Bộ 3 đề thi giữa kì 1 Toán 10 Cánh diều (2023 - 2024) có đáp án - Đề 1
39 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Phát biểu mệnh đề phủ định của mệnh đề “\(2 + 3 = 9\)”?
\(2 + 3 \ne 9\).
\(2 + 3 > 9\).
\(2 + 3 < 9\).
\(2 + 3 \ge 9\).
Chọn A
Phủ định của “=” là “≠”.
Vậy mệnh đề phủ định của mệnh đề “\(2 + 3 = 9\)” là mệnh đề \(2 + 3 \ne 9\).
Cho mệnh đề: “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau”. Phát biểu nào là phát biểu của mệnh đề trên dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ?
Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để diện tích của chúng bằng nhau.
Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần và đủ để chúng có diện tích bằng nhau.
Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để chúng bằng nhau.
Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện đủ để chúng bằng nhau.
Chọn C
Ta có mệnh đề “Nếu \(P\) thì \(Q\)” có thể phát biểu là:
“\(P\) là điều kiện đủ để có \(Q\)” hoặc “\(Q\) là điều kiện cần để có \(P\)”.
Khi đó mệnh đề “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau” được phát biểu dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ là “Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để chúng bằng nhau”.
Mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì nó là hình bình hành” là?
Nếu tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì nó là hình bình hành.
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường khi và chỉ khi nó là hình bình hành.
Tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi nó có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Nếu tứ giác là hình bình hành thì nó có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Chọn D
Mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì nó là hình bình hành” là mệnh đề “Nếu tứ giác là hình bình hành thì nó có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường”.
Phát biểu mệnh đề sau“\(\exists n \in \mathbb{Q}:\frac{1}{n} > n\)”.
Mọi số hữu tỉ đều có nghịch đảo lớn hơn chính nó.
Mọi số thựcđều có nghịch đảo lớn hơn chính nó.
Có một số thực mà nghịch đảo của nó lớn hơn chính nó.
Có một số hữu tỉ mà nghịch đảo của nó lớn hơn chính nó.
Chọn D
Mệnh đề “\(\exists n \in \mathbb{Q}:\frac{1}{n} > n\)” được phát biểu là “Có một số hữu tỉ mà nghịch đảo của nó lớn hơn chính nó”.
Tập hợp nào là tập hợp con của tập hợp \(A = \left\{ {1;\,2;\,3;\,4} \right\}\)?
\[\left\{ {0;\,1;\,2} \right\}\].
\[\left\{ {1;\,2;\,5} \right\}\].
\(\left\{ {1;\,2;\,4} \right\}\).
\(\left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5} \right\}\).
Chọn C
Xét từng đáp án:
+) Đáp án A: Tập hợp \[\left\{ {0;\,1;\,2} \right\}\] không phải tập hợp con của tập \(A\) do \(0 \notin A\).
+) Đáp án B: Tập hợp \[\left\{ {1;\,2;\,5} \right\}\] không phải tập hợp con của tập \(A\) do \(5 \notin A\).
+) Đáp án C: Tập hợp \(\left\{ {1;\,2;\,4} \right\}\) là tập hợp con của tập \(A\) do mọi phần tử của tập hợp \(\left\{ {1;\,2;\,4} \right\}\)đều thuộc \(A\).
+) Đáp án D: Tập hợp \(\left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5} \right\}\) không phải tập hợp con của tập \(A\) do \(5 \notin A\).
Tập hợp \(A = \left\{ {\left. {x \in \mathbb{R}} \right| - 1 < x \le 6} \right\}\) bằng tập hợp nào sau đây.
\(B = \left( { - 1;6} \right]\).
\(C = \left[ { - 1;6} \right]\).
\(D = \left( { - 1;6} \right)\).
\(E = \left[ { - 1;6} \right)\).
Chọn A
Ta có \(A = \left\{ {\left. {x \in \mathbb{R}} \right| - 1 < x \le 6} \right\}\) nên tập hợp \(A\) là tập hợp các số thực lớn hơn \( - 1\) và nhỏ hơn hoặc bằng \(6\). Do đó \(A = \left( { - 1;6} \right]\). Vậy \(A = B\).
Cho \(A = \left[ { - 1;\,2} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\left\{ 2 \right\} \subset A\).
\[\left[ { - 1;\,2} \right] \subset A\].
\[\left( { - 1;\,2} \right] \subset A\].
\(\left( { - 1;\,2} \right) \subset A\).
Chọn D
Ta có \(\left( { - 1;\,2} \right) \subset \left[ { - 1;\,2} \right)\). Do đó \(\left( { - 1;\,2} \right) \subset A\).
Tập hợp nào sau đây là tập hợp rỗng?
\(\left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {{x^2} + } \right.2 = 0} \right\}\).
\(\left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {{x^2} - } \right.2 = 0} \right\}\).
\(\left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {x - } \right.2 = 0} \right\}\).
\(\left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {x + } \right.2 = 0} \right\}\).
Chọn A
Ta có phương trình \({x^2} + 2 = 0\) vô nghiệm (do \({x^2} + 2 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)).
Vậy tập hợp \(\left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {{x^2} + } \right.2 = 0} \right\}\) là tập hợp rỗng.
Cho hai tập hợp \[A = \left\{ {x \in \mathbb{N}{{\left| x \right.}^2} - 4 = 0} \right\}\], \[B = \left\{ { - 2;\,2} \right\}\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(A = B\).
\(A \subset B\).
\(B \subset A\).
\(A = \emptyset \).
Chọn B
Ta có \({x^2} - 4 = 0\), tức là \({x^2} = 4\), suy ra \(x = 2\) hoặc \(x = - 2\).
Do \(x \in \mathbb{N}\) nên ta chọn \(x = 2\). Khi đó, \[A = \left\{ {x \in \mathbb{N}{{\left| x \right.}^2} - 4 = 0} \right\} = \left\{ 2 \right\} \subset \left\{ { - 2;\,2} \right\}\].
Vậy \(A \subset B\).
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(x + \frac{1}{y} < 2\).
\({x^2} + 2y > 4\).
\(x\left( {2x - y} \right) \ge 1\).
\(y - 2 \le 0\).
Chọn D
Xét từng đáp án:
+) Đáp án A: Bất phương trình \(x + \frac{1}{y} < 2\) không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì ẩn \(y\) ở dưới mẫu.
+) Đáp án B: Bất phương trình \({x^2} + 2y > 4\) không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa \({x^2}\).
+) Đáp án C: Ta có \(x\left( {2x - y} \right) = 2{x^2} - xy\) nên bất phương trình \(x\left( {2x - y} \right) \ge 1\) không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa \({x^2}\).
+) Đáp án D: Bất phương trình \(y - 2 \le 0\) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn với hệ số của ẩn \(x\) là 0 và hệ số của ẩn \(y\) là 1.
Bất phương trình nào sau đây không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(x + \frac{1}{y} < 2\).
\(x + 2y > 4\).
\(x \ge 1\).
\(y + 2 \le 0\).
Chọn A
Tương tự như Câu 10, ta thấy bất phương trình \(x + \frac{1}{y} < 2\) không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y > 0}\\{x + {y^2} \ge 3}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + 2y < - x + 2}\\{x + y > 3}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2y < 0}\\{2x + y + 3 < 0}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - x + {y^3} > 4}\\{x + 2y < 1}\end{array}} \right.\).
Chọn B
Xét từng đáp án:
+) Đáp án A: Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y > 0}\\{x + {y^2} \ge 3}\end{array}} \right.\) không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa \({y^2}\).
+) Đáp án B: Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + 2y < - x + 2}\\{x + y > 3}\end{array}} \right.\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì mỗi bất phương trình trong hệ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
+) Đáp án C: Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2y < 0}\\{2x + y + 3 < 0}\end{array}} \right.\) không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa \({x^2}\).
+) Đáp án D: Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - x + {y^3} > 4}\\{x + 2y < 1}\end{array}} \right.\) không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa \({y^3}\).
Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - y < 0}\\{4y \ge 0}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 3y < 0}\\{x + y < 13}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + {y^3} \le 0}\\{2y + 3 < 0}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 4}\\{x + 2y = 1}\end{array}} \right.\).
Chọn B
Xét từng đáp án:
+) Đáp án A: Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - y < 0}\\{4y \ge 0}\end{array}} \right.\) không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa \({x^2}\).
+) Đáp án B: Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 3y < 0}\\{x + y < 13}\end{array}} \right.\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì mỗi bất phương trình trong hệ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
+) Đáp án C: Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + {y^3} \le 0}\\{2y + 3 < 0}\end{array}} \right.\) không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa \({y^3}\).
+) Đáp án D: Hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 4}\\{x + 2y = 1}\end{array}} \right.\) không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì nó là hệ phương trình.
Hệ bất phương trình nào sao đây không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y < 0}\\{4y \ge 0}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 3y < 0}\\{x + y < 13}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + {y^3} \le 0}\\{2y + 3 < 0}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y < 4}\\{x + 2y > 1}\end{array}} \right.\).
Chọn C
Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + {y^3} \le 0}\\{2y + 3 < 0}\end{array}} \right.\) không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa \({y^3}\).
Hệ bất phương trình nào sao đây không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - \frac{1}{y} < 0}\\{4y \ge 0}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 3y < 0}\\{x + y < 13}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y \le 0}\\{2y + 3 < 0}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y < 4}\\{x + 2y > 1}\end{array}} \right.\).
Chọn A
Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - \frac{1}{y} < 0}\\{4y \ge 0}\end{array}} \right.\) không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa ẩn \(y\) ở dưới mẫu.
Giá trị \(\sin 180^\circ \) bằng
\(\frac{1}{2}\).
\(0\).
\(1\).
\( - 1\).
Chọn B
Ta có \(\sin 180^\circ = 0\).
Góc nào sau đây có giá trị cosin là một số âm?
\(75^\circ \).
\(24^\circ \).
\(137^\circ \).
\(88^\circ \).
Chọn C
Vì \(90^\circ < 137^\circ < 180^\circ \) nên \(\cos 137^\circ < 0\).
Giá trị \(\tan 45^\circ \) bằng
\(\sqrt 3 \).
\(0\).
\(1\).
\( - 1\).
Chọn C
Ta có \(\tan 45^\circ = 1\).
Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\).
\(\cot \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\).
\(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1\).
\(\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }}\).
Chọn B
Ta có một số hệ thức lượng giác cơ bản:
\(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\); \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\); \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1\), suy ra \(\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }}\).
Vậy khẳng định B sai.
Cho mệnh đề Px:" ∀x∈ℝ, x2+x+1>0". Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(P\left( x \right)\) là:
"∀x∈ℝ, x2+x+1<0" .
"∀x∈ℝ, x2+x+1≤0" .
"∃x∈ℝ, x2+x+1≤0" .
"x∈ℝ, x2+x+1>0".
Chọn C
Phủ định của “\(\forall \)” là “\(\exists \)”, phủ định của “>” là “\( \le \)”.
Khi đó, mệnh đề phủ định của mệnh đề \(P\left( x \right)\) là mệnh đề: "∃x∈ℝ, x2+x+1≤0".
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
Với mọi số thực \(x\), nếu \(x < - 2\) thì \({x^2} > 4\).
Với mọi số thực \(x\), nếu \({x^2} < 4\) thì \(x < - 2\).
Với mọi số thực \(x\), nếu \(x < - 2\) thì \({x^2} < 4\).
Với mọi số thực \(x\), nếu \({x^2} > 4\) thì \(x > - 2\).
Chọn A
Mệnh đề “Với mọi số thực \(x\), nếu \(x < - 2\) thì \({x^2} > 4\)” là mệnh đề đúng.
Mệnh đề ở đáp án B sai vì nếu ta chọn \(x = 1\) thì \({x^2} = {1^2} = 1 < 4\) nhưng \(1 > - 2\).
Mệnh đề ở đáp án C sai vì nếu ta chọn \(x = - 3\) thì \( - 3 < - 2\) nhưng \({x^2} = {\left( { - 3} \right)^2} = 9 > 4\).
Mệnh đề ở đáp án D sai vì nếu ta chọn \(x = - 3\) thì \({x^2} = {\left( { - 3} \right)^2} = 9 > 4\) nhưng \( - 3 < - 2\).
Cho \(A\), \(B\) là hai tập hợp bất kì. Phần tô đậm trong hình vẽ bên dưới là tập hợp nào sau đây?
\(A \cup B\).
\(B\backslash A\).
\(A\backslash B\).
\(A \cap B\).
Chọn C
Phần tô đậm trong hình vẽ trên là tập hợp các phần tử thuộc \(A\) nhưng không thuộc \(B\) nên đây là tập hợp \(A\backslash B\).
Cho tập hợp \(A = \left[ {1;\, + \infty } \right)\). Khi đó \[{C_\mathbb{R}}A\] bằng
\[{C_\mathbb{R}}A = \left( { - \infty ;\,1} \right)\].
\[{C_\mathbb{R}}A = \left( { - \infty ;\,0} \right]\].
\[{C_\mathbb{R}}A = \left( { - \infty ;\,1} \right]\].
\({C_\mathbb{R}}A = \left[ {1;\, + \infty } \right)\).
Ta có \[{C_\mathbb{R}}A = \mathbb{R}\backslash A = \mathbb{R}\backslash \left[ {1;\, + \infty } \right) = \left( { - \infty ;\,\,1} \right)\].
Phần không gạch chéo (kể cả bờ) ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình nào trong bốn bất phương trình ở các phương án A, B, C, D?
\(2x - y \le 4\).
\(2x - y \ge 4\).
\( - x + 2y \ge 4\).
\( - x + 2y \le 4\).
Chọn B
Gọi \(d:y = ax + b\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {2;\,0} \right)\) và \(\left( {0;\, - 4} \right)\), đây là đường thẳng chia mặt phẳng tọa độ thành hai phần (phần gạch chéo và phần không gạch chéo).
Khi đó, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}0 = 2a + b\\ - 4 = a \cdot 0 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 4\end{array} \right.\). Vậy \(d:y = 2x - 4\) hay \(d:2x - y = 4\).
Xét gốc tọa độ \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) thuộc phần bị gạch, ta có \(2 \cdot 0 - 0 = 0 < 4\) nên điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y \le 4\).
Vậy phần không gạch chéo (kể cả bờ) ở hình trên biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình\(2x - y \ge 4\).
Phần không bị gạch (kể cả đường thẳng \(d\)) trong hình vẽ sau đây biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình nào trong số các bất phương trình sau?
\[ - 3x + y + 2 \ge 0\].
\[ - 3x + y + 2 \le 0\].
\[3x + y - 2 \ge 0\].
\[3x + y - 2 \le 0\].
Chọn A
Gọi \(d:y = ax + b\). Từ hình vẽ ta thấy đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(\left( {\frac{2}{3};\,0} \right)\) và \(\left( {0;\, - 2} \right)\) nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 = \frac{2}{3}a + b\\ - 2 = a \cdot 0 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 2\end{array} \right.\). Vậy \(d:y = 3x - 2\) hay \(d: - 3x + y + 2 = 0\).
Xét gốc tọa độ \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) thuộc phần không bị gạch, ta có \(\left( { - 3} \right) \cdot 0 + 0 + 2 = 2 > 0\) nên điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình \[ - 3x + y + 2 \ge 0\].
Vậy phần không gạch chéo (kể cả bờ) ở hình trên biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình\[ - 3x + y + 2 \ge 0\].
Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ A, B, C, D?
\(\left\{ \begin{array}{l}y > 0\\3x + 2y < 6\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}y > 0\\3x + 2y < - 6\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\3x + 2y < 6\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\3x + 2y > - 6\end{array} \right.\).
Chọn A
Gọi \(d:y = ax + b\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {2;\,0} \right)\) và \(\left( {0;\,\,3} \right)\).
Khi đó, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}0 = 2a + b\\3 = a \cdot 0 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{3}{2}\\b = 3\end{array} \right.\). Vậy \(d:y = - \frac{3}{2}x + 3\) hay \(d:3x + 2y = 6\).
Trục \(Ox:\,y = 0\).
Quan sát các đáp án ta thấy đáp án A thỏa mãn.
Cho hình biểu diễn miền nghiệm (phần không bị gạch) của một hệ bất phương trình dưới đây:
Đó là hệ bất phương trình nào?
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y > 6\\2x - y > 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y < 6\\2y - y > 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y > 3\\2x - y > 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 3\\x - 2y < 0\end{array} \right.\).
Chọn A
Gọi \(d:y = ax + b\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {3;\,0} \right)\) và \(\left( {0;\,\,2} \right)\).
Khi đó, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}0 = 3a + b\\2 = a \cdot 0 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{2}{3}\\b = 2\end{array} \right.\). Vậy \(d:y = - \frac{2}{3}x + 2\) hay \(d:2x + 3y = 6\).
Từ đó, ta loại đáp án C và đáp án D.
Xét điểm \(\left( {3;\,\,2} \right)\) thuộc phần không bị gạch, ta có \(2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12 > 6\) nên điểm \(\left( {3;\,\,2} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(2x + 3y > 6\). Vậy ta chọn đáp án A.
Miền tam giác \(ABC\) trong hình vẽ sau, kể cả các cạnh của tam giác đó, là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?
\[\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y \ge - 2\\x - 2y \le 2\\x + y \le 5\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y \le - 2\\x - 2y \le 2\\x + y \le 5\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y \le - 2\\x - 2y \le 2\\x + y \ge 5\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y \le - 2\\x - 2y \ge 2\\x + y \le 5\end{array} \right.\].
Chọn B
Từ hình vẽ ta thấy đường thẳng \(AB\) đi hai qua điểm \(\left( {1;\,\,0} \right)\) và \(\left( {0;\, - 2} \right)\).
Tương tự Câu 27, ta xác định được \(AB: - 2x + y = - 2\).
Đường thẳng \(AC\) đi qua hai điểm \(\left( {2;\,\,0} \right)\) và \(\left( {0;\,\, - 1} \right)\) nên \(AC:x - 2y = 2\).
Đường thẳng \(BC\) đi qua hai điểm \(\left( {5;\,\,0} \right)\) và \(\left( {4;\,\,1} \right)\) nên \(BC:x + y = 5\).
Xét điểm \(\left( {2;\,\,1} \right)\) thuộc miền trong của tam giác \(ABC\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( { - 2} \right) \cdot 2 + 1 = - 3 < - 2\\2 - 2 \cdot 1 = 0 < 2\\2 + 1 = 3 < 5\end{array} \right.\).
Khi đó, điểm \(\left( {2;\,\,1} \right)\) thuộc miền nghiệm của các bất phương trình \( - 2x + y \le - 2;\,\,x - 2y \le 2\) và \(x + y \le 5\) nên nó thuộc miền nghiệm của hệ \[\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y \le - 2\\x - 2y \le 2\\x + y \le 5\end{array} \right.\].
Vậy miền tam giác \(ABC\) trong hình vẽ đã cho (kể cả các cạnh của tam giác đó) là miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y \le - 2\\x - 2y \le 2\\x + y \le 5\end{array} \right.\].
Tính \(\sin 24^\circ \) làm tròn đến hàng phần trăm.
\(0,41\).
\(0,4\).
\(0,406\).
\(0,407\).
Chọn A
Ta có\(\sin 24^\circ \approx 0,41\).
Sử dụng máy tính cầm tay và làm tròn kết quả.
Cho \(\cos \alpha = \frac{3}{5}\). Tính \(\cos \left( {180^\circ - \alpha } \right)\)?
\( - \frac{3}{5}\).
\(\frac{3}{5}\).
\(\frac{4}{5}\).
\( - \frac{4}{5}\).
Chọn A
Ta có \(\cos \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cos \alpha = - \frac{3}{5}\) (sử dụng mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau).
Cho tam giác \(ABC\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}ac\sin B\].
\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{{abc}}{{4R}}\].
\[{S_{\Delta ABC}} = \sqrt {\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \].
\[{S_{\Delta ABC}} = pr\].
Chọn C
Tam giác \(ABC\) có \(BC = a,\,AC = b,\,AB = c\), một số công thức tính diện tích tam giác:
\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}ac\sin B\];
\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{{abc}}{{4R}}\] với \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\);
\[{S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \] (công thức Heron) với \(p\) là nửa chu vi tam giác \(ABC\);
\[{S_{\Delta ABC}} = pr\] với \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).
Vậy đáp án C sai.
Cho tam giác \(ABC\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\[{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B\]
\[{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\].
\[{c^2} = {b^2} + {a^2} + 2ab\cos C\].
\[{c^2} = {b^2} + {a^2} - 2ab\cos C\].
Chọn C
Tam giác \(ABC\) có \(BC = a,\,AC = b,\,AB = c\), ta có định lí côsin: \[\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\\{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B\\{c^2} = {b^2} + {a^2} - 2ab\cos C\end{array} \right.\].
Vậy đáp án C sai.
Cho tam giác \[ABC\] với \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[\frac{{AB}}{{\sin B}} = 2R\].
\[\frac{{AB}}{{\sin A}} = 2R\].
\[\frac{{BC}}{{\sin A}} = R\].
\[\frac{{BC}}{{2\sin A}} = R\].
Chọn D
Tam giác \(ABC\) có \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta có định lí sin:
\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} = 2R\).
Vậy đáp án D đúng.
Cho tam giác \(ABC\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}ac\sin C\].
\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}bc\sin B\].
\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}ac\sin B\].
\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}bc\sin C\].
Chọn C
Tam giác \(ABC\) có \(BC = a,\,AC = b,\,AB = c\), công thức tính diện tích tam giác:
\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C\].
Vậy đáp án C đúng.
Trong tam giác \[ABC\] với \(BC = a\),\(AC = b\), \(AB = c\). Mệnh đề nào dưới đây sai?
\(a = \frac{{b\sin A}}{{\sin B}}\).
\(\sin C = \frac{{c\sin A}}{a}\).
\[a = 2R\sin A\].
\(b = R\tan B\).
Chọn D
Tam giác \(ABC\) có \(BC = a,\,AC = b,\,AB = c\) và \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta có định lí sin: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\).
Từ đó suy ra \(a = \frac{{b\sin A}}{{\sin B}}\); \(\sin C = \frac{{c\sin A}}{a}\); \[a = 2R\sin A\]; \(b = 2R\sin B\).
Do đó, đáp án D sai.
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(0,5 điểm) Một lớp học có 50 học sinh, trong đó có 35 học sinh giỏi toán, 25 học sinh giỏi văn. Biết rằng mỗi học sinh trong lớp đều giỏi ít nhất 1 môn Toán hoặc Văn. Lớp có bao nhiêu học sinh giỏi cả 2 môn Văn và Toán?
Gọi \[T\] là tập hợp học sinh giỏi Toán của lớp.
Gọi \(V\) là tập hợp học sinh giỏi Văn của lớp.
Ta có \(T \cup V\) là tập hợp tất cả học sinh của lớp.
\(T \cap V\) là tập hợp các học sinh giỏi cả 2 môn Toán và Văn.
Ta có \(\left| {T \cup V} \right| = \left| T \right| + \left| V \right| - \left| {T \cap V} \right|\)
\(\left| {T \cap V} \right| = \left| T \right| + \left| V \right| - \left| {T \cup V} \right| = 35 + 25 - 50 = 10\).
Vậy lớp có 10 học sinh giỏi cả 2 môn Toán và Văn.
a) (0,5 điểm) Một cửa hàng bán lẻ bán hai loại hạt cà phê. Loại thứ nhất giá 140 nghìn đồng/kg và loại thứ hai giá 180 nghìn đồng/kg. Cửa hàng trộn \(x\) kg loại thứ nhất và \(y\) kg loại thứ hai sao cho hạt cà phê đã trộn có giá không quá 170 nghìn đồng/kg.
Hãy viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\) thỏa mãn điều kiện đề bài và biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình tìm được trên mặt phẳng toạ độ.
b) (0,5 điểm) Một công ty cần thuê xe để chở 140 người và 9 tấn hàng. Nơi thuê xe có hai loại xe \[A\] và \[B\], trong đó loại xe \[A\] có 10 chiếc và loại xe \[B\] có 9 chiếc. Một chiếc xe loại \[A\] cho thuê với giá 4 triệu đồng, một chiếc xe loại \[B\] cho thuê với giá 3 triệu. Biết rằng mỗi xe loại \[A\] có thể chở tối đa 20 người và \(0,6\) tấn hàng; mỗi xe loại \[B\] có thể chở tối đa 10 người và \(1,5\) tấn hàng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí bỏ ra là ít nhất.
a) Theo đề bài ta có mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\)
\[140x + 180y \le 170(x + y) \Leftrightarrow 30x - 10y \ge 0 \Leftrightarrow 3x - y \ge 0\].
Bước 1: Vẽ đường thẳng \(d:3x - y = 0\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).
Bước 2: Lấy điểm \(M\left( {1;\,\,0} \right)\) không thuộc \(d\) và điểm \(M\) thỏa mãn \(3 \cdot 1 - 0 = 3 > 0\).
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ \(d\) chứa điểm \(M\left( {1;\,\,0} \right)\) (miền không bị gạch).
b) Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số xe \(A\) và \(B\). Khi đó số tiền cần bỏ ra thuê là \(f\left( {x;\,y} \right) = 4x + 3y\).
Ta có \(x\) xe loại \(A\) chở được \(20x\) người và \(0,6x\) tấn hàng.
Ta có \(y\) xe loại \(B\) chở được \(10y\) người và \(1,5y\) tấn hàng.
Khi đó số người chở được là \(20x + 10y\) và số tấn hàng chở được là \(0,6x + 1,5y\).
Ta có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}20x + 10y \ge 140\\0,6x + 1,5y \ge 9\\0 \le x \le 10\\0 \le y \le 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y \ge 14\\2x + 3y \ge 30\\0 \le x \le 10\\0 \le y \le 9\end{array} \right.\) (*).
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) ta được:
Miền nghiệm của hệ là tứ giác \(ABCD\) (kể cả biên) với \(A\left( {5;\,4} \right),\,B\left( {10;\,2} \right),\,C\left( {10;\,9} \right),\,D\left( {\frac{5}{2};\,9} \right)\).
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \(f\left( {x;\,y} \right) = 4x + 3y\) trên miền nghiệm của hệ (*).
Thay tọa độ các điểm \(A,\,B,\,C,\,D\) ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {5;\,4} \right)\).
Vậy phải thuê 5 xe loại \(A\) và 4 xe loại \(B\) để chi phí là ít nhất.
(1,0 điểm)Trên ngọn đồi có một cái tháp cao \(100\)m. Đỉnh tháp \(B\) và chân tháp \(C\) nhìn điểm \(A\) ở chân đồi dưới các góc tương ứng bằng \(30^\circ \) và \(60^\circ \) so với phương thẳng đứng. Xác định chiều cao \(HA\) của ngọn đồi.
Ta có \(\widehat {ACB} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
Xét tam giác \(ABC\), có \(\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = 180^\circ - \left( {30^\circ + 120^\circ } \right) = 30^\circ \).
Do đó, tam giác \(ABC\) cân tại \(C\).
\( \Rightarrow AC = CB = 100\) m.
Ta có \(\widehat {ACH} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
Tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) nên \(AH = AC \cdot \sin \widehat {ACH} = 100 \cdot \sin 30^\circ = 50\) m.
Vậy chiều cao của ngọn đồi là \(50\) m.
(0,5 điểm)Trên biển, tàu \(B\) ở vị trí cách tàu \(A\) \(50\)km về hướng \({\rm{N}}34^\circ {\rm{E}}\). Sau đó, tàu \(B\) chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn \(20\)km/h về hướng đông, đồng thời tàu \(A\) chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn \(30\) km/h để gặp tàu \(B\).
a) Hỏi tàu \(A\) cần phải chuyển động theo hướng nào?
b) Với hướng chuyển động đó thì sau bao lâu tàu \(A\) gặp tàu \(B\)?
Gọi thời gian để 2 tàu gặp nhau tại \(C\) là \(t\) (giờ, \(t > 0\)).
Quãng đường \(BC\) là \(20t\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).
Quãng đường \(AC\) là \(30t\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).
Áp dụng định lí sin cho tam giác \(ABC\), ta có
\[\frac{{BC}}{{\sin \alpha }} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Leftrightarrow \sin \alpha = \frac{{BC \cdot \sin B}}{{AC}} = \frac{{20t \cdot \sin 124^\circ }}{{30t}} \approx 0,5527 \Rightarrow \alpha \approx 34^\circ \].
Vậy tàu \(A\) chuyển động theo hướng tạo với vị trí ban đầu của tàu \(B\) một góc \(34^\circ \).
Xét tam giác \(ABC\), ta có \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat A} \right) = 180^\circ - \left( {124^\circ + 34^\circ } \right) = 22^\circ \).
Áp dụng định lí sin, ta có
\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow BC = \frac{{AB \cdot \sin A}}{{\sin C}} \Leftrightarrow 20t \approx \frac{{50 \cdot \sin 34^\circ }}{{\sin 22^\circ }} \Leftrightarrow t \approx 3,73\) (giờ).
Vậy sau khoảng \(3,73\) giờ thì tàu \(A\) đuổi kịp tàu \(B\).
