Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Cánh Diều có đáp án - Đề 7

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Mệnh đề đảo của mệnh đề đã cho là:

\(Q \Rightarrow P\): “Nếu a chia hết cho 4 thì a chia hết cho 2”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(A\) là \(\overline A :\) “Có ít nhất một số thập phân không phải là số hữu tỉ”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} + 1 = 0\)” được phát biểu là: “Tồn tại một số thực mà bình phương của nó cộng với 1 bằng 0”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Xét \(x + 2022 \le 2021 + 2x \Leftrightarrow x \ge 1\)

\( \Rightarrow A = \left[ {1; + \infty } \right)\)

+) Xét \(3x - 6 \le 2x - 1 \Leftrightarrow x \le 5\)

\( \Rightarrow B = \left( { - \infty ;5} \right]\)

Ta có:

\( \Rightarrow A \cap B = \left[ {1;\,\,5} \right]\)

Các số tự nhiên thuộc cả hai tập \(A\) và \(B\) chính là các số tự nhiên thuộc tập \(A \cap B\) là: \(1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5\).

Vì vậy có 5 số thuộc cả hai tập \(A\) và \(B\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

+) Xét cặp số \(\left( { - 2;\,\,2} \right)\):

Thay \(x = - 2\) và \(y = 2\) vào bất phương trình\(x - 2y + 5 > 0\), ta được:

\(\left( { - 2} \right) - 2.2 + 5 > 0 \Leftrightarrow - 1 > 0\) là mệnh đề sai nên \(\left( { - 2;\,\,2} \right)\) không là nghiệm của bất phương trình. Do đó \(\left( { - 2;\,2} \right) \notin S\).

+) Xét cặp số \(\left( {2;\,\,2} \right)\):

Thay \(x = 2\) và \(y = 2\) vào bất phương trình\(x - 2y + 5 > 0\), ta được:

\(2 - 2.2 + 5 > 0 \Leftrightarrow 3 > 0\) là mệnh đề đúng nên \(\left( {2;\,\,2} \right)\) là nghiệm của bất phương trình. Do đó \(\left( {2;\,2} \right) \in S\).

+) Xét cặp số \(\left( { - 2;\,\,4} \right)\):

Thay \(x = - 2\) và \(y = 4\) vào bất phương trình\(x - 2y + 5 > 0\), ta được:

\(\left( { - 2} \right) - 2.4 + 5 > 0 \Leftrightarrow - 5 > 0\) là mệnh đề sai nên \(\left( { - 2;\,\,4} \right)\) không là nghiệm của bất phương trình. Do đó \(\left( { - 2;\,\,4} \right) \notin S\).

+) Xét cặp số \(\left( {1;\,\,3} \right)\):

Thay \(x = 1\) và \(y = 3\) vào bất phương trình\(x - 2y + 5 > 0\), ta được:

\(1 - 2.3 + 5 > 0 \Leftrightarrow 0 > 0\) là mệnh đề sai nên \(\left( {1;\,\,3} \right)\) không là nghiệm của bất phương trình. Do đó \(\left( {1;\,\,3} \right) \notin S\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi \(a,\,\,b,\,\,c\) theo thứ tự là số học sinh chỉ thích môn Văn, môn Sử, môn Toán \(\left( {a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{N}} \right)\)

Gọi \(x\) là số học sinh chỉ thích hai môn Toán và Văn.

\(y\) là số học sinh chỉ thích hai môn Toán và Sử.

\(z\) là số học sinh chỉ thích hai môn Văn và Sử.

Khi đó ta có sơ đồ Venn:

Tổng số học sinh thích môn Văn là: \(a + x + y + 5 = 25\) (1).

Tổng số học sinh thích môn Toán là: \(b + x + z + 5 = 20\) (2).

Tổng số học sinh thích môn Sử là: \(c + y + z + 5 = 18\) (3).

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta được:

\(a + b + c + 2\left( {x + y + z} \right) + 15 = 63\)

\( \Leftrightarrow a + b + c + 2\left( {x + y + z} \right) = 48\)

Số học sinh thích ít nhất một trong ba môn Toán, Văn, Sử là: 45 – 6 = 39.

Khi đó ta có: \(a + b + c + x + y + z + 5 = 39 \Leftrightarrow a + b + c + x + y + z = 34\)

Mà \(a + b + c + 2\left( {x + y + z} \right) = 48\)

Nên \(a + b + c = 20\).

Vậy có \(20\) học sinh thích chỉ một môn trong ba môn trên.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phần không tô màu trong hình biểu diễn tập \({C_D}\left( {A \cup B} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(4 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = 12 - 4 = 8 > 1\), vậy cặp số \(\left( {3;\,\,2} \right)\) là nghiệm của bất phương trình \(4x - 2x > 1\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có gọi đường thẳng biên có dạng: \(d:y = ax + b\)

Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(\left( { - 4,5;\,0} \right)\) và \(\left( {0; - 3} \right)\), khi đó thay lần lượt các cặp số vào phương trình \(d\) ta được hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}0 = - 4,5a + b\\ - 3 = 0.a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{2}{3}\\b = - 3\end{array} \right.\]

\( \Rightarrow d:y = - \frac{2}{3}x - 3\) hay \(d:2x + 3y = - 9\)

Lấy điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) có \(2.0 + 3.0 = 0 > - 9\) và điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình (không kể đường thẳng) nên ta có bất phương trình cần tìm là: \[2x + 3y > - 9\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có dạng \[ax + by \ge c,\,\,ax + by > c,\,\,ax + by \le c,\,\,ax + by < c\] nên chỉ có bất phương trình \(2x + 3y < 5\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Thay \(x = 1\) và \(y = 1\) vào hệ bất phương trình ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}m.1 - 2.1 \le 5\\\left( {m - 1} \right).1 \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 7\\m \ge 4\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left[ {4;7} \right]\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

+) Gọi đường thẳng \({d_1}:y = ax + b\)

Đường thẳng \({d_1}\) đi qua hai điểm \(\left( { - 4;\,0} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\), khi đó thay lần lượt các cặp số vào phương trình \({d_1}\) ta được hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}0 = - 4a + b\\2 = 0.a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 2\end{array} \right.\]

\( \Rightarrow {d_1}:y = \frac{1}{2}x + 2\) hay \({d_1}:x - 2y = - 4\)

Lấy điểm \(M\left( {1;\,\,0} \right)\) có \(1 - 2.0 = 1 > - 4\) và điểm \(M\left( {1;\,\,0} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình (không kể đường thẳng \({d_1}\)) nên ta có bất phương trình cần tìm là: \(x - 2y > - 4\).

+) Gọi đường thẳng \({d_2}:y = a'x + b'\)

Đường thẳng \({d_2}\) đi qua hai điểm \(\left( {0;\,0} \right)\) và \(\left( {1;2} \right)\), khi đó thay lần lượt các cặp số vào phương trình \({d_2}\) ta được hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}0 = 0.a' + b'\\2 = 1.a' + b'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a' = 2\\b' = 0\end{array} \right.\]

\( \Rightarrow {d_2}:y = 2x\) hay \({d_1}:2x - y = 0\)

Lấy điểm \(M\left( {1;\,\,0} \right)\) có \(2.1 - 0 = 2 > 0\) và điểm \(M\left( {1;\,\,0} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình (kể cả đường thẳng \({d_2}\)) nên ta có bất phương trình cần tìm là: \(2x \ge y\).

Từ đó ta có hệ bất phương trình cần tìm là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y > - 4\\2x \ge y\end{array} \right.\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Số tiền mà bạn Hằng kiếm được sau \(x\) giờ làm gia sư và \(y\) giờ làm nhân viên thu ngân là \(12\,000x + 9\,500y\) (won).

Theo bài ra ta có cặp số \(\left( {x;\,y} \right)\) phải thỏa mãn hệ bất phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}12\,\,000x + 9\,\,500y \ge 220\,\,000\\x + y \le 20\\x \ge 0;\,y \ge 0\end{array} \right.\).

Thay lần lượt từng cặp số ở các đáp án, ta thấy chỉ có đáp án B thỏa mãn.

\(\left( {12\,000 \cdot 12 + 9\,500 \cdot 8 = 220\,\,000\,\,;\,\,12 + 8 = 20} \right)\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Với \(x = - 1\) thì \(y = \sqrt {{x^2} - 3x} = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} - 3.\left( { - 1} \right)} = 2\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số xác định khi \[\left\{ \begin{array}{l}6 - x \ge 0\\x - 1 \ge 0\\1 + \sqrt {x - 1} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 6\\x \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x \le 6\]

Vậy tập xác định của hàm số là \[D = \left[ {1;\,6} \right]\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có điểm đỉnh của hàm số là\(x = - \frac{0}{{2.1}} = 0\).

Hàm số có \(a = 2 > 0\) nên đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) hay hàm số đồng biến trên \(\left( {0;4} \right)\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số \(y = 2{x^2} - 9\) là hàm số bậc hai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tọa độ đỉnh \(I\): \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 4}}{{2.1}} = 2,{y_I} = {2^2} - 4.2 + 5 = 1\).

Vì hệ​​ số​​ \[a > 0\]​​ nên hàm số có bề lõm quay lên trên, hàm số​​ có giá trị​​ nhỏ​​ nhất tại đỉnh \[I\left( {2;\,1} \right)\]. Vậy nên \[{y_{\min }} = 1\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hai góc bù nhau có sin bằng nhau; côsin, tang, côtang đối nhau.

Do đó, \(\sin \alpha = \sin \beta \), \(\cos \alpha = - \cos \beta \), \(\tan \alpha = - \tan \beta \), \(\cot \alpha = - \cot \beta \). Vậy đáp án D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có:

\(\sin 0^\circ + {\rm{cos}}0^\circ = 0 + 1 = 1\). Do đó A đúng.

\({\sin ^2}30^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}60^\circ = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2} \ne 1\). Do đó B sai.

\(\sin 90^\circ + {\rm{cos9}}0^\circ = 1 + 0 = 1\). Do đó C đúng.

\({\sin ^2}120^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}120^\circ = 1\). Do đó D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1\)

\( \Leftrightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{cos}}\alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\), có:

\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {1^2} + {6^2} = 37\)

\( \Leftrightarrow AB = \sqrt {37} \,\,cm\)

\(\tan ABH = \frac{{AH}}{{BH}} = \frac{1}{6} \Rightarrow \widehat {ABH} \approx 9,5^\circ \).

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = 90^\circ - 9,5^\circ = 80,5^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {ACB} = 180^\circ - 80,5^\circ - 44^\circ = 55,5^\circ \)

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), có:

\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} \Leftrightarrow BC = \frac{{AB.\sin \widehat {BAC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{\sqrt {37} .\sin 44^\circ }}{{\sin 55,5^\circ }} \approx 5,1\,\,\left( m \right).\)

Vậy chiều cao của cây đèn đường khoảng \(5,1\,\,m\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta được:

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

\( \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}};\sin B = \,\,\frac{b}{{2R}};\,\,\sin C = \,\,\frac{c}{{2R}}.\)

\( \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{4{R^2}}} = \frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} = b.c\)

Áp dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác \(ABC\), ta được:

\[{\rm{cos}}A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2.b.c}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - bc}}{{2.b.c}}\]

Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số dương \({b^2} + {c^2}\) ta được:

\({b^2} + {c^2} \ge 2bc\)

Khi đó: \[{\rm{cos}}A = \frac{{{b^2} + {c^2} - bc}}{{2.b.c}} \ge \frac{{2bc - bc}}{{2bc}} = \frac{1}{2}\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Theo định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\).

Từ đó suy ra \(\frac{a}{{\sin A}} = 2R\), \(\sin A = \frac{a}{{2R}}\), \(\sin C = \frac{{c\sin A}}{a}\). Do đó các công thức ở các đáp án A, B, D đúng và đáp án C sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác \(ABC\), có:

\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Rightarrow \widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {75^\circ + 60^\circ } \right) = 45^\circ \)(định lí tổng ba góc trong tam giác)

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta được:

\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow BC = \frac{{AB.\sin A}}{{\sin C}} = \frac{{2.\sin 75^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = 1 + \sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\).

Diện tích tam giác \(ABC\) bằng:

\(S = \frac{1}{2}AB.BC.\sin B = \frac{1}{2}.2.\left( {1 + \sqrt 3 } \right).\sin 60^\circ = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2} \approx 2,37\,\,\left( {c{m^2}} \right).\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Giả sử ta có \(AB = AC = a\), do tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là \(R = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là \(p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{a + a + a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)a}}{2}\).

Diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Lại có \(S = pr\) với \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).

Suy ra \(r = \frac{S}{p} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)a}}{2}}} = \frac{a}{{2 + \sqrt 2 }}\). Vậy \(\frac{R}{r} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{a}{{2 + \sqrt 2 }}}} = 1 + \sqrt 2 \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét từng đáp án, ta có:

+) \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD} = \overrightarrow 0 \]\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \) (không thỏa mãn).

+) \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \] (thỏa mãn vì \(O\) là trung điểm của \(AC\)).

+) \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \]\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \) (thỏa mãn).

+) \[\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \]\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \) (thỏa mãn).

Vậy đáp án A sai và các đáp án B, C, D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hai vectơ được gọi là đối nhau khi chúng ngược hướng và độ dài của chúng bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) cùng tác động vào một vật tại một điểm làm vật đứng yên nên ta có \(\overrightarrow {{F_1}} + \,\,\overrightarrow {{F_2}} + \,\,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = - \overrightarrow {{F_1}} \).

Mà \(\overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} \). Vậy \(\overrightarrow {{F_4}} = - \overrightarrow {{F_1}} \) hay \(\overrightarrow {{F_1}} = - \overrightarrow {{F_4}} \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác \(ABD\), có: \(AB = AD = a\) nên \(ABD\) cân tại \(A\)

Mà \(\widehat {BAD} = 60^\circ \) suy ra tam giác \(ABD\) đều

Khi đó \(AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Ta có: \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CA} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = 2.AO = 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

\(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} \)

\( = \left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} } \right) + \left( {\overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QR} } \right) + \overrightarrow {RN} \)

\( = \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PR} + \overrightarrow {RN} \)

\( = \overrightarrow {MR} + \overrightarrow {RN} \)

\( = \overrightarrow {MN} \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{10}}{{18}} = \frac{5}{9} \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \frac{5}{9}\left| {\overrightarrow b } \right|\), mà hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) ngược hướng nên \[\overrightarrow a = - \frac{5}{9}\overrightarrow b \].

Vậy \(m = - \frac{5}{9}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có \[\overrightarrow {IA} = - 2\overrightarrow {IB} \]\[ \Rightarrow \overrightarrow {IA} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \].

Vậy \[\overrightarrow {IC} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \].

Hướng dẫn giải

 a) Để \(A \cap B = \emptyset \) ta có hai trường hợp sau:

TH1: \(a + 2 \le b \Leftrightarrow a - b \le  - 2\).

TH2: \(a - 1 > b + 4 \Leftrightarrow a - b > 5\).

Vậy với \(a - b \le  - 2\) hoặc \(a - b > 5\) thì \(A \cap B = \emptyset \).

b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\)

Xét tam giác ABC, có:

\(\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM}  = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

Ta có: \(\overrightarrow {DG}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AG}  = 2\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

\(\overrightarrow {DE}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AE}  = 2\overrightarrow {AB}  - x\overrightarrow {AC} \)

Để \(D,\,\,G,\,\,E\) thẳng hàng thì tồn tại số thực \(k\) thỏa mãn: \(\overrightarrow {DG}  = k\overrightarrow {DE} \)

\( \Leftrightarrow \frac{5}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}  = k\left( {2\overrightarrow {AB}  - x\overrightarrow {AC} } \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2k = \frac{5}{3}\\kx = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{5}{6}\\x = \frac{2}{5}\end{array} \right.\).

Vậy \(x = \frac{2}{5}\) thì \(D,\,\,G,\,\,E\) thẳng hàng và khi đó \(\frac{{DG}}{{DE}} = k = \frac{5}{6}\).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ABC\) ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC} = {\left( {7,5} \right)^2} + {\left( {10,5} \right)^2} - 2 \cdot 8,5 \cdot 10,5 \cdot \cos 135^\circ \approx 277,87\)

Suy ra \(BC \approx 16,67\) (m).

Đường tròn hồ đi qua ba đỉnh của tam giác \(ABC\) nên đường tròn này ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Gọi \(R\) là bán kính đường tròn này. Theo định lí sin ta có: \(\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = 2R\).

Thay số ta được: \(2R = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} \approx \frac{{16,67}}{{\sin 135^\circ }} \approx 23,57\) (m).

Do đó, đường kính \(d = 2R \approx 23,57\) (m).

Vậy đường kính của hồ nước khoảng 23,57 m.

Hướng dẫn giải

Gọi số xe lớn cần thuê là \(x\) (xe), số xe nhỏ cần thuê là \(y\) (xe) \(\left( {x,y \in \mathbb{N},0 \le x \le 12,\,0 \le y \le 10} \right)\).

Số lợn có thể chở là: \(50x + 30y\) (con)

Mà cần vận chuyển ít nhất \(450\) con lợn nên ta có \(50x + 30y \ge 450\) hay \(5x + 3y \ge 45\).

Số tấn cám có thể chở là: \(5x + y\) (con)

Mà cần vận chuyển ít nhất \(35\) tấn cám nên ta có \(5x + y \ge 35\) (tấn).

Từ đó ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 12\\0 \le y \le 10\\5x + 3y \ge 45\\5x + y \ge 35\end{array} \right.\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của ngũ giác \(ABCDE\) (miền không tô đậm trong hình vẽ) với \(A\left( {7;\,\,5} \right),B\left( {5;\,\,10} \right),\,\,C\left( {12;\,10} \right),\,D\left( {12;\,\,0} \right),\,\,E\left( {9;\,\,0} \right)\).

Chi phí thuê xe là: \(F\left( {x;\,\,y} \right) = 4x + 2y\) (triệu đồng)

Ta có:

Tại \(A\left( {7;\,\,5} \right)\) có \(F\left( {7;\,\,5} \right) = 4.7 + 2.5 = 38\);

Tại \(B\left( {5;\,\,10} \right)\) có \(F\left( {5;\,\,10} \right) = 4.5 + 2.10 = 40\);

Tại \(C\left( {12;\,10} \right)\) có \(F\left( {12;\,\,10} \right) = 4.12 + 2.10 = 68\)

Tại \(D\left( {12;\,\,0} \right)\) có \(F\left( {12;\,\,0} \right) = 4.12 + 2.0 = 48\)

Tại \(E\left( {9;\,\,0} \right)\) có \(F\left( {9;\,\,0} \right) = 4.9 + 2.0 = 36\)

Vậy người đó cần thuê 9 xe lớn để chi phí thuê xe là thấp nhất.