Bộ 5 đề thi Cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 2
21 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho số tự nhiên \(n\). Xét mệnh đề: “Nếu số tự nhiên \(n\) có chữ số tận cùng bằng 4 thì \(n\) chia hết cho 2”. Mệnh đề đảo của mệnh đề đó là
Nếu số tự nhiên \(n\) chia hết cho 2 thì \(n\) có chữ số tận cùng bằng 4.
Nếu số tự nhiên \(n\) có chữ số tận cùng bằng 4 thì \(n\) không chia hết cho 2.
Nếu số tự nhiên \(n\) chia hết cho 2 thì \(n\) không có chữ số tận cùng bằng 4.
Nếu số tự nhiên \(n\) không chia hết cho 2 thì \(n\) có chữ số tận cùng bằng 4.
Mệnh đề đảo của mệnh đề trên là “Nếu số tự nhiên \(n\) chia hết cho 2 thì \(n\) có chữ số tận cùng bằng 4”. Chọn A.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {0;2} \right\}\). Khẳng định nào sau đây sai?
\(\left\{ 0 \right\} \subset A\).
\(2 \subset A\).
\(\emptyset \subset A\).
\(0 \in A\).
\(2 \in A\). Chọn B.
Cho \(X = \left[ { - 1;3} \right];Y = \left( {2;5} \right)\). Tập hợp nào sau đây bằng \(X \cup Y\)?
\(\left( {2;3} \right]\).
\(\left[ { - 1;5} \right)\).
\(\left( {3;5} \right)\).
\(\left[ { - 1;2} \right]\).
\(X \cup Y = \left[ { - 1;5} \right)\). Chọn B.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|{x^2} - 2x = 0} \right\}\), \(B = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|1 < \left| x \right| \le 2} \right\}\). Tìm tập hợp \(A\backslash B\).
\(A\backslash B = \left\{ { - 2;0;2} \right\}\).
\(A\backslash B = \left\{ 2 \right\}\).
\(A\backslash B = \left\{ 0 \right\}\).
\(A\backslash B = \left\{ { - 2} \right\}\).
Ta có \({x^2} - 2x = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A = \left\{ {0;2} \right\}\).
Ta có \(1 < \left| x \right| \le 2\) Þ \(x \in \left\{ { - 2;2} \right\}\) \( \Rightarrow B = \left\{ { - 2;2} \right\}\).
Do đó \(A\backslash B = \left\{ 0 \right\}\). Chọn C.
Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(2x - 3y - 6z < 0\).
\(x - xy + 1 \ge 0\).
\(\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) > 2\).
\(x - 3y \le 2\).
\(x - 3y \le 2\) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chọn D.
Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 1 > 0\\5x - y + 4 < 0\end{array} \right.\)?
\(\left( { - 1;4} \right)\).
\(\left( { - 2;4} \right)\).
\(\left( {0;0} \right)\).
\(\left( { - 3;4} \right)\).
Thay tọa độ điểm \(\left( {0;0} \right)\) vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 > 0\\4 < 0\end{array} \right.\) (vô lý).
Do đó \(\left( {0;0} \right)\) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Chọn C.
Tập xác định D của hàm số \(y = \sqrt {3x - 1} \) là
\(D = \left( {0; + \infty } \right)\).
\(D = \left[ {0; + \infty } \right)\).
\(D = \left[ {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\).
\(D\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\).
Điều kiện: \(3x - 1 \ge 0\)\( \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{3}\).
Do đó tập xác định của hàm số là \(D = \left[ {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\). Chọn C.
Trục đối xứng của parabol \(\left( P \right):y = {x^2} - 4x + 2024\) là
\(x = 4\).
\(x = - 4\).
\(x = - 2\).
\(x = 2\).
Trục đối xứng của parabol là \(x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{4}{2} = 2\). Chọn D.
Rút gọn biểu thức \(S = \cos \left( {90^\circ - x} \right)\sin \left( {180^\circ - x} \right) - \sin \left( {90^\circ - x} \right)\cos \left( {180^\circ - x} \right)\).
\(S = 0\).
\(S = {\sin ^2}x - {\cos ^2}x\).
\(S = 1\).
\(S = 2\sin x\cos x\).
\(S = \cos \left( {90^\circ - x} \right)\sin \left( {180^\circ - x} \right) - \sin \left( {90^\circ - x} \right)\cos \left( {180^\circ - x} \right)\)
\( = \sin x.\sin x + \cos x.\cos x\)\( = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\). Chọn C.
Cho tam giác ABC có AB = 10, AC = 9, \(\cos \widehat {BAC} = \frac{3}{5}\). Tính diện tích S của tam giác ABC?
\(S = 32\).
\(S = 36\).
\(S = 40\).
\(S = 27\).
Có \(S = \frac{1}{2}.AB.AC.\cos \widehat {BAC} = \frac{1}{2}.10.9.\frac{3}{5} = 27\). Chọn D.
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Hỏi vectơ \(\overrightarrow {AO} - \overrightarrow {DO} \) bằng vectơ nào trong các vectơ sau
\(\overrightarrow {BA} \).
\(\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {AO} - \overrightarrow {DO} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \). Chọn B.
Cho tam giác ABC, lấy điểm I trên cạnh AC sao cho \(\overrightarrow {AC} - 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \). Biểu diễn \(\overrightarrow {BI} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {BI} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {BI} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {BI} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {BI} = - \overrightarrow {BA} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AI} = - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \)\( = - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\)\( = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)\( = \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \). Chọn C.
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 3\).
a) Đồ thị hàm số là parabol có tọa độ đỉnh \(\left( {1;4} \right)\).
b) Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;3} \right)\).
c) \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
d) Phương trình \(\sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {3 - x} \) có duy nhất một nghiệm.
a) Parabol có tọa độ đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right) \Rightarrow I\left( {1;4} \right)\).
b) Thay tọa độ điểm \(\left( {0;3} \right)\) ta thấy thỏa mãn. Do đó đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;3} \right)\).
c) Ta có \(f\left( x \right) > 0\) \( \Leftrightarrow - {x^2} + 2x + 3 > 0\)\( \Leftrightarrow - 1 < x < 3\).
Do đó \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 1;3} \right)\).
d) \(\sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {3 - x} \) \( \Leftrightarrow \sqrt { - {x^2} + 2x + 3} = \sqrt {3 - x} \).
Bình phương hai vế của phương trình ta được \( - {x^2} + 2x + 3 = 3 - x\)\( \Leftrightarrow - {x^2} + 3x = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\).
Thay 2 giá trị của \(x\) vào bất phương trình \(3 - x \ge 0\) thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.
Do đó phương trình \(\sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {3 - x} \) có 2 nghiệm.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho DABC cân tại A có AB = a và \(\widehat A = 30^\circ \). M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
a) \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BC} \).
b) \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {MN} } \right|\).
c)\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 30^\circ \).
d) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{a^2}\).
a) Ta có MN là đường trung bình của DABC nên \(MN = \frac{1}{2}BC\).
Lại có \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \).
b) \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {MN} } \right|\).
c) \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 30^\circ \).
d) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)\( = a.a.\cos 30^\circ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 4.
Tính \(\tan 45^\circ + \cot 135^\circ \).
\(\tan 45^\circ + \cot 135^\circ \)\( = \tan 45^\circ - \cot 45^\circ \)\( = 1 - 1 = 0\).
Trả lời: 0.
Cho hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {MN} \) như hình vẽ bên.
Khi đó \(\overrightarrow {MN} = a\overrightarrow {AB} ,a \in \mathbb{Z}\). Tìm \(a\).
\(\overrightarrow {MN} = - 2\overrightarrow {AB} \). Suy ra \(a = - 2\).
Trả lời: −2.
Cho hình thoi ABCD tâm O, \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Gọi M là trung điểm AD và G là trọng tâm của tam giác ABC. Biết \(\overrightarrow {GM} = \frac{m}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{n}{6}\overrightarrow {BC} \). Tính tổng \(m + n\).
Gọi N là trung điểm của BC.
Ta có \(\overrightarrow {GM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GD} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {GA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {GD} \)\( = - \frac{1}{2}.\frac{2}{3}\overrightarrow {AN} + \frac{1}{2}.\frac{2}{3}\overrightarrow {BD} \)\( = - \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)\)
\( = - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)\( = \frac{1}{6}\overrightarrow {BA} - \frac{1}{6}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)\( = \frac{1}{6}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{6}\overrightarrow {BA} - \frac{1}{6}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)
\( = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{6}\overrightarrow {BC} \).
Suy ra \(m = 2;n = 1\). Do đó \(m + n = 3\).
Trả lời: 3.
Bạn An muốn pha hai loại nước cam. Để pha một lít nước cam loại I cần 20 gam đường, còn một lít nước cam loại II cần 60 gam đường. Gọi \(x,y\) lần lượt là số lít nước cam loại I và II pha chế được. Biết rằng An chỉ có thể dùng không quá 200 gam đường. Bất phương trình mô tả số lít nước cam loại I và II mà bạn An có thể pha chế được là \(ax - by \le 10\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị biểu thức \(2{a^2} + 100b\).
Số gam đường cần để pha \(x\) lít nước cam loại I là \(20x\) gam.
Số gam đường cần để pha \(y\) lít nước cam loại II là \(60y\) gam.
Vì An chỉ có thể dùng không quá 200 gam đường nên ta có bất phương trình \(20x + 60y \le 200\)\( \Leftrightarrow x + 3y \le 10\).
Suy ra \(a = 1;b = - 3\).
Do đó \(2{a^2} + 100b = {2.1^2} + 100.\left( { - 3} \right) = - 298\).
Trả lời: −298.
PHẦN II. TỰ LUẬN
Một hộ nông dân dự định trồng cây đào và cây bưởi trên diện tích 4 ha. Trên diện tích mỗi ha, nếu trồng đào thì cần 10 công và thu 2 triệu đồng, nếu trồng bưởi thì cần 15 công và thu 2,5 triệu đồng. Số tiền nhiều nhất mà hộ nông dân thu được là bao nhiêu triệu đồng, biết rằng tổng số công không quá 45 công?
Gọi \(x,y\left( {x,y \ge 0} \right)\) lần lượt là diện tích trồng đào và diện tích trồng bưởi mà hộ nông dân trồng.
Theo đề ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 4\\10x + 15y \le 45\end{array} \right.\).
Số tiền thu được là \(F = 2x + 2,5y\) (triệu đồng).
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = 2x + 2,5y\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OABC kể cạnh của tứ giác (phần gạch chéo) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;3} \right),B\left( {3;1} \right),C\left( {4;0} \right)\).
Ta có \(O\left( {0;0} \right)\) thì \(F = 0\).
Ta có \(A\left( {0;3} \right)\) thì \(F = 7,5\).
Ta có \(B\left( {3;1} \right)\) thì \(F = 8,5\).
Ta có \(C\left( {4;0} \right)\) thì F = 8.
Do đó để số tiền thu được lớn nhất là 8,5 triệu đồng.
Gia đình An dự định kéo đường dây điện thành một hình tròn ngoại tiếp sân chơi hình tam giác có độ dài các cạnh là 20 m, 28 m, 32 m. Độ dài đường dây điện ít nhất nhà An cần dùng là bao nhiêu mét?
Có chu vi của tam giác là 20 + 28 + 32 = 80.
Suy ra nửa chu vi tam giác là p = 40.
Diện tích tam giác ABC có \(S = \sqrt {40\left( {40 - 20} \right)\left( {40 - 28} \right)\left( {40 - 32} \right)} = 160\sqrt 3 \).
Lại có diện tích tam giác là \(S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{20.28.32}}{{4.160\sqrt 3 }} = \frac{{28\sqrt 3 }}{3}\).
Chu vi hình tròn ngoại tiếp hình tam giác là \(2\pi R = \frac{{2\pi .28\sqrt 3 }}{3} \approx 102\) m.
Vậy độ dài đường dây điện ít nhất nhà An cần dùng là 102 m.
Độ cao của quả bóng golf tính theo thời gian có thể được xác định bằng một hàm bậc hai. Với các thông số cho trong bảng sau, hãy xác định độ cao quả bóng đạt được tại thời điểm 3 giây?
Thời gian (giây) | 0 | 0,5 | 1 | 2 |
Độ cao (mét) | 0 | 28 | 48 | 64 |
Độ cao của quả bóng tính theo thời gian được xác định bởi hàm số \(h\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\)(m), \(t \ge 0\).
Với các thông số cho bởi bảng trên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\\frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + c = 28\\a + b + c = 48\\4a + 2b + c = 64\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 16\\b = 64\\c = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow h\left( t \right) = - 16{t^2} + 64t\). Do đó \(h\left( 3 \right) = 48\).
Vậy độ cao quả bóng đạt được tại thời điểm 3 giây là 48 m.
