Bộ 30 đề thi vào 10 môn Toán có lời giải chi tiết (Đề 5)

Nên P là số vô tỉ. Chọn đáp án C

Thay $m=0$ vào M ta được:

$\begin{array}{l}M=\frac{0-\sqrt{0}-2}{0-1}=2=\sqrt{4}=\sqrt{2+2}=\sqrt{2+\sqrt{4}}\\ =\sqrt{2+\sqrt{2+2}}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{4}}}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2}}}\\ =\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{4}}}}>\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\Rightarrow M>a\end{array}$

Chọn đáp án A

Nghiệm của phương trình $A{x}^2+3Ax-4=0\iff x^2+3x-4=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-4\end{array}\right.$

Chọn đáp án A

Xét $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{k+1-k}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$

$\Rightarrow B=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\mathrm{.....}+\sqrt{100}-\sqrt{99}=\sqrt{100}-\sqrt{1}=9$ nên phương trình trở thành :

$x^3+27x^2+243x+729=0\iff {\left(x+9\right)}^3=0\iff x=-9$, nên phương trình có 1 nghiệm. Chọn câu B

Chọn đáp án D

Chọn đáp án B

Đồ thị hàm số $y=ax+b$ đi qua $\left(1;0\right);\left(0;-2\right)$ nên $\left\{\begin{array}{l}a+b=0\\ b=-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-2\end{array}\right.\Rightarrow y=2x-2$. Chọn đáp án A

Chọn đáp án C

Đồ thị $y=ax+b$ đi qua hai điểm $A\left(3;1\right)$và $B\left(-2;6\right)$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}3a+b=1\\ -2a+b=6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=4\end{array}\right.$$\Rightarrow y=-x+4$. Chọn đáp án A

Để đường thẳng d đi qua gốc tọa độ $\iff k^2-3=0\iff k=\pm \sqrt{3}$

Chọn đáp án D

Ta có :$\left\{\begin{array}{l}y=2x+1\\ y=3x-4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=11\end{array}\right.\Rightarrow A\left(5;11\right)$

Đường thẳng $d//d\text{'}:y=x\sqrt{2}+15\Rightarrow d:y=x\sqrt{2}+m\left(m\ne 15\right)$

Mà $d$ qua $A\left(5;11\right)\Rightarrow 5\sqrt{2}+m=11\Rightarrow d:y=x\sqrt{2}+11-5\sqrt{2}$

Chọn đáp án A

Để đường thẳng $d:y=\left(3m+2\right)x-7m-1$ vuông góc với đường thẳng $\Delta :y=2x-1$ thì $\left(3m+2\right).2=-1\iff m=-\frac{5}{6}$.Chọn đáp án B

Hệ số góc bằng $-2\Rightarrow a=-2$

Đồ thị đi qua điểm $A\left(-3;1\right)\Rightarrow -3a+b=1\iff -3.\left(-2\right)+b=1\iff b=-5$

Vậy $P=\left(-2\right).\left(-5\right)=10.$Chọn đáp án B

Gọi $A\left(0;a\right)$là giao điểm hai đường thẳng nằm trên trục tung

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}A\in d\\ A\in \Delta \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=0.m-3\\ a+0=m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-3\\ m=-3\end{array}\right.$Chọn đáp án A

Gọi $B\left(b;0\right)$là giao điểm hai đường thẳng nằm trên trục hoành

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}B\in d\\ B\in \Delta \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}0=m.b-3\\ 0+b=m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{b}^2=3\\ b=m\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}b=m=\sqrt{3}\\ b=m=-\sqrt{3}\end{array}\right.$

Chọn đáp án B

Đường thẳng $d:y=ax+b$đi qua điểm $I\left(1;2\right)$nên $2=a+b\left(1\right)$

Ta có:$d\cap Ox=A\left(-\frac{b}{a};0\right);d\cap Oy=B\left(O;b\right)$

Suy ra $OA=\left|-\frac{b}{a}\right|=-\frac{b}{a}$và $OB=\left|b\right|=b$(Do $A,B$ thuộc hai tia $Ox,Oy)$

$\Delta OAB$ vuông tại O. Do đó, ta có:$S_{ABC}=\frac{1}{2}.OA.OB=4$ nên ta có:

$\frac{1}{2}\left(-\frac{b}{a}\right).b=4\iff b^2=-8a\left(2\right)$

Từ (1) suy ra $b=2-a.$Thay vào ta được :

${\left(2-a\right)}^2=-8a\iff a^2-4a+4=-8a\iff a^2+4a+4=0\iff a=-2$

Với $a=-2\Rightarrow b=4.$Vậy đường thẳng cần tìm là :$y=-2x+4.$

Chọn đáp án B

Hệ phương trình $\frac{a}{a\text{'}}=\frac{b}{b\text{'}}\ne \frac{c}{c\text{'}}$vô nghiệm khi .Chọn đáp án A

Ta gọi A là điểm 3 đường thẳng đồng quy.

Nên A là nghiệm hệ $\left\{\begin{array}{l}y=2x+1\\ y=x+2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=3\end{array}\right.$. Để 3 đường thẳng đồng quy thì 

$\begin{array}{l}A\in d:y=\left(m^2+1\right)x+2m-1.\\ \Rightarrow 3=\left(m^2+1\right).1+2m-1\iff m^2+2m-3=0\iff \left\{\begin{array}{l}m=1\\ m=-3\end{array}\right.\end{array}$

Chọn đáp án C

$2x+3y=300$. Ta thấy $3y⋮3,300⋮3\Rightarrow 2x⋮3\Rightarrow x⋮3$

Đặt $x=3n\left(n>0\right)$ $\Rightarrow 2x+3y=300\iff 6n+3y=300$

Vì là số nguyên dương nên $\iff y=\frac{\left(300-6n\right)}{3}=100-2n$$y>0\Rightarrow 100-2n>0\iff n<50$

$0<n<50\Rightarrow n\in \left\{1;2;3;\mathrm{......};48;49\right\}$nên số nghiệm nguyên dương thỏa mãn phương trình là :$\left(49-1\right):1+1=49$ nghiệm

Chọn đáp án B

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\iff k=3\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=2\end{array}\right.$

Chọn đáp án C

Gọi $x,y$ lần lượt là thể tích bình thứ nhất và thứ hai với $0<x,y<120$, ta lập được hệ phương trình :

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}y+120-x-y\\ x=y+\frac{1}{3}\left(120-x-y\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=50\\ y=40\end{array}\right.$

Thể tích mỗi bình lần lượt là $50l,40l,30l$ Chọn đáp án A

Goi $x\left(km\right)$ là độ dài quãng đường,$y$ (giờ) là thời gian dự định. Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}50\left(y+2\right)=x\\ 90\left(y-2\right)=x\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=7\\ x=450\end{array}\right.$

Chọn đáp án D

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0$có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \Delta =0\end{array}\right.$

Chọn đáp án B

Phương trình có nghiệm khi $\Delta \ge 0\iff 5+4m\ge 0\iff m\ge -\frac{5}{4}$

Chọn đáp án A

Để phương trình trên vô nghiệm thì $\Delta \text{'}<0\iff k^2-2<0\iff -\sqrt{2}<k<\sqrt{2}$

Chọn đáp án B

phương trình $\left(x-1\right)\left(x^2-4mx-4\right)=0.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x^2-4mx-4=0\left(*\right)\end{array}\right.$

Để phương trình đề có 3 nghiệm thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

$\iff \Delta \text{'}>0\iff 4m^2+4>0$(luôn đúng)

Và pt (*) có nghiệm khác 1 $\iff 1^2-4m-4\ne 0\iff m\ne \frac{-3}{4}$

Chọn đáp án D

Chọn đáp án A

$x^2-4x+1-m=0$ có $\Delta =2^2-\left(1-m\right)=m+3$

Để phương trình đề có nghiệm $\iff m+3\ge 0\iff m\ge -3$ . Lúc đó, áp dụng Vi-et

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=4\\ x_1{x}_2=1-m\end{array}\right.$

$5\left(x_1+x_2\right)-4x_1{x}_2=0\iff 5.4-4\left(1-m\right)=0\iff m=-4\left(ktm\right)$

Vậy không có m thỏa mãn. Chọn đáp án D

$x^2-2x+3m-1=0$có $\Delta ={\left(-1\right)}^2-\left(3m-1\right)=-3m$

Phương trình có nghiệm $\iff \Delta \text{'}\ge 0\iff -3m\ge 0\iff m\le 0$

Lúc đó, áp dụng $Vi-et\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\\ x_1{x}_2=3m-1\end{array}\right.$

$x_1^2+x_2^2=10\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=10$

$\iff 2^2-2\left(3m-1\right)=10\iff 3m-1=-3\iff m=\frac{-2}{3}\left(tm\right)$

Chọn đáp án C

$\Delta \text{'}={\left(m+1\right)}^2-\left(m-1\right)=m^2+m+2>0$ nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m+2\\ x_1{x}_2=m-1\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}{x}_1^2+x_2^2-3x_1{x}_2={\left(x_1+x_2\right)}^2-5x_1{x}_2\\ ={\left(2m+2\right)}^2-5\left(m-1\right)=4m^2+3m+9\\ ={\left(2m\right)}^2+2.2m.\frac{3}{4}+\frac{9}{16}+\frac{135}{16}\\ ={\left(2m+\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{135}{16}\ge \frac{135}{16}\iff 2m+\frac{3}{4}=0\iff m=\frac{-3}{8}\end{array}$

Chọn đáp án A

Chọn đáp án A

ta có phương trình hoành độ giao điểm :$x^2-2mx+m^2-m+2=0$

$\Delta \text{'}=m^2-\left(m^2-m+2\right)=m-2$

Hai đồ thị tiếp xúc nhau khi $\Delta \text{'}=0\iff m-2=0\iff m=2$

Chọn đáp án B

Chọn đáp án D

Chọn đáp án A

Ta chứng minh được :$DCQP$ là hình vuông$\Rightarrow CQ=4$

 $\begin{array}{l}\Rightarrow x=BC=\frac{CQ}{\cos 50°}=6,22\left(cm\right)\\ QB=CQ.\tan 50°=4,767cm\\ AP=\frac{4}{\tan 70°}\approx 1,456cm\Rightarrow y=1,456+4+4,767=10,22cm\end{array}$

Chọn đáp án C

$\Delta ADC$ vuông tại $D\Rightarrow AC=\frac{AD}{\cos \angle DAC}=\frac{2,8}{\cos 74°}\approx 10,158cm$

Kẻ $AH\perp DY$ tại H

$DY//BX\Rightarrow \angle DYX=\angle BXY=123°$ (so le trong)

Mà $\angle AYD+\angle DYX=180°\Rightarrow \angle AYD+123°=180°\Rightarrow \angle AYD=57°$

$\Delta ADY$ có :$\angle ADY=180°-\angle DAY-\angle AYD=180°-74°-57°=49°$

$\Delta ADH$ vuông tại H có :$AH=AD.\sin \angle ADH=2,8.\sin 49°\approx 2,11cm$

$\Delta AHY$ vuông tại có:$AY=\frac{AH}{\sin \angle AYH}\approx \frac{2,11}{\sin 57°}\approx 2,52\left(cm\right)$

$\Rightarrow XY=AX-AY=5,5-2,52\approx 2,98cm$

Kẻ $BK\perp AC$tại K 

Có $\angle BXK=180°-\angle BXA=180°-123°=57°$

$\Delta BXK$ vuông tại có:$BK=BX.\sin \angle BXK=4,1.\sin 57°=3,44cm$

$\Rightarrow S_{BCK}=\frac{1}{2}BK.CX=\frac{1}{2}.3,44.4,7\approx 8,084\left(c{m}^2\right)$

Chọn đáp án D

Vì $\Delta ABC$cân tại A nên AD đi qua O

Ta có $\angle ACD=90°$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Chọn đáp án C

Vì $\Delta ABC$ nội tiếp (O)$\Rightarrow AD$là đường kính nên $\Delta BCD$ vuông tại D

$\Rightarrow BH=\frac{BC}{2}=6cm$

$\Delta BAD$ vuông tại $B,BH$ đường cao

$\begin{array}{l}\Rightarrow B{H}^2=AH.DH\Rightarrow DH=\frac{B{H}^2}{AH}=\frac{6^2}{4}=9cm\\ \Rightarrow AD=AH+DH=4+9=13cm\Rightarrow R=6,5cm\end{array}$

Chọn đáp án C

Ta có :$AB\perp CD\Rightarrow S_{ACBD}=\frac{AB.CD}{2}$

Lại có :$AB\le 2R=4cm,CD\le 2R=4cm\Rightarrow S_{ACDB\max }=\frac{4.4}{2}=8c{m}^2$

Chọn đáp án D

Chọn đáp án D

Chọn đáp án A

Vì là tứ giác ABCD nội tiếp nên

$\angle BDC=180°-\angle BAC=180°-40°=140°$. Chọn đáp án C

Chọn đáp án C

$\angle CDM=\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{CM}=\frac{1}{2}\left(sd\stackrel{⏜}{CA}+sd\stackrel{⏜}{AM}\right)$ mà không rõ số đo cung AM do M là điểm di động Chọn đáp án D

Áp dụng phương tích trong đường tròn

$\begin{array}{l}\Rightarrow M{T}^2=MA.MB\Rightarrow MA=\frac{M{T}^2}{MB}=\frac{{20}^2}{50}=8\\ \Rightarrow R=\frac{AB}{2}=\frac{MB-MA}{2}=\frac{50-8}{2}=21cm\end{array}$

Chọn đáp án B

Áp dụng tính chất góc ngoài của tam giác

$\Rightarrow \angle ABC=45°+\angle HAB;\angle ADC=35°+\angle GAD$

$\Rightarrow \angle ABC+\angle ADC=45°+35°+2\angle HAB$(do $\angle HAB=\angle GCD$(đối đỉnh))

$\Rightarrow \angle HAB=\frac{180°-\left(45°+35°\right)}{2}=50°$

Mà $ABCD$ là tứ giác nội tiếp nên $\angle BCD=\angle HAB=50°$

Chọn đáp án A

$\angle B=\angle C$ và $BD,CE$là hai tia phân giác nên

$\angle ABD=\angle CBD=\angle BCE=\angle ACE\Rightarrow sd\stackrel{⏜}{BE}=sd\stackrel{⏜}{EA}=sd\stackrel{⏜}{AD}=sd\stackrel{⏜}{DC}\left(1\right)$

Gọi $AI\cap \left(O\right)=A\text{'}\Rightarrow AA\text{'}$ là đường kính $\Rightarrow sd\stackrel{⏜}{A\text{'}C}=sd\stackrel{⏜}{A\text{'}B},sd\stackrel{⏜}{A\text{'}D}=sd\stackrel{⏜}{A\text{'}E}\left(2\right)$

Áp dụng góc nội tiếp và góc có đỉnh bên trong đường tròn ta có:

$\begin{array}{l}\angle DAI=\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{A\text{'}D}=\frac{1}{2}\left(sdA\text{'}C+sd\stackrel{⏜}{CD}\right)\left(3\right)\\ \angle AID=\frac{1}{2}sd\left(\stackrel{⏜}{AB}+sd\stackrel{⏜}{A\text{'}B}\right)\left(4\right)\end{array}$

Từ $\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right),\left(4\right)\Rightarrow \angle DAI=\angle AID\Rightarrow \Delta AID$cân tại D

Chứng minh tương tự cân tại E$\Rightarrow AE=IE\left(b\right)$

Mà $sd\stackrel{⏜}{AE}=sd\stackrel{⏜}{AD}\left(cmt\right)\Rightarrow AE=AD\left(c\right)$

Từ (a), (b), (c), (d) $\Rightarrow AE=EI=ID=DA\Rightarrow AEID$là hình thoi

Chọn đáp án C

AD cắt đường tròn (O) tại M Kẻ đường kính BF

Ta có:$\Delta ADE$ vuông cân tại A nên $\angle ADC=45°\Rightarrow \frac{sd\stackrel{⏜}{BM}+sd\stackrel{⏜}{AC}}{2}=45°$

$\Rightarrow sd\stackrel{⏜}{BM}+sd\stackrel{⏜}{AC}=90°$mà $\stackrel{⏜}{BM}=\stackrel{⏜}{MC}\Rightarrow \stackrel{⏜}{AF}=\stackrel{⏜}{AC}\Rightarrow AF=AC$

Do đó $A{B}^2+A{C}^2=A{B}^2+A{F}^2=B{F}^2=4R^2$

Chọn đáp án A

Vì $\angle AMB=90°$ nên M thuộc đường tròn đường kính

Chọn đáp án D