Bộ 5 đề thi Cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 5
21 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\).
\(\sin 2a = 2\sin a\cos a\).
\(\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\).
\({\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha = \cos 2\alpha \).
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\). Chọn A.
Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số
Lẻ và tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).
Chẵn và tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).
Lẻ và tuần hoàn với chu kì \(\pi \).
Chẵn và tuần hoàn với chu kì \(\pi \).
Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì \(2\pi \). Chọn B.
Trong các phương trình lượng giác sau, phương trình nào có nghiệm?
\(\cos x = \sqrt 2 \).
\(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\).
\(\sin x = - 2\).
\[\sin 2x = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\].
Vì \[ - 1 \le \sin x \le 1; - 1 \le \cos x \le 1\] nên phương trình \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\) có nghiệm. Chọn B.
Phương trình \(2\cos x - 1 = 0\) có bao nhiêu nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\)?
\(3\).
\(1\).
\(4\).
\(2\).
\(2\cos x - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\).
Mà \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) nên \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3}\\x = - \frac{\pi }{3}\end{array} \right.\). Vậy phương trình có 2 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\). Chọn D.
Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1}\), công sai \(d,n \ge 2\)?
\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).
\({u_n} = {u_1} + d\).
\({u_n} = {u_1} + \left( {n + 1} \right)d\).
\({u_n} = {u_1} - \left( {n - 1} \right)d\).
\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\). Chọn A.
Cho cấp số nhân có \({u_1} = 1;q = 3\). Số hạng thứ 9 của cấp số nhân là
\(19683\).
\(2187\).
\(729\).
\(6561\).
Ta có \({u_9} = {u_1}{.3^8} = {1.3^8} = 6561\). Chọn D.
Phát biểu nào sau đây là sai?
\(\lim {q^n} = 0\left( {\left| q \right| > 1} \right)\).
\(\lim \frac{1}{n} = 0\).
\(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) (k nguyên dương).
\(\lim {u_n} = c\) (\({u_n} = c\) là hằng số).
Ta có \(\lim {q^n} = 0\) với \(\left| q \right| < 1\). Chọn A.
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 4\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {4 - 3f\left( x \right)} \right]\) bằng
\(9\).
\(8\).
\( - 8\).
\( - 9\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {4 - 3f\left( x \right)} \right]\)\( = 4 - 3\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)\)\( = 4 - 3.4 = - 8\). Chọn C.
Hàm số nào sau đây liên tục trên \(\mathbb{R}\).
\(y = 2{x^3} - 3{x^2} + 1\).
\(y = \frac{{x + 1}}{{2x - 1}}\).
\(y = \tan x\).
\(y = \sqrt {2x - 1} \).
Ta có \(y = 2{x^3} - 3{x^2} + 1\) là hàm đa thức xác định trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên \(\mathbb{R}\). Chọn A.
Hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}\) gián đoạn tại điểm nào dưới đây?
\({x_0} = 1\).
\({x_0} = - 2\).
\({x_0} = - 1\).
\({x_0} = 3\).
Vì hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\) nên hàm số gián đoạn tại điểm \({x_0} = 3\). Chọn D.
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MCD} \right)\) và \(\left( {ADN} \right)\)là
Đường thẳng MN.
Đường thẳng AM.
Đường thẳng DH (H là trọng tâm tam giác ABC).
Đường thẳng BG (G là trọng tâm tam giác ACD).
Gọi H là giao điểm của AN và CM.
Xét \(\Delta ABC\) có AN, CM là các đường trung tuyến. Suy ra H là trọng tâm tam giác ABC.
Có \(\left\{ \begin{array}{l}H \in AN \subset \left( {ADN} \right)\\H \in CM \subset \left( {MCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow H \in \left( {ADN} \right) \cap \left( {MCD} \right)\).
Lại có \(D \in \left( {ADN} \right) \cap \left( {MCD} \right)\). Do đó \(DH = \left( {ADN} \right) \cap \left( {MCD} \right).\)Chọn C.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Hình chiếu song song của điểm \(O\)lên \(\left( {SAD} \right)\) theo phương của đường thẳng \(SB\) là
Điểm A.
Điểm D.
Điểm M là trung điểm của đoạn SA.
Điểm N là trung điểm của đoạn SD.
Gọi N là trung điểm của SD.
Ta có O, N lần lượt là trung điểm của AC và SD nên ON là đường trung bình của \(\Delta SBD\).
Suy ra ON // SB.
Do đó hình chiếu song song của điểm O lên (SAD) theo phương của đường thẳng SB là điểm N. Chọn D.
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,N,P\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(SB,BC\) và \(SD\).
a) Đường thẳng \(SA\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\).
b) Hai đường thẳng \(MP\) và \(SC\) cắt nhau.
c) Giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\)và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là đường thẳng đi qua \(N\) và song song với đường thẳng \(BD\).
d) Biết rằng đường thẳng \(SA\) cắt mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) tại điểm \(K\). Khi đó \(\frac{{SK}}{{SA}} = \frac{1}{4}\).
a) Ta có \(S\) và \(A\) là hai điểm chung của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) nên đường thẳng \(SA\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\).
b) Ta có \(C \notin \left( {SMP} \right)\) nên hai đường thẳng \(SC\)và \(MP\)không cùng nằm trong một mặt phẳng. Suy ra hai đường thẳng \(SC\) và \(MP\) chéo nhau.
c) Ta có N là điểm chung của \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).
Mặt khác \(MP \subset \left( {MNP} \right),BD \subset \left( {ABCD} \right)\) và \(MP//BD\) (do \(MP\)là đường trung bình của tam giác \(SBD\)).
Suy ra giao tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là đường thẳng đi qua N đồng thời song song với \(BD,MP\) cắt \(CD\) tại \(Q\).
d) Gọi \(I\) là giao điểm \(AC\) và \(NQ\).
Từ giả thiết ta có ba mặt phẳng \(\left( {MNP} \right),\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) cắt nhau theo ba giao tuyến là \(MN,SC\) và \(IK\) trong đó \(MN//SC\) (do MN là đường trung bình của \(\Delta SBC\)).
Suy ra \(MN,SC\) và \(IK\) đôi một song song.
Xét \(\Delta SAC\) có \(IK//SC\) nên \(\frac{{SK}}{{SA}} = \frac{{CI}}{{CA}} = \frac{1}{4}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = x - 1\) và \(g\left( x \right) = {x^3}\).
a) Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 3\).
b) Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 1\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {3f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = - 1\).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}{{g\left( x \right)}} = 1\).
a) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x - 1} \right) = 1 - 1 = 0\].
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^3} = {1^3} = 1\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {3f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = 3.0 - 1 = - 1\).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}{{g\left( x \right)}} = \frac{0}{1} = 0\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 4.
Phương trình \(\tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 3 \) có nghiệm \(x = \frac{{a\pi }}{b} + \frac{{k\pi }}{2}\left( {a;k \in \mathbb{Z};b \in \mathbb{N}*} \right)\); \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức \({a^2} + b\).
Điều kiện \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \ne 0\)\( \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + k\pi \)
Ta có \(\tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow \tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \tan \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\)\( \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{3} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = - \frac{{7\pi }}{{24}} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\) (thỏa mãn điều kiện).
Suy ra \(a = - 7;b = 24\). Do đó \({a^2} + b = 73\).
Trả lời: 73.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 123;{u_3} - {u_{15}} = 84\). Số hạng \({u_{17}}\) bằng bao nhiêu?
Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 123\\{u_3} - {u_{15}} = 84\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 123\\{u_1} + 2d - {u_1} - 14d = 84\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 123\\ - 12d = 84\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 123\\d = - 7\end{array} \right.\).
Suy ra \({u_{17}} = {u_1} + 16d = 123 + 16.\left( { - 7} \right) = 11\).
Trả lời: 11.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{9 - {x^2}}}{{x - 3}}{\rm{khi}}\;x < 3\\1 - x\;\;\;{\rm{khi}}\;x \ge 3\end{array} \right.\). Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = a\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = b\). Giá trị của \({a^2} + {b^2}\) bằng bao nhiêu?
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{9 - {x^2}}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( { - x - 3} \right) = - 6\). Suy ra \(a = - 6\).
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {1 - x} \right) = - 2\). Suy ra \(b = - 2\).
Do đó \({a^2} + {b^2} = {\left( { - 6} \right)^2} + {\left( { - 2} \right)^2} = 40\).
Trả lời: 40.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M\) là trung điểm của \(SC\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AM\) với mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {IA} = k\overrightarrow {IM} \). Giá trị của \({k^3}\) bằng bao nhiêu?
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\). Gọi \(I = SO \cap AM\) mà \(SO \subset \left( {SBD} \right)\). Suy ra \(I = AM \cap \left( {SBD} \right)\).
Xét \(\Delta SAC\), có SO và AM là các trung tuyến. Suy ra I là trọng tâm của \(\Delta SAC\).
Do đó \(IA = 2IM\) mà \(\overrightarrow {IA} \) và \(\overrightarrow {IM} \) là hai vectơ ngược hướng nên \(\overrightarrow {IA} = - 2\overrightarrow {IM} \).
Suy ra \(k = - 2\). Do đó \({k^3} = - 8\).
Trả lời: −8.
PHẦN II. TỰ LUẬN
Trong không gian cho 10 điểm phân biệt, không có ba điểm nào thẳng hàng và không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba điểm trong 10 điểm đó?
Số mặt phẳng đi qua ba điểm trong 10 điểm đó là \(C_{10}^3 = 120\).
Người ta thiết kế một cái tháp gồm 10 tầng theo cách sau: Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng một nửa diện tích bề mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích bề mặt đế tháp. Biết diện tích bề mặt đế tháp là 12288 m2. Tính diện tích bề mặt trên cùng của tháp (đơn vị: m2).
Diện tích bề mặt tầng 1 là \(12288:2 = 6144\).
Diện tích bề mặt 10 tầng của một cái tháp lập thành một cấp số nhân với \({u_1} = 6144;q = \frac{1}{2}\).
Khi đó diện tích bề mặt trên cùng của tháp là \({u_{10}} = {u_1}.{q^9} = 6144.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^9} = 12\) m2.
Một khối gỗ có dạng hình chóp có đáy là hình vuông và tất cả các cạnh bằng 0,5 m. Một người muốn thiết kế thành đồ trang trí bằng cách cưa đi phần đỉnh của khối gỗ này và gắn dây đèn trang trí theo các cạnh của khối hình mới (tham khảo hình vẽ). Biết rằng lưỡi cưa đi qua 3 trung điểm của ba cạnh bên của khối gỗ. Chiều dài của dây đèn trang trí là bao nhiêu mét?
Hình chóp \(S.ABCD\) mô tả khối chóp.
Cưa đi phần đỉnh của khối gỗ, lưỡi cưa đi qua các trung điểm của ba cạnh bên của khối gỗ nghĩa là cắt hình chóp bởi mặt phẳng đi qua các điểm \(A',B',C'\) (\(A',B',C'\) là trung điểm của \(SA,SB,SC\)).
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(O\) là giao điểm của \(AC,BD\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(O'\) là giao điểm của \(A'C',SO\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), gọi \(D'\)là giao điểm của \(B'O',SD\).
Suy ra mặt phẳng cắt các mặt của hình chóp theo các giao tuyến là \(A'B',B'C',C'D',D'A'\).
Dây đèn trang trí được gắn vào các cạnh \(AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A',AA',BB',CC',DD'\).
Dễ dàng chứng minh \(D'\) là trung điểm của SD.
Do đó \(A',B'\) là trung điểm của SA, SB nên \(A'B' = \frac{1}{2}AB = 0,25\) m.
Tương tự \(B'C' = C'D' = D'A' = 0,25\) m.
Do \(A',B',C',D'\)là trung điểm của \(SA,SB,SC,SD\)nên \(AA' = BB' = CC' = DD' = 0,25\) m.
Vậy \(AB + BC + CD + DA + A'B' + B'C' + C'D' + D'A' + AA' + BB' + CC' + DD' = 0,5.4 + 0,25.8 = 4\) m.
