Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 2
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Tính giá trị biểu thức \(P = \sin 30^\circ \cos 90^\circ + \sin 90^\circ \cos 30^\circ \).
\[P = 1.\]
\[P = 0.\]
\[P = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\]
\[P = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\]
Đáp án đúng là: C
\(P = \sin 30^\circ \cos 90^\circ + \sin 90^\circ \cos 30^\circ \)
\( = \sin \left( {30^\circ + 90^\circ } \right)\)
\( = \sin 120^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Số nghiệm của phương trình \(\cos x = - \frac{1}{2}\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là
1.
\(0\).
2.
4.
Đáp án đúng là: A
Có \(\cos x = - \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{{2\pi }}{3}\)\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Mà \(0 \le x \le \pi \) nên \(0 \le \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \le \pi \)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{3} \le k \le \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} \le k \le \frac{5}{6}\end{array} \right.\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0\).
Với \(k = 0\) thì phương trình có nghiệm là \(x = \frac{{2\pi }}{3}\).
Vậy số nghiệm của phương trình \(\cos x = - \frac{1}{2}\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là 1.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right):\)\(1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};....;{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}};....\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)tăng.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) giảm.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)không tăng, không giảm.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)không đổi.
Đáp án đúng là: B
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)là dãy giảm.
Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số nhân?
\(2;{\rm{ }}4;{\rm{ }}8;{\rm{ }}16;{\rm{ }} \ldots \).
\(1;{\rm{ }} - 1;{\rm{ }}1;{\rm{ }} - 1;{\rm{ }} \cdots \).
\({1^2};{\rm{ }}{2^2};{\rm{ }}{3^2};{\rm{ }}{{\rm{4}}^2};{\rm{ }} \cdots \).
\(a;{\rm{ }}{a^3};{\rm{ }}{a^5};{\rm{ }}{a^7};{\rm{ }} \cdots \;\left( {a \ne 0} \right).\)
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\frac{{{2^2}}}{{{1^2}}} \ne \frac{{{3^2}}}{{{2^2}}} \Rightarrow \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\) nên dãy số \({1^2};{\rm{ }}{2^2};{\rm{ }}{3^2};{\rm{ }}{{\rm{4}}^2};{\rm{ }} \cdots \) không phải cấp số nhân.
Phát biểu nào sau đây là sai?
\(\lim {u_n} = c\) (\({u_n} = c\) là hằng số).
\(\lim {q^n} = 0\left( {\left| q \right| > 1} \right)\).
\(\lim \frac{1}{n} = 0\).
\(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\left( {k > 1} \right)\).
Đáp án đúng là: B
\(\lim {q^n} = 0\left( {\left| q \right| < 1} \right)\).
\(\lim \frac{1}{{5n + 2}}\) bằng
\(\frac{1}{5}\).
\(0\).
\(\frac{1}{2}\).
\( + \infty \).
Đáp án đúng là: B
\(\lim \frac{1}{{5n + 2}} = \lim \frac{1}{n}\left( {\frac{1}{{5 + \frac{2}{n}}}} \right) = 0.\frac{1}{5} = 0\).
Cho các giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 3\), hỏi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {3f\left( x \right) - 4g\left( x \right)} \right]\) bằng bao nhiêu?
\(5\).
\(2\).
\( - 6\).
\(3\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {3f\left( x \right) - 4g\left( x \right)} \right]\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 3f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 4g\left( x \right)\)\( = 3\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) - 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right)\)\( = - 6\).
Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ - 2x + 1}}{{x - 1}}\) bằng
\( + \infty .\)
\( - \infty .\)
\(\frac{2}{3}.\)
\(\frac{1}{3}.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - 2x + 1} \right) = - 1 < 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0\), \[x - 1 > 0\] khi \[x \to {1^ + }\].
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ - 2x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \).
Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số mặt và số cạnh là:
5 mặt, 5 cạnh.
6 mặt, 5 cạnh.
6 mặt, 10 cạnh.
5 mặt, 10 cạnh.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hình chóp ngũ giác có 5 mặt bên + 1 mặt đáy; 5 cạnh bên và 5 cạnh đáy.
Chọn khẳng định sai
Hai đường chéo nhau thì không có điểm chung.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau thì không cùng nằm trên bất kì mặt nào.
Hai đường thẳng có từ 2 điểm chung thì trùng nhau.
Đáp án đúng là: B
Hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể song song hoặc chéo nhau.
Cho đường thẳng \(a \subset \left( \alpha \right)\) và đường thẳng \(b \subset \left( \beta \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Rightarrow a//\left( \beta \right)\)và \(b//\left( \alpha \right).\)
\(a//b \Rightarrow \left( \alpha \right)//\left( \beta \right).\)
a và b chéo nhau.
\(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Rightarrow a//b.\)
Đáp án đúng là: A
- Do \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\) và \(a \subset \left( \alpha \right)\) nên \(a//\left( \beta \right)\).
- Tương tự, do \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\) và \(b \subset \left( \beta \right)\) nên \(b//\left( \alpha \right).\)
Cho hình hộp ABCD.EFGH, khẳng định nào sau đây sai?
\(EF//CD\).
\(CE//AD\).
\(EH//AD\).
\(GF//BC\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(ABCD.EFGH\) là hình hộp nên các mặt là các hình bình hành.
Do đó \(EH//AD\); \(GF//BC\); \(EF//CD\) (vì cùng song song với \(GH\)).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \tan 2x - 1\). Khi đó
a) Giá trị của hàm số tại \(x = \frac{\pi }{8}\) bằng 0.
b) Giá trị của hàm số tại \(x = \frac{\pi }{3}\) bằng \( - \sqrt 3 - 1\).
c)Hàm số đạt giá trị bằng \( - 2\) khi \(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
d) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) Ta có \(f\left( {\frac{\pi }{8}} \right) = \tan \left( {2.\frac{\pi }{8}} \right) - 1 = 1 - 1 = 0\).
b) Ta có \(f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \tan \left( {2.\frac{\pi }{3}} \right) - 1 = - \sqrt 3 - 1\).
c) Ta có \(f\left( x \right) = - 2 \Leftrightarrow \tan 2x - 1 = - 2\)\( \Leftrightarrow \tan 2x = - 1\)
\( \Leftrightarrow 2x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
d) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3\end{array} \right.\) với \(n \ge 1\). Khi đó:
a) Dãy số trên là một cấp số nhân.
b) Số hạng thứ năm của dãy là 13.
c) 101 là số hạng thứ 35 của dãy số đã cho.
d) Tổng các số hạng từ số hạng thứ 10 đến số hạng thứ 20 của dãy số bằng 451.
a) S, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Ta có \({u_{n + 1}} = {u_n} + 3\). Suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với công sai \(d = 3\).
b) Ta có \({u_5} = {u_1} + 4d = 11\).
c) Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 1 + \left( {n - 1} \right).3 = 3n - 4\).
Xét \({u_n} = 101 \Leftrightarrow 3n - 4 = 101 \Rightarrow n = 35\).
Vậy 101 là số hạng thứ 35 của dãy số đã cho.
d) \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với số hạng đầu \({u_1} = - 1\) và công sai \(d = 3\).
Ta có \({S_9} = \frac{{9\left( {2{u_1} + 8d} \right)}}{2} = \frac{{9\left[ {2.\left( { - 1} \right) + 8.3} \right]}}{2} = 99\).
\({S_{20}} = \frac{{20\left( {2{u_1} + 19d} \right)}}{2} = \frac{{20\left[ {2.\left( { - 1} \right) + 19.3} \right]}}{2} = 550\).
Vậy \({u_{10}} + {u_{11}} + ... + {u_{20}} = {S_{20}} - {S_9} = 550 - 99 = 451\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x - 1}}\;{\rm{khi}}\;x < 1\\24x - 8\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\end{array} \right.\).
a) \(f\left( 1 \right) = 16\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = 16\).
c) Hàm số liên tục tại \(x = 1\).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - 16}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2f\left( x \right) + 4} + 6} \right)}} = 2\).
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) \(f\left( 1 \right) = 24.1 - 8 = 16\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x + 5} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x + 5} \right) = 7\).
c) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) nên hàm số không liên tục tại \(x = 1\).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - 16}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2f\left( x \right) + 4} + 6} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{24x - 8 - 16}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2f\left( x \right) + 4} + 6} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{24\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2f\left( x \right) + 4} + 6} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {24.\frac{1}{{\sqrt {2f\left( x \right) + 4} + 6}}} \right)\)\( = 24.\frac{1}{{\sqrt {2f\left( 1 \right) + 4} + 6}} = \frac{{24}}{{\sqrt {2.16 + 4} + 6}} = 2\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SC\).
a) Đường thẳng \(OM\) song song với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
b) Giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) là đường thẳng \(SO\).
c) Giao điểm của đường thẳng \(AM\) với \(\left( {SBD} \right)\) cũng là giao điểm của \(AM\) với \(SO.\)
d) Gọi \(I\) giao điểm của \(AM\) với \(SO\) thì \(IA = IM\).
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Ta có \(OM\not \subset \left( {SAB} \right)\) và \(OM//SA \subset \left( {SAB} \right)\). Vậy \(OM//\left( {SAB} \right)\).
b) Ta có \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) có S chung.
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow O \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).
Vậy \(SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).
c) Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\): \(\left\{ I \right\} = AM \cap SO\) mà \(SO \subset \left( {SBD} \right)\).
Vậy \(AM \cap \left( {SBD} \right) = \left\{ I \right\}\).
d) Xét \(\Delta SAC\) có \(AM,SO\) là hai đường trung tuyến nên \(I\) là trọng tâm \(\Delta SAC\).
Suy ra theo tính chất trọng tâm ta có \(AI = 2IM\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 6.
Một cái cổng vào một trung tâm thương mại có hình dạng là một phần của đồ thị hàm số \(y = 2\cos \left( {\frac{x}{2}} \right) + 2\). Gọi \(A,B\)là hai điểm nằm trên cổng (trên đồ thị hàm số \(y = 2\cos \left( {\frac{x}{2}} \right) + 2\)) và \(C,D\)là hai điểm nằm trên mặt nền của cổng sao cho \(ABCD\) là hình chữ nhật. Người quản lí trung tâm thương mại muốn lắp một cái cửa kính tự động vào hình chữ nhật \(ABCD\). Tính diện tích của cái cửa cần lắp biết chiều cao của cái cửa là\(AD = 3\) mét (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân, lấy \(\pi = 3,14\)).
Trả lời: 12,6
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
\[AD = 3 \Leftrightarrow 2\cos \frac{x}{2} + 2 = 3 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k4\pi \\x = \frac{{ - 2\pi }}{3} + k4\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})\]
Chọn :\[A\left( {\frac{{ - 2\pi }}{3};3} \right);B\left( {\frac{{2\pi }}{3};3} \right);C\left( {\frac{{2\pi }}{3};0} \right);D\left( {\frac{{ - 2\pi }}{3};0} \right)\]
\[AB = \frac{{4\pi }}{3};AD = 3 \Rightarrow {S_{ABCD}} = 4\pi = 4.3,14 = 12,56 \approx 12,6({{\rm{m}}^{\rm{2}}}){\rm{ }}\].
Một cơ sở khoan giếng có đơn giá như sau: giá của mét khoan đầu tiên là \(60000\) đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm \(2,5\% \) so với giá của mét khoan ngay trước đó. Số tiền mà chủ nhà phải trả cho cơ sở khoan giếng để khoan được \(55\left( {\rm{m}} \right)\)giếng là bao nhiêu? (đơn vị: nghìn đồng) (làm tròn đến hàng đơn vị).
Trả lời: 6933
Đặt \({u_1}\) là giá của mét khoan đầu tiên thì \[{u_1} = 60\,000\] đồng.
Kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm \(2,5\% \) so với giá của mét khoan ngay trước đó.
Suy ra \({u_2} = {u_1} + {u_1}.2,5\% = {u_1}(1 + 0,025) = 1,025{u_1}\).
Tương tự
\({u_3} = {u_2} + {u_2}.2,5\% = {u_2}(1 + 0,025) = 1,025{u_2}\).
…………………………………………….
Vậy các giá trị \({u_1},\,{u_2},...,\,{u_{55}}\) lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 60\,000\) và công bội
\(q = 1,025\).
Gọi \(T\) là tổng số tiền mà chủ nhà phải thanh toán khi khoan \(55\left( {\rm{m}} \right)\) giếng, ta có:
\(T = {S_{55}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{55}} = 60{\rm{ }}000.\frac{{{{\left( {1,025} \right)}^{55}} - 1}}{{1,025 - 1}} \approx 6933055\) (đồng)\( \approx 6933\)nghìn đồng.
Tìm giới hạn sau: \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n - 2} - n} \right)\).
Trả lời:1
\(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n - 2} - n} \right) = \lim \frac{{{n^2} + 2n - 2 - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 2n - 2} + n}} = \lim \frac{{2n - 2}}{{n\sqrt {1 + \frac{2}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} + n}}\)
\( = \lim \frac{{n\left( {2 - \frac{2}{n}} \right)}}{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} + 1} \right)}} = \lim \frac{{2 - \frac{2}{n}}}{{\sqrt {1 + \frac{2}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} + 1}} = \frac{2}{{\sqrt 1 + 1}} = 1.{\rm{ }}\)
Tìm giới hạn hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2 - \sqrt {x + 2} }}{{{x^2} - 3x + 2}}\) kết quả dạng phân số \( - \frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Hỏi tổng \(2a + 3b\) bằng bao nhiêu?
Trả lời:14
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2 - \sqrt {x + 2} }}{{{x^2} - 3x + 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{4 - \left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {2 + \sqrt {x + 2} } \right)}}\)\( = - \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 + \sqrt {x + 2} } \right)}}\)\( = - \frac{1}{4}\).
Suy ra \(a = 1;b = 4\). Tổng \(2a + 3b = 2.1 + 3.4 = 14\).
Cho tứ diện \(ABCD\). Trên cạnh \(AC,AD\) lấy lần lượt các điểm \(M,N\) sao cho \(AM = \frac{1}{3}AC\), \(AN = 2ND\). Gọi \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\). Biết tỉ số \(\frac{{ID}}{{IC}} = \frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị \(a + 2b\) bằng bao nhiêu?
Trả lời:9
Gọi \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(MN\) và đường thẳng \(CD\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}I \in MN\\I \in CD \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow MN \cap \left( {BCD} \right) = \left\{ I \right\}\).
Kẻ \(DE//AC\left( {E \in IM} \right)\).
Do \(DE//CM\) nên \(\frac{{ID}}{{IC}} = \frac{{ED}}{{MC}} \Rightarrow \frac{{ID}}{{IC}} = \frac{{ED}}{{2AM}}\) (1).
Do \(DE//AM\) nên \(\frac{{ED}}{{AM}} = \frac{{ND}}{{NA}} = \frac{1}{2}\) (2).
Từ (1) và (2) ta có \[\frac{{ID}}{{IC}} = \frac{1}{4}\]. Vậy \(a + 2b = 9\).
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng 10. \(M\) là điểm trên \(SA\) sao cho \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{2}{3}\). Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) song song với \(AB\) và \(CD\), cắt hình chóp theo một tứ giác. Hãy xác định diện tích của tứ giác đó (làm tròn tới hàng phần mười).
Trả lời:44,4
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB//\left( \alpha \right)\\CD//\left( \alpha \right)\end{array} \right.\).
Giả sử \(\left( \alpha \right)\) cắt các mặt bên \(\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right),\left( {SCD} \right),\left( {SDA} \right)\) lần lượt tại các điểm \(N,P,Q\) với \(N \in SB,P \in SC,Q \in SD\). Suy ra \(\left( \alpha \right) \equiv \left( {MNPQ} \right)\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {MNPQ} \right) \cap \left( {SAB} \right) = MN\\AB//\left( {MNPQ} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MN//AB \Rightarrow \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{2}{3}\).
Tương tự, ta có \(\frac{{NP}}{{BC}} = \frac{{PQ}}{{CD}} = \frac{{QM}}{{DA}} = \frac{2}{3}\) và \(MNPQ\) là hình vuông.
Suy ra \({S_{MNPQ}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}.{S_{ABCD}} = \frac{4}{9}.{S_{ABCD}} = \frac{4}{9}.10.10 = \frac{{400}}{9} \approx 44,4\).
