Bộ 5 đề thi Cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 1
21 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\). Số tập con có hai phần tử của A là
10.
5.
20.
15.
Các tập con có 2 phần tử của tập hợp A là:
\(\left\{ {1;2} \right\},\left\{ {1;3} \right\},\left\{ {1;4} \right\},\left\{ {1;5} \right\},\left\{ {2;3} \right\},\left\{ {2;4} \right\},\left\{ {2;5} \right\},\left\{ {3;4} \right\},\left\{ {3;5} \right\},\left\{ {4;5} \right\}\).
Vậy có 10 tập con có hai phần tử của tập hợp A. Chọn A.
Cho hai tập hợp \(X = \left\{ {1;2;4;7;9} \right\}\) và \(Y = \left\{ { - 1;0;7;10} \right\}\). Tập hợp \(X \cup Y\) có bao nhiêu phần tử?
10.
7.
8.
9.
\(X \cup Y = \left\{ { - 1;0;1;2;4;7;9;10} \right\}\). Tập hợp \(X \cup Y\) có 8 phần tử. Chọn C.
Miền nghiệm của bất phương trình nào sau đây được biểu diễn bởi nửa mặt phẳng không bị gạch trong hình vẽ sau
\(2x - y \le 3\).
\(x + y \ge 3\).
\(x - y \ge 3\).
\(x + 2y \ge 3\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta có đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {\frac{3}{2};0} \right)\) và \(\left( {0; - 3} \right)\) là \(2x - y = 3\).
Điểm \(O\left( {0;0} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình và \(2.0 - 0 \le 3\) nên nửa mặt phẳng không gạch là miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y \le 3\). Chọn A.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y > 0\\x - 3y < 6\\x - y \ge - 4\end{array} \right.\) chứa điểm nào sau đây?
\(M\left( {1;1} \right)\).
\(O\left( {0;0} \right)\).
\(N\left( {1; - 3} \right)\).
\(P\left( { - 1; - 7} \right)\).
Thay tọa độ điểm \(M\left( {1;1} \right)\) vào hệ bất phương trình ta thấy thỏa mãn hệ. Do đó điểm \(M\left( {1;1} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Chọn A.
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{3x + 4}}{{\sqrt {x - 1} }}\) là
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
\(\mathbb{R}\).
\(\left( {1; + \infty } \right)\).
\(\left[ {1; + \infty } \right)\).
Điều kiện: \(x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left( {1; + \infty } \right)\). Chọn C.
Cho parabol \(y = a{x^2} + bx + 4\) có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{1}{3}\) và đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\). Tổng giá trị \(a + 2b\) là
\( - \frac{1}{2}\).
\(1\).
\(\frac{1}{2}\).
\( - 1\).
Vì parabol \(y = a{x^2} + bx + 4\) có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{1}{3}\) và đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + 4 = 3\\ - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = - 1\\2a + 3b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = 2\end{array} \right.\).
Do đó \(a + 2b = - 3 + 4 = 1\). Chọn B.
Cho góc \(\alpha \left( {0^\circ < \alpha < 180^\circ } \right)\) thỏa mãn \(\cot \alpha = - \frac{1}{2}\). Giá trị \(\cos \alpha \) bằng
\( - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
\( - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
\( - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
Ta có \({\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }} = \frac{1}{{1 + \frac{1}{4}}} = \frac{4}{5}\).
Mà \(0^\circ < \alpha < 180^\circ \) nên \(\sin \alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\). Lại có \(\cot \alpha = - \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow \cos \alpha = \cot \alpha .\sin \alpha = - \frac{1}{2}.\frac{2}{{\sqrt 5 }} = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}\). Chọn A.
Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R. Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(R = \frac{{AB}}{{\sin C}}\).
\(R = \frac{{AB}}{{2\sin C}}\).
\(R = \frac{{AB}}{{\cos C}}\).
\(R = \frac{{AB}}{{2\cos C}}\).
Từ định lí sin ta có: \(2R = \frac{{AB}}{{\sin C}}\)\( \Leftrightarrow R = \frac{{AB}}{{2\sin C}}\). Chọn B.
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là \(a,b,c\) và \(S\) là diện tích, \(p\) là nửa chu vi. Mệnh đề sai là
\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \).
\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}\).
\({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A\).
\(S = \frac{1}{2}ab\sin C\).
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\). Chọn C.
Cho ba điểm M, N, P. Vectơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {MN} \) bằng vectơ nào dưới đây?
\(\overrightarrow {PN} \).
\(\overrightarrow {PM} \).
\(\overrightarrow {MP} \).
\(\overrightarrow {NM} \).
Ta có \(\overrightarrow u = \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {MN} \)\( = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP} \). Chọn C.
Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC. Câu nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GM} \).
\(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GA} \).
\(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GM} \).
\(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GA} \).
Do M là trung điểm của BC nên ta có \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GM} \). Chọn A.
Cho DABC có AB = 5, AC = 8, \(\widehat A = 60^\circ \). Khi đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) bằng
\(40\sqrt 3 \).
\(20\sqrt 3 \).
40.
20.
Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)\( = 5.8.\cos 60^\circ = 20\). Chọn D.
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình vẽ
a) Đồ thị hàm số có trục đối xứng \(x = - \frac{3}{2}\).
b) Giá trị lớn nhất của hàm số là \( - \frac{3}{2}\).
c) Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.
d) \(a > 0;b < 0;c > 0\).
a) Dựa vào đồ thị hàm số ta có trục đối xứng của đồ thị là \(x = - \frac{3}{2}\).
b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - \frac{3}{2}\).
c) Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.
d) Bề lõm của đồ thị hàm số quay lên trên nên \(a > 0\).
Lại có trục đối xứng của đồ thị hàm số \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{3}{2} < 0\) mà \(a > 0\) nên \(b > 0\).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;3} \right)\) nên \(c = 3 > 0\).
Do đó \(a > 0;b > 0;c > 0\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hình chữ nhật \(ABCD\) tâm O có \(AB = 4;BC = 3\).
a) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng hướng.
b) \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right| = 7\).
c) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} \), với M là điểm bất kì.
d) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 16\).
a) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) ngược hướng.
b) Có \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5\).
c) Vì ABCD là hình chữ nhật nên O là trung điểm của AC và BD.
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} } \right) + \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} } \right)\)\( = 2\overrightarrow {MO} + 2\overrightarrow {MO} = 4\overrightarrow {MO} \).
d) Vì \(AB \bot AC\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 4.
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\cos \alpha = 0,2\) và \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \). Giá trị của \(\cos \left( {180^\circ - \alpha } \right)\) bằng bao nhiêu?
\(\cos \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cos \alpha = - 0,2\).
Trả lời: −0,2.
Cho hai điểm M, N thỏa mãn \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NM} = - 4\). Tính MN.
\(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NM} = - 4\)\( \Leftrightarrow - \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MN} = - 4\)\( \Leftrightarrow {\overrightarrow {MN} ^2} = 4\)\( \Rightarrow MN = 2\).
Trả lời: 2.
Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của MN. Khi đó \(\overrightarrow {AK} = m\overrightarrow {AB} + n\overrightarrow {AC} \). Tính \(m + 3n\).
Ta có \(\overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {AM} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AN} \)\( = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}.\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)\( = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \).
Suy ra \(m = \frac{1}{4};n = \frac{1}{6}\). Do đó \(m + 3n = \frac{1}{4} + 3.\frac{1}{6} = 0,75\).
Trả lời: 0,75.
Tìm số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^3} + 2{x^2} - x + 1} = \sqrt {{x^2} + 5x + 1} \).
Bình phương hai vế của phương trình ta được
\({x^3} + 2{x^2} - x + 1 = {x^2} + 5x + 1\)\( \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 6x = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 3\\x = 2\end{array} \right.\).
Thay lần lượt 3 giá trị của \(x\) vào bất phương trình \({x^2} + 5x + 1 \ge 0\) ta thấy \(x = 0\); \(x = 2\) thỏa mãn bất phương trình.
Do đó phương trình có 2 nghiệm.
PHẦN II. TỰ LUẬN
Sau dịp Tết Trung thu, gia đình bạn Nam hoàn thành việc sản xuất bánh trung thu và còn dư khá nhiều nguyên liệu như bột nếp, đậu xanh, đường, dầu ăn, lá nếp và tinh dầu bưởi. Gia đình dự kiến sử dụng các nguyên liệu dư đó và mua thêm cốm tươi, dừa tươi để làm bánh Cốm và bánh Xu xê mang đi bán lấy lãi. Biết rằng gia đình bạn Nam đã mua thêm 5 kg cốm tươi và 3 kg dừa sợi. Ngoài các nguyên liệu còn dư ở trên, để sản xuất ra một hộp bánh cốm cần 0,2 kg cốm tươi và 0,1 kg dừa sợi. Để sản xuất ra một hộp bánh Xu xê cần 0,1 kg cốm tươi và 0,1 kg dừa sợi. Mỗi hộp bánh Cốm bán ra được lãi là 6 nghìn đồng và mỗi hộp bánh Xu xê bán ra được lãi 5 nghìn đồng. Mẹ của bạn Nam giao cho Nam lập kế hoạch sản xuất. Để thu được số tiền lãi cao nhất thì cần sản xuất bao nhiêu hộp bánh cốm và bao nhiêu hộp bánh Xu xê?
Gọi \(x,y\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)\)lần lượt là số hộp bánh cốm và số hộp bánh Xu xê cần sản xuất.
Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\0,2x + 0,1y \le 5\\0,1x + 0,1y \le 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + y \le 50\\x + y \le 30\end{array} \right.\).
Số tiền lãi thu được là \(F = 6x + 5y\) (nghìn đồng).
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của \(F = 6x + 5y\) trên miền nghiệm của bất phương trình trên.
Miền nghiệm của bất phương trình trên là miền trong tứ giác OABC kể cả biên (phần tô màu) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;30} \right),B\left( {20;10} \right),C\left( {25;0} \right)\).
Biểu thức \(F = 6x + 5y\) đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể ở các điểm \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;30} \right),B\left( {20;10} \right),C\left( {25;0} \right)\).
Với \(O\left( {0;0} \right)\) thì \(F = 0\).
Với \(A\left( {0;30} \right)\) thì \(F = 150\).
Với \(B\left( {20;10} \right)\) thì \(F = 170\).
Với \(C\left( {25;0} \right)\) thì \(F = 150\).
Do đó gia đình nhà Nam cần sản xuất 20 bánh Cốm và 10 bánh Xu xê thì lãi là lớn nhất.
Một người A đứng ở đỉnh của một tòa nhà cao h = 18 m quan sát một chiếc diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng giữa phương từ mắt của người A tới chiếc diều và phương nằm ngang) là \(\alpha = 40^\circ \), khoảng cách từ đỉnh tòa nhà đến mặt người A là 1,6 m. Cùng lúc đó ở dưới chân tòa nhà người B cũng quan sát một chiếc diều, nhận thấy góc nâng là \(\beta = 80^\circ \), khoảng cách từ mặt đất đến mắt người B là 1,5 m. Hỏi chiếc diều bay cao so với mặt đất bao nhiêu mét?
Đặt tên các điểm như hình vẽ.
Xét tam giác MDN có MN = 18 + 1,6 – 1,5 = 18,1 m.
Ta có \(\widehat {MND} = 90^\circ + 40^\circ = 130^\circ \); \(\widehat {NMD} = 90^\circ - 80^\circ = 10^\circ \); \(\widehat {NDM} = 180^\circ - 130^\circ - 10^\circ = 40^\circ \).
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(MDN\) ta có \(\frac{{MN}}{{\sin D}} = \frac{{MD}}{{\sin N}} \Rightarrow MD = \frac{{MN}}{{\sin D}}\sin N = \frac{{18,1}}{{\sin 40^\circ }}.\sin 130^\circ \).
Xét DMDH vuông tại H có \(DH = DM.\sin \beta = \frac{{18,1}}{{\sin 40^\circ }}.\sin 130^\circ .\sin 80^\circ \approx 21,2\) m.
Do đó DE = DH + HE = 21,2 + 1,5 = 22,7 m.
Vậy chiếc diều cách mặt đất khoảng 22,7 m.
Một xe goòng được kéo bởi một lực \(\overrightarrow F \) có độ lớn là 50 N, di chuyển theo quãng đường từ A đến B có chiều dài 200 m. Cho biết góc giữa \(\overrightarrow F \) và \(\overrightarrow {AB} \) là 30° và \(\overrightarrow F \) được phân tích thành hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) (tham khảo hình vẽ). Tính công sinh bởi lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) (đơn vị J).
Lấy các điểm như hình vẽ sao cho \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {AM} ,\overrightarrow F = \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {AN} \).
Ta có \(AM = AC.\cos \widehat {MAC} = 50.\cos 60^\circ = 25\) (N).
Khi đó công sinh bởi lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) là \(A = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB} = AM.AB.\cos 90^\circ = 25.200.\cos 90^\circ = 0\) J.
