
• \(2 + 3 < 9\) không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.
• \(1 + 5 < 7\) không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.
• \(4 + 6 = 10\) không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.
• \(2 + 4 > 5\) thỏa mãn bất đẳng thức tam giác, nên bộ ba độ dài \[5\,\,{\rm{cm; 4}}\,\,{\rm{cm}};{\rm{ 2}}\,\,{\rm{cm}}\] có thể là ba cạnh của một tam giác.
Cho \(\Delta ABC\) có hai đường trung tuyến \(BM\) và \(CN\) cắt nhau tại \(G\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(CG = \frac{2}{3}CN\);
\(GN = \frac{1}{2}GC\);
\(GM = \frac{2}{3}BM\);
\(GB = 2GM\).
Đáp án đúng là: C
Cho \(\Delta ABC\) có hai đường trung tuyến \(BM\) và \(CN\) cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\).
Khi đó \(CG = \frac{2}{3}CN\); \(GN = \frac{1}{2}GC\); \(GM = \frac{1}{3}BM\); \(GB = 2GM\). Do đó C sai.
Trong một phép thử, bạn An xác định được biến cố \(M\), biến cố \(N\) có xác suất lần lượt là \(\frac{1}{3}\) và \(\frac{1}{2}\). Hỏi biến cố nào có khả năng xảy ra thấp hơn?
Biến cố \(M\);
Biến cố \(N\);
Cả hai biến cố \(M\) và \(N\) đều có khả năng xảy ra bằng nhau;
Không thể xác định được.
Đáp án đúng là: A
Vì \(\frac{1}{3} < \frac{1}{2}\) nên xác suất xảy ra biến cố \(M\) nhỏ hơn xác suất xảy ra biến cố \(N\).
Do đó biến cố \(M\) có khả năng xảy ra thấp hơn biến cố \(N\).
(1,0 điểm) Tìm \(x\), biết:
(a) \(\frac{{x - 1}}{6} = \frac{{x - 5}}{7}\);
(b) \(5x\left( {12x - 7} \right) - \left( {15x + 1} \right)\left( {4x - 1} \right) = - 23\)
a) \(\frac{{x - 1}}{6} = \frac{{x - 5}}{7}\)
\(7.\left( {x - 1} \right) = 6.\left( {x - 5} \right)\)
\(7x - 7 = 6x - 30\)
\(x = 37\)
Vậy \(x = 37\).
b) \(5x\left( {12x - 7} \right) - \left( {15x + 1} \right)\left( {4x - 1} \right) = - 23\)
\(60{x^2} - 35x - \left( {60{x^2} - 15x + 4x - 1} \right) = - 23\)
\(60{x^2} - 35x - 60{x^2} + 15x - 4x + 1 = - 23\)
\( - 24x = - 24\)
\(x = 1\)
Vậy \(x = 1\).
(2,0 điểm) Cho hai đa thức:
\(M\left( x \right) = 2{x^4} - 3{x^3} - x + 7{x^3} - 5x + 1\);
\(N\left( x \right) = - 2{x^3} + {x^2} + 3{x^4} + 5x - 2{x^4} - 6 + x\).
(a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.
(b) Xác định bậc và hệ số cao nhất của hai đa thức \(N\left( x \right)\).
(c) Tính \(Q\left( x \right) = M\left( x \right) + N\left( x \right)\). Tìm \(x\) để \(Q\left( x \right) = 3{x^4} + 2{x^3} + 4\).
a) \(M\left( x \right) = 2{x^4} - 3{x^3} - x + 7{x^3} - 5x + 1\)
\[ = 2{x^4} + \left( { - 3{x^3} + 7{x^3}} \right) + \left( { - x - 5x} \right) + 1\]
\[ = 2{x^4} + 4{x^3} - 6x + 1\].
\(N\left( x \right) = - 2{x^3} + {x^2} + 3{x^4} + 5x - 2{x^4} - 6 + x\)
\( = \left( {3{x^4} - 2{x^4}} \right) - 2{x^3} + {x^2} + \left( {5x + x} \right) - 6\)
\( = {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 6x - 6\)
b) Đa thức \(N\left( x \right)\) có bậc là 4, hệ số cao nhất là 1.
c) Ta có \(Q\left( x \right) = M\left( x \right) + N\left( x \right)\)
\(Q\left( x \right) = \left( {2{x^4} + 4{x^3} - 6x + 1} \right) + \left( {{x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 6x - 6} \right)\)
\( = 2{x^4} + 4{x^3} - 6x + 1 + {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 6x - 6\)
\( = 3{x^4} + 2{x^3} + {x^2} - 5\).
Theo bài, \(Q\left( x \right) = 3{x^4} + 2{x^3} + 4\)
Suy ra \(3{x^4} + 2{x^3} + {x^2} - 5 = 3{x^4} + 2{x^3} + 4\)
\({x^2} = 9\)
\(x = 3\) hoặc \(x = - 3\).
Vậy \(x \in \left\{ { - 3;3} \right\}\) thì \(Q\left( x \right) = 3{x^4} + 2{x^3} + 4\).
(1,0 điểm) Một cuốn sách gồm \(555\) trang được giao cho ba người đánh máy. Để đánh máy một trang, người thứ nhất cần 5 phút, người thứ hai cần 4 phút và người thứ ba cần 6 phút. Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang? Biết rằng cả ba người cùng làm từ lúc đầu cho đến khi xong.
Gọi \(x,y,z\) (trang) lần lượt là số trang mà người thứ nhất, người thứ hai, người thứ ba đánh máy được.
Cả ba người cùng đánh máy cuốn sách có 555 trang nên \(x + y + z = 555\).
Vì cả ba người cùng làm từ lúc đầu cho đến khi xong nên thời gian ba người cùng làm là như nhau, vì vậy số trang và thời gian đánh mỗi trang là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.
Do đó ta có \(5x = 4y = 6z\) suy ra \(\frac{{5x}}{{60}} = \frac{{4y}}{{60}} = \frac{{6z}}{{60}}\) hay \(\frac{x}{{12}} = \frac{y}{{15}} = \frac{z}{{10}}\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x}{{12}} = \frac{y}{{15}} = \frac{z}{{10}} = \frac{{x + y + z}}{{12 + 15 + 10}} = \frac{{555}}{{37}} = 15\)
Suy ra \(x = 12.15 = 180\); \(y = 15.15 = 225\); \(z = 10.15 = 150\).
Vậy người thứ nhất, người thứ hai, người thứ ba đánh được lần lượt 180 trang; 225 trang; 150 trang.
(1,0 điểm) Một chiếc hộp kín có chứa 5 quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau, và được ghi lần lượt các số \(5;10;15;20;25\). Lấy ra ngẫu nhiên 1 quả bóng từ hộp. Xét các biến cố sau:
\(A\): “Quả bóng lấy ra ghi số nguyên tố”;
\(B\): “Quả bóng lấy ra ghi số chia hết cho 5”;
\(C\): “Quả bóng lấy ra ghi số chia hết cho 6”.
\(D\): “Quả bóng lấy ra ghi số tròn chục”.
(a) Trong các biến cố trên, hãy chỉ ra biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố nào là biến cố không thể.
(b) Tính xác suất của các biến cố \(A\) và \(D\).
a) Biến cố \(B\) là biến cố chắc chắn, vì tất cả các số được ghi trên các quả bóng đều chia hết cho 5.
Biến cố \(C\) là biến cố không thể, vì tất cả các số được ghi trên các quả bóng đều không chia hết cho 6.
b) Vì 5 quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau nên mỗi quả bóng đều có cùng khả năng được chọn.
• Trong 5 quả bóng ghi lần lượt các số \[5;10;15;20;25\], chỉ có 1 quả bóng ghi số nguyên tố là 5. Do đó xác xuất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{1}{5}\).
• Trong 5 quả bóng ghi lần lượt các số \[5;10;15;20;25\], có 2 quả bóng ghi số tròn chục là 10; 20. Do đó xác xuất của biến cố \(D\) là \(P\left( D \right) = \frac{2}{5}\).
(2,5 điểm) Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có các đường cao \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(H\).
(a) Chứng minh \(\Delta ADB = \Delta AEC\) và \(BE = CD\).
(b) Chứng minh \(\Delta HBC\) là tam giác cân. So sánh \(HB\) và \(HD\).
(c) Gọi \(M\) là trung điểm của \(HC\), \(N\) là trung điểm của \(HB\), \(I\) là giao điểm của \(BM\) và \(CN\). Chứng minh ba điểm \(A,H,I\) thẳng hàng.
a) Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta AEC\) có:
\(\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = 90^\circ \);
\(AB = AC\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\));
\(\widehat {BAC}\) là góc chung.
Do đó \(\Delta ADB = \Delta AEC\) (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra \(AD = AE\) (hai cạnh tương ứng).
Mà \(AB = AC\) (chứng minh trên)
Nên \(AB - AE = AC - AD\) hay \(BE = CD\).
b) Do \(\Delta ADB = \Delta AEC\) (câu a) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (hai góc tương ứng)
Xét \(\Delta BHE\) và \(\Delta CHD\) có:
\(\widehat {BEH} = \widehat {CDH} = 90^\circ \);
\(BE = CD\) (chứng minh câu a);
\(\widehat {EBH} = \widehat {DCH}\)(chứng minh trên).
Do đó \(\Delta BHE = \Delta CHD\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
Suy ra \(HB = HC\) (hai cạnh tương ứng)
Tam giác \(HBC\) có \(HB = HC\) nên là tam giác cân tại \(H\).
Xét \(\Delta HDC\) vuông tại \(D\) có \(HC\) là cạnh huyền nên là cạnh có độ dài lớn nhất.
Do đó \(HC > HD\).
Mà \(HB = HC\) (chứng minh trên) nên \(HB > HD.\)
c) Gọi \[P\] là giao điểm của \[HI\] và \[BC\].
\(\Delta HBC\) có hai đường trung tuyến \[BM\] và \[CN\] cắt nhau tại \[I\].
Do đó \[I\] là trọng tâm của \(\Delta HBC\) nên \[HP\] là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh \[H\] của tam giác, hay \(P\) là trung điểm của \(BC\).
Do đó \(P\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).
Lại có \(HB = HC\) (câu b) nên \(H\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).
Suy ra \[HP\] là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).
Suy ra \(HP \bot BC\) hay \(HI \bot BC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
• \(\Delta ABC\) có \[H\] là giao điểm của hai đường cao \[BD\] và \[CE\] nên \[H\] là trực tâm của \(\Delta ABC\).
Do đó \(AH \bot BC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra ba điểm \(A,H,I\) cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với \[BC\] tại \(P\).
Vậy ba điểm \(A,H,I\) thẳng hàng.
(0,5 điểm) Tìm giá trị nguyên dương của \(x\) để đa thức \({x^3} - 3{x^2} - 3x - 1\) chia hết cho đa thức \({x^2} + x + 1\).
Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:
Để đa thức \({x^3} - 3{x^2} - 3x - 1\) chia hết cho đa thức \({x^2} + x + 1\) thì \[3 \vdots \left( {{x^2} + x + 1} \right)\]
Tức là \({x^2} + x + 1 \in \) Ư\(\left( 3 \right) = \left\{ { - 3;3; - 1;1} \right\}\).
Do \[x > 0\] nên \({x^2} + x + 1 > 1\)
Do đó \({x^2} + x + 1 = 3\)
\({x^2} + x - 2 = 0\)
\({x^2} - x + 2x - 2 = 0\)
\(x\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right) = 0\)
\(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\)
Suy ra \(x = 1\) (thỏa mãn) hoặc \(x = - 2\) (loại).
Vậy \(x = 1\) thì đa thức \({x^3} - 3{x^2} - 3x - 1\) chia hết cho đa thức \({x^2} + x + 1\).
