Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Đề 5
30 câu hỏi
Phần 1. (3,0 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Trong mỗi câu hỏi từ câu 1 đến câu 12, hãy viết chữ cái in hoa đứng trước phương án đúng duy nhất vào bài làm.
Từ \(2.4 = \left( { - 1} \right).\left( { - 8} \right)\), ta có tỉ lệ thức
\(\frac{{ - 1}}{2} = \frac{4}{{ - 8}}.\)
\(\frac{2}{4} = \frac{1}{8}.\)
\(\frac{4}{2} = \frac{8}{1}.\)
\(\frac{2}{{ - 1}} = \frac{4}{{ - 8}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Từ \(2.4 = \left( { - 1} \right).\left( { - 8} \right)\) ta có tỉ lệ thức \(\frac{{ - 1}}{2} = \frac{4}{{ - 8}}.\)
Phần 2. (2,0 điểm) Câu trắc nghiệm đúng sai
Trong câu 13, 14, hãy chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d).
Gieo một con xúc xắc sáu mặt cân đối.
a) Biến cố “Mặt xuất hiện có số chấm nhỏ hơn 8” là biến cố chắc chắn.
Đ
a) Khi gieo một con xúc xắc 6 mặt cân đối, các kết quả có thể xảy ra là: xuất hiện mặt 1 chấm, mặt 2 chấm, mặt 3 chấm, mặt 4 chấm, mặt 5 chấm, mặt 6 chấm.
Các mặt xúc xắc có số chấm nhỏ hơn 8 nên biến cố “Mặt xuất hiện có số chấm nhỏ hơn 8” là biến cố chắc chắn.
b) Biến cố “Mặt xuất hiện có số chấm chia hết cho 7” là biến cố ngẫu nhiên.
S
b) Các mặt trên xúc xắc đều không chia hết cho 7, do đó biến cố “Mặt xuất hiện trên có số chấm chia hết cho 7” là biến cố không thể.
c) Xác suất của biến cố “Mặt xuất hiện có số chấm không nhỏ hơn 3” là \(\frac{1}{2}.\)
S
c) Kết quả thuận lợi cho biến cố “Mặt xuất hiện có số chấm không nhỏ hơn 3” là \(3;4;5;6.\)
Do đó, có 4 kết quả thuận lợi.
Suy ra, xác suất của biến cố “Mặt xuất hiện có số chấm không nhỏ hơn 3” là \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}.\)
d) Xác suất của biến cố “Mặt xuất hiện có số chấm là số chia 4 dư 2” là \(\frac{1}{3}.\)
Đ
d) Kết quả thuận lợi cho biến cố “Mặt xuất hiện có số chấm là số chia 4 dư 2” là \(2;6.\)
Do đó, có 2 kết quả thuận lợi.
Suy ra, xác suất của biến cố “Mặt xuất hiện có số chấm là số chia 4 dư 2” là \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}.\)
Biết \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch theo hệ số tỉ lệ là \(a\) và khi \(x = 4\) thì \(y = - 8\). Hệ số tỉ lệ \(a\) là
\( - 12.\)
\( - 32.\)
\( - 2.\)
\(\frac{{ - 1}}{2}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch theo hệ số tỉ lệ là \(a\) nên ta có \(xy = a\).
Do đó, khi \(x = 4\) thì \(y = - 8\) thì \(a = xy = 4.\left( { - 8} \right) = - 32\).
Vậy \(a = - 32.\)
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Kẻ tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) cắt \(BC\) tại \(M.\) Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AB\) tại \(K.\) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AM\) và \(CK,\)\(BH\) cắt \(AC\) tại \(E\).
a) \(\Delta ABM = \Delta AMC.\)
S
a) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta AMC\) có:
\(AM\) chung (gt)
\(\widehat {CAM} = \widehat {MAB}\) (gt)
\(AB = AC\) (gt)
Do đó, \(\Delta ABM = \Delta ACM\) (c.g.c).
b) \(K\) là trung điểm của \(AB.\)
Đ
b) Do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AM\) vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, đường trung tuyến.
Suy ra \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Mà \(MK\parallel AC\) nên \(MK\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).
Do đó, \(K\) là trung điểm của \(AB.\)
c) \(KA = KM.\)
Đ
c) Ta có \(\Delta AMB\) vuông tại \(M\)có \(K\) là trung điểm của \(AB.\)
Do đó, \(MK\) là đường trung tuyến của tam giác vuông \(AMB\).
Suy ra \(MK = KA = KB\).
d) \(AB + BC < 2BE.\)
S
d) Trên tia \(BE\) lấy điểm \(F\) sao cho \(E\) là trung điểm của \(BF.\)
Ta có hai đường trung tuyến \(AM,CK\) cắt nhau ở \(H\).
Suy ra \(H\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).
Mà \(BH\) cắt \(AC\) tại \(E\) nên \(E\) là trung điểm của \(AC\).
Xét tam giác \(\Delta FAE\) và \(\Delta BCE\) có:
\(BE = EF\) (gt)
\(\widehat {CEB} = \widehat {AEF}\) (đối đỉnh)
\(AE = EC\)
Do đó, \(\Delta FAE = \Delta BCE\) (c.g.c)
Suy ra \(FA = BC\) (hai cạnh tương ứng)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác \(ABF\) có \(AB + AF > BF\). Suy ra \(AB + BC > 2BE\).
Biểu thức biểu thị số tiền An phải trả để mua \(x\) quyển sách với giá \(10{\rm{ 000}}\) đồng là
\(10000x.\)
\(10000 + x.\)
\(\frac{{10000}}{x}.\)
\(\frac{x}{{10000}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Biểu thức biểu thị số tiền An phải trả để mua \(x\) quyển sách với giá \(10{\rm{ 000}}\) đồng là \(10000x.\)
B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
Câu 25-26. (1,0 điểm) Một túi đựng 8 quả bóng được ghi các số \(1;2;3;8;10;18;20;22\). Lấy ngẫu nhiên một quả trong túi. Tính xác suất của các biến cố:
a) “Lấy được quả bóng ghi số chẵn”.
a) Các khả năng có thể xảy ra khi “lấy được quả bóng ghi số chẵn” là \(2;8;10;18;20;22\).
Do đó, xác suất của biến cố này là \(\frac{6}{8} = \frac{3}{4}\).
b) “Lấy được quả bóng ghi số chia 5 dư 2”.
b) Các khả năng có thể xảy ra khi “lấy được quả bóng ghi số chia 5 dư 2” là \(2;22\).
Do đó, xác suất của biến cố này là \(\frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).
Bậc của đa thức \(11{x^{10}} + x + 5{x^3} - 3{x^4} - 11{x^{10}} - 3{x^5} - 6\) là
\(3.\)
\(4.\)
\(5.\)
\(9.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(11{x^{10}} + x + 5{x^3} - 3{x^4} - 11{x^{10}} - 3{x^5} - 6 = \left( {11{x^{10}} - 11{x^{10}}} \right) + \left( {5{x^3} - 3{x^5}} \right) - 3{x^4} + x - 6\)
\( = 2{x^5} - 3{x^4} + x - 6\).
Vậy đa thức có bậc là 5.
Câu 27-29. (1,5 điểm) Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(B,\widehat {ABC} = 80^\circ \). Lấy điểm \(I\) ở bên trong tam giác sao cho \(\widehat {IAC} = 10^\circ ,\widehat {ICA} = 30^\circ .\) Đường phân giác của \(\widehat {BAI}\) cắt đường thẳng \(CI\) tại \(K\)
a) Chứng minh tam giác \(ACK\) cân tại \(K.\)
a) Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(B,\) có \(\widehat {ABC} = 80^\circ \) nên \(\widehat {BAC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ - 80^\circ }}{2} = 50^\circ \).
Ta có \(\widehat {IAC} = 10^\circ \) nên \(\widehat {IAB} = \widehat {CAB} - \widehat {IAC} = 50^\circ - 10^\circ = 40^\circ \).
Mà \(AK\) là đường phân giác của \(\widehat {IAB}\) nên \(\widehat {BAK} = \widehat {KAI} = 20^\circ \).
Do đó, \(\widehat {KAC} = \widehat {KAI} + \widehat {IAC} = 20^\circ + 10^\circ = 30^\circ = \widehat {KCA}\)
Suy ra \(\widehat {CAK} = \widehat {KAC} = 30^\circ \) nên \(\Delta ACK\) cân tại \(K.\)
b) Chứng minh \(\Delta ABK = \Delta CBK\). Suy ra \(BK\) là phân giác của góc \(ABC\).
b) Có \(\Delta ACK\) cân tại \(K\) nên \(KA = KC.\)
Xét \(\Delta ABK\) và \(\Delta CBK\) có: \(AB = BC\) (gt), \(BK\) chung, \(KA = KC\).
Do đó, \(\Delta ABK = \Delta CBK\) (c.c.c).
Suy ra \(\widehat {ABK} = \widehat {CBK}\) (hai góc tương ứng).
Do đó, \(BK\) là phân giác của góc \(ABC\).
c) Tính số đo \(\widehat {AIB}\).
c) Từ b) \(\Delta ABK = \Delta CBK\) (c.c.c) nên \(\widehat {AKB} = \widehat {CKB}\) (hai góc tương ứng)
Có \(BK\) là phân giác của góc \(ABC\) nên \(\widehat {ABK} = \widehat {CBK} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = 40^\circ \).
Do đó, \(\widehat {AKB} = \widehat {CKB} = 180^\circ - \left( {\widehat {KAB} + \widehat {KBA}} \right) = 180^\circ - \left( {40^\circ + 20^\circ } \right) = 120^\circ \).
Lại có \(\widehat {AKB} + \widehat {CKB} + \widehat {AKC} = 360^\circ \) nên \(\widehat {CKA} = 360^\circ - 2.120^\circ = 120^\circ \).
Do đó, \(\widehat {AKB} = \widehat {CKB} = \widehat {CKA}\).
Xét \(\Delta AKB\) và \(\Delta AKI\), có: \(\widehat {KAB} = \widehat {KAI}\) (gt); \(AK\) chung (gt); \(\widehat {AKB} = \widehat {CKA}\) (cmt)
Do đó, \(\Delta AKB = \Delta AKI\) (g.c.g)
Suy ra \(AB = AI\) (hai cạnh tương ứng)
Do đó, \(\Delta AIB\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {ABI} = \widehat {AIB} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAI}}}{2} = \frac{{180^\circ - 40^\circ }}{2} = 70^\circ \).
Kết quả của phép tính \(\frac{1}{6}{x^3}.{\left( { - 2x} \right)^2}\) là
\( - \frac{2}{3}{x^5}.\)
\(\frac{2}{3}{x^5}.\)
\( - \frac{2}{3}{x^6}.\)
\(\frac{2}{3}{x^6}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\frac{1}{6}{x^3}.{\left( { - 2x} \right)^2} = \frac{1}{6}{x^3}.4{x^2} = \frac{2}{3}{x^5}\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat B\) là góc tù và \(\widehat A > \widehat C\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(AC > AB > BC.\)
\(BC > AB > AC.\)
\(AB > AC > BC.\)
\(AC > BC > AB.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Xét tam giác \(ABC\) có \(\widehat B > \widehat A > \widehat C\) nên \(AC > BC > AB.\)
Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(\widehat A = 100^\circ \). Số đo góc \(B\) là
\(60^\circ .\)
\(30^\circ .\)
\(40^\circ .\)
\(80^\circ .\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat B = \widehat C = \frac{{180^\circ - 100^\circ }}{2} = 40^\circ .\)
Cho \(I\) là giao điểm của ba đường phân giác trong của một tam giác. Kết luận nào sau đây là đúng?
\(I\) cách đều ba cạnh của tam giác.
\(I\) cách đều ba đỉnh của tam giác.
\(I\) là trọng tâm của tam giác.
\(I\) cách đỉnh một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường phân giác.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(I\) là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác nên \(I\) cách đều ba cạnh của tam giác.
Bạn Bình đã lấy một miếng bìa hình tam giác và đặt đầu nhọn của chiếc bút chì vào điểm \(H\) trên hình tam giác thì mấy miếng bìa cân bằng trên đầu bút. Hỏi bạn Bình đã xác định vị trí điểm \(H\) bằng cách nào?
Bạn Bình vẽ hai đường trung trực cắt nhau tại \(H.\)
Bạn Bình vẽ hai đường cao cắt nhau tại \(H.\)
Bạn Bình vẽ hai đường trung tuyến cắt nhau tại \(H.\)
Bạn Bình vẽ hai đường phân giác cắt nhau tại \(H.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vị trí điểm \(H\) chính là trọng tâm của tam giác. Do đó, bạn Bình vẽ hai đường trung tuyến cắt nhau tại \(H.\)
Đáp án đúng nhất khi nói về giá trị của xác suất \(P\) của một biến cố là
\(0 < P < 1.\)
\(0 < P \le 1.\)
\(0 \le P \le 1.\)
\(0 \le P < 1.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Giá trị xác suất của một biến cố \(P\) là \(0 \le P \le 1.\)
Rút ngẫu nhiên một quả bóng bán từ một chiếc hộp đựng 9 quả bóng có đánh số: \(0;1;2;3;\)\(4;5;6;7;8;9\). Biến cố “Rút được quả bóng có ghi số 9” là biến cố gì?
Biến cố chắc chắn.
Biến cố ngẫu nhiên.
Biến cố không thể.
Biến cố đã xảy ra.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có biến cố “Rút được quả bóng có ghi số 9” là biến cố ngẫu nhiên.
Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc cân đối một lần. Xác suất của biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là bội của 3” là
\(\frac{1}{3}.\)
\(\frac{1}{6}.\)
\(\frac{1}{2}.\)
\(\frac{2}{3}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Khi gieo một con xúc xắc cân đối thì số khả năng xảy ra là 6.
Biến cố “Số chấm xuất hiện là bội của 3” có 2 khả năng xảy ra là: \(3;6.\)
Do đó, xác suất của biến cố “Mặt xuất hiện có số chấm là bội của 3” là \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}.\)
Phần 3. (2,0 điểm) Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn
Trong các câu từ 15 đến 18, hãy viết câu trả lời/ đáp án vào bài làm mà không cần trình bày lời giải chi tiết.
Ba đội máy cày trên ba cánh đồng có diện tích như nhau. Đội I hoàn thành công việc trong 3 ngày, đội II trong 5 ngày, đội III trong 6 ngày. Hỏi tổng số máy cày của cả ba đội bằng bao nhiêu? Biết rằng đội II nhiều hơn đội III 1 máy và công suất các máy là như nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án: \(21\)
Gọi số máy cày của đội I, II, III lần lượt là \(x,y,z{\rm{ }}\left( {x,y,z \in {\mathbb{N}^*},y > z} \right)\).
Vì ba cánh đồng có diện tích như nhau, công suất các máy như nhau nên số máy cày và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Theo đề bài, ta có: \(3x = 5y = 6z\) và \(y - z = 1\) hay \(\frac{{3x}}{{30}} = \frac{{5y}}{{30}} = \frac{{6z}}{{30}}\) và \(y - z = 1\).
Suy ra \(\frac{x}{{10}} = \frac{y}{6} = \frac{z}{5}\) và \(y - z = 1\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{{10}} = \frac{y}{6} = \frac{z}{5} = \frac{{y - z}}{{6 - 5}} = \frac{1}{1} = 1\).
Do đó, ta có: \(\frac{x}{{10}} = 1;\frac{y}{6} = 1\) và \(\frac{z}{5} = 1\) suy ra \(x = 10;y = 6;z = 5.\)
Suy ra số máy cày của đội I, II, III lần lượt là 10 máy, 6 máy và 5 máy.
Vậy cả ba đội có tất cả số máy cày là: \(5 + 10 + 6 = 21\) (máy).
Tìm giá trị của \(m\) để phép chia đa thức \(k\left( x \right) = {x^3} - {x^2} - x + m - 3\) cho đa thức \(s\left( x \right) = x - 2\) có dư là \(0.\)
Đáp án: \(1\)
Thực hiện chia đa thức \(k\left( x \right)\) cho đa thức \(s\left( x \right)\) ta được:
Vậy \(\left( {{x^3} - {x^2} - x + 3} \right):\left( {x - 2} \right) = {x^2} + x + 1\) dư \(m - 1\).
Do đó, để phép chia có dư là 0 thì \(m - 1 = 0\) hay \(m = 1\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Tia phân giác của góc \(B\) cắt \(AC\) ở \(D\). Tia phân giác của góc \(C\) cắt \(AB\) ở \(E;\) \(BD\) và \(CE\) cắt nhau ở \(M.\) Hỏi số đo \(\widehat {EMD}\) bằng bao nhiêu độ?
Hướng dẫn giải
Đáp án: \(120\)
Xét \(\Delta ABC\) có \(\widehat A + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \), suy ra \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 120\).
Suy ra \({B_2} + {C_1} = 120^\circ :2 = 60^\circ \).
Xét \(\Delta ABC\) có \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_2}} + \widehat {BMD} = 180\) do đó \(\widehat {BMD} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
Vậy \(\widehat {BMD} = 120^\circ \).
Chọn ngẫu nhiên một số có hai chữ số. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho \(2\) mà không chia hết cho \(5\). (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Hướng dẫn giải
Đáp án: \(0,4\)
Số các số có hai chữ số là: \(\left( {99 - 10} \right):1 + 1 = 90\) (số).
Xét từ \(10\) đến \(20\) có các số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 5 là: \(12;14;16;18.\) Do đó, có 4 số.
Tương tự, ta xét được từ \(20\) đến 30; 30 đến 40;…..80 đến 90.
Do đó, từ \(10\) đến \(90\) có \(4.9 = 36\) số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5.
Vậy xác suất để Lan bốc trúng số có hai chữ số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 5 là:
\(\frac{{36}}{{90}} = \frac{2}{5} = 0,4.\)
(0,5 điểm) Chứng minh rằng đa thức \(Q\left( x \right) = - {\left( {x - 1} \right)^{22}} - {\left( {x - 2} \right)^{18}} - {\left( {x - 3} \right)^{14}} - 1\) không có nghiệm.
Hướng dẫn giải
Với mọi giá trị của \(x,\) ta luôn có: \({\left( {x - 1} \right)^{22}} \ge 0;{\rm{ }}{\left( {x - 2} \right)^{18}} \ge 0;{\rm{ }}{\left( {x - 3} \right)^{14}} \ge 0\).
Do đó, \( - {\left( {x - 1} \right)^{22}} \le 0;{\rm{ }} - {\left( {x - 2} \right)^{18}} \le 0;{\rm{ }} - {\left( {x - 3} \right)^{14}} \le 0\).
Suy ra \( - {\left( {x - 1} \right)^{22}} - {\left( {x - 2} \right)^{18}} - {\left( {x - 3} \right)^{14}} - 1 < 0\) hay \(Q\left( x \right) < 0\) với mọi giá trị của \(x.\)
Vậy đa thức \(Q\left( x \right) = - {\left( {x - 1} \right)^{22}} - {\left( {x - 2} \right)^{18}} - {\left( {x - 3} \right)^{14}} - 1\) không có nghiệm.
