Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 1
21 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R}:{x^2} + 1 > 0\)” là:
“\(\forall x \in \mathbb{R}:{x^2} + 1 = 0\)”.
“\(\exists x \in \mathbb{R}:{x^2} + 1 \le 0\)”.
“\(\exists x \in \mathbb{R}:{x^2} + 1 > 0\)”.
“\(\forall x \in \mathbb{R}:{x^2} + 1 < 0\)”.
Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R}:{x^2} + 1 > 0\)” là “\(\exists x \in \mathbb{R}:{x^2} + 1 \le 0\)”. Chọn B.
Cho \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x + 2 \ge 0} \right\}\), \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|5 - x \ge 0} \right\}\). Khi đó \(A\backslash B\) là
\(\left[ { - 2;5} \right]\).
\(\left[ { - 2;5} \right)\).
\(\left( {5; + \infty } \right)\).
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
Ta có \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x + 2 \ge 0} \right\} = \left[ { - 2; + \infty } \right)\); \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|5 - x \ge 0} \right\} = \left( { - \infty ;5} \right]\).
Vậy \(A\backslash B = \left( {5; + \infty } \right)\). Chọn C.
Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y \ge 3\\x \le y\\x + 3y - 20 < 0\end{array} \right.\).
\(Q\left( {4;\frac{9}{2}} \right)\).
\(M\left( {3;4} \right)\).
\(N\left( {5;5} \right)\).
\(P\left( {5;6} \right)\).
Thay tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình ta có tọa độ điểm \(Q\left( {4;\frac{9}{2}} \right)\) thỏa mãn hệ bất phương trình. Do đó điểm Q thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Chọn A.
Cho \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \). Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau:
\(\cot \alpha > 0\).
\(\tan \alpha > 0\).
\(\sin \alpha < 0\).
\(\cos \alpha < 0\).
Do \(90^\circ< \alpha< 180^\circ \) nên \(\sin \alpha> 0;\cos \alpha< 0;\tan \alpha< 0;\cot \alpha< 0\). Chọn D.
Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\frac{{\sin B}}{b} = 2R\).
\(\frac{a}{{\sin A}} = R\).
\(\cos B = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{2bc}}\).
\(\cos C = \frac{{{b^2} + {a^2} - {c^2}}}{{2ab}}\).
Do \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \) nên \(\sin \alpha > 0;\cos \alpha < 0;\tan \alpha < 0;\cot \alpha < 0\). Chọn D.
Cho tam giác ABC với AB = c, AC = b, BC = a. Biết c = 14, \(\widehat A = 60^\circ ,\widehat B = 40^\circ \). Làm tròn đến số thập phân thứ nhất thì độ lớn b là
9,14.
9,13.
9,1.
9,2.
Ta có \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 40^\circ } \right) = 80^\circ \).
Có \(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow b = \frac{{c.\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{14\sin 40^\circ }}{{\sin 80^\circ }} \approx 9,1\). Chọn C.
Cho 3 điểm phân biệt M, N, P. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ \(\overrightarrow 0 \), có điểm đầu và điểm cuối được lấy từ 3 điểm đã cho.
3.
4.
5.
6.
Các vectơ cần tìm là \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {NM} ,\overrightarrow {NP} ,\overrightarrow {PM} ,\overrightarrow {PN} \). Như vậy có 6 vectơ thỏa mãn. Chọn D.
Cho 3 điểm phân biệt A, B, C. Khi đó \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} \) bằng
\(\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {BA} \).
\(\overrightarrow {CA} \).
\(\overrightarrow {BC} \).
Theo quy tắc ba điểm ta có \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \). Chọn A.
Cho ba điểm M, N, P được xác định như hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {PN} = 4\overrightarrow {MP} \).
\(\overrightarrow {NM} = - 3\overrightarrow {MP} \).
\(\overrightarrow {MN} = 3\overrightarrow {MP} \).
\(\overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow {MP} \).
Theo đề ta có \(\overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow {MP} \). Chọn D.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( { - 2;2} \right),B\left( {3;2} \right)\). Tọa độ điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \) là
\(M\left( {8;2} \right)\).
\(M\left( {2;8} \right)\).
\(M\left( {2;1} \right)\).
\(M\left( {1;2} \right)\).
Giả sử \(M\left( {x;y} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {MA} = \left( { - 2 - x;2 - y} \right);\overrightarrow {AB} = \left( {5;0} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {AB} = \left( {10;0} \right)\).
Lại có \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {AB} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 - x = - 10\\2 - y = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 8\\y = 2\end{array} \right.\). Suy ra \(M\left( {8;2} \right)\). Chọn A.
Cho số gần đúng \(a = 8141378\) với độ chính xác \(d = 300\). Số quy tròn của số gần đúng \(a\) là
8141400.
8141000.
8141300.
8141400.
Vì độ chính xác d = 300 nên ta quy tròn đến hàng nghìn, số quy tròn của \(a\) là 8141000. Chọn B.
Cho mẫu số liệu 10; 8; 6; 2; 4. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đã cho gần với giá trị nào dưới đây?
8.
2,4.
6.
2,8.
Số trung bình .\(\overline x = \frac{{2 + 4 + 6 + 8 + 10}}{5} = 6\)
Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt {\frac{1}{5}\left[ {{{\left( {2 - 6} \right)}^2} + {{\left( {4 - 6} \right)}^2} + {{\left( {6 - 6} \right)}^2} + {{\left( {8 - 6} \right)}^2} + {{\left( {10 - 6} \right)}^2}} \right]} \approx 2,8\). Chọn D.
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, có \(AB = a\). Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và AB.
a) \(\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {EF} \).
b) \({S_{\Delta BEF}} = \frac{{{a^2}}}{8}\).
c) \(\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right| = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
d) \(\cos \left( {\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {CF} } \right) = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
a) Có E, F lần lượt là trung điểm của AC và AB nên EF là đường trung bình của DABC.
Suy ra \(EF = \frac{1}{2}CB\) mà \(\overrightarrow {EF} \) và \(\overrightarrow {CB} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {EF} \).
b) Ta có \(AE = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2};AF = BF = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\).
Có \({S_{BEF}} = \frac{1}{2}AE.BF = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^2}}}{8}\).
c) Dựng điểm M sao cho \(\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AC} \).
Dựng hình chữ nhật AMNF.
Ta có \(\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AF} + \overrightarrow {AM} } \right| = \left| {\overrightarrow {AN} } \right|\)\( = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {17} a}}{2}\).
d) Ta có \(\overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CF} \)\( = \left( {\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} } \right)\left( {\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {AC} } \right)\)\( = \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AF} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)\( = - \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AF} \)
\( = - \left| {\overrightarrow {AE} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos 0^\circ - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AF} } \right|.\cos 0^\circ \)\( = - \frac{a}{2}.a. - a.\frac{a}{2}\)\( = - {a^2}\).
Khi đó \(\cos \left( {\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {CF} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CF} }}{{\left| {\overrightarrow {BE} } \right|.\left| {\overrightarrow {CF} } \right|}} = \frac{{ - {a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} .\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{ - {a^2}}}{{\frac{5}{4}{a^2}}} = - \frac{4}{5}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Một lớp 10A của một trường THPT có điểm kiểm tra môn Toán giữa kì I vừa qua được thống kê trong bảng sau
Điểm | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Tần số | 2 | 8 | 13 | 10 | 4 | 3 |
a) Mốt của mẫu số liệu là 7.
b) Trung vị của mẫu số liệu là 7,5.
c) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là 8.
d) Phương sai của mẫu số liệu thuộc khoảng \(\left( {1;1,5} \right)\).
a) Điểm 7 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu là 7.
b) Ta có \(n = 2 + 8 + 13 + 10 + 4 + 3 = 40\).
Vì n = 40 là số chẵn nên trung vị của mẫu số liệu là \({M_e} = \frac{{7 + 7}}{2} = 7\).
c) Ta có \({Q_1} = \frac{{6 + 7}}{2} = 6,5\).
d) Có điểm trung bình của lớp là \(\overline x = \frac{{5.2 + 6.8 + 7.13 + 8.10 + 9.4 + 10.3}}{{40}} = 7.375\).
Phương sai của mẫu số liệu là \({s^2} = \frac{1}{{40}}\left[ \begin{array}{l}{\left( {5 - 7.375} \right)^2}.2 + {\left( {6 - 7.375} \right)^2}.8 + {\left( {7 - 7.375} \right)^2}.13\\ + {\left( {8 - 7.375} \right)^2}.10 + {\left( {9 - 7.375} \right)^2}.4 + {\left( {10 - 7.375} \right)^2}.3\end{array} \right] \approx 1,58\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 4.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\left( {{x^2} - 7x + 6} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 0} \right\}\). Tập hợp A có bao nhiêu phần tử?
Ta có \(\left( {{x^2} - 7x + 6} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 7x + 6 = 0\\{x^2} - 4 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 6\\x = - 2\\x = 2\end{array} \right.\).
Vậy \(A = \left\{ { - 2;1;2;6} \right\}\). Do đó tập hợp A có 4 phần tử.
Trả lời: 4.
Cho \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) với \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \). Biết \(\tan \alpha = \frac{{a - b\sqrt 2 }}{4},\left( {a;b \in \mathbb{N}} \right)\) . Tính \(a + b\).
Vì \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \) nên \(\cos \alpha < 0\).
Mà \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) \( \Rightarrow \cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Do đó \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{3}:\frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3} = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\). Suy ra \(a = 0;b = 1\). Do đó \(a + b = 1\).
Trả lời: 1.
Gia đình anh Hùng dự định trồng rau và hoa trên một mảnh đất có diện tích 8 ha. Nếu trồng 1 ha rau thì cần 20 ngày công và thu lợi 3 triệu đồng. Nếu trồng 1 ha hoa thì cần 30 ngày công và thu lợi 4 triệu đồng. Biết rằng, gia đình anh Hùng chỉ có thể sử dụng không quá 180 ngày công cho công việc trồng rau và hoa. Hỏi từ việc trồng rau và hoa nói trên, anh Hùng có thể thu về lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng?
Gọi \(x,y\left( {x \ge 0;y \ge 0} \right)\) lần lượt là số ha trồng rau và hoa.
Diện tích đất trồng canh tác không vượt quá 8 ha nên ta có \(x + y \le 8\).
Số ngày công sử dụng không vượt quá 180 ngày nên \(20x + 30y \le 180\).
Theo đề ta có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 8\\20x + 30y \le 180\end{array} \right.\).
Ta cần tìm \(x,y\) sao cho \(F = 3x + 4y\) lớn nhất.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền trong của tứ giác OABC kể cả 4 cạnh của tứ giác (phần tô màu) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {8;0} \right),B\left( {6;2} \right),C\left( {0;6} \right)\).
Với \(O\left( {0;0} \right)\) thì F = 0.
Với \(A\left( {8;0} \right)\) thì \(F = 24\).
Với \(B\left( {6;2} \right)\) thì \(F = 26\).
Với \(C\left( {0;6} \right)\) thì \(F = 24\).
Vậy lợi nhuận cao nhất mà gia đình anh Hùng thu được từ trồng rau và hoa là 26 triệu đồng.
Trả lời: 26.
Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {MC} \) cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên (tham khảo hình vẽ).
Cho biết cường độ của \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) đều bằng \(100\sqrt 2 \)N và góc \(\widehat {AMB} = 90^\circ \). Tính cường độ của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) (đơn vị N).
Gọi D là điểm để tứ giác \(MADB\) là hình vuông.
Theo bài ra ta có \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MD} } \right| = 100\sqrt 2 .\sqrt 2 = 200\) N.
Trả lời: 200.
PHẦN II. TỰ LUẬN
Trong bốn điểm \(M\left( {2; - 4} \right),N\left( { - 1;3} \right),P\left( {1;3} \right),Q\left( { - 2; - 3} \right)\). Điểm nào thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(5x - 2y \ge 2\).
Thay tọa độ điểm \(M\left( {2; - 4} \right)\) vào bất phương trình ta được \(5.2 - 2.\left( { - 4} \right) = 18 \ge 2\) (đúng).
Vậy điểm M thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Thay tọa độ điểm \(N\left( { - 1;3} \right)\) vào bất phương trình ta được \(5.\left( { - 1} \right) - 2.3 = - 11 \ge 2\)(vô lý).
Vậy điểm N không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Thay tọa độ điểm \(P\left( {1;3} \right)\) vào bất phương trình ta được \(5.1 - 2.3 = - 1 \ge 2\) (vô lý).
Vậy điểm P không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Thay tọa độ điểm \(Q\left( { - 2; - 3} \right)\) vào bất phương trình ta được \(5.\left( { - 2} \right) - 2.\left( { - 3} \right) = - 4 \ge 2\) (vô lý).
Vậy điểm Q không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Bạn An đi xe đạp từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B) phải leo lên và xuống một con dốc (như hình vẽ) với C là đỉnh dốc. Cho biết đoạn thẳng AB dài 850 m, \(\widehat A = 7^\circ ,\widehat B = 5^\circ \), vận tốc trung bình khi lên dốc là 4 km/h và khi xuống dốc là 19 km/h. Hỏi bạn An đi từ nhà đến trường hết bao nhiêu phút (làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị không làm tròn các kết quả trung gian).
Đổi \(4{\rm{km/h = }}\frac{{200}}{3}\)m/phút; \({\rm{19km/h = }}\frac{{950}}{3}\)m/phút.
Có \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {7^\circ + 5^\circ } \right) = 168^\circ \).
Áp dụng định lí sin ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{BC}}{{\sin A}}\).
Suy ra \(AC = \frac{{AB.\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{850.\sin 5^\circ }}{{\sin 168^\circ }}\); \(BC = \frac{{AB.\sin A}}{{\sin C}} = \frac{{850.\sin 7^\circ }}{{\sin 168^\circ }}\).
Thời gian đi từ nhà đến trường là \(\frac{{AC}}{{\frac{{200}}{3}}} + \frac{{BC}}{{\frac{{950}}{3}}} = \frac{{3.850.\sin 5^\circ }}{{200.\sin 168^\circ }} + \frac{{3.850.\sin 7^\circ }}{{950.\sin 168^\circ }} \approx 7\) phút.
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {1;1} \right),B\left( {2;4} \right),C\left( {10; - 2} \right)\). Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp DABC.
Ta có \(AB = \sqrt {1 + 9} = \sqrt {10} ;BC = \sqrt {64 + 36} = 10;AC = \sqrt {81 + 9} = \sqrt {90} = 3\sqrt {10} \).
\( \Rightarrow B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại A.
Suy ra I là trung điểm của BC \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = \frac{{2 + 10}}{2} = 6\\{y_I} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{{4 - 2}}{2} = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {6;1} \right)\).
