Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Đề 5
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Trong các dãy số sau dãy số nào là dãy số tăng?
\(4;\,9;\,14;\,19;\,24\).
9; 7; 5; 3; 1; 0
\(\frac{1}{2};\,\frac{2}{5};\,\frac{3}{7};\,\frac{4}{9};\,\frac{5}{{12}}\).
\[0;\,1;\,2;\, - 3;\,7\].
Đáp án đúng là: A
Dãy A là dãy số tăng.
Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
\({u_n} = - 3n + 2.\)
\({u_n} = {n^2} + 1.\)
\({u_n} = \frac{1}{{{n^2} + n}}.\)
\({u_n} = {2.3^n}.\)
Đáp án đúng là: A
Xét dãy số \({u_n} = - 3n + 2.\)
Ta có \({u_{n + 1}} = - 3\left( {n + 1} \right) + 2 = - 3n - 1.\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \left( { - 3n - 1} \right) - \left( { - 3n + 2} \right) = - 3n - 1 + 3n - 2 = - 3,\forall n \ge 1.\)
Do đó dãy số với \({u_n} = - 3n + 2\) là một cấp số cộng với công sai \(d = - 3.\)
Cho hai dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \frac{1}{2}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = - 2.\) Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}.{v_n}} \right)\) bằng
\( - 1.\)
1.
\( - \frac{1}{4}.\)
\(\frac{1}{4}.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}.\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = \frac{1}{2}.\left( { - 2} \right) = - 1.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2.\) Giá trị \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 3f\left( x \right)\) bằng
6.
2.
5.
\(\frac{3}{2}.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 3f\left( x \right) = 3\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 3.2 = 6.\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình dưới đây:
Hàm số gián đoạn tại điểm
\(x = 1.\)
\(x = 3.\)
\(x = 0.\)
\(x = 2.\)
Đáp án đúng là: A
Dựa vào đồ thị của hàm số đã cho ta thấy hàm số gián đoạn tại điểm \(x = 1.\)
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^2} + 1}}.\)
1.
\( + \infty .\)
\( - \infty .\)
0.
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{1}{{{n^2}}}}}{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{0}{{1 + 0}} = 0.\)
Giá trị của \(\lim \left( {4 + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 1}}} \right)\) bằng
1.
3.
4.
2.
Đáp án đúng là: C
Vì \(0 \le \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 1}}} \right| \le \frac{1}{{n + 1}} \le \frac{1}{n}\) mà \(\lim \frac{1}{n} = 0\) nên \(\lim \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 1}} = 0\).
Do đó \(\lim \left( {4 + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 1}}} \right) = 4\).
Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{x}{{\sqrt {x + 1} }}\) là
0.
\( - \infty .\)
1.
\( + \infty .\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} x = - 1;\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \sqrt {x + 1} = 0\) và với \(\forall \,x > - 1\) thì \(x + 1 > 0\)\( \Rightarrow \sqrt {x + 1} > 0,\,\forall \,x > - 1.\)
Vậy\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} = - \infty .\)
Tính giới hạn \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 3}}{{ - 4x + 2}}\).
\(L = 1\).
\(L = \frac{1}{2}\).
\(L = - \frac{1}{2}\).
\(L = - \frac{3}{4}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 3}}{{ - 4x + 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x}}}{{ - 4 + \frac{2}{x}}} = \frac{2}{{ - 4}} = - \frac{1}{2}\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{3}{x} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{x} = 0\).
Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng \( - \infty \)?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}}\).
Đáp án đúng là: C
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 3 + \frac{4}{x}}}{{1 - \frac{2}{x}}} = - 3\).
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 3 + \frac{4}{x}}}{{1 - \frac{2}{x}}} = - 3\).
+) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( { - 3x + 4} \right) = - 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 2} \right) = 0\) và \(x \to {2^ - }\) thì \(x - 2 < 0\).
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}} = + \infty \).
+) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - 3x + 4} \right) = - 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} \right) = 0\) và \(x \to {2^ + }\) thì \(x - 2 > 0\).
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}} = - \infty \).
Cho tứ diện \(ABCD,\) vị trí tương đối của hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) là
Cắt nhau.
Song song.
Chéo nhau.
Trùng nhau.
Đáp án đúng là: C
Nếu hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) không chéo nhau thì chúng cùng thuộc một mặt phẳng. Khi đó bốn điểm \(A,\,B,\,C,\,D\) đồng phẳng, trái với giải thiết \(ABCD\) là hình tứ diện.
Do đó, hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) chéo nhau.
Cho đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) không có điểm chung. Kết luận nào sau đây đúng?
\(a\) cắt \(\left( P \right).\)
\(a\) cắt \(\left( P \right)\) hoặc \(a\) chéo \(\left( P \right).\)
\(a{\rm{//}}\left( P \right).\)
\(a\) chứa trong \(\left( P \right).\)
Đáp án đúng là: C
Theo định nghĩa về đường thẳng và mặt phẳng song song ta có: Nếu đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) không có điểm chung thì ta nói \(a{\rm{//}}\left( P \right).\)
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \sqrt 3 \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\).
a) Tập xác định của hàm số \(D = \mathbb{R}\).
b) Phương trình \(f\left( x \right) = 3\) có nghiệm \(x = \frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\).
c) Phương trình \(f\left( x \right) = 3\) có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{\pi }{3}\).
d) Khi \( - \frac{\pi }{4} < x < \frac{{2\pi }}{3}\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 3\) có hai nghiệm.
a) S, b) Đ, c) S, d) Đ
a) Điều kiện \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{{5\pi }}{{12}} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\).
b) Phương trình tương đương với \(\tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).
c) Ta có \(x < 0 \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2} < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{2}{3}\).
Vậy nghiệm âm lớn nhất là \(x = \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{2} = - \frac{\pi }{6}\).
d) Vì \( - \frac{\pi }{4} < x < \frac{{2\pi }}{3}\)\( \Leftrightarrow - \frac{\pi }{4} < \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2} < \frac{{2\pi }}{3}\)\( \Leftrightarrow - \frac{7}{6} < k < \frac{2}{3}\).
Do \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { - 1;0} \right\}\).
Với \(k = - 1\) thì \(x = - \frac{\pi }{6}\).
Với \(k = 0\) thì \(x = \frac{\pi }{3}\).
Vậy \(x = - \frac{\pi }{6}\) và \(x = \frac{\pi }{3}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) gồm các số hạng \(5;10;20;...;163840\).
a) Số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lần lượt là \({u_1} = 5;q = 5\).
b) Số hạng thứ năm của cấp số nhân là \({u_5} = 80\).
c) Cấp số nhân đã cho là dãy số hữu hạn gồm có 15 số hạng.
d) Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân là \({S_8} = 1275\).
a) S, b) Đ, c) S, d) Đ
a) Số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lần lượt là \({u_1} = 5;q = 2\).
b) Số hạng thứ năm của cấp số nhân là \({u_5} = {u_1}.{q^4} = {5.2^4} = 80\).
c) Ta có \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\)\( \Leftrightarrow 163840 = {5.2^{n - 1}}\)\( \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = 32768\)\( \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = {2^{15}} \Leftrightarrow n = 16\).
Vậy cấp số nhân đã cho có 16 số hạng.
d) Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân là \({S_8} = {u_1}.\frac{{1 - {q^8}}}{{1 - q}}\)\( = 5.\frac{{1 - {2^8}}}{{1 - 2}} = 1275\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M\) là trung điểm \(SD\), \(N\) thuộc đoạn \(SC\) sao cho \(SN = 3NC\).
a) Điểm M thuộc mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
b) Giao điểm của \(BM\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) là điểm \(G\) thuộc \(SO.\)
c) G là trung điểm của \(SO\).
d) Giao điểm của \(MN\) với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là điểm \(K\). Khi đó \(AC\) và \(BK\) cắt nhau.
a) S, b) Đ, c)S, d) Đ
a) Ta có \(M \in SD\) mà \(SD\not \subset \left( {ABCD} \right)\) nên \(M \notin \left( {ABCD} \right)\).
b) Trong \(\left( {SBD} \right)\) có \(SO \cap BM = G\) mà \(SO \subset \left( {SAC} \right)\) nên \(G = BM \cap \left( {SAC} \right),G \in SO\).
c) Xét \(\Delta SBD\) có \(BM,SO\) là trung tuyến nên \(G\) là trọng tâm.
Do đó \(\frac{{SG}}{{GO}} = 2\).
d) Trong \(\left( {SCD} \right)\) có \(MN \cap CD = K\) mà \(CD \subset \left( {ABCD} \right)\). Suy ra \(K = MN \cap \left( {ABCD} \right)\).
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), có \(AC\) không song song với \(BK\) nên \(AC\) và \(BK\) cắt nhau.
Kết quả điều tra về số giờ làm thêm trong một tuần của sinh viên một trường đại học X được cho bởi bảng sau
a) Số sinh viên được điều tra là 100.
b) Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {10;12} \right)\) là 10.
c) Mốt của mẫu số liệu trên là 7,5.
d) Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu lớn hơn 6,5.
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) Số sinh viên được điều tra là \(n = 12 + 20 + 37 + 21 + 10 = 100\).
b) Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {10;12} \right)\) là \(\frac{{10 + 12}}{2} = 11\).
c) Nhóm có tần số lớn nhất là \(\left[ {6;8} \right)\).
\({M_0} = 6 + \frac{{37 - 20}}{{\left( {37 - 20} \right) + \left( {37 - 21} \right)}}.\left( {8 - 6} \right) \approx 7,03\).
d) Giả sử \({x_1};...;{x_{100}}\) là số giờ làm thêm trong một tuần của sinh viên một trường đại học X được sắp theo thứ tự không giảm.
Ta có tứ phân vị thứ hai là \(\frac{{{x_{50}} + {x_{51}}}}{2}\), mà \({x_{50}};{x_{51}} \in \left[ {6;8} \right)\).
Ta có \({Q_2} = 6 + \frac{{\frac{{100}}{2} - 32}}{{37}}.\left( {8 - 6} \right) \approx 6,97\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 6.
Số giờ có ánh sáng của một thành phố trong ngày thứ \(t\) của một năm không nhuận được cho bởi hàm số \(s\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12,t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\). Vào ngày thứ mấy trong năm thì thành phố có nhiều giờ ánh sáng nhất?
Trả lời:171
Ta có \(s\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 \le 3 + 12 = 15\).
Dấu bằng xảy ra khi \(\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow t = 171 + 364k\)
Vì \(t \in \left( {0;365} \right]\) nên \(0 < 171 + 364k \le 365\)\( \Leftrightarrow - \frac{{171}}{{364}} < k \le \frac{{194}}{{364}}\).
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0\). Vậy \(t = 171\).
Người ta trồng cây theo các hàng ngang với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ ba có 3 cây, …, ở hàng thứ \(n\) có \(n\) cây. Biết rằng người ta trồng hết \(4950\) cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu?
Trả lời:99
Giả sử người ta đã trồng được \(n\) hàng.
Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với \({u_1} = 1,d = 1\).
Tổng số cây ở \(n\) hàng cây là \({S_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 4950\)\( \Leftrightarrow {n^2} + n - 9900 = 0\)\( \Leftrightarrow n = 99\).
Vậy có 99 hàng cây được trồng theo cách trên.
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x} - \sqrt[3]{{{x^3} + 1}}} \right)\).
Trả lời:−0,5
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x} - \sqrt[3]{{{x^3} + 1}}} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x} - x - \sqrt[3]{{{x^3} + 1}} + x} \right)\)
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x} - x} \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^3} + 1}} - x} \right)\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x}}{{\sqrt {{x^2} - x} + x}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^2}}} + x\sqrt[3]{{{x^3} + 1}} + {x^2}}}\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 1}}{{\sqrt {1 - \frac{1}{x}} + 1}} - 0 = - 0,5\].
Người ta xếp các hình vuông kề với nhau như trong hình dưới đây, mỗi hình vuông có độ dài cạnh bằng nửa độ dài cạnh của hình vuông trước nó. Nếu hình vuông đầu tiên có cạnh dài 10 cm thì trên tia \[Ax\] cần có một đoạn thẳng dài bao nhiêu xentimét để có thể xếp được tất cả các hình vuông đó?
Trả lời:20
Tổng các cạnh nằm trên tia \[Ax\] của các hình vuông đó là:
\(S = 10 + 5 + \frac{5}{2} + \frac{5}{{{2^2}}} + ....\)
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 10;q = \frac{1}{2}\).
Do đó \(S = \frac{{10}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 20\) (cm).
Vậy trên tia \[Ax\] cần có một đoạn thẳng dài 20 cm.
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,N,I\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(CD,AC,BD\). \(G\) là trung điểm \(NI\). Giả sử giao điểm của \(GM\) và \(\left( {ABD} \right)\) là \(F\). Tính tỉ số \(\frac{{FA}}{{FB}}\)?
Trả lời:1
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {MNI} \right) \cap \left( {ABC} \right)\\IM//BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {MNI} \right) \cap \left( {ABC} \right) = d\).
Với \(d\) là đường thẳng đi qua \(N\) và song song với \(BC\).
Gọi \(F = AB \cap d\).
Xét tứ giác \(MIFN\) có \(\left\{ \begin{array}{l}MI//NF\\MI = NF\end{array} \right. \Rightarrow MIFN\) là hình bình hành.
Mà \(G\) là trung điểm của \(NI\) nên \(M,G,F\) thẳng hàng.
Vậy \(MG \cap \left( {ABD} \right) = F \in AB\) và \(F\) là trung điểm của \(AB\) nên \(\frac{{FA}}{{FB}} = 1\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và E là điểm thuộc cạnh \(SA\) thỏa mãn \(SE = \frac{m}{n}.SA\) với \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Biết rằng \(GE\) song song với mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\). Giá trị của \(m.n\) bằng bao nhiêu?
Trả lời:6
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(F\) là giao điểm của \(AM\) và \(CD\) trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Theo định lí Talet, ta có \(\frac{{MA}}{{MF}} = \frac{{MB}}{{MC}} = 1 \Rightarrow MA = MF \Rightarrow M\) là trung điểm của \(AF\).
Suy ra \(\frac{{AG}}{{AF}} = \frac{{AG}}{{2AM}} = \frac{1}{3}\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}GE \subset \left( {SAF} \right)\\GE//\left( {SCD} \right)\\\left( {SAF} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SF\end{array} \right.\)\( \Rightarrow GE//SF \Rightarrow \frac{{AE}}{{AS}} = \frac{{AG}}{{AF}} = \frac{1}{3} \Rightarrow AE = \frac{1}{3}AS\).
Suy ra \(SE = \frac{2}{3}SA \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{2}{3} \Rightarrow m.n = 6\).
