Bộ 5 đề thi Cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4
21 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?
\(x + 2 = 5\).
Lớp 10A1 có bao nhiêu học sinh?
\({x^2} < 4\).
Số 5 là số nguyên tố.
“Số 5 là số nguyên tố” là mệnh đề. Chọn D.
Liệt kê các phần tử của tập hợp \(X = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|2{x^2} - 5x + 3 = 0} \right\}\).
\(X = \left\{ {1;\frac{3}{2}} \right\}\).
\(X = \left\{ 1 \right\}\).
\(X = \left\{ 0 \right\}\).
\(X = \left\{ {\frac{3}{2}} \right\}\).
Ta có \(2{x^2} - 5x + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\x = 1\end{array} \right.\) mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x = 1\).
Do đó \(X = \left\{ 1 \right\}\). Chọn B.
Cặp số nào sau đây không là nghiệm của bất phương trình \(2x + y - 7 > 0\).
\(\left( {3;2} \right)\).
\(\left( {5; - 1} \right)\).
\(\left( {4;0} \right)\).
\(\left( { - 2;5} \right)\).
Thay tọa độ \(\left( { - 2;5} \right)\) vào bất phương trình ta được \(2.\left( { - 2} \right) + 5 - 7 = - 6 > 0\) (vô lý).
Vậy \(\left( { - 2;5} \right)\) không là nghiệm của bất phương trình \(2x + y - 7 > 0\). Chọn D.
Hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}0x + 0y > - 4\\4x + y \le 2\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 5y \ge 2\\\frac{3}{x} - y \le - 1\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^3} > 4\\2x - 5y \le 1\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 7y \le 11\\5x - y < 5\end{array} \right.\).
Hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 7y \le 11\\5x - y < 5\end{array} \right.\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chọn D.
Tìm tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x + 3}}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Điều kiện: \(x + 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 3\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\). Chọn A.
Trục đối xứng của đồ thị hàm số sau đây có phương trình là
\(x = 1\).
\(y = 1\).
\(y = 0\).
\(x = - 1\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta có trục đối xứng của đồ thị có phương trình là \(x = 1\). Chọn A.
Cho α và β là hai góc bù nhau. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\cot \alpha = \cot \beta \).
\(\cos \alpha = - \cos \beta \).
\(\sin \alpha = \sin \beta \).
\(\tan \alpha = - \tan \beta \).
α và β là hai góc bù nhau thì \(\cot \alpha = - \cot \beta \). Chọn A.
Cho tam giác ABC có \(BC = a;CA = b;AB = c\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc.\cos A\).
\({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\).
\(\frac{a}{{\cos A}} = \frac{b}{{\cos B}} = \frac{c}{{\cos C}}\).
\({b^2} = {a^2} + {c^2}\).
\({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\). Chọn B.
Phát biểu nào sau đây là sai?
Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng.
Hai vectơ cùng hướng với một vectơ khác vectơ không thì chúng cùng hướng.
Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. Chọn B.
Cho bốn điểm bất kỳ A, B, C, O. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {BA} \).
\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CO} \).
\(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \).
Ta có \(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \). Chọn C.
Trên đoạn thẳng AC, cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C với AB = a, AC = 4a. Đẳng thức nào dưới đây đúng?
\(\overrightarrow {BC} = 3\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {AB} = - 3\overrightarrow {CA} \).
\(\overrightarrow {BC} = - 2\overrightarrow {BA} \).
\(\overrightarrow {AC} = - 4\overrightarrow {AB} \).
Ta có \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng và AC = 4AB Þ BC = 3AB. Do đó \(\overrightarrow {BC} = 3\overrightarrow {AB} \). Chọn A.
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh 3a. Khi đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) bằng
\({a^2}\).
\(2{a^2}\).
\(9{a^2}\).
\(6{a^2}\).
\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\]\( = 3a.3a\sqrt 2 .\cos 45^\circ = 3a.3a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 9{a^2}\). Chọn C.
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình vẽ.
Khi đó:
a) \(f\left( 1 \right) = 1\).
b) \(a > 0\).
c) \(a + b + c > 1\).
d) \(a - b = 10\).
a) Dựa vào đồ thị ta thấy \(f\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\).
b) Bề lõm của đồ thị quay lên trên nên \(a > 0\).
c) Có \(a + b + c = f\left( 1 \right) = \frac{1}{2} < 1\).
d) Từ đồ thị ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\\f\left( {\frac{3}{2}} \right) = - 1\\f\left( 3 \right) = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = \frac{1}{2}\\\frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b + c = - 1\\9a + 3b + c = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 8\\c = \frac{{13}}{2}\end{array} \right.\).
Suy ra \(a - b = 10\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hình vuông \(ABCD\) tâm O, có cạnh bằng 2. Biết \(M\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BD} = - 2\overrightarrow {DM} \).
b) \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 45^\circ \).
c) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} \).
d) \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AC} = 2\).
a) Vì M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DM} + \overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DM} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow - \overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DB} = - 2\overrightarrow {DM} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BD} = - 2\overrightarrow {DM} \).
b) Vẽ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BE} \).
Khi đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \widehat {DBE} = 135^\circ \).
c) Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} \).
d) Ta có \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} .\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = {\overrightarrow {AD} ^2} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} = {\overrightarrow {AD} ^2} = 4\).
Ta có \(\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AC} \)\( = - \overrightarrow {MO} .\overrightarrow {AC} \)\( = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} \)\( = - \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)\( = - \frac{1}{2}2.2\sqrt 2 .\cos 45^\circ = - 2\).
Do đó \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AC} = 2\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 4.
Cho các tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|\left| x \right| < 3} \right\},B = \left\{ {0;1;3} \right\},C = \left\{ {x \in \mathbb{N}|\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 0} \right\}\). Tìm số phần tử của \(\left( {A\backslash B} \right) \cup C\).
\(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|\left| x \right| < 3} \right\}\) \( \Rightarrow A = \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}\).
\(C = \left\{ {x \in \mathbb{N}|\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 0} \right\}\) \( \Rightarrow C = \left\{ {1;2;3} \right\}\).
Khi đó \(A\backslash B = \left\{ { - 2; - 1;2} \right\}\). Suy ra \(\left( {A\backslash B} \right) \cup C = \left\{ { - 2; - 1;1;2;3} \right\}\).
Số phần tử của tập hợp \(\left( {A\backslash B} \right) \cup C\) là 5.
Trả lời: 5.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình vẽ.
Tìm tất cả các giá trị ngyên của \(x\) để \(f\left( x \right) < 0\).
Vì \(f\left( x \right) < 0\) nên ta tìm các giá trị \(x\) ứng với phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành.
Do đó \(x \in \left( {1;3} \right)\) mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x = 2\).
Trả lời:2.
Phương trình \(\sqrt {3 - 2x} = x + 1\) có một nghiệm dạng \({x_0} = a + \sqrt b \) với \(a,b\) là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức \(T = 2a + 3b\).
\(\sqrt {3 - 2x} = x + 1\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\3 - 2x = {\left( {x + 1} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\3 - 2x = {x^2} + 2x + 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\{x^2} + 4x - 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = - 2 + \sqrt 6 \).
Suy ra \(a = - 2;b = 6\). Do đó \(T = 2a + 3b = 14\).
Trả lời:14.
Cho \(\tan x = \frac{1}{2}\). Tính giá trị của biểu thức \(P = 25\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)\).
\({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x = 1 - 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\)
\( = 1 - 2\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right).{\cos ^2}x\)\( = 2{\cos ^4}x - 2{\cos ^2}x + 1\).
Khi đó \(P = 50\left( {{{\cos }^4}x - {{\cos }^2}x} \right) + 25\).
Mặt khác \({\tan ^2}x + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} \Rightarrow {\cos ^2}x = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}x}} = \frac{4}{5}\).
Suy ra \[P = 50\left( {\frac{{16}}{{25}} - \frac{4}{5}} \right) + 25 = 17\].
Trả lời: 17.
PHẦN II. TỰ LUẬN
Một nhà máy dự tính sản xuất hai loại bột cà phê hòa tan (loại I và loại II) từ 15 tấn cà phê hạt và 5 tấn hương liệu tổng hợp. Biết để sản xuất một tấn bột cà phê loại I cần 3 tấn cà phê hạt và 0,5 tấn hương liệu tổng hợp, khi bán lãi được 18 triệu đồng. Để sản xuất một tấn bột cà phê loại II cần 2 tấn cà phê hạt và 1 tấn hương liệu tổng hợp, khi bán lãi được 14 triệu đồng. Biết rằng sản phẩm của nhà máy luôn được tiêu thụ hết. Với lượng nguyên liệu như trên, nhà máy có thể thu được số tiền lãi lớn nhất là bao nhiêu triệu đồng?
Gọi \(x,y\left( {x \ge 0;y \ge 0} \right)\) lần lượt là số tấn cà phê loại I và loại II mà nhà máy sản xuất.
Theo đề ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\3x + 2y \le 15\\0,5x + y \le 5\end{array} \right.\).
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = 18x + 14y\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tứ giác OABC kể cả các cạnh (phần tô màu).
Do đó \(F = 18x + 14y\) đạt giá trị lớn nhất tại 1 trong các điểm sau \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;5} \right),B\left( {\frac{5}{2};\frac{{15}}{4}} \right),C\left( {5;0} \right)\).
Ta có \(O\left( {0;0} \right)\) thì F = 0.
\(A\left( {0;5} \right)\) thì F = 70.
\(B\left( {\frac{5}{2};\frac{{15}}{4}} \right)\) thì F = 97,5.
\(C\left( {5;0} \right)\) thì \(F = 90\).
Vậy nhà máy có thể thu lợi lớn nhất là 97,5 triệu đồng.
Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (hình vẽ). Biết AH = 4 m, HB = 20 m, \(\widehat {BAC} = 45^\circ \). Tính chiều cao của cây?
Trong tam giác AHB, ta có \(\tan \widehat {ABH} = \frac{{AH}}{{BH}} = \frac{4}{{20}} = \frac{1}{5} \Rightarrow \widehat {ABH} \approx 11,3^\circ \).
Suy ra \(\widehat {ABC} = 90^\circ - 11,3^\circ = 78,7^\circ \), \(\widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {\widehat {BAC} + \widehat {ABC}} \right) = 56,3^\circ \).
Suy ra \(AB = \sqrt {A{H^2} + H{B^2}} = 4\sqrt {26} \).
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{CB}}{{\sin A}} \Rightarrow CB = \frac{{AB.\sin A}}{{\sin C}} \approx 17,3\).
Vậy cây cao khoảng 17,3 m.
Một chất điểm A chịu tác dụng của ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) như hình vẽ biết chất điểm A đang ở trạng thái cân bằng. Tính độ lớn của các lực \(\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) biết rằng lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) có độ lớn 12 N.
Đặt \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {AE} \).
Vẽ hình chữ nhật ABCD.
Vì vật ở trạng thái cân bằng nên \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AE} \).
Ta có \(AB = 12,\widehat {CAD} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \Rightarrow \widehat {BAC} = 30^\circ \).
Tam giác ABC vuông tại B nên \(BC = AB\tan 30^\circ = 12.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = 4\sqrt 3 = AD\).
Độ lớn lực \(\overrightarrow {{F_2}} \) bằng \(4\sqrt 3 \) N.
Ta có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{12}^2} + {{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}} = 8\sqrt 3 \).
Do vậy \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {AE} } \right| = AC = 8\sqrt 3 \).
