Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 8

Đáp án đúng là: B

Phát biểu “Bất phương trình \(3x + 2 < 0\) có phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn không?” không phải là mệnh đề vì đây là câu hỏi, không khẳng định tính đúng sai.

Đáp án đúng là: B

Vì \(n \in \mathbb{N}\) nên ta xét lần lượt các số tự nhiên \(n\) như sau:

+ Với \(n = 0\), ta có \(x = 7 - 0 = 7\).

+ Với \(n = 1\), ta có \(x = 7 - 1 = 6\).

+ Với \(n = 2\), ta có \(x = 7 - 2 = 5\).

+ Với \(n = 3\), ta có \(x = 7 - 3 = 4\).

+ Với \(n = 4\), ta có \(x = 7 - 4 = 3\).

+ Với \(n = 5\), ta có \(x = 7 - 5 = 2\).

+ Với \(n = 6\), ta có \(x = 7 - 6 = 1\).

+ Với \(n = 7\), ta có \(x = 7 - 7 = 0\).

+ Với \(n = 8\), ta có \(x = 7 - 8 =  - 1\).

Tiếp tục như trên, ta nhận được các giá trị của \(x\) tiếp theo là số nguyên âm, mà\(x \in \mathbb{N}\), do đó các giá trị \(x\) thỏa mãn tập hợp \(E\) là 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1; 0.

Vậy \(E = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7} \right\}\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \(A \cap B = \left[ { - 4;\,1} \right) \cup \left[ { - 2;\,\,3} \right] = \left[ { - 4;\,\,3} \right]\).

Suy ra \({C_\mathbb{R}}\left( {A \cup B} \right) = \mathbb{R}\backslash \left( {A \cup B} \right) = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: A

Đổi 4,5 lít = 4 500 ml.

Pha \(x\) lít nước cam loại 1 cần \(900x\) ml nước cốt cam, pha \(y\) lít nước cam loại 2 cần \(850y\) ml nước cốt cam. Do đó, pha \(x\) lít nước cam loại 1 và \(y\) lít nước cam loại 2 cần \(900x + 850y\) ml nước cốt cam, mà Hồng có 4,5 lít nước cam nên \(900x + 850y \le 4\,\,500\) hay \(18x + 17y \le 90\).

Vậy bất phương trình mô tả số lít nước cam loại 1 và loại 2 mà bạn Hồng có thể pha chế được là \(18x + 17y \le 90\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \( - 2 + 2 \cdot \left( { - 5} \right) =  - 12 < 5\) nên cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 5} \right)\) không thỏa mãn bất phương trình thứ nhất trong hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y > 5\\2x - 5y < 9\end{array} \right.\).  Do đó, cặp số này không là nghiệm của hệ trên.

Đáp án đúng là: A

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có \(\widehat A = 30^\circ \), suy ra \(\widehat C = 90^\circ  - \widehat A = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ \).

Khi đó \(\sin C = \sin 60^\circ  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ  \Rightarrow \widehat A = 180^\circ  - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 77^\circ \).

Áp dụng định lí sin trong \(\Delta ABC\) ta có:

\[\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin A}}{{\sin C}} = \frac{{9 \cdot \sin 77^\circ }}{{\sin 48^\circ }} \approx 11,8\].

Đáp án đúng là: C

 

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD\), do đó vectơ \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {CD} \).

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án, ta có:

+) \[\overrightarrow {CA}  - \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CB}  \ne \overrightarrow {BC} \] , do đó đáp án A sai.

+) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD}  \ne \overrightarrow {BC} \) (với điểm \(D\) thỏa mãn \(ABDC\) là hình bình hành), do đó đáp án B sai.

+) \[\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CB} \], do đó đáp án C đúng.

+) \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {CA}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CA}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {BA} \) (vô lí do \(A,\,\,B,\,\,C\) phân biệt), do đó đáp án D sai.

Đáp án đúng là: A

Xét chữ nhật\(ABCD\) có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \) (áp dụng quy tắc hình bình hành).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\).

Từ định lí Pythagore trong tam giác vuông \(ABC\), suy ra

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}}  = a\sqrt {13} \).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[2\overrightarrow {a\,}  - \overrightarrow b  = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 2\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) = \left( { - 1} \right)\overrightarrow x  =  - \overrightarrow x \], do đó vectơ \[2\overrightarrow {a\,}  - \overrightarrow b \] ngược hướng với vectơ \[\overrightarrow {x\,} \]. Đáp án A sai.

Lại có: \[ - \,\overrightarrow {a\,}  + \frac{1}{2}\overrightarrow b  = \frac{1}{2} \cdot \left( { - 2\,\overrightarrow {a\,}  + \overrightarrow b } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow x \], do đó vectơ \[ - \,\overrightarrow {\,a\,\,}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {\,b\,} \] cùng hướng với vectơ \[\overrightarrow {x\,} \]. Đáp án B đúng.

Đáp án C và D sai vì ta không thể biểu diễn được các vectơ \[4\,\overrightarrow {a\,}  + 2\overrightarrow {b\,} \] và \[ - \,\overrightarrow {a\,}  + \overrightarrow b \] dưới dạng \(k\overrightarrow x \). 

Đáp án đúng là: D

Do \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\) và \(AM\) là trung tuyến của tam giác \[ABC\].   

Hơn nữa, \(G\) là trọng tâm của tam giác \[ABC\] nên \(\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \).  

Do đó, \(\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM}  = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(AB = \sqrt {{{\left( { - 2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {5 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}}  = \sqrt {61} \).

Đáp án đúng là: B

\(P\) là trung điểm của \(MN\) khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{5 + x}}{2} = x - 4\\\frac{{3 + y}}{2} = y + 1\end{array} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 + x = 2x - 8\\3 + y = 2y + 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 13\\y = 1\end{array} \right.\).

Vậy \(x = 13;\,\,y = 1\).

Đáp án đúng là: A

Vì hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng nên \(\left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 180^\circ \).

Do đó, \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 2 \cdot 8 \cdot \cos 180^\circ  =  - 16\).

Đáp án đúng là: C

Vì hình vuông \(ABCD\) có tâm \(O\) nên hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường.

Phương án  A: \(\overrightarrow {OA}  \bot \overrightarrow {OB} \) suy ra \(\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB}  = 0\) nên đáp án A đúng, loại A.

Phương án  B: \(\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OC}  =  - OA \cdot OC =  - O{A^2}\)

và \(\frac{1}{2}\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {AC}  =  - \frac{1}{2} \cdot OA \cdot AC =  - \frac{1}{2}OA \cdot 2OA =  - O{A^2}\).

Suy ra \(\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OC}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {AC}  =  - O{A^2}\) nên đáp án B đúng, loại B.

Phương án  C và D:  \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = AB \cdot AC \cdot \cos 45^\circ  = AB \cdot AB\sqrt 2  \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}\).

\(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD}  =  - AB \cdot DC =  - A{B^2}\), \(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AD}  = AC \cdot AD \cdot \cos 45^\circ  = AB\sqrt 2  \cdot AB \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  \ne \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD} \), \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AD} \) nên chọn C và loại D.

Đáp án đúng là: A

Vì hàng lớn nhất của độ chính xác \(d = 400\) là hàng trăm, nên ta quy tròn \(a\) đến hàng nghìn.

Vậy số quy tròn của số \(a\) là 20 007 000.

Đáp án đúng là: A

Mẫu số liệu gồm 9 số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Do đó, trung vị của mẫu số liệu là số ở vị trí thứ 5 nên \({M_e} = 47\).

Đáp án đúng là: C

Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 100, giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 75.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là \(R = 100 - 75 = 25\).

Đáp án đúng là: D

Số trung bình của mẫu số liệu đã cho ở Câu 19 là

\(\overline X  = \frac{{80 + 90 + 95 + 100 + 90 + 80 + 75 + 90 + 80 + 85}}{{10}} = 86,5\).

Phương sai của mẫu số liệu đã cho ở Câu 19 là

\({s^2} = \frac{{{{\left( {80 - 86,5} \right)}^2} + {{\left( {90 - 86,5} \right)}^2} + ... + {{\left( {80 - 86,5} \right)}^2} + {{\left( {85 - 86,5} \right)}^2}}}{{10}} = 55,25\).

Gọi \(A,\,B,\,C,M,\,H\) lần lượt là đỉnh tháp viễn thông, điểm trên sườn dốc cách chân tháp 35 m, chân tháp viễn thông, chân sườn dốc, hình chiếu của điểm A lên phương ngang như hình vẽ sau

Khi đó ta có: \(AC = 48\,\)m, \(BC = 35\)m, \(\widehat {CMH} = 25^\circ \), \(\widehat {CHM} = 90^\circ \).

Suy ra \(\widehat {MCH} = 90^\circ  - 25^\circ  = 65^\circ \).

Ta có: \(\widehat {ACB} = \widehat {MCH} = 65^\circ \) (2 góc đối đỉnh).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\) ta có

\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC \cdot BC \cdot \cos \widehat {ACB}\)\( = {48^2} + {35^2} - 2 \cdot 48 \cdot 35 \cdot \cos 65^\circ  \approx 2\,\,109\)

Suy ra \(AB \approx 46\) (m).

Vậy chiều dài của sợi dây cáp đó khoảng 46 m.

+ Ta có \[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1} \right) \Rightarrow 3\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 3} \right)\]

\[\overrightarrow {AC}  = \left( {3;2} \right) \Rightarrow  - 4\overrightarrow {AC}  = \left( { - 12; - 8} \right)\]

\[\overrightarrow {CE}  = 3\overrightarrow {AB}  - 4\overrightarrow {AC}  = \left( { - 15; - 11} \right)\]

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} - {x_C} =  - 15\\{y_E} - {y_C} =  - 11\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} - 4 =  - 15\\{y_E} - 5 =  - 11\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} =  - 11\\{y_E} =  - 6\end{array} \right..\) Vậy \(E\left( { - 11; - 6} \right)\).

+ Ta có: \(\overrightarrow {AF}  = \left( {{x_F} - 1;{y_F} - 3} \right)\)

\(\overrightarrow {BF}  = \left( {{x_F} - 0;{y_F} - 2} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {BF}  = \left( {2{x_F};2{y_F} - 4} \right)\)

\(\overrightarrow {CF}  = \left( {{x_F} - 4;{y_F} - 5} \right) \Rightarrow  - 4\overrightarrow {CF}  = \left( { - 4{x_F} + 16; - 4{y_F} + 20} \right)\)

Vì \[\overrightarrow {AF}  + 2\overrightarrow {BF}  - 4\overrightarrow {CF}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \]\[\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x_F} - 1} \right) + 2{x_F} + \left( { - 4{x_F} + 16} \right) = 0\\\left( {{y_F} - 3} \right) + \left( {2{y_F} - 4} \right) + \left( { - 4{y_F} + 20} \right) = 0\end{array} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x_F} + 15 = 0\\ - {y_F} + 13 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_F} = 15\\{y_F} = 13\end{array} \right.\). Vậy \(F\left( {15;13} \right)\).

a) Ta có: \[AC \bot DB \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 0\]

\[\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right)\]

\[ = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  - A{B^2} + \overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {AB} \]

Ta lại có: \[\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {AB}  = 0\]

Và \[A{B^2} = {h^2},\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {AD}  = BC \cdot AD = ab\] .

Do đó, \[\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 0 - {h^2} + ab - 0 = ab - {h^2}\].

Vậy \[\overrightarrow {AC}  \bot \overrightarrow {BD}  \Leftrightarrow ab - {h^2} = 0\].

b) Vì \(I\) là trung điểm \(CD\) nên \[\overrightarrow {AI}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\] và \[\overrightarrow {BI}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BD} } \right)\].

Khi đó ta có: \[\widehat {AIB} = 90^\circ  \Leftrightarrow \overrightarrow {AI}  \cdot \overrightarrow {BI}  = 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BD} } \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 0\]

Mà \[\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right)\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  + {\overrightarrow {BC} ^2} = 0 + B{C^2} = {b^2}\]; \[\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  = ab - {h^2}\];

\[\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BC}  = AD \cdot BC = ab\]; \[\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD} \left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BA}  + {\overrightarrow {AD} ^2} = 0 + A{D^2} = {a^2}\].

Do đó, ta có: \[\widehat {AIB} = 90^\circ  \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - {h^2} + 2ab = 0 \Leftrightarrow a + b = h.\]

a) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

21      24      25      26      26      26      27      27      31      33.

+ Chiều dài trung bình của cá voi xanh trưởng thành là

\(\overline X  = \frac{{21 + 24 + 25 + 26 \cdot 3 + 27 \cdot 2 + 31 + 33}}{{10}} = 26,6\).

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là \(R = 33 - 21 = 12\).

+ Vì mẫu có 10 số liệu nên trung vị hay tứ phân vị thứ hai là trung bình cộng của số ở vị trí thứ 5 và 6. Do đó, \({Q_2} = \frac{{26 + 26}}{2} = 26\).

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 21 24      25      26          26. Do đó, \({Q_1} = 25\).

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 26     27      27      31          33. Do đó, \({Q_3} = 27\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 27 - 25 = 2\).

+ Phương sai mẫu số liệu là

\({s^2} = \frac{{{{\left( {21 - 26,6} \right)}^2} + {{\left( {24 - 26,6} \right)}^2} + ... + {{\left( {31 - 26,6} \right)}^2}}}{{10}} = 10,24\).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là \(s = \sqrt {{s^2}}  = \sqrt {10,24}  = 3,2\).

b) Ta có: \({Q_1} - 1,5{\Delta _Q} = 25 - 1,5 \cdot 2 = 22\), \({Q_3} + 1,5{\Delta _Q} = 27 + 1,5 \cdot 2 = 30\).

Mẫu số liệu đã cho có các số liệu 21 < 22, 31 > 30, 33 > 30.

Vậy mẫu số liệu có các giá trị bất thường là 21, 31, 33.