Bộ 5 đề thi Cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4
21 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Mệnh đề nào sau đây là sai?
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).
\(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\left( {\cos \alpha \ne 0} \right)\).
\(\tan \alpha + \cot \alpha = 2\).
\(\tan \alpha .\cot \alpha = 1\).
\(\tan \alpha + \cot \alpha = 2\)là mệnh đề sai. Chọn C.
Hàm số \(y = \tan x\) tuần hoàn với chu kì là
\(3\pi \).
\(\frac{\pi }{2}\).
\(2\pi \).
\(\pi \).
Hàm số \(y = \tan x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \). Chọn D.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 1\end{array} \right.\) với \(n \ge 1\). Số hạng thứ ba của dãy số là số nào dưới đây?
\(5\).
\(4\).
\(3\).
\(2\).
Ta có \({u_2} = {u_1} + 1 = 3;{u_3} = {u_2} + 1 = 4\). Chọn B.
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?
\({u_n} = 2n + 1\).
\({u_n} = {n^2}\).
\({u_n} = \frac{7}{{3n}}\).
\({u_n} = {3^n}\).
Xét dãy số \({u_n} = 2n + 1\).
Ta có \({u_{n + 1}} = 2n + 3\).
Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = 2\). Do đó dãy số \({u_n} = 2n + 1\) là một cấp số cộng. Chọn A.
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
\({\left( {\frac{6}{5}} \right)^n}\).
\({\left( {\frac{5}{2}} \right)^n}\).
\({\left( {\frac{5}{6}} \right)^n}\).
\({5^n}\).
Có \(\lim {\left( {\frac{5}{6}} \right)^n} = 0\) vì \(\frac{5}{6} < 1\). Chọn C.
Cho hai hàm số \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = 25;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - 5\). Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{g\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}\) bằng
\(20\).
\(5\).
\( - 5\).
\(25\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{g\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}\)\( = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right)}} = \frac{{25}}{{ - 5}} = - 5\). Chọn C.
Cho mệnh đề đúng.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục trên một khoảng \(\left( {a;b} \right)\) nếu nó liên tục tại một điểm của khoảng đó.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục trên một khoảng \(\left( {a;b} \right)\) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục trên một khoảng \(\left( {a;b} \right)\) nếu nó liên tục tại ba điểm của khoảng đó.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục trên một khoảng \(\left( {a;b} \right)\) nếu nó liên tục tại hai điểm của khoảng đó.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục trên một khoảng \(\left( {a;b} \right)\) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. Chọn B.
Hàm số nào sau đây liên tục trên \(\mathbb{R}\).
\(y = \tan x\).
\(y = {x^2} - 3x + 2024\).
\(y = \sqrt {x - 4} \).
\(y = \sqrt x \).
Hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2024\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) nên hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\). Chọn B.
Cho tam giác \(ABC\). Lấy điểm \(M\)trên cạnh \(AC\) kéo dài (như hình)
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
\(A \in \left( {MBC} \right)\).
\(B \in \left( {ACM} \right)\).
\(M \in \left( {ABC} \right)\).
\(C \in \left( {ABM} \right)\).
Vì \(A,C,M\) thẳng hàng nên không tồn tại mặt phẳng \(\left( {ACM} \right)\). Chọn B.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành (như hình vẽ).
Hai đường thẳng \(SB\) và \(CD\) là hai đường thẳng.
Song song.
Chéo nhau.
Cắt nhau.
Trùng nhau.
Ta có \(SB\) và \(CD\) không cùng thuộc một mặt phẳng nên chúng chéo nhau. Chọn B.
Cho đường thẳng d nằm trên mặt phẳng \(\left( Q \right)\). Khi đó mệnh đề nào sau đây sai?
d có hai điểm chung phân biệt thuộc \(\left( Q \right)\).
\(d \subset \left( Q \right)\).
\(M \in d,d \subset \left( Q \right) \Rightarrow M \notin \left( Q \right)\).
d và \(\left( Q \right)\)có vô số điểm chung.
\(M \in d,d \subset \left( Q \right) \Rightarrow M \in \left( Q \right)\). Chọn C.
Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu
chúng có hai điểm chung.
chúng có một đường thẳng chung.
chúng có đúng một điểm chung.
chúng không có điểm chung.
Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. Chọn D.
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho lăng trụ tứ giác \(ABCD.A'B'C'D'\) có hai đáy \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\)là hai hình bình hành.
a) Lăng trụ tứ giác \(ABCD.A'B'C'D'\)là hình hộp.
b) Tứ giác \(ABC'D'\) là hình chữ nhật.
c) Đường thẳng \(AD'\)song song với mặt phẳng \(\left( {BDC'} \right)\).
d) Mặt phẳng \(\left( {ACD'} \right)\)song song với mặt phẳng \(\left( {BA'C'} \right)\).
a) Lăng trụ tứ giác \(ABCD.A'B'C'D'\) có hai đáy \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\)là hai hình bình hành nên \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp.
b) Có \(AB//C'D'\) và \(AB = C'D'\) nên \(ABC'D'\) là hình bình hành.
c) Vì \(ABC'D'\) là hình bình hành nên \(AD'//BC'\) mà \(BC' \subset \left( {BDC'} \right)\). Suy ra \(AD'//\left( {BDC'} \right)\).
d) Có \(AC//A'C'\) mà \(A'C' \subset \left( {BA'C'} \right)\) nên \(AC//\left( {BA'C'} \right)\) (1).
Có \(AD'//BC'\) mà \(BC' \subset \left( {BA'C'} \right)\)nên \(AD'//\left( {BA'C'} \right)\)(2).
Từ (1) và (2), suy ra \(\left( {ACD'} \right)//\left( {BA'C'} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \tan 3x\).
a) Giá trị của hàm số tại \(x = \frac{\pi }{3}\) bằng 0.
b) Hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ.
c) Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
d) Tổng các nghiệm của phương trình \(\tan 3x = 1\) trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) bằng \(\frac{{5\pi }}{4}\).
a) \(f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \tan \left( {3.\frac{\pi }{3}} \right) = \tan \pi = 0\).
b) Ta có \(f\left( { - x} \right) = \tan \left( { - 3x} \right) = - \tan 3x = - f\left( x \right)\). Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ.
c) Điều kiện: \(\cos 3x \ne 0\)\( \Leftrightarrow 3x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}\).
Do đó \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
d) Có \(\tan 3x = 1\)\( \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}\).
Vì \(0 < x < \pi \) nên \(0 < \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3} < \pi \)\( \Leftrightarrow - \frac{1}{4} < k < \frac{{11}}{4}\).
Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0;k = 1;k = 2\).
Từ đó ta có \(x = \frac{\pi }{{12}};x = \frac{{5\pi }}{{12}};x = \frac{{3\pi }}{4}\).
Do đó tổng các nghiệm là \(\frac{\pi }{{12}} + \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{3\pi }}{4} = \frac{{5\pi }}{4}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 4.
Nếu \(a,b\) là hai góc nhọn và \(\sin a = \frac{1}{3},\sin b = \frac{1}{2}\) thì \(\cos 2\left( {a + b} \right)\) có giá trị bằng \(\frac{{7 - m\sqrt 6 }}{n},n \ne 0\). Hãy tính giá trị của \(m + 2n\).
Vì \(a,b\) là hai góc nhọn nên \(\cos a > 0;\cos b > 0\).
Vì \(\sin a = \frac{1}{3} \Rightarrow \cos a = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\); \(\sin b = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos b = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\cos 2\left( {a + b} \right) = \cos \left( {2a + 2b} \right)\)\( = \cos 2a\cos 2b - \sin 2a\sin 2b\)
\( = \left( {2{{\cos }^2}a - 1} \right)\left( {2{{\cos }^2}b - 1} \right) - 4\sin a\cos a\sin b\cos b\)
\( = \left( {2.\frac{8}{9} - 1} \right)\left( {2.\frac{3}{4} - 1} \right) - 4.\frac{1}{3}.\frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\( = \frac{7}{{18}} - \frac{{2\sqrt 6 }}{9}\)\( = \frac{{7 - 4\sqrt 6 }}{{18}}\). Suy ra \(m = 4;n = 18\). Do đó \(m + 2n = 4 + 2.18 = 40\).
Trả lời: 40.
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 3\) và số hạng thứ hai \({u_2} = - 6\). Tính \({u_4}\).
Ta có \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{ - 6}}{3} = - 2\).
Suy ra \({u_4} = {u_1}.{q^3} = 3.{\left( { - 2} \right)^3} = - 24\).
Trả lời: −24.
Tìm giới hạn \(\lim \frac{{3{n^2} + n}}{{1 - 2{n^2}}}\).
\(\lim \frac{{3{n^2} + n}}{{1 - 2{n^2}}} = \lim \frac{{3 + \frac{1}{n}}}{{\frac{1}{{{n^2}}} - 2}}\)\( = \lim \frac{{3 + \frac{1}{n}}}{{\frac{1}{{{n^2}}} - 2}} = - 1,5\).
Trả lời: −1,5.
Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\). Gọi \(N\)là hình chiếu song song của điểm \(M\) lên \(\left( {AA'B'} \right)\) theo phương chiếu \(CB\). Tính \(\frac{{MN}}{{BC}}\).
Gọi \(N\) là trung điểm của \(AB\), M là trung điểm \(AC\).
Suy ra \(MN\)là đường trung bình của \(\Delta ABC\). Do đó \(MN//BC\).
Do đó \(N\)là hình chiếu song song của điểm \(M\) lên \(\left( {AA'B'} \right)\) theo phương chiếu \(CB\).
Do đó \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{1}{2} = 0,5\).
Trả lời: 0,5.
PHẦN II. TỰ LUẬN
Người ta trồng 465 cây trong một khu vườn hình tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây, … cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi hết số cây. Tính số hàng cây của khu vườn.
Giả sử trồng được \(n\) hàng cây \(\left( {n \ge 1;n \in \mathbb{N}} \right)\).
Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với \({u_1} = 1;d = 1\).
Theo đề ta có \({S_n} = 465\) \( \Leftrightarrow \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}}{2} = 465\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left[ {2.1 + \left( {n - 1} \right).1} \right]n}}{2} = 465\)\( \Leftrightarrow {n^2} + n - 930 = 0\)
\( \Leftrightarrow n = 30\).
Vậy khu vườn có 30 hàng cây.
Hình bên dưới là kệ sách gỗ có bốn mặt kệ, với thanh gỗ đứng (xem như đường thẳng d1) và thanh gỗ xiên (xem như đường thẳng d2). Giả sử các mặt kệ xuất hiện ở các vị trí \(A,B,C,D,E,F,G,H\). Biết rằng \(EF = 32\) cm và các điểm \(A,B,C,D\) cách đều nhau. Các mặt kệ đặt song song với mặt đất. Tính độ dài HE.
Các mặt kệ sách đặt song song với mặt đất nên là hình ảnh của các mặt phẳng song song nhau, ta kí hiệu các mặt phẳng từ đáy kệ sách lên trên lần lượt là \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right),\left( {{P_3}} \right),\left( {{P_4}} \right)\).
Áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right),\left( {{P_3}} \right)\) với hai cát tuyến \({d_1};{d_2}\) ta có \(\frac{{FG}}{{BC}} = \frac{{GH}}{{CD}} \Rightarrow \frac{{FG}}{{GH}} = \frac{{BC}}{{CD}}\).
Mà \(BC = CD\) nên \(\frac{{FG}}{{GH}} = 1 \Rightarrow FG = GH\).
Tương tự áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng \(\left( {{P_2}} \right),\left( {{P_3}} \right),\left( {{P_4}} \right)\) với hai cát tuyến \({d_1};{d_2}\) ta có \(EF = FG\).
Từ đó suy ra \(GH = FG = EF = 32\) cm.
Vậy \(HE = EF + FG + GH = 96\)cm.
Từ sảnh tầng 2 của dãy nhà G trường THPT A với độ cao 7,2 m so với mặt sân, một học sinh khối 11 thả một quả bóng cao su xuống sân trường. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quá bóng lại nảy lên một độ cao bằng \(\frac{3}{{10}}\) độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi \({S_n}\) là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ \(n\). Nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi, hay tính tổng quãng đường bóng di chuyển được?
Gọi \({h_n}\) là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ \(n\).
Theo bài ra ta có \({h_n} = \frac{3}{{10}}{h_{n - 1}}\) nên \(\left( {{h_n}} \right)\) là 1 cấp số nhân với \({h_1} = \frac{3}{{10}}.7,2\) với công bội \(q = \frac{3}{{10}}\) (là cấp số nhân lùi vô hạn).
Gọi \({v_n}\) là độ dài quãng đường bóng rơi từ trên xuống đất lần thứ \(n\).
Theo bài ta ta có \({v_n} = \frac{3}{{10}}{v_{n - 1}}\) nên \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với \({v_1} = 7,2\) và công bội \(q = \frac{3}{{10}}\) (là cấp số nhân lùi vô hạn).
Nếu quá trình bóng rơi xuống, nảy lên diễn ra mãi thì tổng quãng đường bóng di chuyển được bằng:
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\left( {{v_1} + {v_2} + ... + {v_n} + ...} \right) + \left( {\left( {{h_1} + {h_2} + ... + {h_n} + ...} \right)} \right)} \right]\)
\( = \left( {7,2.\frac{1}{{1 - \frac{3}{{10}}}}} \right) + \left( {7,2.\frac{3}{{10}}.\frac{1}{{1 - \frac{3}{{10}}}}} \right) = \frac{{468}}{{35}} \approx 13,4\) (m).
