Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Cánh Diều có đáp án - Đề 3
28 câu hỏi
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 điểm)
Cho mệnh đề A: “∀x∈ℝ,x2−x+7<0”. Mệnh đề phủ định của A là:
A¯:"∃x∈ℝ, x2−x+7<0";
A¯:"∀x∈ℝ,x2−x+7>0";
A¯:"∀x∈ℝ,x2−x+7>0";
A¯:"∃x∈ℝ,x2−x+7≥0"
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có:
Phủ định của \(\forall \) là \(\exists \);
Phủ định của \( < \) là \( \ge \).
Khi đó phủ định của mệnh đề A là: A¯:"∃x∈ℝ,x2−x+7≥0".
Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề?
Hà Nội là thủ đô của Việt Nam;
Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau;
2 là số nguyên tố;
Hôm nay là thứ mấy?.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Câu “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” là khẳng định đúng. Do đó “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” là mệnh đề.
Câu “Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau” là khẳng định sai. Do đó “Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau” là mệnh đề.
Câu “2 là số nguyên tố” là khẳng định đúng. Do đó “2 là số nguyên tố” là mệnh đề.
Câu “Hôm nay là thứ mấy?” là câu hỏi nên không là mệnh đề.
Biểu diễn mệnh đề “Tồn tại số thực \(x\) để \(x\) chia hết cho 2” dưới dạng kí hiệu là
“\(\forall x \in \mathbb{Z}|x\,\, \vdots \,\,2\)”;
“\(\forall x \in \mathbb{R}|x\,\, \vdots \,\,2\)”;
“\(\exists x \in \mathbb{Z}|x\,\, \vdots \,\,2\)”;
“\(\exists x \in \mathbb{R}|x\,\, \vdots \,\,2\)”.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Biểu diễn mệnh đề “Tồn tại số thực \(x\) để \(x\) chia hết cho 2” dưới dạng kí hiệu là
“\(\exists x \in \mathbb{R}|x\,\, \vdots \,\,2\)”.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
Tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ;
Tổng của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn;
Tích của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn;
Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
A là mệnh đề sai: Ví dụ: 1 + 3 = 4 là số chẵn nhưng 1, 3 là số lẻ.
B là mệnh đề sai: Ví dụ: 1 + 3 = 4 là số chẵn nhưng 1, 3 là số lẻ.
C là mệnh đề sai: Ví dụ: 2.3 = 6 là số chẵn nhưng 3 là số lẻ.
D là mệnh đề đúng: Ví dụ: 1.3 = 3 là số lẻ và 1, 3 đều là số lẻ.
Lớp \(10A\) có \(45\) học sinh, trong đó có \(15\) học sinh được xếp loại học lực giỏi, \(20\) học sinh được xếp loại hạnh kiểm tốt, \(10\) em vừa xếp loại học lực giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi có bao nhiêu học sinh xếp loại học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt?
\(45\);
\(35\);
\(25\);
\(10\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Gọi \(A\) là tập hợp học sinh lớp 10A; \(B\) là tập học sinh được xếp loại học lực giỏi; \(C\) là tập học sinh được xếp loại hạnh kiểm tốt. Khi đó tập hợp cần tìm là tập \[B \cup C\]. Được thể hiện trong biểu đồ Ven như sau:
Khi đó \(\left| {B \cup C} \right| = \left| B \right| + \left| C \right| - \left| {B \cap C} \right| = 15 + 20 - 10 = 25\)
Vậy có 25 học sinh xếp loại học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt.
Cho hai tập hợp: \(M = \left\{ {x \ge 0|{x^2} < 4} \right\}\) và \(N = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 4 < x - 5 < 4} \right\}\). Biết \(L = M \cap N\). Vậy ta có: \(L = ?\)
\(\left[ {1;\,\,2} \right]\);
\(\left( {1;\,\,2} \right)\);
\(\left[ {0;\,\,4} \right]\);
\(\left( {0;\,\,4} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(M = \left\{ {x \ge 0|{x^2} < 4} \right\} = \left[ {0;2} \right)\);
\(N = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 4 < x - 5 < 4} \right\} = \left\{ {x \in \mathbb{R}|1 < x < 9} \right\} = \left( {1;\,\,9} \right)\).
Vậy \(L = M \cap N = \left( {1;\,\,2} \right)\).
Tính chất đặc trưng của các phần tử thuộc tập hợp \(L = \left\{ {x \in \mathbb{N}|x \le 10} \right\}\)
Đều là các số nguyên nhỏ hơn hoặc bằng 10;
Đều là các số tự nhiên nhỏ hơn 10;
Đều là các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 10;
Đều là các số thực nhỏ hơn hoặc bằng 10.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Tính chất đặc trưng của các phần tử thuộc tập hợp \(L = \left\{ {x \in \mathbb{N}|x \le 10} \right\}\) đều là các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 10.
Cho tập hợp \(A = \left( { - \infty ;\,\,5} \right)\) và \(B = \left[ { - 1;\,\, + \infty } \right)\). Tập hợp nào là tập con của tập \(A \cap B\)?
\(\left[ { - 1;\,\,4} \right]\);
\(\left[ {5;\,\, + \infty } \right)\);
\(\left( { - \infty ;\,\, - 1} \right)\);
\(\left( { - 1;\,\,5} \right]\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(A = \left( { - \infty ;\,5} \right)\) và \(B = \left[ { - 1;\, + \infty } \right)\)
Suy ra \(A \cap B = \left[ { - 1;\,5} \right)\)
Vì vậy \(\left[ { - 1;\,4} \right]\) là tập con của tập \(A \cap B\).
Phần nào của hình ảnh sau đây là miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\2x + 3y < 10\end{array} \right.\) ?
(1);
(2);
(3);
(4).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét hệ bất phương trình hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\2x + 3y < 10\end{array} \right.\)
Miền nghiệm của bất phương trình \(x - 2y \le 0\) là nửa mặt phẳng (có kể cả bờ) bờ \(x - 2y = 0\), chứa điểm \(\left( { - 2;2} \right)\).
Miền nghiệm của bất phương trình \(2x + 3y < 10\) là nửa mặt phẳng (không kể bờ) bờ \(2x + 3y = 10\), chứa điểm \(\left( { - 2;2} \right)\).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\2x + 3y < 10\end{array} \right.\) là giao của hai miền nghiệm trên.
Vậy phần (3) là miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\2x + 3y < 10\end{array} \right.\).
Bất phương trình nào dưới đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn ?
\(x - {y^2} \ge 2\);
\({x^3} + 7y < 0\);
\(4x - 9y > - 3\);
\(x - y + z < 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là: \(4x - 9y > - 3\).
Trong các hệ bất phương trình sau, đâu không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ?
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y > 4\\2x + y < 19\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\2x + y < 19\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - y > 0\\x + y < 6\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 3 > 4\\2x + y + 2 < 19\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ bao gồm 2 hay nhiều các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - y > 0\\x + y < 6\end{array} \right.\)không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(3x - 5y \ge 2\) là
\(\left( {3;\,\,2} \right)\);
\(\left( {3;\,\,1} \right)\);
\(\left( { - 3;\,\,1} \right)\);
\(\left( {3;\,\,5} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Thay \(x = 3\) và \(y = 1\) vào biểu thức \(3x - 5y\) ta có: \(3 \cdot 3 - 5 \cdot 1 = 9 - 5 = 4 \ge 2\).
Vậy cặp số \(\left( {3;\,\,1} \right)\) là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(3x - 5y \ge 2\).
Ta không thể vận dụng định lí sin, định lí côsin để giải một tam giác thường nếu biết những yếu tố nào sau đây ?
Số đo một góc và độ dài hai cạnh;
Độ dài ba cạnh;
Số đo hai góc và độ dài một cạnh;
Độ dài hai cạnh.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Để giải một tam giác thường ta cần ít nhất ba yếu tố, trong đó có không quá 2 yếu tố về góc. Như vậy, ta không thể giải một tam giác thường nếu chỉ có độ dài hai cạnh.
Cho góc \(\alpha \) biết \(\alpha = 180^\circ \), \({\rm{cos}}\alpha \) nhận giá trị nào sau đây ?
\(0\);
\(1\);
\( - 1\);
\( - \frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Do \(\alpha = 180^\circ \) nên ta có: \[{\rm{cos}}\alpha = - 1\].
Cho góc \(\alpha \in \left( {0^\circ ;\,\,90^\circ } \right)\) kết luận nào sau đây đúng?
\(\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) > 0\);
\(\tan \left( {90^\circ - \alpha } \right) < 0\);
\(\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) < 0\);
\[\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) < 0\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Với \(\alpha \in \left( {0^\circ ;\,\,90^\circ } \right)\) ta có \(\sin \alpha > 0,\,\,\cos \alpha > 0,\,\tan \alpha \, > 0,\,\cot \alpha > 0\).
Do đó \(\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = {\rm{cos}}\alpha > 0\).
Cho tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là \(a\), \(b\), \(c\), các góc đối diện các cạnh đó lần lượt là \(\alpha \), \(\beta \), \(\varphi \), diện tích tam giác đó là \(S\), nửa chu vi tam giác là \(p\). Khẳng định nào sau đây là sai ?
\(\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin \beta }} = \frac{c}{{\sin \varphi }}\);
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos \alpha \);
\({a^2} + {c^2} = {b^2} + 2ac \cdot \cos \beta \);
\({a^2} = {b^2} - {c^2} + 2bc \cdot \cos \alpha \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Áp dụng định lí côsin ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos \alpha \).
Vậy khẳng định \({a^2} = {b^2} - {c^2} + 2bc \cdot \cos \alpha \) là sai.
Cho \(\cot \alpha = \frac{1}{3}\), giá trị của biểu thức\(A = \frac{{3\sin \alpha + 4\cos \alpha }}{{2\sin \alpha - 5\cos \alpha }}\)bằng
\(13\);
\(\frac{{15}}{{13}}\);
\( - \frac{{15}}{{13}}\);
\( - 13\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(A = \frac{{3\sin \alpha + 4\cos \alpha }}{{2\sin \alpha - 5\cos \alpha }}\) \( \Leftrightarrow \) \(A = \frac{{3\sin \alpha + 4\sin \alpha .\cot \alpha }}{{2\sin \alpha - 5\sin \alpha .\cot \alpha }}\)
\( \Leftrightarrow A = \frac{{\sin \alpha \left( {3 + 4\cot \alpha } \right)}}{{\sin \alpha \left( {2 - 5\cot \alpha } \right)}} = \frac{{3 + 4\cot \alpha }}{{2 - 5\cot \alpha }}\)
\( \Leftrightarrow A = \frac{{3 + 4.\frac{1}{3}}}{{2 - 5.\frac{1}{3}}} = 13\).
Khoảng cách từ \(A\) đến \(B\) không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được điểm \(C\) mà từ đó có thể nhìn được \(A\) và \(B\) dưới một góc \({60^o}\). Biết \(CA = 200m\), \(CB = 180m\). Tính khoảng cách \(AB\).
\(36\,\,400m\);
\(228m\);
\(20\sqrt {91} m\);
\(25\sqrt {91} m\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét tam giác \(ABC\). Áp dụng định lí cosin cho tam giác \(ABC\) ta có:
\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC.BC.cosC\)
\( \Leftrightarrow A{B^2} = {200^2} + {180^2} - 2.200.180.cos{60^o}\)
\( \Leftrightarrow A{B^2} = 36400\)
\( \Leftrightarrow AB = 20\sqrt {91} \).
Vậy \(AB = 20\sqrt {91} \,\,\left( m \right)\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 5\,\,cm\), \(AC = 7\,cm\), \(BC = 6\,\,cm\). Số đo \(\widehat {ABC}\) là (làm tròn kết quả đến độ)
\(79^\circ \);
\(78^\circ \);
\(77^\circ \);
\(76^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xét tam giác \(ABC\)
Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:
\(\cos \widehat {ABC} = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB \cdot BC}} = \frac{{{5^2} + {6^2} - {7^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot 6}} = \frac{1}{5}\).
Do đó, \(\widehat {ABC} \approx 78^\circ \).
Cho tam giác \(MNP\) có \(MN = 4\,cm\), \(\widehat {MNP} = 30^\circ \), \(\widehat {MPN} = 45^\circ \). Độ dài cạnh \(MP\) là
2 cm;
3 cm;
\(2\sqrt 2 \) cm;
\(3\sqrt 2 \) cm.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét tam giác \(MNP\)
Áp dụng định lí sin ta có:
\(\frac{{MN}}{{\sin \widehat {MPN}}} = \frac{{MP}}{{\sin \widehat {MNP}}} \Rightarrow \frac{4}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{MP}}{{\sin 30^\circ }} \Rightarrow MP = \frac{{4.\sin 30^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{4.\frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = 2\sqrt 2 \) (cm).
Cho hình vuông \(ABCD\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} \) cùng hướng;
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng hướng;
\(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BD} \) ngược hướng;
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) không cùng phương.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét hình vuông \(ABCD\) có: \(AB{\rm{//}}CD\)
\(\overrightarrow {AB} \) có hướng từ trái sang phải
\(\overrightarrow {DC} \) có hướng từ trái sang phải
Vậy \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} \) cùng hướng.
Cho đoạn thẳng \(AB\) có trung điểm \(M\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Giá của vectơ \(\overrightarrow {AM} \) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\);
Điểm đầu của vectơ \(\overrightarrow {AM} \) là \(M\);
Điểm cuối của vectơ \(\overrightarrow {BA} \) là \(B\);
Giá của vectơ \(\overrightarrow {MB} \) là đường thẳng \(AB\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vectơ \(\overrightarrow {MB} \) có điểm đầu là \(M\), điểm cuối là \(B\). Giá là đường thẳng \(AB\) do đường thẳng này đi qua cả điểm \(M\) và điểm \(B\).
Cho ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) phân biệt. Ta có: \(\overrightarrow {AC} = ?\)
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} \);
\(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} \);
\(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AB} \);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Áp dụng quy tắc hiệu cho ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) phân biệt. Ta có:
\(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \).
Miền nghiệm của bất phương trình \(x - 2y + 4 < 0\) là phần không bị gạch trong hình vẽ nào dưới đây
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vẽ đường thẳng \(d:x - 2y + 4 = 0\).
Đường thẳng \(d\) là đường thẳng đi qua \(A(0;\,2)\) và \(B( - 4;\,0)\).
Xét điểm \(O(0;\,0)\) ta có \(0 - 2.0 + 4 > 0\) vì vậy điểm \(O(0;\,0)\) không là nghiệm của bất phương trình.
Suy ra miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng \(x - 2y + 4 = 0\) và không chứa điểm \(O\) và không kể đường thẳng \(d\).
Vì vậy hình vẽ ở đáp án D biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(x - 2y + 4 < 0\)
Điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?
\(\left\{ \begin{array}{l}3x > 0\\2x - y > 1\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 4y < 1\\x - 3y + 2 \le 0\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 1 \ge 0\\3x - 4y > - 2\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y < 0\\4x - 3y \ge 0\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
+ Thay \(x = 0\) và \(y = 0\) vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:
\(3.0 > 0 \Leftrightarrow 0 > 0\) là một mệnh đề sai.
\(2.0 - 0 > 1 \Leftrightarrow 0 > 1\) là một mệnh đề sai.
Do đó điểm \(O(0;\,\,0)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+ Thay \(x = 0\) và \(y = 0\) vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:
\(2.0 + 4.0 < 1 \Leftrightarrow 0 < 1\) là một mệnh đề đúng.
\(0 - 3.0 + 2 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le 0\) là một mệnh đề sai.
Do đó điểm \(O(0;\,\,0)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+ Thay \(x = 0\) và \(y = 0\) vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:
\(0 - 2.0 + 1 \ge 0 \Leftrightarrow 1 \ge 0\) là một mệnh đề đúng.
\(3.0 - 4.0 > - 2 \Leftrightarrow 0 > - 2\) là một mệnh đề đúng.
Do đó điểm \(O(0;\,\,0)\) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+ Thay \(x = 0\) và \(y = 0\) vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:
\(2.0 + 0 < 0 \Leftrightarrow 0 < 0\) là một mệnh đề sai.
\(4.0 - 3.0 \ge 0 \Leftrightarrow 0 \ge 0\) là một mệnh đề đúng.
Do đó điểm \(O(0;\,\,0)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
II. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)
(1 điểm) Cửa hàng của cô Liên có hai loại bưởi, bưởi loại I có giá là 400 000 đồng một quả, bưởi loại II có giá là 80 000 đồng một quả. Cô Liên chọn một lượng bưởi để làm giỏ quà cho khách hàng, biết số bưởi loại II ít nhất phải chọn là 5 quả. Do điều kiện kinh tế của khách nên số bưởi loại I phải chọn tối đa là 4 quả. Biết chọn 1 quả bưởi loại I có lãi 10 000 đồng, chọn 1 quả bưởi loại II có lãi 2 000 đồng. Khách hàng chỉ chi tối đa 1 600 000 đồng cho giỏ quà. Cô Liên cần chọn bưởi như thế nào để thu được lãi cao nhất ?
Gọi số bưởi loại II cô Liên chọn là \(x\) (quả), số bưởi loại I cô Liên chọn là \(y\) (quả).
Chi phí cho giỏ quà là: \(80\,\,000x + 400\,\,000y\) (đồng)
Chi phí này không được phép vượt quá mức chi tối đa là 1 600 000 đồng nên ta có: \(80\,\,000x + 400\,\,000y \le 1\,\,600\,\,000 \Leftrightarrow x + 5y \le 20 \Leftrightarrow x + 5y - 20 \le 0\).
Do số bưởi loại I phải chọn tối đa là 4 quả, số bưởi loại II ít nhất phải chọn là 5 quả nên \(x \ge 5\) và \(y \le 4\).
Đồng thời, do \(x\), \(y\) là số quả bưởi nên \(x \ge 0\), \(y \ge 0\).
Số tiền lãi của giỏ quà là: \(2\,\,000x + 10\,\,000y\).
Để có khả năng thu được lãi cao nhất, ta phải xác định \(x\), \(y\) sao cho \(M\left( {x;y} \right) = 2\,000x + 10\,000y\) đạt giá trị lớn nhất với \(x\), \(y\) thỏa mãn hệ bất phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 5y - 20 \le 0\\x \ge 5\\0 \le y \le 4\end{array} \right.\) (*)
Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng \(d:x + 5y - 20 = 0\), \(d':x = 5\), \(d'':y = 4\)
Khi đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là miền tam giác không tô màu trong hình vẽ dưới đây:
Giá trị lớn nhất của \(M\left( {x;y} \right) = 2\,\,000x + 10\,\,000y\) đạt được tại một trong các điểm đỉnh của miền tam giác, đó là các điểm \(\left( {5;\,\,3} \right)\), \(\left( {5;\,\,0} \right)\); \(\left( {20;\,\,0} \right)\).
Ta có:
\(M\left( {5;\,\,3} \right) = 40\,\,000\)
\(M\left( {5;\,\,0} \right) = 10\,\,000\)
\(M\left( {20;\,\,0} \right) = 40\,\,000\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(M\left( {x;y} \right) = 2\,\,000x + 10\,\,000y\) là 40 000 (đồng) tại điểm \(\left( {5;3} \right)\) hoặc \(\left( {20;\,\,0} \right)\).
Vậy để thu được lãi cao nhất cô liên có hai cách chọn bưởi, cách thứ nhất là chọn 5 quả bưởi loại II và 3 quả bưởi loại I, cách thứ hai là chọn 20 quả bưởi loại II và không chọn bưởi loại I.
(1,0 điểm) Cho tập hợp \(A = \left( { - \infty ;m + 1} \right]\) và \(B = \left( { - 2;\, + \infty } \right)\).
a) Xác định tập \(A \cap B\) với \(m = 2\).
b) Xác định \(m\) để \(A \cap B = \emptyset \).
Hướng dẫn giải
Tập hợp \(A = \left( { - \infty ;\,m + 1} \right]\) và \(B = \left( { - 2;\, + \infty } \right)\)
a) Với \(m = 2\) ta có \(A = \left( { - \infty ;\,3} \right]\) và \(B = \left( { - 2;\, + \infty } \right)\)
Ta có:
Vậy tập \(A \cap B = \left( { - 2;\,3} \right]\).
b) Để \(A \cap B = \emptyset \) thì \(m + 1 \le - 2 \Leftrightarrow m \le - 3\)
Vậy \(m \le - 3\) thì \(A \cap B = \emptyset \).
(1 điểm) Bạn Nam đứng ở chân một tòa nhà, Nam nhìn hướng lên \(24^\circ \) thì thấy ngọn của một cái cây. Và nếu Nam đứng ở đỉnh của tòa nhà ấy, biết tòa nhà cao 155 m, Nam nhìn hướng xuống một góc \(60^\circ \) so với phương nằm ngang để thấy ngọn của cái cây đó. Tính chiều cao của cái cây (làm tròn đến hàng phần trăm).
Kí hiệu như hình vẽ trên với \(A\), \(C\) lần lượt là đỉnh và chân của tòa nhà; \(B\) và \(D\) lần lượt là đỉnh và gốc của cây.
Xét tam giác \(ABC\)
Do \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {BCD} = 24^\circ \\\widehat {BCD} + \widehat {ACB} = 90^\circ \end{array} \right. \Rightarrow \widehat {ACB} = 66^\circ \).
Do \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {xAB} = 60^\circ \\\widehat {xAB} + \widehat {CAB} = 90^\circ \end{array} \right. \Rightarrow \widehat {CAB} = 30^\circ \).
Suy ra \(\widehat {ABC} = 180^\circ - \left( {66^\circ + 30^\circ } \right) = 84^\circ \).
Áp dụng định lí sin ta có:
\(\frac{{BC}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{AC}}{{\sin 84^\circ }} \Rightarrow BC = \frac{{AC \cdot \sin 30^\circ }}{{\sin 84^\circ }} = \frac{{155 \cdot \sin 30^\circ }}{{\sin 84^\circ }} \approx 77,93\) (m).
Xét tam giác \(CBD\) vuông tại \(D\)
Ta có: \(\sin \widehat {BCD} = \frac{{BD}}{{BC}} \Rightarrow \sin 24^\circ \approx \frac{{BD}}{{77,93}} \Rightarrow BD \approx 77,93 \cdot \sin 24^\circ \approx 31,70\) (m)
Vậy chiều cao của cái cây khoảng 31,70 mét.
