Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Cánh Diều có đáp án - Đề 4
28 câu hỏi
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 điểm)
Cho mệnh đề chứa biến P:"a+3≥2". Với giá trị nào của a ta được mệnh đề sai?
\(a = - 2\);
\(a = 7\);
\(a = - 1\);
\(a = 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Với \(a = - 2\) ta có mệnh đề là mệnh đề sai. Do đó A đúng.
Với \(a = 7\) ta có mệnh đề là mệnh đề đúng. Do đó B sai.
Với \(a = - 1\) ta có mệnh đề là mệnh đề đúng. Do đó C sai.
Với \(a = 1\) ta có mệnh đề là mệnh đề đúng. Do đó D sai.
Câu nào dưới đây là một mệnh đề?
“Tháng 8 dương lịch có 31 ngày.”;
“Số 2 022 có chia hết cho 20 không?”;
“Vườn hoa này đẹp quá!”;
“Cảnh báo đường trơn, hãy lái xe cẩn thận!”.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Câu “Tháng 8 dương lịch có 31 ngày.” là một khẳng định đúng nên nó là mệnh đề.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề: “số 12 chia hết cho 4 và 3” là
“Số 12 hoặc chia hết cho 4 hoặc chia hết cho 3”;
“Số 12 không chia hết cho 4 và không chia hết cho 3”;
“Số 12 không chia hết cho 4 hoặc không chia hết cho 3”;
“Số 12 không chia hết cho 4 và chia hết cho 3”.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Mệnh đề phủ định của mệnh đề “số 12 chia hết cho 4 và 3” là “Số 12 không chia hết cho 4 hoặc không chia hết cho 3”.
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 1 \Rightarrow x > - 1\);
\(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 1 \Rightarrow x > 1\);
\(\forall x \in \mathbb{R},x > - 1 \Rightarrow {x^2} > 1\);
\(\forall x \in \mathbb{R},x > 1 \Rightarrow {x^2} > 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+) Ta có: \({x^2} > 1 \Rightarrow \left| x \right| > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\ - x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\). Do đó mệnh đề A, B sai.
+) Ta có: \(x > - 1 \Rightarrow {x^2} > 1\) là mệnh đề sai vì với \(x = - \frac{1}{2} > - 1\) nhưng \({\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} < 1\). Do đó C sai và D đúng.
Cho hai tập hợp \[A = \left\{ {1;\,2;\,3} \right\}\] và \[B = \left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5} \right\}\]. Có tất cả bao nhiêu tập \[X\] thỏa mãn \[A \subset X \subset B\]?
\[4\];
\[5\];
\[6\];
\[8\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
+) Ta có \[A \subset X\] nên \[X\] có ít nhất \[3\] phần tử \[\left\{ {1;\,2;\,3} \right\}\].
+) Mà \[X \subset B\] nên \[X\] có nhiều nhất \[5\] phần tử và các phần tử thuộc \[X\] cũng phải thuộc \[B\].
Do đó các tập \[X\] thỏa mãn là \[\left\{ {1;\,2;\,3} \right\},\,\left\{ {1;\,2;\,3;\,4} \right\},\,\left\{ {1;\,2;\,3;\,5} \right\},\,\left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5} \right\}\].
Vì vậy có \[4\] tập \[X\] thỏa mãn.
Cho hai tập hợp \(A = \left[ { - 2;\,3} \right]\) và \(B = \left( {0;\,\, + \infty } \right)\). Tập hợp \(A \cap B\) là
\(\left[ { - 2;\,\, + \infty } \right)\);
\(\left( {0;\,\,3} \right]\);
\(\left[ {0;\,\,3} \right]\);
\(\left( {0;\,\,3} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(A \cap B = \left[ { - 2;\,\,3} \right] \cap \left( {0;\,\, + \infty } \right) = \left( {0;\,\,3} \right]\).
Cho tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 8 \le x < 2} \right\}\). Viết tập hợp \(A\) dưới dạng kí hiệu đoạn, khoảng hoặc nửa khoảng ta được
\(A = \left\{ { - 8;\,\,2} \right\}\);
\(A = \left( { - 8;\,\,2} \right)\);
\(A = \left[ { - 8;\,\,2} \right]\);
\(A = \left[ { - 8;\,\,2} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 8 \le x < 2} \right\} = \left[ { - 8;\,\,2} \right)\).
Hình nào sau đây minh họa \[A\] là tập con của \[B\]?
Hình 1;
Hình 2;
Hình 3;
Hình 4.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Tập hợp \[A\] là con của tập hợp \[B\] khi và chỉ khi với mọi giá trị \[x\] thuộc tập \[A\] đều thuộc tập \[B\] nên hình vẽ biểu diễn cho tập hợp \[A\] là con của tập hợp \[B\] là:
Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu
chúng có cùng hướng và cùng độ dài;
chúng có hướng ngược nhau và cùng độ dài;
chúng có cùng độ dài;
chúng có cùng phương và cùng độ dài.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài.
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x + 5y > 2\) là
nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d:x + 5y = 2\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) (kể cả bờ \(d\));
nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d:x + 5y = 2\) không chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) (kể cả bờ \(d\));
mửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d:x + 5y = 2\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) (không kể bờ \(d\));
nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d:x + 5y = 2\) không chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) (không kể bờ \(d\)).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(0 + 5 \cdot 0 = 0 < 2\), do đó miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x + 5y > 2\) là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d:x + 5y = 2\) không chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) (không kể bờ \(d\)).
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\({x^2} + 3{y^2} \ge 9\);
\({3^3}x + {4^2}y > 25\);
\(\frac{2}{x} + \frac{3}{y} < 5\);
\( - xy + {3^2}y < 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({3^3}x + {4^2}y > 25 \Leftrightarrow 27x + 16y > 25\), đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Điểm \[A\left( { - 1;\,3} \right)\] là điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình
\[ - 3x + 2y - 4 > 0\];
\[x + 3y < 0\];
\[3x - y > 0\];
\[2x - y + 4 > 0\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
+)Thay \[x = - 1;\,y = 3\] vào bất phương trình \[ - 3x + 2y - 4 > 0\] ta được \[ - 3.( - 1) + 2.3 - 4 = 5 > 0\] là một mệnh đề đúng. Do đó A đúng.
+) Thay \[x = - 1;\,y = 3\] vào bất phương trình \[x + 3y < 0\] ta được \[ - 1 + 3.3 = 8 < 0\] là một mệnh đề sai. Do đó B sai.
+) Thay \[x = - 1;\,y = 3\]vào bất phương trình \[3x - y > 0\] ta được \[3.( - 1) - 3 = - 6 > 0\] là một mệnh đề sai. Do đó C sai.
+) Thay \[x = - 1;\,y = 3\]vào bất phương trình \[2x - y + 4 > 0\] ta được \[2.( - 1) - 3 + 4 = - 1 > 0\] là một mệnh đề sai. Do đó D sai.
Hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 5{y^2} \ge 1\\ - x + y < 2\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x{y^2} < 1\\x + 2y > - 4\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{3x}} + \frac{1}{y} > 1\\\frac{2}{x} + y > 3\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y < 1\\{5^2}x + 7y > 2\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y < 1\\{5^2}x + 7y > 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y < 1\\25x + 7y > 2\end{array} \right.\), đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì các bất phương trình trong hệ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Cặp số nào sau đây là một nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y \le 2\\2x + y < 8\\ - x + 3y \ge 6\end{array} \right.\)?
\(\left( {2;\, - 3} \right)\);
\(\left( {4;\,\,1} \right)\);
\(\left( { - 2;\,\, - 2} \right)\);
\(\left( { - 1;\,\,5} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \( - 1 - 5 = - 6 < 2;\,\,2 \cdot \left( { - 1} \right) + 5 = 3 < 8;\,\, - \left( { - 1} \right) + 3 \cdot 5 = 16 > 6\).
Vậy cặp số \(\left( { - 1;\,\,5} \right)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y \le 2\\2x + y < 8\\ - x + 3y \ge 6\end{array} \right.\).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x - 2y < 0\\x + 3y > - 2\\y - x < 3\end{array} \right.\] là phần không tô đậm của hình vẽ nào trong các hình vẽ sau?
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
+) Miền nghiệm của bất phương trình \[x - 2y < 0\]:
Vẽ đường thẳng \[{d_1}:x - 2y = 0\] đi qua hai điểm \[\left( {0;\,0} \right)\] và \[\left( {2;\,1} \right)\].
Chọn điểm \[M\left( {0;\,1} \right) \notin {d_1}\] và thay vào bất phương trình ta được: \[0 - 2.1 = - 2 < 0\].
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \[x - 2y < 0\] là nửa mặt phẳng bờ \[{d_1}\] chứa \[M\left( {0;\,1} \right)\].
+) Miền nghiệm của bất phương trình \[x + 3y > - 2\]:
Vẽ đường thẳng \[{d_2}:x + 3y = - 2\] đi qua hai điểm \[\left( {0;\,\frac{{ - 2}}{3}} \right)\] và \[\left( { - 2;\,0} \right)\].
Chọn điểm \[M\left( {0;\,1} \right) \notin {d_2}\] và thay vào bất phương trình ta được \[0 + 3.1 = 3 > - 2\].
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \[x + 3y > - 2\] là nửa mặt phẳng bờ \[{d_2}\] chứa \[M\left( {0;\,1} \right)\].
+) Miền nghiệm của bất phương trình \[y - x < 3\]:
Vẽ đường thẳng \[{d_3}: - x + y = 3\] đi qua hai điểm \[\left( {0;\, - 3} \right)\] và \[\left( {0;\,3} \right)\].
Chọn điểm \[M\left( {0;\,1} \right) \notin {d_3}\] và thay vào bất phương trình ta được \[ - 0 + 1 = 1 < 3\].
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \[y - x < 3\] là nửa mặt phẳng bờ \[{d_3}\] chứa \[M\left( {0;\,1} \right)\]
Giao của ba miền nghiệm trên ta sẽ được miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho và là miền không tô đậm trong hình vẽ và không kể đường thẳng \({d_1};\,\,{d_2};\,\,{d_3}\).
Cho \[\alpha \] là góc tù. Khẳng định nào sau đây là sai?
\[\cos \alpha < 0\];
\[\sin \alpha < 0\];
\[\tan \alpha < 0\];
\[\cot \alpha < 0\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Khi góc \[\alpha \] tù thì \[\sin \alpha > 0,\,\cos \alpha < 0,\,\tan \alpha < 0,\,\cot \alpha < 0\].
Cho tam giác \(ABC\) với \(BC = a,\,\,AC = b,\,\,AB = c\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos A\);
\({a^2} = {b^2} + {c^2}\);
\({b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca \cdot \cos B\);
\({c^2} = {b^2} + {a^2} - 2ba \cdot \cos C\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Theo định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos A\)
\({b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca \cdot \cos B\)
\({c^2} = {b^2} + {a^2} - 2ba \cdot \cos C\)
Do đó, đáp án A, C, D đúng.
Đáp án B sai vì đẳng thức \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) chỉ xảy ra khi tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
Cho góc \(\alpha \) và \(\beta \) thỏa mãn \(\tan \alpha = \cot \beta \). Mối liên hệ của hai góc đó là
\(\alpha \) và \(\beta \) bù nhau;
\(\alpha \) và \(\beta \) phụ nhau;
\(\alpha \) và \(\beta \) bằng nhau;
\(\alpha \) và \(\beta \) không có mối liên hệ.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\tan \alpha = \cot \beta \) khi \(\alpha \) và \(\beta \) phụ nhau.
Giá trị của biểu thức \[P = \cos 30^\circ .\cos 60^\circ - \sin 30^\circ .\sin 60^\circ \] là?
\[P = \sqrt 3 \];
\[P = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\];
\[P = 1\];
\[P = 0\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+) Cách 1: \[P = \cos 30^\circ .\cos 60^\circ - \sin 30^\circ .\sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{2} - \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 0\].
+) Cách 2: \[P = \cos 30^\circ .\cos 60^\circ - \sin 30^\circ .\sin 60^\circ = \cos 30^\circ .\cos 60^\circ - \cos 60^\circ .\cos 30^\circ = 0\].
Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn có bán kính \(R = 12\) và\(\,\widehat C = 30^\circ \). Độ dài cạnh \(AB\) bằng
6;
12;
\(12\sqrt 3 \);
24.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có: \[\frac{{AB}}{{\sin C}} = 2R\].
Suy ra \(AB = 2R\sin C = 2 \cdot 12 \cdot \sin 30^\circ = 12\).
Cho tam giác \(ABC\) có \[AB = 10,\,\,\widehat C = 45^\circ ,\,\,\widehat B = 60^\circ \]. Độ dài cạnh \(AC\) là
\(5\sqrt 3 \);
\(5\sqrt 6 \);
\(10\sqrt 3 \);
\(10\sqrt 6 \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \), suy ra \(\cos A = - \cos \left( {B + C} \right) = - \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) (hai góc bù nhau).
Theo định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos A = {2^2} + {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 4\).
Suy ra \(BC = 2\).
Trên sườn đồi, với độ dốc \[12\% \] (độ dốc của sườn đồi được tính bằng tan góc nhọn tạo bởi sườn đồi với phương ngang) có một cây cao mọc thẳng đứng. Ở phía chân đồi, cách gốc cây \[30\]m, người ta nhìn ngọn cây dưới một góc \[45^\circ \] so với phương ngang. Hỏi chiều cao của cây là bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị mét)?
\[26\];
\[30\];
\[6\];
\[15\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Coi người quan sát từ điểm \[A\] cách gốc cây \[B\] một khoảng bằng \[30\]m, nhìn ngọn cây \[C\] dưới góc \[45^\circ \]. Ta có hình vẽ sau:
Khi đó \[AB = 30\,\,m,\widehat {CAH} = 45^\circ \].
Do sườn đồi có độ dốc \[12\% \], nên sườn đồi tạo với phương ngang một góc \[\widehat {BAH} \approx 7^\circ \].
Từ đó \[\widehat {BAC} = \widehat {HAC} - \widehat {HAB} \approx 45^\circ - 7^\circ = 38^\circ \] và \[\widehat {BCA} = 45^\circ \].
Áp dụng định lí sin cho tam giác \[ABC\], ta được:
\[BC = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {BCA}}}.\sin \widehat {BAC} = \frac{{30}}{{\sin 38^\circ }}.\sin 45^\circ \approx 26\](m).
Vậy chiều cao của cây khoảng \(26\,\,m\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2,\,\,AC = 2\sqrt 2 ,\,\cos \left( {B + C} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\). Độ dài cạnh \(BC\) là
2;
4;
12;
20.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \), suy ra \(\cos A = - \cos \left( {B + C} \right) = - \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) (hai góc bù nhau).
Theo định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos A = {2^2} + {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 4\).
Suy ra \(BC = 2\).
Cho lục giác đều \(ABCDEF\) có tâm \(O\). Số các vectơ khác vectơ-không, ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow {OA} \), có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác đều là
2;
3;
4;
6.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có 3 vectơ khác vectơ-không, ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow {OA} \), có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác đều, đó là: \(\overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {BC} ,\,\,\overrightarrow {FE} \).
Cho 2 vectơ \[\overrightarrow x ,\,\overrightarrow y \]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Nếu 2 vectơ \[\overrightarrow x ,\,\overrightarrow y \] cùng phương thì chúng cùng hướng.
Nếu 2 vectơ \[\overrightarrow x ,\,\overrightarrow y \] cùng hướng thì chúng cùng phương;
Nếu 2 vectơ \[\overrightarrow x ,\,\overrightarrow y \] bằng nhau thì chúng ngược hướng;
Nếu 2 vectơ \[\overrightarrow x ,\,\overrightarrow y \] đối nhau thì chúng cùng hướng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
+) Nếu 2 vectơ cùng hướng thì chúng cùng phương. Do đó B đúng.
+) Nếu 2 vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hoặc khác hướng. Do đó A sai.
+) Nếu 2 vectơ bằng nhau thì chúng cùng hướng và ngược lại nếu 2 vectơ đối nhau thì chúng ngược hướng. Do đó C và D sai.
II. PHẦN TỰ LUẬN (3 ĐIỂM)
(1,0 điểm) Cho 2 tập hợp \[A = \left[ { - 3;\,6} \right],\,B = \left[ {2m - 4;\,2m + 3} \right)\].
a) Tìm tập hợp \[A \cap \mathbb{Z}\].
b) Tìm \[m\] để \[A \cap B = \emptyset \].
Hướng dẫn giải
a) Ta có tập hợp \[A = \left[ { - 3;\,6} \right]\] và \(\mathbb{Z} = \left\{ {...;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\, - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,...} \right\}\)
Do đó \[A \cap \mathbb{Z} = \left\{ { - 3;\, - 2;\, - 1;\,0;\,1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6} \right\}\].
b) \[A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m + 3 \le - 3\\2m - 4 > 6\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 3\\m > 5\end{array} \right.\]
Vậy với \(m \le - 3\) hoặc \(m > 5\) thì \[A \cap B = \emptyset \].
(1 điểm) Một công ty điện tử sản xuất hai kiểu radio trên hai dây chuyền độc lập. Radio kiểu một sản xuất trên dây chuyền một với công suất 45 radio/ngày, radio kiểu hai sản xuất trên dây chuyền hai với công suất 80 radio/ngày. Để sản xuất một chiếc radio kiểu một cần 12 linh kiện, để sản xuất một chiếc radio kiểu hai cần 9 linh kiện. Tiền lãi khi bán một chiếc radio kiểu một là 250 000 đồng, lãi thu được khi bán một chiếc radio kiểu hai là 180 000 đồng. Hỏi cần sản xuất như thế nào để tiền lãi thu được là nhiều nhất, biết rằng số linh kiện có thể sử dụng tối đa trong một ngày là 900 ?
Gọi \(x,\,y\) lần lượt là số radio kiểu một và kiểu hai sản xuất được trong một ngày. \(\left( {x,\,\,y \ge 0} \right)\)
Vì radio kiểu một sản xuất trên dây chuyền một với công suất 45 radio/ngày, radio kiểu hai sản xuất trên dây chuyền hai với công suất 80 radio/ngày nên \(x \le 45,\,\,y \le 80\).
Sản xuất \(x\) chiếc radio kiểu một và \(y\) chiếc radio kiểu hai cần số linh kiện là \(12x + 9y\).
Mà số linh kiện có thể sử dụng tối đa trong một ngày là 900 nên \(12x + 9y \le 900\) hay tương đương với \(4x + 3y \le 300\).
Tiền lãi thu được khi bán \(x\) chiếc radio kiểu một và \(y\) chiếc radio kiểu hai là \(T = 250\,\,000x + 180\,\,000y\) (đồng).
Khi đó, bài toán đã cho trở thành: Tìm \(\left( {x;\,\,y} \right)\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 45\\0 \le y \le 80\\4x + 3y \le 300\end{array} \right.\)để \(T = 250\,\,000x + 180\,\,000y\) lớn nhất.
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 45\\0 \le y \le 80\\4x + 3y \le 300\end{array} \right.\) lên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) ta được:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 45\\0 \le y \le 80\\4x + 3y \le 300\end{array} \right.\) là miền ngũ giác \(OABCD\) (kể cả biên) với \(O\left( {0;\,\,0} \right),\,\,A\left( {0;\,\,80} \right),\,\,B\left( {15;\,\,80} \right),\,\,C\left( {45;\,\,40} \right),\,\,D\left( {45;\,\,0} \right)\).
Người ta chứng minh được \(T = 250\,\,000x + 180\,\,000y\) đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác \(OABCD\).
Ta có: \(T\left( {0;\,\,0} \right) = 0\);
\(T\left( {0;\,\,80} \right) = 250\,\,000 \cdot 0 + 180\,\,000 \cdot 80 = 14\,\,400\,\,000\);
\(T\left( {15;\,\,80} \right) = 250\,\,000 \cdot 15 + 180\,\,000 \cdot 80 = 18\,\,150\,\,000\);
\(T\left( {45;\,\,40} \right) = 250\,\,000 \cdot 45 + 180\,\,000 \cdot 40 = 18\,\,450\,\,000\);
\(T\left( {45;\,\,0} \right) = 250\,\,000 \cdot 45 + 180\,\,000 \cdot 0 = 11\,\,250\,\,000\).
Do đó, \(T = 250\,\,000x + 180\,\,000y\) đạt giá trị lớn nhất tại \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {45;\,\,40} \right)\).
Vậy cần sản xuất 45 radio kiểu một và 40 radio kiểu hai thì lãi thu được trong một ngày là lớn nhất.
(1,0 điểm) Khu vườn nhà anh T có dạng miền tứ giác \[ABCD\] với các kích thước đo đạc được ghi trên hình vẽ bên dưới:
a) Tính khoảng cách từ điểm \[A\] đến điểm \[B\] (kết quả làm tròn một chữ số thập phân).
b) Tính diện tích khu vườn đó (kết quả làm tròn một chữ số thập phân).
Hướng dẫn giải
a) Xét tam giác \[ABC\], ta có:
\[\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {105^\circ + 30^\circ } \right) = 45^\circ \].
Áp dụng định lý sin, ta có: \[\frac{{AB}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{AC}}{{\sin 105^\circ }} \Leftrightarrow \frac{{AB}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{22}}{{\sin 105^\circ }} \Rightarrow AB \approx 11,4\]
Vậy khoảng cách từ \[A\] đến \[B\] là \[11,4\]m.
b) Diện tích của khu vườn: \[{S_{ABCD}} = {S_{ABC}} + {S_{ADC}}\].
Xét tam giác \[ABC\] có: \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat A \approx \frac{1}{2}.11,4.22.\sin 45^\circ \approx 88,67\]
Xét tam giác \[ADC\]có: \[p = \frac{{AD + CD + AC}}{2} = \frac{{20 + 22 + 6}}{2} = 24\]
\[\begin{array}{l}{S_{ADC}} = \sqrt {p\left( {p - AD} \right)\left( {p - CD} \right)\left( {p - AC} \right)} \\ \Rightarrow {S_{ADC}} = \sqrt {24.\left( {24 - 20} \right)\left( {24 - 22} \right)\left( {24 - 6} \right)} \approx 58,79\end{array}\]
\[ \Rightarrow {S_{ABCD}} \approx 88,67 + 58,79 \approx 147,5\].
Vậy diện tích khu vườn đó là \(147,5\,\,{m^2}\).
