Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4
21 câu hỏi
Cho số tự nhiên \(n\). Xét mệnh đề: “Nếu số tự nhiên \(n\) có chữ số tận cùng bằng 4 thì \(n\) chia hết cho 2”. Mệnh đề đảo của mệnh đề đó là
Nếu số tự nhiên \(n\) chia hết cho 2 thì \(n\) có chữ số tận cùng bằng 4.
Nếu số tự nhiên \(n\) có chữ số tận cùng bằng 4 thì \(n\) không chia hết cho 2.
Nếu số tự nhiên \(n\) chia hết cho 2 thì \(n\) không có chữ số tận cùng bằng 4.
Nếu số tự nhiên \(n\) không chia hết cho 2 thì \(n\) có chữ số tận cùng bằng 4.
Mệnh đề đảo của mệnh đề trên là “Nếu số tự nhiên \(n\) chia hết cho 2 thì \(n\) có chữ số tận cùng bằng 4”. Chọn A.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {0;2} \right\}\). Khẳng định nào sau đây sai?
\(\left\{ 0 \right\} \subset A\).
\(2 \subset A\).
\(\emptyset \subset A\).
\(0 \in A\).
\(2 \in A\). Chọn B.
Cho \(X = \left[ { - 1;3} \right];Y = \left( {2;5} \right)\). Tập hợp nào sau đây bằng \(X \cup Y\)?
\(\left( {2;3} \right]\).
\(\left[ { - 1;5} \right)\).
\(\left( {3;5} \right)\).
\(\left[ { - 1;2} \right]\).
\(X \cup Y = \left[ { - 1;5} \right)\). Chọn B.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|{x^2} - 2x = 0} \right\}\), \(B = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|1 < \left| x \right| \le 2} \right\}\). Tìm tập hợp \(A\backslash B\).
\(A\backslash B = \left\{ { - 2;0;2} \right\}\).
\(A\backslash B = \left\{ 2 \right\}\).
\(A\backslash B = \left\{ 0 \right\}\).
\(A\backslash B = \left\{ { - 2} \right\}\).
Ta có \({x^2} - 2x = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A = \left\{ {0;2} \right\}\).
Ta có \(1 < \left| x \right| \le 2\) Þ \(x \in \left\{ { - 2;2} \right\}\) \( \Rightarrow B = \left\{ { - 2;2} \right\}\).
Do đó \(A\backslash B = \left\{ 0 \right\}\). Chọn C.
Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(2x - 3y - 6z < 0\).
\(x - xy + 1 \ge 0\).
\(\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) > 2\).
\(x - 3y \le 2\).
\(x - 3y \le 2\) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chọn D
Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 1 > 0\\5x - y + 4 < 0\end{array} \right.\)?
\(\left( { - 1;4} \right)\).
\(\left( { - 2;4} \right)\).
\(\left( {0;0} \right)\).
\(\left( { - 3;4} \right)\)
Thay tọa độ điểm \(\left( {0;0} \right)\) vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 > 0\\4 < 0\end{array} \right.\) (vô lý).
Do đó \(\left( {0;0} \right)\) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Chọn C.
Chọn khẳng định đúng
\(\cos 135^\circ = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\cos 135^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\cos 135^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\cos 135^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\cos 135^\circ = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\). Chọn A.
Cho tam giác ABC có AB = 10, AC = 9, \(\cos \widehat {BAC} = \frac{3}{5}\). Tính diện tích S của tam giác ABC?
\(S = 32\).
\(S = 36\).
\(S = 40\).
\(S = 27\).
Có \(S = \frac{1}{2}.AB.AC.\cos \widehat {BAC} = \frac{1}{2}.10.9.\frac{3}{5} = 27\). Chọn D.
Phát biểu nào sau đây là sai?
Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng.
Vectơ – không cùng phương với mọi vectơ.
Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương.
Vectơ là đoạn thẳng có hướng.
Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng. Chọn A.
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Hỏi vectơ \(\overrightarrow {AO} - \overrightarrow {DO} \) bằng vectơ nào trong các vectơ sau
\(\overrightarrow {BA} \).
\(\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {AO} - \overrightarrow {DO} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \). Chọn B.
Cho tam giác ABC, lấy điểm I trên cạnh AC sao cho \(\overrightarrow {AC} - 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \). Biểu diễn \(\overrightarrow {BI} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {BI} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {BI} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {BI} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {BI} = - \overrightarrow {BA} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AI} = - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \)\( = - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\)\( = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)\( = \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \). Chọn C.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho tạo độ các điểm \(A\left( {2; - 3} \right),B\left( { - 3;4} \right),C\left( {1; - 2} \right)\). Điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow {BM} = 2\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AC} \) thì tọa độ điểm M là
\(M\left( { - 4;7} \right)\).
\(M\left( {4; - 7} \right)\).
\(M\left( { - 10;15} \right)\).
\(M\left( {10; - 15} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 5;7} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {AB} = \left( { - 10;14} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;1} \right) \Rightarrow - 3\overrightarrow {AC} = \left( {3; - 3} \right)\).
Suy ra \(2\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AC} = \left( { - 7;11} \right)\).
Gọi \(M\left( {x;y} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {BM} = \left( {x + 3;y - 4} \right)\).
Mà \(\overrightarrow {BM} = 2\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AC} \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 = - 7\\y - 4 = 11\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 10\\y = 15\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 10;15} \right)\). Chọn C.
Cho DABC cân tại A có AB = a và \(\widehat A = 30^\circ \). M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
a) \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BC} \).
b) \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {MN} } \right|\).
c)\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 30^\circ \).
d) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{a^2}\).
a) Ta có MN là đường trung bình của DABC nên \(MN = \frac{1}{2}BC\).
Lại có \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \).
b) \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {MN} } \right|\).
c) \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 30^\circ \).
d) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)\( = a.a.\cos 30^\circ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Trong một tuần, nhiệt độ cao nhất trong ngày (đơn vị °C) tại hai thành phố Hà Nội và Điện Biên như sau:
Hà Nội | 23 | 25 | 28 | 28 | 32 | 33 | 35 |
Điện Biên | 16 | 24 | 26 | 25 | 26 | 27 | 28 |
Khi đó:
a) Khoảng biến thiên nhiệt độ của mẫu số liệu Hà Nội bằng 12.
b) Khoảng biến thiên nhiệt độ trong tuần của Hà Nội và Điện Biên là giống nhau.
c) Trung vị của mẫu số liệu Điện Biên bằng 25.
d) Từ kết quả phương sai của hai mẫu số liệu ta nhận thấy nhiệt độ trong một tuần của Hà Nội đồng đều hơn ở Điện Biên.
a) Khoảng biến thiên nhiệt độ của mẫu số liệu Hà Nội bằng 35 – 23 = 12.
b) Khoảng biến thiên nhiệt độ của mẫu số liệu Điện Biên bằng 28 – 16 = 12.
Suy ra khoảng biến thiên nhiệt độ trong tuần của Hà Nội và Điện Biên là giống nhau.
c) Sắp xếp lại mẫu số liệu Điện Biên theo thứ tự không giảm:
16 24 25 26 26 27 28.
Suy ra trung vị của mẫu số liệu Điện Biên bằng 26.
d) Nhiệt độ trung bình của Hà Nội là \(\frac{{23 + 25 + 28 + 28 + 32 + 33 + 35}}{7} = \frac{{204}}{7}\).
Phương sai của mẫu số liệu Hà Nội là
\(\frac{1}{7}\left[ {{{\left( {23 - \frac{{204}}{7}} \right)}^2} + {{\left( {25 - \frac{{204}}{7}} \right)}^2} + {{\left( {28 - \frac{{204}}{7}} \right)}^2} + {{\left( {28 - \frac{{204}}{7}} \right)}^2} + {{\left( {32 - \frac{{204}}{7}} \right)}^2} + {{\left( {33 - \frac{{204}}{7}} \right)}^2} + {{\left( {35 - \frac{{204}}{7}} \right)}^2}} \right] = \frac{{804}}{{49}}\)Nhiệt độ trung bình của Điện Biên là \(\frac{{16 + 24 + 26 + 25 + 26 + 27 + 28}}{7} = \frac{{172}}{7}\).
Phương sai của mẫu số liệu Điện Biên là
\(\frac{1}{7}\left[ {{{\left( {16 - \frac{{172}}{7}} \right)}^2} + {{\left( {24 - \frac{{172}}{7}} \right)}^2} + {{\left( {26 - \frac{{172}}{7}} \right)}^2} + {{\left( {25 - \frac{{172}}{7}} \right)}^2} + {{\left( {26 - \frac{{172}}{7}} \right)}^2} + {{\left( {27 - \frac{{172}}{7}} \right)}^2} + {{\left( {28 - \frac{{172}}{7}} \right)}^2}} \right] = \frac{{670}}{{49}}\)
Vì \(\frac{{670}}{{49}} < \frac{{804}}{{49}}\) nên nhiệt độ trong một tuần của Điện Biên đồng đều hơn Hà Nội.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Tính \(\tan 45^\circ + \cot 135^\circ \)
\(\tan 45^\circ + \cot 135^\circ \)\( = \tan 45^\circ - \cot 45^\circ \)\( = 1 - 1 = 0\).
Trả lời: 0.
Cho tam giác ABC có AB = 4, BC = 7, AC = 9. Tính diện tích tam giác ABC (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)
Nửa chu vi tam giác ABC là \(p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{4 + 7 + 9}}{2} = 10\).
Diện tích của tam giác ABC là \(S = \sqrt {p\left( {p - 4} \right)\left( {p - 7} \right)\left( {p - 9} \right)} = \sqrt {10.6.3.1} = 6\sqrt 5 \approx 13,4\).
Trả lời: 13,4.
Cho hình thoi ABCD tâm O, \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Gọi M là trung điểm AD và G là trọng tâm của tam giác ABC. Biết \(\overrightarrow {GM} = \frac{m}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{n}{6}\overrightarrow {BC} \). Tính tổng \(m + n\).
Gọi N là trung điểm của BC.
Ta có \(\overrightarrow {GM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GD} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {GA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {GD} \)\( = - \frac{1}{2}.\frac{2}{3}\overrightarrow {AN} + \frac{1}{2}.\frac{2}{3}\overrightarrow {BD} \)\( = - \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)\)
\( = - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)\( = \frac{1}{6}\overrightarrow {BA} - \frac{1}{6}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)\( = \frac{1}{6}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{6}\overrightarrow {BA} - \frac{1}{6}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)
\( = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{6}\overrightarrow {BC} \).
Suy ra \(m = 2;n = 1\). Do đó \(m + n = 3\).
Trả lời: 3.
Sau khi học xong bài “Hệ thức lượng trong tam giác” giáo viên yêu cầu học sinh thực hành đo chiều cao của dãy nhà học 3 tầng. Bạn An đo được chiều cao của dãy nhà là 9,6 m. Sai số tương đối của phép đo là bao nhiêu phần trăm, biết chiều cao thực tế của dãy nhà là 10 m?
Gọi chiều cao thực tế của dãy nhà là \(a\).
Sai số tuyệt đối của phép đo là \({\Delta _a} = \left| {10 - 9,6} \right| = 0,4\).
Sai số tương đối của phép đo là \({\delta _a} = \frac{{{\Delta _a}}}{{\left| a \right|}} = \frac{{0,4}}{{10}} = 4\% .\)
Trả lời: 4.
Một hộ nông dân dự định trồng cây đào và cây bưởi trên diện tích 4 ha. Trên diện tích mỗi ha, nếu trồng đào thì cần 10 công và thu 2 triệu đồng, nếu trồng bưởi thì cần 15 công và thu 2,5 triệu đồng. Số tiền nhiều nhất mà hộ nông dân thu được là bao nhiêu triệu đồng, biết rằng tổng số công không quá 45 công?
Gọi \(x,y\left( {x,y \ge 0} \right)\) lần lượt là diện tích trồng đào và diện tích trồng bưởi mà hộ nông dân trồng.
Theo đề ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 4\\10x + 15y \le 45\end{array} \right.\).
Số tiền thu được là \(F = 2x + 2,5y\) (triệu đồng).
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = 2x + 2,5y\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OABC kể cạnh của tứ giác (phần gạch chéo) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;3} \right),B\left( {3;1} \right),C\left( {4;0} \right)\).
Ta có \(O\left( {0;0} \right)\) thì \(F = 0\).
Ta có \(A\left( {0;3} \right)\) thì \(F = 7,5\).
Ta có \(B\left( {3;1} \right)\) thì \(F = 8,5\).
Ta có \(C\left( {4;0} \right)\) thì F = 8.
Do đó để số tiền thu được lớn nhất là 8,5 triệu đồng.
Gia đình An dự định kéo đường dây điện thành một hình tròn ngoại tiếp sân chơi hình tam giác có độ dài các cạnh là 20 m, 28 m, 32 m. Độ dài đường dây điện ít nhất nhà An cần dùng là bao nhiêu mét?
Có chu vi của tam giác là 20 + 28 + 32 = 80.
Suy ra nửa chu vi tam giác là p = 40.
Diện tích tam giác ABC có \(S = \sqrt {40\left( {40 - 20} \right)\left( {40 - 28} \right)\left( {40 - 32} \right)} = 160\sqrt 3 \).
Lại có diện tích tam giác là \(S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{20.28.32}}{{4.160\sqrt 3 }} = \frac{{28\sqrt 3 }}{3}\).
Chu vi hình tròn ngoại tiếp hình tam giác là \(2\pi R = \frac{{2\pi .28\sqrt 3 }}{3} \approx 102\) m.
Vậy độ dài đường dây điện ít nhất nhà An cần dùng là 102 m.
Một chiếc xe được kéo bởi một lực \(\overrightarrow F \) có độ lớn 50 N, di chuyển theo quãng đường từ A đến B có chiều dài 200 m. Cho biết góc hợp bởi lực \(\overrightarrow F \) và \(\overrightarrow {AB} \) bằng 30° và lực \(\overrightarrow F \) được phân tích thành hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) (tham khảo hình vẽ). Tính công sinh ra bởi lực \(\overrightarrow {{F_2}} \).
Đặt \(\overrightarrow F = \overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {AM} \).
Khi đó AMNP là hình bình hành mà \(AM \bot AP\) nên AMNP là hình chữ nhật.
Ta có AN = 50; \(AM = AN.\cos 30^\circ = 50.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 25\sqrt 3 \); \(AP = MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}} = 25\).
Lực \(\overrightarrow {{F_2}} \) có độ lớn \({F_2} = 25\sqrt 3 \)N và tạo với phương dịch chuyển góc 0° nên công sinh ra là \(A = {F_2}.AB.\cos 0^\circ = 25\sqrt 3 .200.1 = 5000\sqrt 3 \) J.
