Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Đề 4

Đáp án đúng là: B

Có \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{ - 6}}{3} = - 2\).

Đáp án đúng là: D

Có \({u_{n + 1}} = 2020 - 2019\left( {n + 1} \right)\)\( = 1 - 2019n\).

Có \({u_{n + 1}} - {u_n} = 1 - 2019n - \left( {2020 - 2019n} \right) = - 2019\).

Do đó \({u_n} = 2020 - 2019n\) là một cấp số cộng.

Đáp án đúng là: D

Có \(\left| {{u_n} - 2} \right| < \frac{1}{{{n^3}}}\) mà \(\lim \frac{1}{{{n^3}}} = 0\) nên \(\lim \left| {{u_n} - 2} \right| = 0\)\( \Rightarrow \lim \left( {{u_n} - 2} \right) = 0\)\( \Rightarrow \lim {u_n} = 2\).

Đáp án đúng là: D

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2{x^2} - 3x + 1} \right) = 2 \cdot {1^2} - 3 \cdot 1 + 1 = 0\).

Đáp án đúng là: D

+) Hàm số \(f\left( x \right) = \tan x + 5\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \tan x + 5\) không liên tục trên \(\mathbb{R}\).

+) Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3}}{{5 - x}}\)có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}\).

Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3}}{{5 - x}}\) không liên tục trên \(\mathbb{R}\).

+) Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x - 6} \)có tập xác định là \(\left[ {6; + \infty } \right)\).

Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x - 6} \) không liên tục trên \(\mathbb{R}\).

+) Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}\)có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Đáp án đúng là: A

\(\lim \frac{1}{{5n + 3}}\)\( = \lim \frac{{\frac{1}{n}}}{{5 + \frac{3}{n}}} = 0\) (vì \(\lim \frac{1}{n} = 0;\lim \frac{3}{n} = 0\)).

Đáp án đúng là: B

\(\lim \left( { - {n^3} + n - 3} \right)\)\( = \lim {n^3}\left( { - 1 + \frac{1}{{{n^2}}} - \frac{3}{{{n^3}}}} \right) = - \infty \).

Đáp án đúng là: A

Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {4x - 3} \right) = 1\]; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0\] mà \(x \to {1^ + }\) nên \(x - 1 > 0\).

Do đó \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x - 3}}{{x - 1}} = + \infty \].

Đáp án đúng là: B

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} + x - 2} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left( {{x^2} - x + 1} \right) - {{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} - \left( {x - 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} - \left( {x - 2} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3 - \frac{3}{x}}}{{ - \sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} - \left( {1 - \frac{2}{x}} \right)}} = - \frac{3}{2}\)

(vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{3}{x} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{x} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{x} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{{x^2}}} = 0\]). Đáp án A đúng.

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {3x + 2} \right) = - 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {x + 1} \right) = 0\) mà \(x \to - {1^ - }\) nên \(x + 1 < 0\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{3x + 2}}{{x + 1}} = + \infty \). Suy ra đáp án B sai.

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} + x - 2} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1 - \frac{2}{x}} \right) = + \infty \)

(vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty \) và \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1 - \frac{2}{x}} \right) = 2 > 0\)). Vậy đáp án C đúng.

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {3x + 2} \right) = - 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = 0\) mà \(x \to - {1^ + }\) nên \(x + 1 > 0\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{3x + 2}}{{x + 1}} = - \infty \). Suy ra đáp án D đúng.

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {\kern 1pt} \sqrt {{x^2} - 9} = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {\kern 1pt} \left| x \right|\sqrt {1 - \frac{9}{{{x^2}}}} = + \infty \)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {\kern 1pt} \left| x \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {\kern 1pt} \left( { - x} \right) = + \infty \;\;\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {\kern 1pt} \sqrt {1 - \frac{9}{{{x^2}}}} = 1 > 0\).

Đáp án đúng là: D

+) A sai. Vì trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung.

+) B và C sai. Vì hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phẳng và không có điểm chung.

Đáp án đúng là: A

Dựa vào định nghĩa, đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \((P)\) khi đó đường thẳng \(d\) không có điểm chung với mặt phẳng \((P).\)

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Ta có \(2\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right)\).

b) Ta có \(2\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) hoặc \(x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) hoặc \[x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\].

c)

- Với \(x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Vì \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\) nên \( - \pi < - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{{11\pi }}{{12}} < k2\pi < \frac{{13\pi }}{{12}} \Leftrightarrow - \frac{{11}}{{24}} < k < \frac{{13}}{{24}}\)

Do \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0\). Suy ra \({x_1} = - \frac{\pi }{{12}}\)

- Với \[x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\]

Vì \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\) nên \( - \pi < - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{{7\pi }}{{12}} < k2\pi < \frac{{17\pi }}{{12}} \Leftrightarrow - \frac{7}{{24}} < k < \frac{{17}}{{24}}\)

Do \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0\). Suy ra \({x_2} = - \frac{{5\pi }}{{12}}\).

d) Ta có \(S = {x_1} + {x_2} = - \frac{{5\pi }}{{12}} - \frac{\pi }{{12}} = - \frac{\pi }{2}\).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Ta có \({u_n} = 3n - 1\) và \({u_{n + 1}} = 3\left( {n + 1} \right) - 1 = 3n + 2\).

Suy ra \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {3n + 2} \right) - \left( {3n - 1} \right) = 3 > 0\).

Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

b) Có \({u_{n + 1}} - {u_n} = 3\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với \({u_1} = 2\) và \(d = 3\).

c) Có \({u_n} = 179 \Leftrightarrow 3n - 1 = 179 \Leftrightarrow n = 60\).

d) Ta có \({S_n} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right].n}}{2}\)\( \Leftrightarrow 5430 = \frac{{\left[ {4 + \left( {n - 1} \right).3} \right].n}}{2}\)\( \Leftrightarrow 3{n^2} + n - 10860 = 0\)\( \Leftrightarrow n = 60\).

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}EF//DC\left( {//AB} \right)\\EF = DC\left( { = AB} \right)\end{array} \right.\). Suy ra \(EFDC\) là hình bình hành.

Do đó \(EC//FD\).

b) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}BE//AF;BC//AD\\BE,BC \subset \left( {BCE} \right),BE \cap BC = B\\AF,AD \subset \left( {ADF} \right),AF \cap AD = A\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {ADF} \right)//\left( {BCE} \right)\).

c) Vì \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và song song với mặt phẳng \(\left( {ADF} \right)\). \(\left( P \right)\) cắt \(AB,AC,CD,EF\) lần lượt tại \(I,N,K,J\). Suy ra \(IJ\) qua \(M\) và \(IJ//AF\).

d) Vì \(NI//AD//BC\) nên \(\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AI}}{{IB}}\).

Lại có \(IM//BH//AF\) (\(H\) là trung điểm của \(BE\)) nên \(\frac{{AI}}{{IB}} = \frac{{AM}}{{MH}} = 2\) (vì \(M\) là trọng tâm \(\Delta ABE\)).

Do đó \(\frac{{AN}}{{NC}} = 2\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Mẫu số liệu ghép nhóm trên có 5 nhóm số liệu là

\(\left[ {8,4;8,6} \right)\); \(\left[ {8,6;8,8} \right)\); \(\left[ {8,8;9,0} \right)\); \(\left[ {9,0;9,2} \right)\); \(\left[ {9,2;9,4} \right)\).

b)

Chiều cao (m)	\(\left[ {8,4;8,6} \right)\)	\(\left[ {8,6;8,8} \right)\)	\(\left[ {8,8;9,0} \right)\)	\(\left[ {9,0;9,2} \right)\)	\(\left[ {9,2;9,4} \right)\)
Giá trị đại diện	\(8,5\)	\(8,7\)	\(8,9\)	\(9,1\)	\(9,3\)
Số cây	5	12	25	44	14

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\overline x = \frac{{8,5.5 + 8,7.12 + 8,9.25 + 9,1.44 + 9,3.14}}{{100}} = 9\left( {\rm{m}} \right)\).

c) Tần số lớn nhất là 44 nên nhóm chứa mốt là nhóm \(\left[ {9,0;9,2} \right)\).

Ta có: \({M_o} = 9,0 + \frac{{44 - 25}}{{\left( {44 - 25} \right) + \left( {44 - 14} \right)}}.0,2 \approx 9,1\).

Số cây keo có chiều cao khoảng \(9,1\left( m \right)\) là nhiều nhất.

d) Cỡ mẫu \(n = 100\).

Gọi \({x_1},...,{x_{100}}\) là chiều cao của 100 cây keo 3 năm tuổi tại một nông trường và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \(\frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}\). Do \({x_{25}},{x_{26}}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {8,8;9,0} \right)\) nên nhóm này chứa \({Q_1}\). Do đó, \({Q_1} = 8,8 + \frac{{\frac{{100}}{4} - \left( {5 + 12} \right)}}{{25}}.0,2 = \frac{{1108}}{{125}} = 8,864\).

Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là \(\frac{{{x_{75}} + {x_{76}}}}{2}\). Do \({x_{75}},{x_{76}}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {9,0;9,2} \right)\) nên nhóm này chứa \({Q_3}\). Do đó, \({Q_3} = 9,0 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - \left( {5 + 12 + 25} \right)}}{{44}}.0,2 = \frac{{183}}{{20}} = 9,15\).

Trả lời:23

Ta có \(P\left( t \right) = 90\)\( \Leftrightarrow 100 + 20\sin \left( {\frac{{7\pi }}{3}t} \right) = 90\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{7\pi }}{3}t} \right) = - \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{7\pi }}{3}t} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{1}{{14}} + \frac{{12}}{{14}}k\\t = \frac{7}{{14}} + \frac{{12}}{{14}}n\end{array} \right.,\left( {k,n \in \mathbb{Z}} \right)\).

Với \(t = - \frac{1}{{14}} + \frac{{12}}{{14}}k\) ta có:

\(0 < - \frac{1}{{14}} + \frac{{12}}{{14}}k < 10\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} < k < \frac{{47}}{4}\)\( \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11} \right\}\).

Với \(t = \frac{7}{{14}} + \frac{{12}}{{14}}n\) ta có

\(0 < \frac{7}{{14}} + \frac{{12}}{{14}}n < 10\)\( \Leftrightarrow - \frac{7}{{12}} < n < \frac{{133}}{{12}}\)\( \Rightarrow n \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11} \right\}\).

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 giây, có 23 lần huyết áp là 90 mmHg.

Trả lời:230

Gọi \({u_n}\) là số triệu đồng mà người kĩ sư đó nhận được ở năm thứ n.

Vì người kĩ sư được công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hằng năm là 5% nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có \[{u_1} = 180\] và công bội \(q = 1 + 5\% = 1,05\).

Khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty thì mức lương năm của người kĩ sư đó là

\({u_6} = {u_1}.{q^5} = 180.1,{05^5} \approx 230\) triệu đồng.

Trả lời:10

\[\lim {u_n} = \lim \frac{{n\sqrt n \left( {\sqrt {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} + \frac{3}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{n\sqrt n }}} \right)}}{{n\sqrt n \left( {\sqrt {6 + \frac{2}{n}} + \frac{1}{{\sqrt n }}} \right)}}\]\[ = \sqrt {\frac{2}{6}} = \sqrt {\frac{1}{3}} \].

Suy ra \(a = 1;b = 3\). Do đó \({a^2} + {b^2} = 10\).

Trả lời: 105

Có \(\overline C \left( x \right) = \frac{{50000 + 105x}}{x}\).

Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \overline C \left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{50000 + 105x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{{50000}}{x} + 105}}{1} = 105\).

Trả lời: 0,5

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(K = AM \cap SO\).

Khi đó \(\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABM} \right) = BK\).

Trong \(\left( {SBD} \right)\) lấy điểm \(N = BK \cap SD\). Khi đó \(N = SD \cap \left( {ABM} \right)\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\) nên \(AC = BD = a\sqrt 2 \).

Do đó \(\Delta SAC\) và \(\Delta SBD\) là các tam giác đều.

Mà \(K = AM \cap SO \Rightarrow K\) là trọng tâm \(\Delta SAC\).

Suy ra \(K\) là trọng tâm \(\Delta SBD\)\( \Rightarrow BN\) là trung tuyến của \(\Delta SBD\)\( \Rightarrow N\) là trung điểm của \(SD\).

Suy ra \(\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{2} = 0,5\).

Trả lời:1

Để \(MN//\left( {SAD} \right)\) thì \(MN//AK\) (\(K = BN \cap AD\)).

Vì \(MN//SK\) nên \(\frac{{BM}}{{MS}} = \frac{{BN}}{{NK}}\) (1).

Vì \(AK//BC\) nên \(\frac{{BN}}{{NK}} = \frac{{CN}}{{AN}}\) (2).

Từ (1) và (2), ta có \(\frac{{BM}}{{MS}} = \frac{{CN}}{{AN}}\) hay \(x = y\). Suy ra \(\frac{x}{y} = 1\).