Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Cánh Diều có đáp án - Đề 7
76 câu hỏi
Đổi số đo góc \(135^\circ \) ra số đo rađian ta được
\(\frac{{3\pi }}{2}\).
\(\frac{{3\pi }}{4}\).
\(\frac{{5\pi }}{6}\).
\(\frac{{3\pi }}{5}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\pi {\rm{ }}rad = 180^\circ \) nên \(135^\circ = \frac{\pi }{{180}} \cdot 135 = \frac{{3\pi }}{4}{\rm{ }}rad.\)
Giá trị \(\sin 30^\circ \) bằng
\(1\).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{1}{2}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Trong các công thức sau, công thức nào sai?
\[\cos 2a = {\cos ^2}a--{\sin ^2}a.\]
\[\cos 2a = {\cos ^2}a + {\sin ^2}a.\]
\[\cos 2a = 2{\cos ^2}a--1.\]
\[\cos 2a = 1--2{\sin ^2}a.\]
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \[\cos 2a = {\cos ^2}a--{\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\].
Cho \[\frac{\pi }{2} < a < \pi \]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[\sin a > 0\], \[\cos a > 0\].
\[\sin a < 0\], \[cosa < 0\].
\[\sin a > 0\], \[cosa < 0\].
\[\sin a < 0\], \[cosa > 0\].
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Vì \[\frac{\pi }{2} < a < \pi \]\[ \Rightarrow \sin a > 0\], \[\cos a < 0\].
Rút gọn biểu thức\(P = \sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\sin \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)\).
\( - \frac{3}{2}\cos 2a\).
\(\frac{1}{2}\cos 2a\).
\( - \frac{2}{3}\cos 2a\).
\( - \frac{1}{2}\cos 2a\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\sin \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos \frac{\pi }{2} - \cos 2a} \right] = - \frac{1}{2}\cos 2a\).
Cho \[\tan \alpha + \cot \alpha = m\]. Giá trị của biểu thức \[{\tan ^3}\alpha + {\cot ^3}\alpha \] là
\[{m^3} + 3m\].
\[3{m^3} + m\].
\[3{m^3} - m\].
\[{m^3} - 3m\].
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có:
\[{\tan ^3}\alpha + {\cot ^3}\alpha = \left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)\left( {{{\tan }^2}\alpha - \tan \alpha .\cot \alpha + {{\cot }^2}\alpha } \right)\]
\[ = \left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)\left[ {{{\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)}^2} - 3\tan \alpha .\cot \alpha } \right]\]
\[ = \left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)\left[ {{{\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)}^2} - 3} \right]\]\[ = m\left( {{m^2} - 3} \right) = {m^3} - 3m\].
Cho \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) thỏa mãn \(\cos x = \frac{5}{{13}}\). Giá trị của \(\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) bằng
\[ - \frac{{17}}{7}\].
\[\frac{7}{{17}}\].
\[\frac{{17}}{7}\].
\[ - \frac{7}{{17}}\].
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Theo giả thiết \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) và \(\cos x = \frac{5}{{13}} > 0\) suy ra \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) nên \(\tan x > 0\).
Do đó \(\tan x = \sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} = \sqrt {\frac{{169}}{{25}} - 1} = \frac{{12}}{5}\).
Ta có \(\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan x + 1}}{{1 - \tan x}} = \frac{{\tan x + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 - \tan x\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{\frac{{12}}{5} + 1}}{{1 - \frac{{12}}{5}}} = - \frac{{17}}{7}\).
Cho \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Khi đó \(\cos \alpha \) có giá trị là
cosα=−23
\(\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
\(\cos \alpha = \frac{8}{9}\).
\(\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(cos\alpha < 0\).
\[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\]
\[ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha \]
\[ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{8}{9}\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = \sqrt {\frac{8}{9}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\left( {loai} \right)\\\cos \alpha = - \sqrt {\frac{8}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\]
Cho hàm số \(y = \tan x.\) Khẳng định sau đây là sai?
Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Tập xác định của hàm số đã cho là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\) với \(k \in \mathbb{Z}\).
Hàm số đã cho tuần hoàn theo chu kì \(\pi .\)
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Cho các đồ thị hàm số sau :
Hình nào là đồ thị hàm số \(y = \sin x?\)
Hình 1.
Hình 2.
Hình 3.
Hình 4.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Trong các hàm số \(y = \tan x\); \(y = \sin 2x\); \(y = \sin x\); \(y = \cot x\), có bao nhiêu hàm số thỏa mãn tính chất \(f\left( {x + k\pi } \right) = f\left( x \right)\), \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(k \in \mathbb{Z}\).
1.
2.
3.
\(4\).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có hàm số \(y = \tan x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\) và hàm số \(y = \cot x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\) nên cả hai hàm số này đều không thỏa yêu cầu.
Xét hàm số \(y = \sin 2x\): Ta có \(\sin 2\left( {x + k\pi } \right) = \sin \left( {2x + k2\pi } \right) = \sin 2x\), \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi \) nên không thỏa yêu cầu.
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( {\frac{{5\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4}} \right)\).
\(\left( {\frac{{9\pi }}{4};\frac{{11\pi }}{4}} \right)\).
\(\left( {\frac{{7\pi }}{4};3\pi } \right)\).
\(\left( {\frac{{7\pi }}{4};\frac{{9\pi }}{4}} \right)\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Dựa vào định nghĩa đường tròn lượng giác ta thấy hàm số lượng giác cơ bản \(y = \sin x\) đồng biến ở góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ tư.
Dễ thấy khoảng \(\left( {\frac{{7\pi }}{4};\frac{{9\pi }}{4}} \right)\) là phần thuộc góc phần tư thứ tư và thứ nhất nên hàm số đồng biến.
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\sin x + 1}}{{\sin x - 2}}\) là
\(\left( { - 2;\, + \infty } \right)\)
\(\left( {2;\, + \infty } \right)\)
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
\(\mathbb{R}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \( - 1 \le \sin x \le 1,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\,.\) Do đó \(\sin x - 2 \ne 0,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
Vậy tập xác định \(D = \mathbb{R}\)
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
\(y = \cot 4x.\)
\(y = \frac{{\sin x + 1}}{{\cos x}}.\)
\(y = {\tan ^2}x.\)
\(y = \left| {\cot x} \right|.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Nghiệm của phương trình \[\cos x = - 1\] là:
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pi + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
\[x = k\pi \], \(k \in \mathbb{Z}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Phương trình \(\cos x = - 1\)\( \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
\(\cos x = \frac{1}{2}\).
\(\sin x = \sqrt 2 \).
\(\tan x = \pi \).
\(\cot 2x - 3 = 0\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Nghiệm của phương trình \[\sin \frac{x}{2} = 1\] là
\(x = \pi + k4\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \[\sin \frac{x}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pi + k4\pi ,k \in \mathbb{Z}\]
Phương trình \(\sin 4x = \cos x\) tương đương với
\(\left[ \begin{array}{l}4x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\4x = \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \end{array} \right.;k \in \mathbb{Z}.\)
\(\left[ \begin{array}{l}4x = x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\4x = x + \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.;k \in \mathbb{Z}.\)
\(\left[ \begin{array}{l}4x = x + k2\pi \\4x = \pi - x + k2\pi \end{array} \right.;k \in \mathbb{Z}.\)
\(4x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: A
\(\sin 4x = \cos x \Leftrightarrow \sin 4x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\4x = \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \end{array} \right.;k \in \mathbb{Z}\)
Gọi \(S\) là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 10;10} \right]\) để phương trình \(2023\cos x + \cos 90^\circ = m\) có nghiệm. Số phần tử của tập \(S\) là
\(10\).
\(20\).
\(11\).
\(21\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(2023\cos x + \cos 90^\circ = m \Leftrightarrow \cos x = \frac{m}{{2023}}\)\(\left( * \right)\)
Để phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm thì \( - 1 \le \frac{m}{{2023}} \le 1 \Leftrightarrow - 2023 \le m \le 2023\).
Vì \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) và \(m \in \mathbb{Z}\) nên tập \(S\) có \(11\) phần tử.
Nghiệm của phương trình \(\cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \) có dạng \[x = - \frac{\pi }{m} + \frac{{k\pi }}{n}\], \(k \in \mathbb{Z}\), \(m,\) \(n \in {\mathbb{N}^*}\) và \(\frac{k}{n}\) là phân số tối giản. Khi đó \(m - n\) bằng
\[5\].
\[ - 3\].
\[ - 5\].
\[3\].
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow \cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cot \frac{\pi }{6}\)
\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \),\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}m = 6\\n = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow m - n = 5\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết \[{u_n} = \frac{n}{{{3^n} - 1}}\]. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8}.\]
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{26}}.\]
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{{16}}.\]
\[\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4}.\]
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: u1=12;u2=14;u3=326
Cho dãy số: \[5\,;10\,;15\,;20\,;25\,;\,\,\,...\,\,\]. Số hạng tổng quát của dãy số là
\[{u_n} = 5\left( {n - 1} \right)\].
\[{u_n} = 5n\].
\[{u_n} = 5 + n\].
\[{u_n} = 5n + 1\].
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có:\[{u_1} = 5.1,\]\[{u_2} = 10 = 5.2,\]\[{u_3} = 15 = 5.3,\]\[{u_4} = 5.4,\]\[{u_5} = 5.5\]\[ \Rightarrow {u_n} = 5.n\].
Xét tính bị chặn của dãy số sau: \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\)
Bị chặn.
Bị chặn trên, không bị chặn dưới.
Không bị chặn.
Bị chặn dưới, không bị chặn trên.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(0 < {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} < \frac{{2n + 4}}{{n + 2}} = \frac{{2(n + 2)}}{{n + 2}} = 2{\rm{ }}\forall n\) nên dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{2n + 1}}\). Số \(\frac{8}{{15}}\) là số hạng thứ mấy của dãy số?
8.
6.
5.
7.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \({u_n} = \frac{8}{{15}} \Leftrightarrow \frac{{n + 1}}{{2n + 1}} = \frac{8}{{15}}\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right) \Leftrightarrow 15n + 15 = 16n + 8 \Leftrightarrow n = 7\).
Vậy \(\frac{8}{{15}}\) là số hạng thứ 7 của dãy số \(\left( {{u_n}} \right).\)
Trong các dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\]cho bởi số hạng tổng quát \[{u_n}\] sau, dãy số nào là dãy số tăng?
\[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\].
\[{u_n} = \frac{1}{n}\].
\[{u_n} = \frac{{n + 5}}{{3n + 1}}\].
\[{u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\].
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Vì \({2^n};\,n\) là các dãy dương và tăng nên \(\frac{1}{{{2^n}}};\,\,\frac{1}{n}\) là các dãy giảm, do đó loại A,B
Xét đáp án C: loại C
Xét đáp án D: \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 1}} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {\frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}}} \right) > 0\).
Trong không gian, có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng?
\(2\).
3.
Vô số.
Một và chỉ một.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
Cho bốn điểm \(A,\,\,B,\,C,\,\,D\) không cùng nằm trên một mặt phẳng. Trên cạnh \(AB,\,\,AC\) lần lượt lấy hai điểm \(M,\,N\) sao cho \(MN\) cắt \(BC\) tại \(E\) . Điểm \(E\) thuộc mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {ABD} \right)\).
\(\left( {MND} \right)\).
\(\left( {BCD} \right)\).
\(\left( {ACD} \right)\).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(E \in BC \subset \left( {BCD} \right) \Rightarrow E \in \left( {BCD} \right)\).
Cho tứ diện\[ABCD\], \[M\] là trung điểm của\[AB\], \[N\] là điểm trên \[AC\] mà \[AN = \frac{1}{4}AC,\]\[P\] là điểm trên đoạn \[AD\] mà \[AP = \frac{2}{3}AD\]. Gọi \[E\] là giao điểm của \[MP\] và \[BD\], \[F\] là giao điểm của \[MN\] và \[BC\]. Khi đó giao tuyến của \[\left( {BCD} \right)\] và \[\left( {CMP} \right)\] là
\[CP\].
\[NE\].
\[MF\].
\[CE\].
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \[C \in \left( {BCD} \right) \cap \left( {CMP} \right)\]\[\left( 1 \right)\].
Lại có \[BD \cap MP = E \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}E \in BD \Rightarrow E \in \left( {BCD} \right)\\E \in MP \Rightarrow E \in \left( {CMP} \right)\end{array} \right.\]\[\left( 2 \right)\].
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\]\[ \Rightarrow \left( {BCD} \right) \cap \left( {CMP} \right) = CE\].
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. \(M,\,N\) lần lượt thuộc đoạn \(AB,\,SC\,.\)Khẳng định nào sau đây đúng?
Giao điểm của \(MN\) và \(\left( {SBD} \right)\) là giao điểm của \(MN\) và \(SB\,.\)
Đường thẳng \(MN\) không cắt mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
Giao điểm của \(MN\) và \(\left( {SBD} \right)\) là giao điểm của \(MN\) và \(SI\), trong đó \(I\) là giao điểm của \(CM\) và \(BD\).
Giao điểm của \(MN\) và \(\left( {SBD} \right)\) là giao điểm của \(MN\) và \(BD\,.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(\left\{ I \right\} = BD \cap CM \Rightarrow SI = \left( {SCM} \right) \cap \left( {SBD} \right).\)
Trong mặt phẳng \(\left( {SCM} \right)\) gọi \(\left\{ J \right\} = MN \cap SI \Rightarrow \left\{ J \right\} = MN \cap \left( {SBD} \right).\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung đúng, vì hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong mặt phẳng nên chúng không có điểm chung.
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD.\)Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(AN\) và \(BC\) cắt nhau.
\(AN\) và \(BC\) chéo nhau.
\(AN\) và \(CM\) song song với nhau.
\(AC\) và \(BD\) cắt nhau.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
\(AN\) và \(BC\) là hai đường thẳng chéo nhau.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M\) là trung điểm của \(SA.\) Giao điểm của đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {CMD} \right)\) là
Không có giao điểm.
Giao điểm của đường thẳng \(SB\) và \(MC.\)
Trung điểm của đoạn thẳng \(SB\).
Giao điểm của đường thẳng \(SB\) và \(MD.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(M\) là điểm chung của \(SA\) và \(\left( {CMD} \right)\), nên giao điểm của đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {CMD} \right)\) (nếu có) sẽ thuộc giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {CMD} \right)\).
Ta có \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {CMD} \right)\) có điểm chung là \(M\) và \(AB//CD\) nên giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {CMD} \right)\) là đường thẳng \(d\) qua \(M\) và song song \(AB,CD\).
Gọi \(N = d \cap SB\), khi đó, \(MN//AB\), mà \(M\) là trung điểm \(SA\), suy ra, \(N\) là trung điểm \(SB\).
Vậy giao điểm của đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {CMD} \right)\) là trung điểm \(SB\).
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,\,\,N\) là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng \(AB\); \(P\,,\,\,Q\) là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng \(CD\). Xác định vị trí tương đối của \(MQ\) và \(NP\).
\(MQ\) cắt \(NP\).
\(MQ\,{\rm{//}}\,NP\).
\(MQ \equiv NP\).
\(MQ,\,\,NP\) chéo nhau.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Xét mặt phẳng \(\left( {ABP} \right).\) Ta có: \(M,N\) thuộc \(AB \Rightarrow M,N\) thuộc mặt phẳng \(\left( {ABP} \right).\) Mặt khác: \(CD \cap \left( {ABP} \right) = P.\) Mà: \(Q \in CD \Rightarrow Q \notin \left( {ABP} \right) \Rightarrow M,N,P,Q\) không đồng phẳng\( \Rightarrow \,\,MQ\) và \(NP\) chéo nhau. |  |
Cho đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Số điểm chung của \(d\) và \(\left( \alpha \right)\) là
0.
1.
2.
vô số.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và \(N\) là điểm nằm trên cạnh \(AD\) sao cho \(AN = 2ND\). Khi đó ta có
\(MN\,{\rm{//}}\,\left( {BCD} \right)\).
\(MN\) cắt \(BD\).
\(MN\,{\rm{//}}\,CD\).
\(AC\) cắt \(BD\).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Gọi \(E\) là trung điểm \(BC\). Trong \(\Delta AED\), có \[\frac{{AM}}{{AE}} = \frac{{AN}}{{AD}} = \frac{2}{3}\] \[ \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,ED \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,\left( {BCD} \right)\].
|  |
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,5 điểm)
a) Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(\sin x = m - 2\) có hai nghiệm phân biệt trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{3}} \right)\)?
b) Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \[\frac{{\tan x - \sqrt 3 }}{{2\sin x - \sqrt 3 }} = 0\].
c) Số giờ có ánh mặt trời của một thành phố \(X\) ở vĩ độ \(40^\circ \) bắc trong ngày thứ \(t\) của một năm không nhuận được cho bởi hàm số \(d\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{162}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10\), với \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\). Hỏi vào ngày nào trong năm thì thành phố \(X\) có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất?
a) Xét hàm số \(y = \sin x\) trên \(\left( {\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{3}} \right)\)
Từ bảng biến thiên của hàm số \(y = \sin x\) trên \(\left( {\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{3}} \right)\), dễ thấy để phương trình có hai nghiệm phân biệt trên \(\left( {\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{3}} \right)\) thì \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} < m < 1\).
b) Điều kiện: \(\sin x \ne \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x \ne \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.;k \in \mathbb{Z}\)
Với điều kiện trên, phương trình trở thành \[\tan x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\;\,\,k \in \mathbb{Z}\].
Kết hợp điều kiện, ta được các nghiệm là \(x = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}\)
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \({x_0} = \frac{{4\pi }}{3}\).
c) Ta có: \(7 \le 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{162}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10 \le 13,\,\,\forall t \in \mathbb{Z}\,\,v\`a \,\,\;0 < t \le 365\)
Theo đề bài ta có:
\(\sin \left[ {\frac{\pi }{{162}}\left( {t - 60} \right)} \right] = - 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{{162}}\left( {t - 60} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = - 21 + k324\).
Với \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\), ta được \(t = 303\).
Vậy vào ngày thứ \(303\), thành phố \(X\) có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất.
(0,5 điểm) Xét tính tăng giảm của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}.\)
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}} = \frac{1}{2} + \frac{{n + \frac{3}{2}}}{{2{n^2} + 1}}\)
Với mọi \(n \in \mathbb{N}*,\) xét hiệu số:
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{2} + \frac{{n + 1 + \frac{3}{2}}}{{2{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} - \left( {\frac{1}{2} + \frac{{n + \frac{3}{2}}}{{2{n^2} + 1}}} \right)\) \( = \frac{{n + \frac{5}{2}}}{{2{n^2} + 2n + 3}} - \frac{{n + \frac{3}{2}}}{{2{n^2} + 1}}\)
\( = \frac{{\left( {n + \frac{5}{2}} \right)\left( {2{n^2} + 1} \right) - \left( {n + \frac{3}{2}} \right)\left( {2{n^2} + 2n + 3} \right)}}{{\left( {2{n^2} + 2n + 3} \right)\left( {2{n^2} + 1} \right)}}\) \( = \frac{{ - 5n - 2}}{{\left( {2{n^2} + 2n + 3} \right)\left( {2{n^2} + 1} \right)}} < 0{\rm{ }}\forall n \ge 1.\)
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(SD\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(ACD\) và \(I\) là trung điểm của đoạn \(SG\).
a) Chứng minh rằng \(MI\,{\rm{//}}\,BD\).
b) Xác định giao điểm \(F\) của \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {CMI} \right)\) và tính tỉ số \(\frac{{FS}}{{FA}}\).
a) Do \(M,I\) lần lượt là trung điểm của \(SD,SG\) nên \(MI\) là đường trung bình của tam giác \(SDG\).
Do đó \(MI\,{\rm{//}}\,DG\) hay \(MI\,{\rm{//}}\,BD\).
b) Trong \(\left( {SBD} \right)\) kẻ \(MI\) cắt \(SO\) tại \(E\) (với \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\))
Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(CE\) cắt \(SA\) tại \(F\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}F \in SA\\F \in \left( {CMI} \right)\end{array} \right.\) hay \(F = SA \cap \left( {CMI} \right)\)
Kẻ \(ON\,{\rm{//}}\,CF\) với \(N \in SA\).
Do \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(N\) là trung điểm của \[FA\].
Vì \(FE\,{\rm{//}}\,NO\) và \(E\) là trung điểm của \(SO\) nên \(F\) là trung điểm của \(SN\).
Vậy \(\frac{{FS}}{{FA}} = \frac{1}{2}.\)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 điểm)
Mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\): “Nếu a chia hết cho 2 thì a chia hết cho 4” là
Nếu a không chia hết cho 2 thì a không chia hết cho 4;
Nếu a chia hết cho 2 thì a không chia hết cho 4;
Nếu a không chia hết cho 4 thì a không chia hết cho 2;
Nếu a chia hết cho 4 thì a chia hết cho 2.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Mệnh đề đảo của mệnh đề đã cho là:
\(Q \Rightarrow P\): “Nếu a chia hết cho 4 thì a chia hết cho 2”.
Phủ định của mệnh đề \(A:\) “Tất cả số thập phân đều là số hữu tỉ” là mệnh đề nào?
\(\overline A :\) “Có duy nhất một số thập phân không là số hữu tỉ”;
\(\overline A :\) “Tất cả số thập phân đều không là số hữu tỉ”;
\(\overline A :\) “Tất cả số hữu tỉ đều viết được dưới dạng số thập phân”;
\(\overline A :\) “Có ít nhất một số thập phân không phải là số hữu tỉ”.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(A\) là \(\overline A :\) “Có ít nhất một số thập phân không phải là số hữu tỉ”.
Mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} + 1 = 0\)” được phát biểu là
Tồn tại một số thực mà bình phương của nó cộng với 1 bằng 0;
Mọi số thực đều có bình phương của nó cộng với 1 bằng 0;
Tồn tại một số thực mà tổng của nó với 1 tất cả bình phương bằng 0;
Mọi số thực đều có tổng của nó với 1 tất cả bình phương bằng 0.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} + 1 = 0\)” được phát biểu là: “Tồn tại một số thực mà bình phương của nó cộng với 1 bằng 0”.
Cho hai tập \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x + 2022 \le 2021 + 2x} \right\}\), \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|3x - 6 \le 2x - 1} \right\}\). Có bao nhiêu số tự nhiên thuộc cả hai tập \(A\) và \(B\)?
\(5\);
\(6\);
\(7\);
\(4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
+) Xét \(x + 2022 \le 2021 + 2x \Leftrightarrow x \ge 1\)
\( \Rightarrow A = \left[ {1; + \infty } \right)\)
+) Xét \(3x - 6 \le 2x - 1 \Leftrightarrow x \le 5\)
\( \Rightarrow B = \left( { - \infty ;5} \right]\)
Ta có:
\( \Rightarrow A \cap B = \left[ {1;\,\,5} \right]\)
Các số tự nhiên thuộc cả hai tập \(A\) và \(B\) chính là các số tự nhiên thuộc tập \(A \cap B\) là: \(1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5\).
Vì vậy có 5 số thuộc cả hai tập \(A\) và \(B\).
Cho bất phương trình \(x - 2y + 5 > 0\) có tập nghiệm là \(S\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\left( { - 2;\,2} \right) \in S\);
\(\left( {2;\,2} \right) \in S\);
\(\left( { - 2;\,4} \right) \in S\);
\(\left( {1;\,3} \right) \in S\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
+) Xét cặp số \(\left( { - 2;\,\,2} \right)\):
Thay \(x = - 2\) và \(y = 2\) vào bất phương trình\(x - 2y + 5 > 0\), ta được:
\(\left( { - 2} \right) - 2.2 + 5 > 0 \Leftrightarrow - 1 > 0\) là mệnh đề sai nên \(\left( { - 2;\,\,2} \right)\) không là nghiệm của bất phương trình. Do đó \(\left( { - 2;\,2} \right) \notin S\).
+) Xét cặp số \(\left( {2;\,\,2} \right)\):
Thay \(x = 2\) và \(y = 2\) vào bất phương trình\(x - 2y + 5 > 0\), ta được:
\(2 - 2.2 + 5 > 0 \Leftrightarrow 3 > 0\) là mệnh đề đúng nên \(\left( {2;\,\,2} \right)\) là nghiệm của bất phương trình. Do đó \(\left( {2;\,2} \right) \in S\).
+) Xét cặp số \(\left( { - 2;\,\,4} \right)\):
Thay \(x = - 2\) và \(y = 4\) vào bất phương trình\(x - 2y + 5 > 0\), ta được:
\(\left( { - 2} \right) - 2.4 + 5 > 0 \Leftrightarrow - 5 > 0\) là mệnh đề sai nên \(\left( { - 2;\,\,4} \right)\) không là nghiệm của bất phương trình. Do đó \(\left( { - 2;\,\,4} \right) \notin S\).
+) Xét cặp số \(\left( {1;\,\,3} \right)\):
Thay \(x = 1\) và \(y = 3\) vào bất phương trình\(x - 2y + 5 > 0\), ta được:
\(1 - 2.3 + 5 > 0 \Leftrightarrow 0 > 0\) là mệnh đề sai nên \(\left( {1;\,\,3} \right)\) không là nghiệm của bất phương trình. Do đó \(\left( {1;\,\,3} \right) \notin S\).
Lớp 10D có \(45\) học sinh, trong đó có \(25\) em thích môn Văn, \(20\) em thích môn Toán, \(18\) em thích môn Tiếng Anh, \(6\) em không thích môn nào, \(5\) em thích cả ba môn. Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên là bao nhiêu?
\(34\);
\(11\);
\(20\);
\(1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Gọi \(a,\,\,b,\,\,c\) theo thứ tự là số học sinh chỉ thích môn Văn, môn Sử, môn Toán \(\left( {a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{N}} \right)\)
Gọi \(x\) là số học sinh chỉ thích hai môn Toán và Văn.
\(y\) là số học sinh chỉ thích hai môn Toán và Sử.
\(z\) là số học sinh chỉ thích hai môn Văn và Sử.
Khi đó ta có sơ đồ Venn:
Tổng số học sinh thích môn Văn là: \(a + x + y + 5 = 25\) (1).
Tổng số học sinh thích môn Toán là: \(b + x + z + 5 = 20\) (2).
Tổng số học sinh thích môn Sử là: \(c + y + z + 5 = 18\) (3).
Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta được:
\(a + b + c + 2\left( {x + y + z} \right) + 15 = 63\)
\( \Leftrightarrow a + b + c + 2\left( {x + y + z} \right) = 48\)
Số học sinh thích ít nhất một trong ba môn Toán, Văn, Sử là: 45 – 6 = 39.
Khi đó ta có: \(a + b + c + x + y + z + 5 = 39 \Leftrightarrow a + b + c + x + y + z = 34\)
Mà \(a + b + c + 2\left( {x + y + z} \right) = 48\)
Nên \(a + b + c = 20\).
Vậy có \(20\) học sinh thích chỉ một môn trong ba môn trên.
Cho ba tập hợp \(A,\,\,B,D\) như hình bên dưới:
Phần không tô màu trong hình tương ứng với tập hợp nào sau đây?
\(D\);
\({C_D}\left( {A \cap B} \right)\);
\({C_D}\left( {A \cup B} \right)\);
\(A \cup B\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phần không tô màu trong hình biểu diễn tập \({C_D}\left( {A \cup B} \right)\).
Cặp số \(\left( {3;\,\,2} \right)\) là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
\(4x - 2x > 1\);
\(2x + 3y < 0\);
\(20x - y > 100\)
\(5x - y < 10\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(4 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = 12 - 4 = 8 > 1\), vậy cặp số \(\left( {3;\,\,2} \right)\) là nghiệm của bất phương trình \(4x - 2x > 1\).
Miền không gạch chéo (không kể bờ \(d\)) trong hình sau là miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình dưới đây?
\[2x + 3y > - 9\].
\[3x + 2y \le - 9\].
\[3x + 2y > 6\].
\[2x + 3y < 9\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có gọi đường thẳng biên có dạng: \(d:y = ax + b\)
Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(\left( { - 4,5;\,0} \right)\) và \(\left( {0; - 3} \right)\), khi đó thay lần lượt các cặp số vào phương trình \(d\) ta được hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}0 = - 4,5a + b\\ - 3 = 0.a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{2}{3}\\b = - 3\end{array} \right.\]
\( \Rightarrow d:y = - \frac{2}{3}x - 3\) hay \(d:2x + 3y = - 9\)
Lấy điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) có \(2.0 + 3.0 = 0 > - 9\) và điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình (không kể đường thẳng) nên ta có bất phương trình cần tìm là: \[2x + 3y > - 9\]
Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(2x - 5y + 3z \le 0\).
\(2x + 3y < 5\).
\(3{x^2} + 2x - 4 > 0\).
\(2{x^2} + 5y > 3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có dạng \[ax + by \ge c,\,\,ax + by > c,\,\,ax + by \le c,\,\,ax + by < c\] nên chỉ có bất phương trình \(2x + 3y < 5\).
Cho hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx - 2y \le 5\\\left( {m - 1} \right)y \ge 3\end{array} \right.\). Tìm điều kiện của \(m\) để cặp số \(\left( {1;\,\,1} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình.
\(\left[ {2;5} \right]\);
\(\left[ {2;7} \right]\);
\(\left( {4;5} \right)\);
\(\left[ {4;7} \right]\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Thay \(x = 1\) và \(y = 1\) vào hệ bất phương trình ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}m.1 - 2.1 \le 5\\\left( {m - 1} \right).1 \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 7\\m \ge 4\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left[ {4;7} \right]\).
Phần không gạch chéo ở hình sau đây (kể cả biên) là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn đáp án \[A\,,\,\,B\,,\,\,C\,,\,\,D\]?
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y > - 4\\x < 2y\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \ge - 4\\x < 2y\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y > - 4\\2x \ge y\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \ge - 4\\2x > y\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
+) Gọi đường thẳng \({d_1}:y = ax + b\)
Đường thẳng \({d_1}\) đi qua hai điểm \(\left( { - 4;\,0} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\), khi đó thay lần lượt các cặp số vào phương trình \({d_1}\) ta được hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}0 = - 4a + b\\2 = 0.a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 2\end{array} \right.\]
\( \Rightarrow {d_1}:y = \frac{1}{2}x + 2\) hay \({d_1}:x - 2y = - 4\)
Lấy điểm \(M\left( {1;\,\,0} \right)\) có \(1 - 2.0 = 1 > - 4\) và điểm \(M\left( {1;\,\,0} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình (không kể đường thẳng \({d_1}\)) nên ta có bất phương trình cần tìm là: \(x - 2y > - 4\).
+) Gọi đường thẳng \({d_2}:y = a'x + b'\)
Đường thẳng \({d_2}\) đi qua hai điểm \(\left( {0;\,0} \right)\) và \(\left( {1;2} \right)\), khi đó thay lần lượt các cặp số vào phương trình \({d_2}\) ta được hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}0 = 0.a' + b'\\2 = 1.a' + b'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a' = 2\\b' = 0\end{array} \right.\]
\( \Rightarrow {d_2}:y = 2x\) hay \({d_1}:2x - y = 0\)
Lấy điểm \(M\left( {1;\,\,0} \right)\) có \(2.1 - 0 = 2 > 0\) và điểm \(M\left( {1;\,\,0} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình (kể cả đường thẳng \({d_2}\)) nên ta có bất phương trình cần tìm là: \(2x \ge y\).
Từ đó ta có hệ bất phương trình cần tìm là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y > - 4\\2x \ge y\end{array} \right.\).
Bạn Hằng là du học sinh tại Hàn Quốc, vào mùa hè bạn ấy có hai công việc làm thêm là gia sư và thu ngân ở siêu thị. Mỗi giờ gia sư bạn được trả 12 000 won và mỗi giờ làm thu ngân ở siêu thị được trả 9 500 won. Gọi \(x\) là số giờ bạn Hằng làm gia sư và \(y\) là số giờ bạn ấy làm nhân viên thu ngân. Bạn ấy có thể làm việc không quá 20 giờ mỗi tuần. Hỏi cặp số \(\left( {x;\,y} \right)\) nào sau đây thể hiện bạn Hằng kiếm được ít nhất 220 000 won mỗi tuần?
\(\left( {10;\,\,10} \right)\);
\(\left( {12;\,\,8} \right)\);
\(\left( {11;\,\,10} \right)\);
\(\left( {9;\,\,9} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Số tiền mà bạn Hằng kiếm được sau \(x\) giờ làm gia sư và \(y\) giờ làm nhân viên thu ngân là \(12\,000x + 9\,500y\) (won).
Theo bài ra ta có cặp số \(\left( {x;\,y} \right)\) phải thỏa mãn hệ bất phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}12\,\,000x + 9\,\,500y \ge 220\,\,000\\x + y \le 20\\x \ge 0;\,y \ge 0\end{array} \right.\).
Thay lần lượt từng cặp số ở các đáp án, ta thấy chỉ có đáp án B thỏa mãn.
\(\left( {12\,000 \cdot 12 + 9\,500 \cdot 8 = 220\,\,000\,\,;\,\,12 + 8 = 20} \right)\)
Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 3x} \). Giá trị của \(y\) khi \(x = - 1\) là
không tồn tại;
\(y = 2\);
\(y = - 2\);
\(y = \pm 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Với \(x = - 1\) thì \(y = \sqrt {{x^2} - 3x} = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} - 3.\left( { - 1} \right)} = 2\).
Tìm tập xác định \[D\] của hàm số \[y = \sqrt {6 - x} + \frac{{2x + 1}}{{1 + \sqrt {x - 1} }}\]?
\[D = \left( {1;\, + \infty } \right)\];
\[D = \left( {1;\,6} \right)\];
\[D = \left[ {1;\,6} \right]\];
\[D = \mathbb{R}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số xác định khi \[\left\{ \begin{array}{l}6 - x \ge 0\\x - 1 \ge 0\\1 + \sqrt {x - 1} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 6\\x \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x \le 6\]
Vậy tập xác định của hàm số là \[D = \left[ {1;\,6} \right]\].
Cho hàm số bậc hai \(y = 2{x^2}\). Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( { - \infty ; - 1} \right)\);
\(\left( { - 1;0} \right)\);
\(\left( {0;4} \right)\);
\(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có điểm đỉnh của hàm số là\(x = - \frac{0}{{2.1}} = 0\).
Hàm số có \(a = 2 > 0\) nên đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) hay hàm số đồng biến trên \(\left( {0;4} \right)\)
Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai?
\(y = x\);
\(y = \frac{1}{{{x^2}}} - x\);
\(y = 2{x^2} - 9\);
\(y = {x^2}.y\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số \(y = 2{x^2} - 9\) là hàm số bậc hai.
Tìm giá trị nhỏ nhất \[{y_{\min }}\] của hàm số \[y = {x^2} - 4x + 5\]?
\[{y_{\min }} = 0\];
\[{y_{\min }} = 1\];
\[{y_{\min }} = 2\];
\[{y_{\min }} = 3\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Tọa độ đỉnh \(I\): \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 4}}{{2.1}} = 2,{y_I} = {2^2} - 4.2 + 5 = 1\).
Vì hệ số \[a > 0\] nên hàm số có bề lõm quay lên trên, hàm số có giá trị nhỏ nhất tại đỉnh \[I\left( {2;\,1} \right)\]. Vậy nên \[{y_{\min }} = 1\].
Cho \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?
\(\sin \alpha = \sin \beta \);
\(\cos \alpha = - \cos \beta \);
\(\tan \alpha = - \tan \beta \);
\(\cot \alpha = \cot \beta \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hai góc bù nhau có sin bằng nhau; côsin, tang, côtang đối nhau.
Do đó, \(\sin \alpha = \sin \beta \), \(\cos \alpha = - \cos \beta \), \(\tan \alpha = - \tan \beta \), \(\cot \alpha = - \cot \beta \). Vậy đáp án D sai.
Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?
\(\sin 0^\circ + {\rm{cos}}0^\circ = 1\);
\({\sin ^2}30^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}60^\circ = 1\);
\(\sin 90^\circ + {\rm{cos9}}0^\circ = 1\);
\({\sin ^2}120^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}120^\circ = 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có:
\(\sin 0^\circ + {\rm{cos}}0^\circ = 0 + 1 = 1\). Do đó A đúng.
\({\sin ^2}30^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}60^\circ = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2} \ne 1\). Do đó B sai.
\(\sin 90^\circ + {\rm{cos9}}0^\circ = 1 + 0 = 1\). Do đó C đúng.
\({\sin ^2}120^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}120^\circ = 1\). Do đó D đúng.
Cho góc \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \). Biết rằng \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\). Tính giá trị của \(\cos \alpha \).
\(\cos \alpha = \frac{2}{3}\).
\(\cos \alpha = - \frac{2}{3}\).
\(\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
\(\cos \alpha = \frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1\)
\( \Leftrightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\)
\( \Leftrightarrow {\rm{cos}}\alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Từ vị trí \(A\) cách mặt đất \(1m\), một bạn nhỏ quan sát một cây đèn đường (hình vẽ).
Biết \(HB = 6\,\,m\), \(\widehat {BAC} = 44^\circ \). Chiều cao của cây đèn đường gần nhất với giá trị nào sau đây?
\(5,1\,\,m\);
\(7,2\,m\);
\(5,9\,\,m\);
\(8,3\,\,m\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\), có:
\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {1^2} + {6^2} = 37\)
\( \Leftrightarrow AB = \sqrt {37} \,\,cm\)
\(\tan ABH = \frac{{AH}}{{BH}} = \frac{1}{6} \Rightarrow \widehat {ABH} \approx 9,5^\circ \).
\( \Rightarrow \widehat {ABC} = 90^\circ - 9,5^\circ = 80,5^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {ACB} = 180^\circ - 80,5^\circ - 44^\circ = 55,5^\circ \)
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), có:
\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} \Leftrightarrow BC = \frac{{AB.\sin \widehat {BAC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{\sqrt {37} .\sin 44^\circ }}{{\sin 55,5^\circ }} \approx 5,1\,\,\left( m \right).\)
Vậy chiều cao của cây đèn đường khoảng \(5,1\,\,m\).
Cho tam giác \(ABC\) thỏa mãn \({\sin ^2}A = \sin B.\sin C\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
\[{\rm{cos}}\frac{A}{2} \le \frac{1}{2}\];
\[{\rm{cos}}A \ge \frac{1}{2}\];
\[{\rm{cos}}A = 0\];
\[{\rm{cos}}A < \frac{1}{2}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta được:
\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)
\( \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}};\sin B = \,\,\frac{b}{{2R}};\,\,\sin C = \,\,\frac{c}{{2R}}.\)
\( \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{4{R^2}}} = \frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}}\)
\( \Leftrightarrow {a^2} = b.c\)
Áp dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác \(ABC\), ta được:
\[{\rm{cos}}A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2.b.c}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - bc}}{{2.b.c}}\]
Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số dương \({b^2} + {c^2}\) ta được:
\({b^2} + {c^2} \ge 2bc\)
Khi đó: \[{\rm{cos}}A = \frac{{{b^2} + {c^2} - bc}}{{2.b.c}} \ge \frac{{2bc - bc}}{{2bc}} = \frac{1}{2}\].
Cho tam giác \(ABC\) có \[BC = a,\,AC = b,\,AB = c\] và \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Công thức nào sau đây sai?
\(\frac{a}{{\sin A}} = 2R\);
\(\sin A = \frac{a}{{2R}}\);
\(b\sin B = 2R\);
\(\sin C = \frac{{c\sin A}}{a}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Theo định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\).
Từ đó suy ra \(\frac{a}{{\sin A}} = 2R\), \(\sin A = \frac{a}{{2R}}\), \(\sin C = \frac{{c\sin A}}{a}\). Do đó các công thức ở các đáp án A, B, D đúng và đáp án C sai.
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2\,\,cm\), \(\widehat {ABC} = 60^\circ \), \(\widehat {BAC} = 75^\circ \). Diện tích tam giác \(ABC\) gần nhất với giá trị nào sau đây?
\(2,37\,\,c{m^2}\);
\(0,63\,\,c{m^2}\);
\(2,45\,\,c{m^2}\);
\(1,58\,\,c{m^2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(ABC\), có:
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Rightarrow \widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {75^\circ + 60^\circ } \right) = 45^\circ \)(định lí tổng ba góc trong tam giác)
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta được:
\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow BC = \frac{{AB.\sin A}}{{\sin C}} = \frac{{2.\sin 75^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = 1 + \sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\).
Diện tích tam giác \(ABC\) bằng:
\(S = \frac{1}{2}AB.BC.\sin B = \frac{1}{2}.2.\left( {1 + \sqrt 3 } \right).\sin 60^\circ = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2} \approx 2,37\,\,\left( {c{m^2}} \right).\)
Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\) và có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là \(r\). Khi đó tỉ số \(\frac{R}{r}\) là
\(1 + \sqrt 2 \);
\(\frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\);
\(\frac{{\sqrt 2 - 1}}{2}\);
\(\frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Giả sử ta có \(AB = AC = a\), do tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là \(R = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là \(p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{a + a + a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)a}}{2}\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{{{a^2}}}{2}\).
Lại có \(S = pr\) với \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).
Suy ra \(r = \frac{S}{p} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)a}}{2}}} = \frac{a}{{2 + \sqrt 2 }}\). Vậy \(\frac{R}{r} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{a}{{2 + \sqrt 2 }}}} = 1 + \sqrt 2 \).
Cho hình chữ nhật \[ABCD\] tâm \(O\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD} = \overrightarrow 0 \];
\[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \];
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \];
\[\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét từng đáp án, ta có:
+) \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD} = \overrightarrow 0 \]\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \) (không thỏa mãn).
+) \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \] (thỏa mãn vì \(O\) là trung điểm của \(AC\)).
+) \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \]\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \) (thỏa mãn).
+) \[\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \]\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \) (thỏa mãn).
Vậy đáp án A sai và các đáp án B, C, D đúng.
Phát biểu nào dưới đây là đúng?
Vectơ là một tia có điểm gốc và có hướng;
Vectơ là một đường thẳng.
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
Vectơ là một điểm.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
Hai vectơ được gọi là đối nhau khi
giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau;
chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau;
chúng ngược hướng và độ dài của chúng bằng nhau;
chúng cùng phương và độ dài của chúng đối nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hai vectơ được gọi là đối nhau khi chúng ngược hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) cùng tác động vào một vật tại một điểm làm vật đứng yên (xem hình vẽ). Xét \(\overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} \). Phát biểu nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {{F_4}} \);
\(\overrightarrow {{F_1}} = - \overrightarrow {{F_4}} \);
\(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {{F_4}} + \overrightarrow {{F_2}} \);
\(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {{F_4}} + \overrightarrow {{F_3}} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) cùng tác động vào một vật tại một điểm làm vật đứng yên nên ta có \(\overrightarrow {{F_1}} + \,\,\overrightarrow {{F_2}} + \,\,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = - \overrightarrow {{F_1}} \).
Mà \(\overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} \). Vậy \(\overrightarrow {{F_4}} = - \overrightarrow {{F_1}} \) hay \(\overrightarrow {{F_1}} = - \overrightarrow {{F_4}} \).
Cho hình thoi \(ABCD\) cạnh \(a\), \(\widehat {BAD} = 60^\circ \). Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo. Độ dài vectơ \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OC} \) là
\(2a\);
\(a\sqrt 3 \);
\(2a\sqrt 3 \);
\(a\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xét tam giác \(ABD\), có: \(AB = AD = a\) nên \(ABD\) cân tại \(A\)
Mà \(\widehat {BAD} = 60^\circ \) suy ra tam giác \(ABD\) đều
Khi đó \(AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Ta có: \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CA} \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = 2.AO = 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
Cho đoạn thẳng \(AB\). Gọi \(M\) là một điểm trên \(AB\) sao cho \[AM = \frac{1}{4}AB\]. Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\overrightarrow {MA} = \frac{1}{3}\overrightarrow {MB} \);
\(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \);
\(\overrightarrow {BM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {BA} \);
\(\overrightarrow {MB} = - 3\overrightarrow {MA} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \[AM = \frac{1}{4}AB\] và hai vectơ \(\overrightarrow {AM} ,\,\,\overrightarrow {AB} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \), do đó đáp án B đúng.
Ta có: \[MA = \frac{1}{3}MB\] và hai vectơ \(\overrightarrow {MA} ,\,\,\overrightarrow {MB} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {MA} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {MB} \) hay \(\overrightarrow {MB} = - 3\overrightarrow {MA} \), do đó đáp án A sai và đáp án D đúng.
\[BM = \frac{3}{4}BA\] và hai vectơ \(\overrightarrow {BM} ,\,\,\overrightarrow {BA} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {BM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {BA} \), do đó đáp án C đúng.
Vectơ tổng \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} \) bằng
\(\overrightarrow {MN} \);
\(\overrightarrow {PN} \);
\(\overrightarrow {MR} \);
\(\overrightarrow {NP} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} \)
\( = \left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} } \right) + \left( {\overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QR} } \right) + \overrightarrow {RN} \)
\( = \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PR} + \overrightarrow {RN} \)
\( = \overrightarrow {MR} + \overrightarrow {RN} \)
\( = \overrightarrow {MN} \).
Tìm giá trị của \(m\) sao cho \(\overrightarrow a = m\overrightarrow b \), biết rằng hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 10,\,\,\left| {\overrightarrow b } \right| = 18\).
\(m = - \frac{5}{9}\);
\(m = - \frac{9}{5}\).
\(m = \frac{5}{9}\);
\(m = \frac{9}{5}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{10}}{{18}} = \frac{5}{9} \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \frac{5}{9}\left| {\overrightarrow b } \right|\), mà hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) ngược hướng nên \[\overrightarrow a = - \frac{5}{9}\overrightarrow b \].
Vậy \(m = - \frac{5}{9}\).
Cho tam giác \[ABC\] và điểm \[I\] thỏa mãn \[\overrightarrow {IA} = - 2\overrightarrow {IB} \]. Biểu diễn \[\overrightarrow {IC} \] theo các vectơ \[\overrightarrow {AB} \], \[\overrightarrow {AC} \] ta được
\(\overrightarrow {IC} = - 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {IC} = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {IC} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {IC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \[\overrightarrow {IA} = - 2\overrightarrow {IB} \]\[ \Rightarrow \overrightarrow {IA} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \].
Vậy \[\overrightarrow {IC} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \].
II. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)
(1 điểm)
a) Xác định điều kiện của \(a,b\) để \(A \cap B = \emptyset \) với \(A = \left[ {a - 1;\,\,a + 2} \right]\) và \(B = \left( {b;\,\,b + 4} \right]\).
b) Cho tam giác \(ABC\) có \(G\) là trọng tâm. Gọi \(D\) và \(E\) lần lượt là các điểm thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AE} = x\overrightarrow {AC} \). Tìm \(x\) để ba điểm \(D,\,\,G,\,\,E\) thẳng hàng. Với giá trị tìm được của \(x\), hãy tính tỉ số \(\frac{{DG}}{{DE}}\).
Hướng dẫn giải
a) Để \(A \cap B = \emptyset \) ta có hai trường hợp sau:
TH1: \(a + 2 \le b \Leftrightarrow a - b \le - 2\).
TH2: \(a - 1 > b + 4 \Leftrightarrow a - b > 5\).
Vậy với \(a - b \le - 2\) hoặc \(a - b > 5\) thì \(A \cap B = \emptyset \).
b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\)
Xét tam giác ABC, có:
\(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
Ta có: \(\overrightarrow {DG} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AE} = 2\overrightarrow {AB} - x\overrightarrow {AC} \)
Để \(D,\,\,G,\,\,E\) thẳng hàng thì tồn tại số thực \(k\) thỏa mãn: \(\overrightarrow {DG} = k\overrightarrow {DE} \)
\( \Leftrightarrow \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = k\left( {2\overrightarrow {AB} - x\overrightarrow {AC} } \right)\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2k = \frac{5}{3}\\kx = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{5}{6}\\x = \frac{2}{5}\end{array} \right.\).
Vậy \(x = \frac{2}{5}\) thì \(D,\,\,G,\,\,E\) thẳng hàng và khi đó \(\frac{{DG}}{{DE}} = k = \frac{5}{6}\).
Để đo đường kính của một hồ hình tròn, người ta làm như sau: Lấy ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) như hình vẽ sao cho \(AB = 7,5\,\,{\rm{m}};\,\,AC = 10,5\,\,{\rm{m}};\,\widehat {BAC} = 135^\circ \). Hãy tính đường kính của hồ nước đó.
Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ABC\) ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC} = {\left( {7,5} \right)^2} + {\left( {10,5} \right)^2} - 2 \cdot 8,5 \cdot 10,5 \cdot \cos 135^\circ \approx 277,87\)
Suy ra \(BC \approx 16,67\) (m).
Đường tròn hồ đi qua ba đỉnh của tam giác \(ABC\) nên đường tròn này ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Gọi \(R\) là bán kính đường tròn này. Theo định lí sin ta có: \(\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = 2R\).
Thay số ta được: \(2R = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} \approx \frac{{16,67}}{{\sin 135^\circ }} \approx 23,57\) (m).
Do đó, đường kính \(d = 2R \approx 23,57\) (m).
Vậy đường kính của hồ nước khoảng 23,57 m.
(1 điểm)
Một trang trại cần thuê xe vận chuyển ít nhất \(450\) con lợn và \(35\) tấn cám. Nơi cho thuê xe chỉ có không quá \(12\) xe lớn và \(10\) xe nhỏ. Một chiếc xe lớn có thể chở \(50\) con lợn và \(5\) tấn cám. Một chiếc xe nhỏ có thể chở \(30\) con lợn và \(1\) tấn cám. Tiền thuê một xe lớn là \(4\) triệu đồng, một xe nhỏ là \(2\) triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thuê xe là thấp nhất?
Hướng dẫn giải
Gọi số xe lớn cần thuê là \(x\) (xe), số xe nhỏ cần thuê là \(y\) (xe) \(\left( {x,y \in \mathbb{N},0 \le x \le 12,\,0 \le y \le 10} \right)\).
Số lợn có thể chở là: \(50x + 30y\) (con)
Mà cần vận chuyển ít nhất \(450\) con lợn nên ta có \(50x + 30y \ge 450\) hay \(5x + 3y \ge 45\).
Số tấn cám có thể chở là: \(5x + y\) (con)
Mà cần vận chuyển ít nhất \(35\) tấn cám nên ta có \(5x + y \ge 35\) (tấn).
Từ đó ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 12\\0 \le y \le 10\\5x + 3y \ge 45\\5x + y \ge 35\end{array} \right.\)
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của ngũ giác \(ABCDE\) (miền không tô đậm trong hình vẽ) với \(A\left( {7;\,\,5} \right),B\left( {5;\,\,10} \right),\,\,C\left( {12;\,10} \right),\,D\left( {12;\,\,0} \right),\,\,E\left( {9;\,\,0} \right)\).
Chi phí thuê xe là: \(F\left( {x;\,\,y} \right) = 4x + 2y\) (triệu đồng)
Ta có:
Tại \(A\left( {7;\,\,5} \right)\) có \(F\left( {7;\,\,5} \right) = 4.7 + 2.5 = 38\);
Tại \(B\left( {5;\,\,10} \right)\) có \(F\left( {5;\,\,10} \right) = 4.5 + 2.10 = 40\);
Tại \(C\left( {12;\,10} \right)\) có \(F\left( {12;\,\,10} \right) = 4.12 + 2.10 = 68\)
Tại \(D\left( {12;\,\,0} \right)\) có \(F\left( {12;\,\,0} \right) = 4.12 + 2.0 = 48\)
Tại \(E\left( {9;\,\,0} \right)\) có \(F\left( {9;\,\,0} \right) = 4.9 + 2.0 = 36\)
Vậy người đó cần thuê 9 xe lớn để chi phí thuê xe là thấp nhất.
