Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 7

Đáp án đúng là: C

Mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu hình thang \(ABCD\) có \(AC = BD\) thì hình thang \(ABCD\) cân” là mệnh đề “Nếu hình thang \(ABCD\) cân thì hình thang \(ABCD\) có \(AC = BD\)”.

Đáp án đúng là: B

Vì \(n \in \mathbb{N}\) nên ta xét lần lượt các số tự nhiên \(n\) như sau:

+ Với \(n = 0\), ta có \(x = 10 - {0^2} = 10\).

+ Với \(n = 1\), ta có \(x = 10 - {1^2} = 9\).

+ Với \(n = 2\), ta có \(x = 10 - {2^2} = 6\).

+ Với \(n = 3\), ta có \(x = 10 - {3^2} = 1\).

+ Với \(n = 4\), ta có \(x = 10 - {4^2} =  - 6\).

Tiếp tục như trên, ta nhận được các giá trị của \(x\) tiếp theo là số nguyên âm, mà\(x \in \mathbb{N}\), do đó các giá trị \(x\) thỏa mãn tập hợp \(E\) là 10, 9, 6, 1.

Vậy tập hợp \(E\) có 4 phần tử.

Đáp án đúng là: C

Ta có \(A \cap B = \left[ { - 4;\,1} \right) \cap \left[ { - 2;\,\,3} \right] = \left[ { - 2;\,\,1} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Gọi đường thẳng \(d\) có dạng: \(y = ax + b\).

Từ hình vẽ ta thấy đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm có tọa độ \(\left( {8;\,\,0} \right)\) và \(\left( {0;\,4} \right)\).

Khi đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 = 8a + b\\4 = 0 \cdot a + b\end{array} \right.\). Giải hệ ta được \(a =  - \frac{1}{2},\,\,b = 4\).

Do đó, đường thẳng \(d\): \(y =  - \frac{1}{2}x + 4\) hay \(d:x + 2y = 8\).

Ta có điểm \(O\left( {0;\,0} \right)\) thuộc nửa mặt phẳng không bị gạch và \(0 + 2 \cdot 0 = 0 < 8\).

Vậy nửa mặt phẳng không bị gạch (kể cả đường thẳng \(d\)) ở hình trên là miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y \le 8\).

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(2 \cdot 1 - 3 \cdot \left( { - 2} \right) = 8 > 2\) nên cặp số \(\left( {1;\,\, - 2} \right)\) không thỏa mãn bất phương trình thứ nhất trong hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y \le 2\\ - x + y \ge  - 1\end{array} \right.\).  Do đó, cặp số này không là nghiệm của hệ trên.

Đáp án đúng là: D

Xét từng đáp án:

+ Đáp án A: \(\sin 45^\circ  = \cos 45^\circ  = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), nên đáp án A đúng.

+ Đáp án B: \(\cos 45^\circ  = \frac{{\sqrt 2 }}{2},\,\sin 135^\circ  = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \cos 45^\circ  = \sin 135^\circ \), nên đáp án B đúng.

+ Đáp án C: \(\cos 30^\circ  = \cos \left( {180^\circ  - 150^\circ } \right) =  - \cos 150^\circ \) (hai góc bù nhau), nên đáp án C đúng.

+ Đáp án D: \[\sin 30^\circ  = \frac{1}{2},\,\cos 150^\circ  =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \sin 30^\circ  \ne \cos 150^\circ \], nên đáp án D sai.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí côsin trong \(\Delta ABC\) ta có:

\[\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2 \cdot AC \cdot BC}} = \frac{{{9^2} + {4^2} - {7^2}}}{{2 \cdot 9 \cdot 4}} = \frac{2}{3}\].

Đáp án đúng là: B

Vectơ có điểm cuối là \(M\), điểm đầu là \(N\) được kí hiệu là \(\overrightarrow {NM} \).

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án, ta có:

+) \[\overrightarrow {CA}  - \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CB}  \ne \overrightarrow {BC} \] , do đó đáp án A sai.

+) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD}  \ne \overrightarrow {BC} \) (với điểm \(D\) thỏa mãn \(ABDC\) là hình bình hành), do đó đáp án B sai.

+) \[\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CB} \], do đó đáp án C đúng.

+) \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {CA}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CA}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {BA} \) (vô lí do \(A,\,\,B,\,\,C\) phân biệt), do đó đáp án D sai.

Đáp án đúng là: A

Xét hình bình hành \(ABCD\) có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \).

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {BM}  - \overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \Leftrightarrow AM = AC\).

Do \(A,\,\,C\) cố định nên \(AC\) cố định là một số thực.

Vậy \(M\) là điểm thuộc đường tròn tâm \(A\) bán kính \(AC\).

Đáp án đúng là: C

Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \[ABC\] nên ta có \[GA = 2GI\], \(IG = \frac{1}{3}IA\).

Mặt khác hai vectơ \[\overrightarrow {GA} \] và \[\overrightarrow {GI} \] ngược hướng nên \[\overrightarrow {GA}  =  - 2\overrightarrow {GI} \], do đó đáp án A sai.

Lại có hai vectơ  \(\overrightarrow {IG} \) và \(\overrightarrow {IA} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {IG}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {IA} \), do đó đáp án B sai.

Vì \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\) nên \(\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \).

Ta có: \[\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \left( {\overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {IC} } \right) = 2\overrightarrow {GI}  + \left( {\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC} } \right) = 2\overrightarrow {GI} \], do đó đáp án C đúng.

Ta có: \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  =  - \overrightarrow {GA} \) (do \(G\) là trọng tâm của tam giác \[ABC\]), do đó đáp án D sai.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  + 2\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AB} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AC} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 6\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {AC}  = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AI}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3 - 1;\, - 6 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {2;\,\, - 4} \right)\).

Đáp án đúng là: A

\(G\) là trọng tâm của tam giác \[ABC\] khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + 4 + x}}{3} = 2x\\\frac{{3 + \left( { - 2} \right) + \left( {y - 1} \right)}}{3} = y + 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 + x = 6x\\y = 3y + 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 3\end{array} \right.\).

Vậy \(x = 1;\,\,y =  - 3\).

Đáp án đúng là: B

Vì hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng nên \(\left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 0^\circ \).

Do đó, \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 5 \cdot 3 \cdot \cos 0^\circ  = 15\).

Đáp án đúng là: A

Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = 0 \Leftrightarrow 2m - 3\left( {m - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow  - m + 6 = 0 \Leftrightarrow m = 6\).

Đáp án đúng là: B

Vì hàng lớn nhất của độ chính xác \(d = 0,001\) là hàng phần nghìn, nên ta quy tròn \(a\) đến hàng phần trăm.

Vậy số quy tròn của số \(a\) là 1,26.

Đáp án đúng là: B

Mẫu số liệu gồm 9 số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Do đó, trung vị của mẫu số liệu là số ở vị trí thứ 5 nên \({M_e} = 7\).

Đáp án đúng là: A

Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 95, giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 30.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là \(R = 95 - 30 = 65\).

Đáp án đúng là: B

Phương sai của mẫu số liệu đã cho là \({s^2} = {\left( {2,5} \right)^2} = 6,25\).

Gọi \(A,\,B,\,\,C\) lần lượt là vị trí trạm quan sát tại Hà Nội, tại Điện Biên và vị trí vệ tinh khi nằm giữa hai trạm trên. Khi đó ta có \(\widehat A = 40^\circ ,\,\widehat B = 85^\circ ,\,AB = 487\) km.

Khoảng cách giữa vệ tinh và trạm quan sát Điện Biên lúc này chính là độ dài \(BC\).

Tam giác \(ABC\) có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \), suy ra \(\widehat C = 180^\circ  - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ  - \left( {40^\circ  + 85^\circ } \right) = 55^\circ \)

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin A}}{{\sin C}} = \frac{{487 \cdot \sin 40^\circ }}{{\sin 55^\circ }} \approx 382,15\) (km).

Vậy vệ tinh cách trạm quan sát Điện Biên khoảng 382,15 km.

Do \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.{\rm{  }}\left( * \right)\) 

Giả sử \(H\left( {a;\,\,b} \right)\), khi đó: \(\overrightarrow {AH}  = \left( {a - 1;b - 2} \right),\overrightarrow {BH}  = \left( {a + 1;b + 1} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( {3;0} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {1; - 3} \right)\)

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 1} \right).3 + \left( {b - 2} \right).0 = 0\\\left( {a + 1} \right).1 + \left( {b + 1} \right).\left( { - 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 0\\a + 1 - 3b - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\ - 3b - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

Vậy, \(H\left( {1; - \frac{1}{3}} \right)\).

Theo giả thiết: \[\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \,\,\,\left( 1 \right)\]

Ta có: \[\frac{{BE}}{{EC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \overrightarrow {BE}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \].

Khi đó, \[\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \,\,\,\left( 2 \right)\]

Ta có: \[\frac{{BF}}{{FC}} = \frac{4}{1} \Rightarrow \overrightarrow {BF}  = \frac{4}{5}\overrightarrow {BC} \]

Khi đó, \[\overrightarrow {AF}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BF}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{4}{5}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{4}{5}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB}  + \frac{4}{5}\overrightarrow {AC} \,\,\left( 3 \right)\]

Mà \(A,\,\,K,\,E\) thẳng hàng nên \[\overrightarrow {AK}  = m\overrightarrow {AE} \,\,\left( 4 \right)\]

\(D,\,K,\,F\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {DK}  = n\overrightarrow {DF} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AK}  = n\left( {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AF} } \right)\)

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AK}  = n\overrightarrow {AF}  + \left( {1 - n} \right)\overrightarrow {AD} \,\,\,\left( 5 \right)\]

Từ \[\left( 2 \right)\] và \[\left( 4 \right)\] suy ra: \[\overrightarrow {AK}  = \frac{3}{4}m\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}m\overrightarrow {AC} \,\,\,\left( 6 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\], \[\left( 3 \right)\] và \[\left( 5 \right)\] suy ra: \[\overrightarrow {AK}  = n\left[ {\frac{1}{5}\overrightarrow {AB}  + \frac{4}{5}\overrightarrow {AC} } \right] + \left( {1 - n} \right)\frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {AK}  = \left( {\frac{3}{5} - \frac{{2n}}{5}} \right)\overrightarrow {AB}  + \frac{{4n}}{5}\overrightarrow {AC} \,\,\,\left( 7 \right)\]

Do hai vectơ \[\overrightarrow {AB} \], \[\overrightarrow {AC} \] không cùng phương nên từ \[\left( 6 \right)\],\[\left( 7 \right)\] ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3m}}{4} = \frac{3}{5} - \frac{{2n}}{5}\\\frac{m}{4} = \frac{{4n}}{5}\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow \frac{1}{5} - \frac{{2n}}{{15}} = \frac{{4n}}{5} \Leftrightarrow n = \frac{3}{{14}}\]

Suy ra \[\overrightarrow {DK}  = \frac{3}{{14}}\overrightarrow {DF}  \Rightarrow \frac{{DK}}{{DF}} = \frac{3}{{14}} \Rightarrow \frac{{KD}}{{KF}} = k = \frac{3}{{11}}\].

Vậy \[k = \frac{3}{{11}}\].

a) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

0,5     1,8     1,8     1,9     1,9     1,9     2,0     2,1     2,2     2,4.

+ Khối lượng trung bình của gà ri trống trưởng thành là

\(\overline X  = \frac{{0,5 + 1,8 \cdot 2 + 1,9 \cdot 3 + 2,0 + 2,1 + 2,2 + 2,4}}{{10}} = 1,85\).

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là \(R = 2,4 - 0,5 = 1,9\).

+ Vì mẫu có 10 số liệu nên trung vị hay tứ phân vị thứ hai là trung bình cộng của số ở vị trí thứ 5 và 6. Do đó, \({Q_2} = \frac{{1,9 + 1,9}}{2} = 1,9\).

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 0,5   1,8   1,8    1,9          1,9. Do đó, \({Q_1} = 1,8\).

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 1,9    2,0     2,1     2,2          2,4. Do đó, \({Q_3} = 2,1\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 2,1 - 1,8 = 0,3\).

+ Phương sai mẫu số liệu là

\({s^2} = \frac{{{{\left( {0,5 - 1,85} \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {1,8 - 1,85} \right)}^2} + ... + {{\left( {2,4 - 1,85} \right)}^2}}}{{10}} = 0,2345\).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là \(s = \sqrt {{s^2}}  = \sqrt {0,2345}  \approx 0,4843\).

b) Ta có: \({Q_1} - 1,5{\Delta _Q} = 1,8 - 1,5 \cdot 0,3 = 1,35\), \({Q_3} + 1,5{\Delta _Q} = 2,1 + 1,5 \cdot 0,3 = 2,55\).

Mẫu số liệu đã cho có số liệu 0,5 < 1,35.

Vậy mẫu số liệu có giá trị bất thường là 0,5.