Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 2
21 câu hỏi
Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?
\(x + 2 = 5\).
Lớp 10A1 có bao nhiêu học sinh?
\({x^2} < 4\).
Số 5 là số nguyên tố.
“Số 5 là số nguyên tố” là mệnh đề. Chọn D
Liệt kê các phần tử của tập hợp \(X = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|2{x^2} - 5x + 3 = 0} \right\}\).
\(X = \left\{ {1;\frac{3}{2}} \right\}\).
\(X = \left\{ 1 \right\}\).
\(X = \left\{ 0 \right\}\).
\(X = \left\{ {\frac{3}{2}} \right\}\).
Ta có \(2{x^2} - 5x + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\x = 1\end{array} \right.\) mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x = 1\).
Do đó \(X = \left\{ 1 \right\}\). Chọn B.
Cặp số nào sau đây không là nghiệm của bất phương trình \(2x + y - 7 > 0\).
\(\left( {3;2} \right)\).
\(\left( {5; - 1} \right)\).
\(\left( {4;0} \right)\).
\(\left( { - 2;5} \right)\).
Thay tọa độ \(\left( { - 2;5} \right)\) vào bất phương trình ta được \(2.\left( { - 2} \right) + 5 - 7 = - 6 > 0\) (vô lý).
Vậy \(\left( { - 2;5} \right)\) không là nghiệm của bất phương trình \(2x + y - 7 > 0\). Chọn D.
Hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}0x + 0y > - 4\\4x + y \le 2\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 5y \ge 2\\\frac{3}{x} - y \le - 1\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^3} > 4\\2x - 5y \le 1\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 7y \le 11\\5x - y < 5\end{array} \right.\).
Hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 7y \le 11\\5x - y < 5\end{array} \right.\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chọn D.
Cho α và β là hai góc bù nhau. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\cot \alpha = \cot \beta \).
\(\cos \alpha = - \cos \beta \).
\(\sin \alpha = \sin \beta \).
\(\tan \alpha = - \tan \beta \).
α và β là hai góc bù nhau thì \(\cot \alpha = - \cot \beta \). Chọn A.
Cho tam giác ABC có \(BC = a;CA = b;AB = c\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc.\cos A\).
\({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\).
\(\frac{a}{{\cos A}} = \frac{b}{{\cos B}} = \frac{c}{{\cos C}}\).
\({b^2} = {a^2} + {c^2}\).
\({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\). Chọn B.
Phát biểu nào sau đây là sai?
Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng.
Hai vectơ cùng hướng với một vectơ khác vectơ không thì chúng cùng hướng.
Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. Chọn B.
Cho bốn điểm bất kỳ A, B, C, O. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {BA} \).
\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CO} \).
\(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \).
Ta có \(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \). Chọn C.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\overrightarrow a = 4\overrightarrow j - \overrightarrow i \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là
\(\overrightarrow a = \left( {4; - 1} \right)\).
\(\overrightarrow a = \left( { - 1; - 4} \right)\).
\(\overrightarrow a = \left( { - 1;4} \right)\).
\(\overrightarrow a = \left( { - 4;1} \right)\).
\(\overrightarrow a = 4\overrightarrow j - \overrightarrow i \) \( \Rightarrow \overrightarrow a = \left( { - 1;4} \right)\). Chọn C.
Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Khi đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) bằng
0.
\(4{a^2}\).
\(8{a^2}\).
\({a^2}\).
Vì AB ^ AC nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\). Chọn A.
Số quy tròn của số gần đúng \(a\) biết \(\overline a = 234710 \pm 200\) là
235000.
234910.
234500.
234000.
Số quy tròn của số gần đúng \(a\) là 235000. Chọn A
Khoảng tứ phân vị\({\Delta _Q}\) là
\({Q_2} - {Q_1}\).
\({Q_3} - {Q_2}\).
\({Q_3} + {Q_1}\).
\({Q_3} - {Q_1}\).
Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\). Chọn D.
Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác MNP biết \(M\left( { - 3;3} \right),N\left( { - 2; - 1} \right),P\left( {2;0} \right)\).
a) \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} \) cùng phương.
b) Chu vi tam giác MNP bằng \(2\sqrt {17} + \sqrt {34} \).
c) \({S_{\Delta MNP}} = \frac{{17}}{2}\).
d) \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NP} = 4\).
a) \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} \) không cùng phương.
b) Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {1; - 4} \right) \Rightarrow MN = \sqrt {17} \), \(\overrightarrow {MP} = \left( {5; - 3} \right) \Rightarrow MP = \sqrt {34} \), \(\overrightarrow {NP} = \left( {4;1} \right) \Rightarrow NP = \sqrt {17} \).
Chu vi tam giác MNP là \(MN + MP + NP = 2\sqrt {17} + \sqrt {34} \).
c) Ta có \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{2\sqrt {17} + \sqrt {34} }}{2}\)\( \Rightarrow S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \frac{{17}}{2}\).
d) Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {1; - 4} \right),\overrightarrow {NP} = \left( {4;1} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MP} = 4 + \left( { - 4} \right) = 0\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Thời gian chờ xe buýt (đơn vị: phút) của 13 học sinh tại một bến xe buýt được thống kê như sau:
1 | 3 | 6 | 4 | 25 | 8 | 10 | 12 | 15 | 6 | 3 | 5 | 7 |
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là 25.
b) Trung vị của mẫu số liệu là 5.
c) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là 10.
d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \({\Delta _Q} = 7,5\).
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được
1 | 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 6 | 7 | 8 | 10 | 12 | 15 | 25 |
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là R = 25 – 1 = 24.
b) Vì kích thước của mẫu số liệu là 13 nên Q2 là giá trị chính giữa của mẫu nên \({Q_2} = 6\) \( \Rightarrow {M_e} = 6\).
c) Nửa số liệu bên phải \({Q_2}\) là
7 | 8 | 10 | 12 | 15 | 25 |
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \({Q_3} = \frac{{10 + 12}}{2} = 11\).
d) Nửa số liệu bên trái Q2 là
1 | 3 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \({Q_1} = \frac{{3 + 4}}{2} = 3,5\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 11 - 3,5 = 7,5\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {MN} \) như hình vẽ bên.
Khi đó \(\overrightarrow {MN} = a\overrightarrow {AB} ,a \in \mathbb{Z}\). Tìm \(a\).
\(\overrightarrow {MN} = - 2\overrightarrow {AB} \). Suy ra \(a = - 2\).
Trả lời: −2.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|\left| {x - 1} \right| < 3} \right\}\). Có bao nhiêu tập hợp con của tập hợp A có đúng 4 phần tử?
Ta có \(\left| {x - 1} \right| < 3\)\( \Leftrightarrow - 3 < x - 1 < 3\)\( \Leftrightarrow - 2 < x < 4\) mà \(x \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow x \in \left\{ { - 1;0;1;2;3} \right\}\).
Suy ra \(A = \left\{ { - 1;0;1;2;3} \right\}\).
Các tập hợp con có đúng 4 phần tử của tập hợp A là:
\(\left\{ { - 1;0;1;2} \right\},\left\{ { - 1;0;1;3} \right\},\left\{ { - 1;0;2;3} \right\},\left\{ {0;1;2;3} \right\},\left\{ { - 1;1;2;3} \right\}\).
Vậy có 5 tập hợp con của tập hợp A có đúng 4 phần tử.
Trả lời: 5.
Cho \(\tan x = \frac{1}{2}\). Tính giá trị của biểu thức \(P = 25\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)\).
\({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x = 1 - 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\)
\( = 1 - 2\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right).{\cos ^2}x\)\( = 2{\cos ^4}x - 2{\cos ^2}x + 1\).
Khi đó \(P = 50\left( {{{\cos }^4}x - {{\cos }^2}x} \right) + 25\).
Mặt khác \({\tan ^2}x + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} \Rightarrow {\cos ^2}x = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}x}} = \frac{4}{5}\).
Suy ra \[P = 50\left( {\frac{{16}}{{25}} - \frac{4}{5}} \right) + 25 = 17\].
Trả lời: 17.
Một cơ sở chăn nuôi gia cầm tiến hành nuôi thử nghiệm giống gà đẻ trứng mới. Khi gà đã cho trứng họ tiến hành khảo sát với 20 quả được cân nặng (gam) như sau
40 | 42 | 36 | 38 | 40 | 42 | 29 | 48 | 43 | 43 |
41 | 41 | 39 | 44 | 45 | 41 | 40 | 39 | 42 | 41 |
Trong mẫu số liệu trên hãy tính tích các giá trị bất thường.
Sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm ta được
29, 36, 38, 39, 39, 40, 40, 40, 41, 41, 41, 41, 42, 42, 42, 43, 43, 44, 45, 48.
Mẫu số liệu có 20 giá trị. Do đó \({Q_1} = 39,5;{Q_2} = 41;{Q_3} = 42,5\).
Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = 42,5 - 39,5 = 3\).
Ta có \({Q_1} - 1,5{\Delta _Q} = 35;{Q_3} + 1,5{\Delta _Q} = 47\).
Suy ra các giá trị bất thường là 29 và 48.
Tích của các giá trị bất thường là 29.48 = 1392.
Trả lời: 1392.
Một nhà máy dự tính sản xuất hai loại bột cà phê hòa tan (loại I và loại II) từ 15 tấn cà phê hạt và 5 tấn hương liệu tổng hợp. Biết để sản xuất một tấn bột cà phê loại I cần 3 tấn cà phê hạt và 0,5 tấn hương liệu tổng hợp, khi bán lãi được 18 triệu đồng. Để sản xuất một tấn bột cà phê loại II cần 2 tấn cà phê hạt và 1 tấn hương liệu tổng hợp, khi bán lãi được 14 triệu đồng. Biết rằng sản phẩm của nhà máy luôn được tiêu thụ hết. Với lượng nguyên liệu như trên, nhà máy có thể thu được số tiền lãi lớn nhất là bao nhiêu triệu đồng?
Gọi \(x,y\left( {x \ge 0;y \ge 0} \right)\) lần lượt là số tấn cà phê loại I và loại II mà nhà máy sản xuất.
Theo đề ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\3x + 2y \le 15\\0,5x + y \le 5\end{array} \right.\).
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = 18x + 14y\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tứ giác OABC kể cả các cạnh (phần tô màu).
Do đó \(F = 18x + 14y\) đạt giá trị lớn nhất tại 1 trong các điểm sau \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;5} \right),B\left( {\frac{5}{2};\frac{{15}}{4}} \right),C\left( {5;0} \right)\).
Ta có \(O\left( {0;0} \right)\) thì F = 0.
\(A\left( {0;5} \right)\) thì F = 70.
\(B\left( {\frac{5}{2};\frac{{15}}{4}} \right)\) thì F = 97,5.
\(C\left( {5;0} \right)\) thì \(F = 90\).
Vậy nhà máy có thể thu lợi lớn nhất là 97,5 triệu đồng.
Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (hình vẽ). Biết AH = 4 m, HB = 20 m, \(\widehat {BAC} = 45^\circ \). Tính chiều cao của cây?
Trong tam giác AHB, ta có \(\tan \widehat {ABH} = \frac{{AH}}{{BH}} = \frac{4}{{20}} = \frac{1}{5} \Rightarrow \widehat {ABH} \approx 11,3^\circ \).
Suy ra \(\widehat {ABC} = 90^\circ - 11,3^\circ = 78,7^\circ \), \(\widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {\widehat {BAC} + \widehat {ABC}} \right) = 56,3^\circ \).
Suy ra \(AB = \sqrt {A{H^2} + H{B^2}} = 4\sqrt {26} \).
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{CB}}{{\sin A}} \Rightarrow CB = \frac{{AB.\sin A}}{{\sin C}} \approx 17,3\).
Vậy cây cao khoảng 17,3 m.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) có \(A\left( {3;4} \right),B\left( {2;1} \right),C\left( { - 1; - 2} \right)\). Tìm điểm \(M\left( {a;b} \right),b > 0\) trên đường thẳng \(BC\) sao cho \({S_{ABC}} = 3{S_{ABM}}\).
Gọi \(M\left( {a;b} \right)\). Ta có \({S_{ABC}} = 3{S_{ABM}}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}BA.BC.\sin B = 3.\frac{1}{2}.BA.BM.\sin B\)\( \Leftrightarrow BC = 3BM\)\( \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \pm 3\overrightarrow {BM} \).
Khi đó \(\overrightarrow {BM} = \left( {a - 2;b - 1} \right);\overrightarrow {BC} = \left( { - 3; - 3} \right)\).
TH1: \(\overrightarrow {BC} = 3\overrightarrow {BM} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\end{array} \right.\) (loại).
TH2: \(\overrightarrow {BC} = - 3\overrightarrow {BM} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right.\) (thỏa mãn).
Do đó \(M\left( {3;2} \right)\).
