Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Cánh Diều có đáp án - Đề 9
76 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (7,0 điểm)
Hãy khoanh tròn vào phương án đúng duy nhất trong mỗi câu dưới đây:
Góc có số đo \[{108^{\rm{o}}}\]đổi ra radian là
\[\frac{{3\pi }}{5}.\]
\[\frac{\pi }{{10}}.\]
\[\frac{{3\pi }}{2}.\]
\[\frac{\pi }{4}.\]
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Cách 1: áp dụng công thức đổi độ ra rad \[\alpha = \frac{{n.\pi }}{{180}}\].
Cách 2: \[\frac{{3\pi }}{5}\] tương ứng \[108^\circ ;\]\[\frac{\pi }{{10}}\] tương ứng \[18^\circ \].
\[\frac{{3\pi }}{2}\] tương ứng \[270^\circ ;\]\[\frac{\pi }{4}\]tương ứng \[45^\circ \].
Chọn công thức sai trong các công thức sau:
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).
\(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }}\).
\({\sin ^2}2\alpha + {\cos ^2}2\alpha = 1\)
\(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Theo công thức lượng giác cơ bản thì \(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }}\).
Với mọi góc lượng giác \(a\), \(b\), trong các công thức sau, công thức nào đúng (giả sử rằng tất cả các đẳng thức đều có nghĩa)?
\(\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\).
\[\tan \left( {a--b} \right) = \tan a - \tan b\].
\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\).
\[\tan \left( {a + b} \right) = \tan a + \tan b\].
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Công thức cộng: \(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\).
Cho \[\cos \alpha = \frac{1}{3}\]. Khi đó \[\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\] bằng
\( - \frac{2}{3}.\)
\[ - \frac{1}{3}.\]
\(\frac{1}{3}.\)
\(\frac{2}{3}.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha = \frac{1}{3}.\]
Cho góc lượng giác \(\left( {Ou,Ov} \right)\) có số đo \( - \frac{\pi }{7}\). Trong các số \( - \frac{{29\pi }}{7};\,\,\, - \frac{{22\pi }}{7};\,\,\,\frac{{6\pi }}{7};\,\,\,\frac{{41\pi }}{7}\), những số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho?
\( - \frac{{29\pi }}{7};\,\,\,\frac{{41\pi }}{7}\).
\( - \frac{{29\pi }}{7};\,\,\, - \frac{{22\pi }}{7}\).
\( - \frac{{22\pi }}{7};\,\,\,\frac{{41\pi }}{7}\).
\(\frac{{6\pi }}{7};\,\,\,\frac{{41\pi }}{7}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Công thức cộng: \(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\).
Cho \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Giá trị của \[{\rm{cos}}\alpha \] là
\(\frac{4}{5}\).
\( - \frac{4}{5}\).
\( \pm \frac{4}{5}\).
\(\frac{{16}}{{25}}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\]\[ \Rightarrow {\cos ^2}\alpha {\rm{ = 1}} - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}\]\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = \frac{4}{5}\\\cos \alpha = - \frac{4}{5}\end{array} \right.\).
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \)\( \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha = - \frac{4}{5}\).
Biết góc \[\alpha \] thỏa mãn \[\cos \alpha = \frac{2}{3}\]. Hỏi \[\alpha \] có thể nhận giá trị trong khoảng nào dưới đây?
\[\left( {\frac{\pi }{2},\frac{{2\pi }}{3}} \right)\].
\[\left( {\frac{{8\pi }}{3},\frac{{17\pi }}{6}} \right)\].
\[\left( {\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3}} \right)\].
\[\left( { - \pi ; - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\].
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Vì \[\cos \alpha = \frac{2}{3}\] nên \[\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\] với \[k \in \mathbb{Z}\].
Do đó, ta chọn đáp án C.
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\tan \alpha = 2.\) Giá trị của biểu thức \(P = \frac{{3\sin \alpha - 2\cos \alpha }}{{5\cos \alpha + 7\sin \alpha }}\) là
\(P = - \frac{4}{9}.\)
\(P = \frac{4}{9}.\)
\(P = - \frac{4}{{19}}.\)
\(P = \frac{4}{{19}}.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Chia cả tử và mẫu của \(P\) cho \(\cos \alpha \) ta được \(P = \frac{{3\tan \alpha - 2}}{{5 + 7\tan \alpha }} = \frac{{3.2 - 2}}{{5 + 7.2}} = \frac{4}{{19}}.\)
Khẳng định nào sau đây là đúng về hàm số \(y = \tan x?\)
Hàm số \(y = \tan x\) có tập xác định là \[\mathbb{R}.\]
Hàm số \(y = \tan x\) có tập giá trị là \[\left[ { - 1;1} \right].\]
Hàm số \(y = \tan x\) có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Hàm số \(y = \tan x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi .\)
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = \tan x\) có tập xác định là \[\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
Hàm số \(y = \tan x\) có tập giá trị là \[\mathbb{R}.\]
Hàm số \(y = \tan x\) có đồ thị đối xứng qua trục tung.
Hàm số \(y = \tan x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi .\)
Vậy phương án D là đúng.
Khẳng định nào sau đây là sai?
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên khoảng \[\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\]
Hàm số \(y = \sin x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 3\pi ; - \frac{{5\pi }}{2}} \right).\)
Hàm số \(y = \cos x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \pi ;0} \right).\)
Hàm số \(y = \cos x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{{3\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right).\)
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = \cos x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {2\pi ;\frac{{5\pi }}{2}} \right).\) Vậy khẳng định D là sai.
Cho các khẳng định sau:
(1) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định \(D\) được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số \(T\) khác \(0\) sao cho với mọi \(x \in D\) ta có \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right).\)
(2) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định \(D\) được gọi là hàm số chẵn nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\).
(3) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định \(D\) được gọi là hàm số lẻ nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right).\)
Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định trên?
0.
1.
2.
3.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
⦁ Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định \(D\) được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số \(T\) khác \(0\) sao cho với mọi \(x \in D\) ta có \(x + T \in D;\,\,x - T \in T\) và \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right).\) Do đó (1) sai.
⦁ Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định \(D\) được gọi là hàm số chẵn nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\). Do đó (2) sai.
(3) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định \(D\) được gọi là hàm số lẻ nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right).\) Do đó (3) sai.
Vậy không có khẳng định nào đúng.
Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D:
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
\(y = \cos x\).
\(y = - \cos x\).
\(y = \cos \left| x \right|\).
\(y = \left| {\cos x} \right|\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Lấy đối xứng đồ thị hàm số \(y = \cos x\) qua trục \(Ox\) ta được đồ thị:
Vậy đường cong trong hình vẽ trên là đồ thị hàm số \(y = - \cos x\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\) và \(g\left( x \right) = {\tan ^2}x.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(g\left( x \right)\) là hàm số lẻ.
\(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ, \(g\left( x \right)\) là hàm số chẵn.
\(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(g\left( x \right)\) là hàm số chẵn.
\(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) đều là hàm số lẻ.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
⦁Xét hàm số \[f\left( x \right) = \sin 2x.\]
TXĐ: \({\rm{D}} = \mathbb{R}\). Do đó \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)
Ta có \[f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - 2x} \right) = - \sin 2x = - f\left( x \right)\] là hàm số lẻ.
⦁Xét hàm số \[g\left( x \right) = {\tan ^2}x.\]
TXĐ: \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}.\) Do đó \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)
Ta có \[g\left( { - x} \right) = {\left[ {\tan \left( { - x} \right)} \right]^2} = {\left( { - \tan x} \right)^2} = {\tan ^2}x = g\left( x \right)\] là hàm số chẵn.
Hàm số \(y = 5 + 4\sin 2x\cos 2x\) có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
\(3.\)
\(4.\)
\(5.\)
\(6.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(y = 5 + 4\sin 2x\cos 2x = 5 + 2\sin 4x\).
Mà −1≤sin4x≤1→−2≤2sin4x≤2→3≤5+2sin4x≤7
→3≤y≤7→y∈ℤy∈3;4;5;6;7 nên \(y\) có \(5\) giá trị nguyên.
Tất cả các nghiệm của phương trình \(\sin x = \sin \frac{\pi }{3}\) là
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(x = \frac{\pi }{3} + 2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Lời giải
Đáp án đúng là: B
\(\sin x = \sin \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Phương trình nào dưới đây vô nghiệm?
\(\sin x + 5 = 0.\)
\(2\sin x - \sin x - 1 = 0.\)
\(\tan x + 5 = 0\).
\(3\cos x - 1 = 0.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \( - 1 \le \sin x \le 1\) nên \(\sin x + 5 = 0 \Leftrightarrow \sin x = - 5\) là phương trình vô nghiệm.
Một phương trình tương đương với phương trình \(\sin 4x\cos 2x = \sin x\cos 5x\) là
\(\sin 4x + \sin 2x = 0.\)
\(\sin 4x = \sin 2x.\)
\(\sin 4x = \sin 5x.\)
\(\sin 4x = \sin x.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\sin 4x\cos 2x = \sin x\cos 5x\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\sin 6x + \sin 2x} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\sin 6x + \sin \left( { - 4x} \right)} \right]\)
\( \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - 4x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \sin 2x = - \sin 4x \Leftrightarrow \sin 2x + \sin 4x = 0.\)
Nếu \[\cos \left( {a + b} \right) = 0\] thì khẳng định nào sau đây đúng?
\[\left| {\sin \left( {a + 2b} \right)} \right| = \left| {\sin a} \right|.\]
\[\left| {\sin \left( {a + 2b} \right)} \right| = \left| {\sin b} \right|.\]
\[\left| {\sin \left( {a + 2b} \right)} \right| = \left| {\cos a} \right|.\]
\[\left| {\sin \left( {a + 2b} \right)} \right| = \left| {\cos b} \right|.\]
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có : \[\cos \left( {a + b} \right) = 0 \Leftrightarrow a + b = \frac{\pi }{2} + k\pi \to a = - b + \frac{\pi }{2} + k\pi \].
\( \Rightarrow \left| {\sin \left( {a + 2b} \right)} \right| = \left| {\sin \left( { - b + 2b + \frac{\pi }{2} + k\pi } \right)} \right| = \left| {\cos \left( {b + k\pi } \right)} \right| = \left| {\cos b} \right|\).
Biểu diễn họ nghiệm của phương trình \(\sin 2x = 1\) trên đường tròn đơn vị ta được bao nhiêu điểm?
\(1\).
\(8\).
\(4\).
\(2\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Do đó khi biểu diễn họ nghiệm của phương trình \(\sin 2x = 1\) trên đường tròn đơn vị ta được \(2\) điểm.
Giải phương trình lượng giác: \(2\cos \frac{x}{2} + \sqrt 3 = 0\) có nghiệm là
\(x = \pm \frac{{5\pi }}{3} + k2\pi \).
\(x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \).
\(x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k4\pi \).
\(x = \pm \frac{{5\pi }}{3} + k4\pi \).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
\(2\cos \frac{x}{2} + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{{5\pi }}{3} + k4\pi \).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3\end{array} \right.\)với \(n \ge 0\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là lần lượt là những số nào dưới đây?
\( - 1;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} 5.\)
\(1;{\mkern 1mu} 4;{\mkern 1mu} 7.\)
\(4;{\mkern 1mu} 7;{\mkern 1mu} 10.\)
\(\;\; - 1;3;7.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \({u_1} = - 1;\,\,{u_2} = {u_1} + 3 = 2;\,\,{u_3} = {u_2} + 3 = 5.\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = {3^n}.\) Số hạng \({u_{2n - 1}}\) là
\({u_{2n - 1}} = {3^2}{.3^n} - 1.\)
\({u_{2n - 1}} = {3^n}{.3^{n - 1}}.\)
\({u_{2n - 1}} = {3^{2n}} - 1.\)
\({u_{2n - 1}} = {3^{2\left( {n - 1} \right)}}.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có un=3n→n↔2n−1u2n−1=32n−1=3n.3n−1.
Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right),\] được xác định \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} - {u_n} = 2n - 1\end{array} \right..\] Số hạng tổng quát \[{u_n}\] của dãy số là số hạng nào dưới đây?
\[{u_n} = 2 + {\left( {n - 1} \right)^2}.\]
\[{u_n} = 2 + {n^2}.\]
\[{u_n} = 2 + {\left( {n + 1} \right)^2}.\]
\[{u_n} = 2 - {\left( {n - 1} \right)^2}.\]
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Kiểm tra \({u_1} = 2\) ta loại các đáp án B và C
Ta có \({u_2} = {u_1} + 2.1 - 1 = 3.\)
Xét đáp án A: un=2+n−12→u2=3
Hoặc kiểm tra: \({u_{n + 1}} - {u_n} = {n^2} - {\left( {n - 1} \right)^2} = 2n - 1.\)
Xét đáp án D: un=2−n−12→u2=1→ loại D
Hoặc kiểm tra:\({u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( {n - 1} \right)^2} - {n^2} = - 2n + 1\not = 2n - 1.\)
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dãy số \({u_n} = \frac{1}{n} - 2\) là dãy tăng.
Dãy số \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\left( {{2^n} + 1} \right)\) là dãy giảm.
Dãy số \({u_n} = \frac{{n - 1}}{{n + 1}}\) là dãy giảm.
Dãy số \({u_n} = 2n + \cos \frac{1}{n}\) là dãy tăng.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Xét đáp án A: un=1n−2→un+1−un=1n+1−1n<0→ loại A
Xét đáp án B: \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\left( {{2^n} + 1} \right)\)là dãy có dấu thay đổi nên không giảm nên loạiB
Xét đáp án C: un=n−1n+1=1−2n+1→un+1−un=21n+1−1n+2>0→ loại C
Xét đáp án D: un=2n+cos1n→un+1−un=2−cos1n+1+cos1n+2>0 nên D đúng.
Trong các dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] cho bởi số hạng tổng quát \[{u_n}\] sau, dãy số nào bị chặn?
\[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}.\]
\[{u_n} = {3^n}.\]
\[{u_n} = \sqrt {n + 1} .\]
\[{u_n} = {n^2}.\]
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Các dãy số \({n^2};\,\,n;\,\,{3^n}\) dương và tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi \(n\) tăng lên vô hạn nên các dãy \({n^2};\,\,\sqrt {n + 1} ;\,\,{3^n}\) cũng tăng lên vô hạn (dương vô cùng), suy ra các dãy này không bị chặn trên, do đó chúng không bị chặn.
Nhận xét: \(0 < {u_n} = \frac{1}{{{2^n}}} \le \frac{1}{2}.\)
Trong không gian, cho 4 điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?
\[6.\]
\(4.\)
\(3.\)
\(2.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định.
Khi đó, với 4 điểm không đồng phẳng ta tạo được tối đa \(C_4^3 = 4\) mặt phẳng.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Nếu 3 điểm \(A,\;B,\;C\) là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) thì \(A,\;B,\;C\) thẳng hàng\(.\)
Nếu \(A,\;B,\;C\) thẳng hàng và \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\) có điểm chung là \(A\) thì \(B,\;C\) cũng là 2 điểm chung của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\)\(.\)
Nếu 3 điểm \(A,\;B,\;C\) là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) phân biệt thì \(A,\;B,\;C\) không thẳng hàng\(.\)
Nếu\(A,\;B,\;C\) thẳng hàng và\(A,\;B\) là 2 điểm chung của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) thì \(C\)cũng là điểm chung của \(\left( P \right)\)và \(\left( Q \right)\)\(.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Hai mặt phẳng phân biệt không song song với nhau thì chúng có duy nhất một giao tuyến.
A sai. Nếu \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) trùng nhau thì 2 mặt phẳng có vô số điểm chung. Khi đó, chưa đủ điều kiện để kết luận \(A,\;B,\;C\) thẳng hàng\(.\)
B sai. Có vô số đường thẳng đi qua \(A\), khi đó \(B,\;C\) chưa chắc đã thuộc giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\)
C sai. Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) phân biệt giao nhau tại 1 giao tuyến duy nhất, nếu 3 điểm \(A,\;B,\;C\) là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng thì \(A,\;B,\;C\) cùng thuộc giao tuyến.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang với \(AB\parallel CD\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Trên cạnh \(SB\) lấy điểm \(M\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {ADM} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) là
\(SI.\)
\(AE\) (\(E\) là giao điểm của \(DM\) và \(SI).\)
\(DM.\)
\(DE\) (\(E\) là giao điểm của \(DM\) và \(SI).\)
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(A\) là điểm chung thứ nhất của \(\left( {ADM} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\). Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), gọi \(E = SI \cap DM\). Ta có: ● \(E \in SI\) mà \(SI \subset \left( {SAC} \right)\) suy ra \(E \in \left( {SAC} \right)\). ● \(E \in DM\) mà \(DM \subset \left( {ADM} \right)\) suy ra \(E \in \left( {ADM} \right)\). |  |
Do đó \(E\) là điểm chung thứ hai của \(\left( {ADM} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\).
Vậy \[AE\] là giao tuyến của \(\left( {ADM} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\).
Cho bốn điểm \(N\) không cùng ở trong một mặt phẳng. Gọi \(P\) lần lượt là trung điểm của \(D\). Trên \(MND\) lấy điểm \(MND\) sao cho \(MN = \frac{{AB}}{2} = a\) không song song với \(DM = DN = \frac{{AD\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \) (\(MND\) không trùng với các đầu mút). Gọi \(E\) là giao điểm của đường thẳng \(D\) với mặt phẳng \(H\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(E\) nằm ngoài đoạn \(BC\) về phía \(B.\)
\(E\) nằm ngoài đoạn \(BC\) về phía \(C.\)
\(E\) nằm trong đoạn \(BC.\)
\(E\) nằm trong đoạn \(BC\) và \(E \ne B,{\rm{ }}E \ne C.\)
Đáp án đúng là: D
● Chọn mặt phẳng phụ \(\left( {ABC} \right)\) chứa \(BC\). ● Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(DH \bot MN\) và \({S_{\Delta MND}} = \frac{1}{2}MN.DH = \frac{1}{2}MN.\sqrt {D{M^2} - M{H^2}} = \frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}\) Ta có \(H\) là điểm chung thứ nhất của \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {IHK} \right)\). Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), do \(IK\) không song song với \(AC\) nên gọi \(F = IK \cap AC\). Ta có ▪ \(F \in AC\) mà \(AC \subset \left( {ABC} \right)\) suy ra \(F \in \left( {ABC} \right)\). ▪ \(F \in IK\) mà \(IK \subset \left( {IHK} \right)\) suy ra \(F \in \left( {IHK} \right)\). |  |
Suy ra \(F\) là điểm chung thứ hai của \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {IHK} \right)\).
Do đó \[\left( {ABC} \right) \cap \left( {IHK} \right) = HF\].
● Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), gọi \(E = HF \cap BC\). Ta có
▪ \(E \in HF\) mà \(HF \subset \left( {IHK} \right)\) suy ra \(E \in \left( {IHK} \right)\).
▪ \(E \in BC\).
Vậy \(E = BC \cap \left( {IHK} \right)\).
Cho hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\). Lấy \(A,\;B\) thuộc \(a\) và \(C,\;D\) thuộc \(b.\) Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\)?
Có thể song song hoặc cắt nhau.
Cắt nhau.
Song song với nhau.
Chéo nhau.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Theo giả thiết, \(a\) và \(b\) chéo nhau \( \Rightarrow \)\(a\) và \(b\) không đồng phẳng. Giả sử \(AD\) và \(BC\) đồng phẳng. Nếu \(AD \cap BC = I\) \( \Rightarrow I \in \left( {ABCD} \right) \Rightarrow I \in \left( {a;b} \right)\). Mà \(a\) và \(b\) không đồng phẳng, do đó, không tồn tại điểm \(I\). |  |
Nếu \(AD\,\,{\rm{//}}\,BC\)\( \Rightarrow \)\(a\) và \(b\) đồng phẳng (Mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy điều giả sử là sai. Do đó \(AD\) và \(BC\) chéo nhau.
Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt \(a,\;b,\;c\) trong đó \(a\,\parallel \,b\). Khẳng định nào sau đây sai?
Nếu \[a\,{\rm{//}}\,c\] thì \[b\,\,{\rm{//}}\,c\].
Nếu \(c\) cắt \(a\) thì \(c\) cắt \(b\).
Nếu \(A \in a\) và \(B \in b\) thì ba đường thẳng \(a,\;b,\;AB\) cùng ở trên một mặt phẳng.
Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua \(a\) và \(b\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Nếu \(c\) cắt \(a\) thì \(c\) cắt \(b\) hoặc \(c\) chéo \(b\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình thang với đáy lớn \[AB\] đáy nhỏ \[CD.\] Gọi \[M,\,\,N\] lần lượt là trung điểm của \[SA\] và \[SB.\] Gọi \[P\] là giao điểm của \[SC\] và \[\left( {AND} \right).\] Gọi \(I\) là giao điểm của \[AN\] và \[DP.\] Hỏi tứ giác \[SABI\] là hình gì?
Hình bình hành.
Hình chữ nhật.
Hình vuông.
Hình thoi.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Gọi \(E = AD \cap BC,{\rm{ }}P = NE \cap SC\). Suy ra \(P = SC \cap \left( {AND} \right)\). Ta có \( \bullet \)\(S\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\); \( \bullet \)\(I = DP \cap AN \Rightarrow I\) là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right).\) |  |
Suy ra \(SI = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\). Mà \(AB\,{\rm{//}}\,CD \Rightarrow SI\,{\rm{//}}\,AB\,{\rm{//}}\,CD.\)
Vì \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\) và chứng minh được cũng là đường trung bình của tam giác \(SAI\) nên suy ra \(SI = AB\).
Vậy \(SAB\) là hình bình hành.
Gọi \(G\) là trọng tâm tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(A'\) là trọng tâm của tam giác \[BCD\,.\] Tỉ số \[\frac{{GA}}{{GA'}}\] bằng
\(2\,.\)
\(3.\)
\(\frac{1}{3}.\)
\(\frac{1}{2}.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Gọi \[E\] là trọng tâm của tam giác \[ACD,\,\,\,M\] là trung điểm của \[CD\,.\] Nối \[BE\] cắt \(AA'\) tại \(G\) suy ra \(G\) là trọng tâm tứ diện. Xét \(\Delta MAB\) có \[\frac{{ME}}{{MA}} = \frac{{MA'}}{{MB}} = \frac{1}{3}\] Suy ra \[A'E\,\,{\rm{//}}\,AB\,\, \Rightarrow \,\,\frac{{A'E}}{{AB}} = \frac{1}{3}\,.\] | ![Gọi \(G\) là trọng tâm tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(A'\) là trọng tâm của tam giác \[BCD\,.\] Tỉ số \[\frac{{GA}}{{GA'}}\] bằng A. \(2\,.\) B. \(3.\) C. \(\frac{1}{3}.\) D. \(\frac{1}{2}.\) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/8-1762307760.png) |
Khi đó, theo định lí Talet suy ra \[\frac{{A'E}}{{AB}} = \frac{{A'G}}{{AG}} = \frac{1}{3}\,\, \Rightarrow \,\,\frac{{GA}}{{GA'}} = 3\,.\]
Cho hai đường thẳng phân biệt \(a,\;b\) và mặt phẳng\(\left( \alpha \right)\). Giả sử \[a\,{\rm{//}}\,\,b,\]\(b\,{\rm{//}}\,\left( \alpha \right).\) Khi đó:
\[a\,\,{\rm{//}}\,\,\left( \alpha \right).\]
\[a \subset \left( \alpha \right).\]
\(a\) cắt \[\left( \alpha \right).\]
\[a\,\,{\rm{//}}\,\,\left( \alpha \right)\] hoặc \[a \subset \left( \alpha \right).\]
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Cho hai hình bình hành \[ABCD\] và \[ABEF\] không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi \[O,\,\,{O_1}\] lần lượt là tâm của \[ABCD,\,\,ABEF\,.\]\[M\] là trung điểm của \[CD\,.\] Khẳng định nào sau đây sai?
\(O{O_1}\,{\rm{//}}\,\left( {BEC} \right).\)
\[O{O_1}\,{\rm{//}}\,\left( {AFD} \right).\]
\[O{O_1}\,{\rm{//}}\,\left( {EFM} \right).\]
\[M{O_1}\] cắt \[\left( {BEC} \right).\]
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Xét tam giác \[ACE\] có \[O,\,\,{O_1}\] lần lượt là trung điểm của \[AC,\,\,AE\,.\] Suy ra \[O{O_1}\] là đường trung bình trong tam giác \[ACE\]\[ \Rightarrow \,\,O{O_1}\,{\rm{//}}\,EC\,.\] Tương tự, \[O{O_1}\] là đường trung bình của tam giác \[BFD\] nên \[O{O_1}\,{\rm{//}}\,FD\,.\] |  |
Vậy \[O{O_1}\,{\rm{//}}\,\left( {BEC} \right),\]\[O{O_1}\,{\rm{//}}\,\left( {AFD} \right)\] và \[O{O_1}\,{\rm{//}}\,\left( {EFC} \right).\]
Chú ý rằng: \[\left( {EFC} \right) = \left( {EFM} \right)\,.\]
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,5 điểm)
a) Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \[\cos \alpha = - \frac{4}{5}\] và \[\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}.\] Tính \[P = \sin \frac{\alpha }{2}.\cos \frac{{3\alpha }}{2}.\]
b) Giải phương trình \[\cos 2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{5}{2}.\]
c) Phương trình của một sóng cơ học có dạng \(u\left( {x,t} \right) = A\cos \left[ {\omega \left( {t - \frac{x}{v}} \right)} \right]\) trong đó \(A\) là biên độ sóng, \(\omega \) là tần số góc của sóng và \(v\) là tốc độ truyền sóng. Biết hai sóng lan truyền theo cùng một chiều trên cùng một sợi dây kéo căng có cùng tần số, cùng biên độ \(10\left( {mm} \right)\) và hiệu số pha là \(\frac{\pi }{2}\). Hãy lập phương trình của sóng tổng hợp?
a) Ta có \[P = \sin \frac{\alpha }{2}.\cos \frac{{3\alpha }}{2} = \frac{1}{2}\left( {\sin 2\alpha - \sin \alpha } \right) = \frac{1}{2}\sin \alpha \left( {2\cos \alpha - 1} \right)\].
Từ hệ thức \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\], suy ra \[\sin \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \pm \frac{3}{5}\].
Do \[\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\] nên ta chọn \[\sin \alpha = - \frac{3}{5}\].
Thay \[\sin \alpha = - \frac{3}{5}\] và \[\cos \alpha = - \frac{4}{5}\] vào \(P\), ta được \(P = \frac{{39}}{{50}}.\)
b) \[\cos 2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{5}{2}\]
⦁ Ta có: \[\cos 2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 - 2{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 - 2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\]
⦁ Phương trình đã cho trở thành:
\[ - \,2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) + 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \frac{3}{2} = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{1}{2}\\\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{3}{2}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{1}{2}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{6} - x = \pm \,\frac{\pi }{3} + k2\pi \]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \,\frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}.\]
⦁ Vậy phương trình có hai họ nghiệm là \[x = - \,\frac{\pi }{6} + k2\pi ;x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\]
c) Sóng thứ nhất có phương trình \({u_1}\left( {x,t} \right) = 10\cos \left[ {\omega \left( {t - \frac{x}{v}} \right)} \right] = 10\cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x} \right)\)
Sóng thứ hai có phương trình \({u_2}\left( {x,t} \right) = 10\cos \left[ {\omega \left( {t - \frac{x}{v}} \right) + \frac{\pi }{2}} \right] = 10\cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x + \frac{\pi }{2}} \right)\)
Sóng tổng hợp có phương trình \(u\left( {x,t} \right) = 10\cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x} \right) + 10\cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x + \frac{\pi }{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow u\left( {x,t} \right) = 10.2.\cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x + \frac{\pi }{4}} \right).\cos \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow u\left( {x,t} \right) = 10\sqrt 2 \cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x + \frac{\pi }{4}} \right)\)(mm).
(0,5 điểm) Xét tính tăng giảm của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = n - \sqrt {{n^2} - 1} .\)
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = n - \sqrt {{n^2} - 1} \)
Ta có: \({u_n} = n - \sqrt {{n^2} - 1} = \frac{{{n^2} - \left( {{n^2} - 1} \right)}}{{n + \sqrt {{n^2} - 1} }} = \frac{1}{{n + \sqrt {{n^2} - 1} }}\)
Dễ dàng ta có: \(\left( {n + 1} \right) + \sqrt {{{\left( {n + 1} \right)}^2} - 1} > n + \sqrt {{n^2} - 1} \)
\( \Rightarrow \frac{1}{{\left( {n + 1} \right) + \sqrt {{{\left( {n + 1} \right)}^2} - 1} }} < \frac{1}{{n + \sqrt {{n^2} - 1} }} \Leftrightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\)
Từ đó suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
(1,0 điểm)
a) Cho hình chóp \(S.ABCD\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC;\)\(G,\)\(G'\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(SAB\) và \(SBC\). Chứng minh \(GG'\,{\rm{//}}\,\left( {SAC} \right)\).
b) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang với \(AD\,{\rm{//}}\,BC\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAD;\)\(E\) là điểm thuộc đoạn \(AC\) sao cho \(EC = xEA,\,\,\left( {x > 0} \right)\). Tìm \(x\) để \(GE\,{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right)\).
a) Gọi \(K\) là trung điểm của \(SB\) suy ra \(G,\) \(G'\) thuộc mặt phẳng\(\left( {KAC} \right)\). Ta có: \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAB\) nên \(\frac{{KG}}{{KA}} = \frac{1}{3}\); Và \(G'\) là trọng tâm tam giác \(SBC\) nên \(\frac{{KG'}}{{KC}} = \frac{1}{3}\) Khi đó \(\frac{{KG}}{{KA}} = \frac{{KG'}}{{KC}}\), suy ra \(GG'{\rm{//}}AC\). Vì \(\left\{ \begin{array}{l}GG'{\rm{//}}AC\\GG' \not\subset \left( {SAC} \right)\\AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow GG'{\rm{//}}\left( {SAC} \right)\). |  |
Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(AD.\) Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) giả sử \(IE\) và \(BC\) cắt nhau tại điểm \(Q\). Dễ thấy \(SQ = \left( {IGE} \right) \cap \left( {SBC} \right)\). Do đó: \(GE\,{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right)\)\( \Leftrightarrow GE{\rm{//}}SQ\) \( \Leftrightarrow \frac{{IE}}{{IQ}} = \frac{{IG}}{{IS}}\) \( \Rightarrow \frac{{IE}}{{IQ}} = \frac{1}{3}\) (1) |  |
Mặt khác nên \(\frac{{EI}}{{EQ}} = \frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{EA}}{{xEA}} = \frac{1}{x}\) suy ra \(EQ = x.EI\).
\( \Rightarrow \frac{{IE}}{{IQ}} = \frac{{IE}}{{IE + EQ}} = \frac{{IE}}{{IE + x.IE}} = \frac{1}{{1 + x}}\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \frac{1}{{1 + x}} = \frac{1}{3}\) \( \Leftrightarrow x = 2\).
Vậy \(GE\,{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right)\) \( \Leftrightarrow x = 2\).
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7 điểm)
Phát biểu nào sau đây là mệnh đề?
Dịch covid thật khủng khiếp!;
Số \(3\) là số may mắn của tôi;
Trái Đất là một hành tinh trong hệ mặt trời;
Hố đen vũ trụ thật bí ẩn.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Câu “Trái Đất là một hành tinh trong hệ mặt trời” là một khẳng định đúng. Do đó đây là một mệnh đề.
Cho mệnh đề P:"∀x∈ℝ:x2=x" .Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề \(P\).
P¯:"∃x∈ℝ:x2=x";
P¯:"∃x∈ℝ:x2≠x" ;
P¯:"∃x∈ℕ:x2≠x";
P¯:"∀x∈ℚ:x2=x" .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Cho các mệnh đề sau đây:
\[\left( I \right):\] Nếu tam giác \(ABC\) đều thì \(AB = AC.\)
\[\left( {II} \right):\] Nếu \(a + b\) là số chẵn thì \(a\) và \(b\) là các số chẵn.
\[\left( {III} \right):\] Nếu tam giác \(ABC\) có tổng hai góc bằng \(90^\circ \) thì tam giác \(ABC\) vuông cân.
Trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng?
0.
3.
2.
\(1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+) Nếu tam giác \(ABC\) đều thì \(AB = AC = BC\). Do đó \(\left( I \right)\) là mệnh đề đúng.
+) Ta có nếu \(a = 3,b = 5\) là các số lẻ vẫn thỏa mãn \(a + b = 3 + 5 = 8\) chẵn. Do đó \(\left( {II} \right)\) là mệnh đề sai.
+) Nếu tam giác \(ABC\) có tổng hai góc bằng \(90^\circ \) thì tam giác \(ABC\) vuông. Do đó \(\left( {III} \right)\) là mệnh đề sai.
Vậy có duy nhất một mệnh đề đúng.
Cho \[A = \left( { - 5;\,1} \right];\,B = \left[ {3;\, + \infty } \right);\,C = \left( { - \infty ;\, - 2} \right)\]. Câu nào sau đây đúng?
\[A \cup B = \left( { - 5;\, + \infty } \right)\];
\[B \cup C = \left( { - \infty ;\, + \infty } \right)\];
\[B \cap C = \emptyset \];
\[A \cap C = \left[ { - 5;\, - 2} \right]\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
+) \[A \cup B = \left( { - 5;\,1} \right] \cup \left[ {3;\, + \infty } \right)\]. Do đó A sai.
+) \[B \cup C = \left( { - \infty ;\, - 2} \right) \cup \left[ {3;\, + \infty } \right)\]. Do đó B sai.
+) \[B \cap C = \emptyset \]. Do đó C đúng.
+) \[A \cap C = \left( { - 5;\, - 2} \right)\]. Do đó D sai.
Tập hợp \[A = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| { - 2 \le x < 11} \right.} \right\}\] bằng tập hợp nào dưới đây?
\[A = \left[ { - 2\,;\,11} \right)\];
\[A = \left[ { - 2\,;\,10} \right]\];
\[A = \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10} \right\}\];
\[A = \left( { - 2\,;\,11} \right]\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[A = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| { - 2 \le x < 11} \right.} \right\} = \left[ { - 2;\,\,11} \right)\].
Cho hai tập hợp \(M = \left\{ {x \in \mathbb{Z},\left| {x - 1} \right| - 5 \le 1} \right\}\). Có bao nhiêu số nguyên thuộc tập hợp \(M\)?
\(8\);
\(14\);
Vô số;
\(7\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Xét phương trình \(\left| {x - 1} \right| - 5 \le 1 \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| \le 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 \ge - 6\\x - 1 \le 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge - 5\\x \le 7\end{array} \right. \Leftrightarrow - 5 \le x \le 7\).
Khi đó \(M = \left\{ { - 5;\, - 4;\, - 3;\, - 2;\, - 1;\,0;\,1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7} \right\}\).
Vì vậy có tất cả 7 số nguyên thuộc vào tập hợp \(M\).
Cho \(x\) là một phần tử của tập hợp \(A\). Cách viết nào sau đây là đúng?
\(x \subset A\);
\(\left\{ x \right\} \in A\);
\(x \in A\);
\(A \subset \left\{ x \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(x\) là một phần tử của tập hợp \(A\) nên ta viết \(x \in A\).
Gọi \(M\) là giá trị lớn nhất và \(m\) là giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x;\,y} \right) = 4x - 3y\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 3\\x - y \le 5\\y \le 5\end{array} \right.\) được biểu diễn bởi hình vẽ sau:
Giá trị \(M - m\) bằng
\(2\);
\(4\);
\(48\);
\(25\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong tam giác \(ABC\) với \(A\left( { - 2;\,\,5} \right)\), \(B\left( {10;\,\,5} \right)\), \(C\left( {4;\,\, - 1} \right)\).
Ta có:
Tại \(A\left( { - 2;\,\,5} \right)\) có \(F\left( { - 2;\,5} \right) = 4.\left( { - 2} \right) - 3.5 = - 23\);
Tại \(B\left( {10;\,\,5} \right)\) có \(F\left( {10;\,5} \right) = 4.10 - 3.5 = 25\);
Tại \(C\left( {4;\,\, - 1} \right)\) có \(F\left( {4;\, - 1} \right) = 4.4 - 3.\left( { - 1} \right) = 19\).
Suy ra \(M = 25,m = - 23\).
Vì vậy \(M - m = 25 - \left( { - 23} \right) = 48\).
Bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(x - {12^2}y > 7\);
\(3x + 4{y^2} \le 7\);
\(\frac{2}{x} - 7y > 90\)
\(xy \ge - 9\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(x - {12^2}y > 7 \Leftrightarrow x - 144y > 7\) có dạng của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Trong các hình dưới đây, hình nào biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(\frac{1}{2}x - 3y \ge - 3\)?
;
;
.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vẽ đường thẳng \(d:\frac{1}{2}x - 3y = - 3\)
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( { - 6;\,0} \right)\) và \(B\left( {0;\,1} \right)\)
Lấy điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right) \notin d\) có: \(\frac{1}{2}.0 - 3.0 = 0 > - 3\) nên điểm \(O\) thuộc vào miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d\) và chứa điểm \(O\) (kể cả đường thẳng \(d\)) được biểu diễn như hình vẽ sau:
Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn: \(3mx - y < m + 1\). Với giá trị nào của tham số \(m\) thỏa mãn cặp \(\left( {0;\,\, - 2} \right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho?
\(m = \frac{5}{4}\);
\(m = - \frac{1}{2}\);
\(m = 2\frac{1}{4}\);
\(m = 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Thay \(x = 0\) và \(y = - 2\) vào bất phương trình \(3mx - y < m + 1\), ta được:
\(3m.0 - \left( { - 2} \right) < m + 1\)
\( \Leftrightarrow m + 1 < 2\)
\( \Leftrightarrow m < 1\)
Vậy với \(m = - \frac{1}{2} < 1\) thì cặp \(\left( {0;\,\, - 2} \right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y < 0\\y \ge 0\\x \ge - 1\end{array} \right.\). Điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) là điểm thỏa mãn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên. Khi đó biểu thức nào dưới đây là đúng?
\({x_0} + {y_0} \ge 0\);
\({x_0} < 0\);
\({y_0} \ge - 1\);
\({x_0} - {y_0} > - 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) là điểm thỏa mãn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên nên ta có:
\({x_0} + {y_0} < 0\). Do đó A sai.
\({x_0} \ge - 1\). Do đó B sai.
\({y_0} \ge 0 > - 1\) nên \({y_0} \ge - 1\) là mệnh đề đúng. Do đó C đúng.
\({x_0} - {y_0} > - 1\) là chưa đủ điều kiện để khẳng định được tính đúng sai. Do đó D sai.
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y < 1\\x + 2y \ge 0\end{array} \right.\) có miền nghiệm được biểu diễn như hình vẽ: 
Câu nào mô tả đúng nhất miền nghiệm của hệ bất phương trình trên?
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền bị gạch chéo trong hình vẽ kể cả hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\);
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền bị gạch chéo trong hình vẽ không kể cả hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\);
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo trong hình vẽ kể đường thẳng \({d_1}\) và không kể đường thẳng \({d_2}\);
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo trong hình vẽ không kể đường thẳng \({d_1}\) và kể cả đường thẳng \({d_2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo trong hình vẽ không kể đường thẳng \({d_1}\) và kể cả đường thẳng \({d_2}\).
Trong các cặp số: \(\left( {0;\,\,0} \right);\,\,\,\left( { - 1;\,\,1} \right);\,\,\left( { - 2;\,\,3} \right)\,;\,\,\left( {4;\,\,1} \right)\) có bao nhiêu cặp số là nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 1\\2x - y > - 2\end{array} \right.\)?
\(1\);
\(2\);
\(3\);
\(4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là C
Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 1\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2x - y > - 2\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
+) Thay \(x = 0\) và \(y = 0\) lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 0 - 2.0 \le 1 \Leftrightarrow 0 \le 1\) (luôn đúng);
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2.0 - 0 > - 2 \Leftrightarrow 0 > - 2\) (luôn đúng).
Do đó cặp số \(\left( {0;\,0} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \(x = - 1\) và \(y = 1\) lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 1 - 2.1 \le 1 \Leftrightarrow - 3 \le 1\) (luôn đúng);
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2.\left( { - 1} \right) - 1 > - 2 \Leftrightarrow - 3 > - 2\) (vô lí).
Do đó cặp số \(\left( { - 1;\,1} \right)\)không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \(x = - 2\) và \(y = 3\) lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 2 - 2.3 \le 1 \Leftrightarrow - 8 \le 1\) (luôn đúng);
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2.\left( { - 2} \right) - 3 > - 2 \Leftrightarrow - 7 > - 2\) (vô lí).
Do đó cặp số \(\left( { - 2;\,3} \right)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \(x = 4\) và \(y = 1\) lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 4 - 2.1 \le 1 \Leftrightarrow 2 \le 1\) (vô lí);
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2.4 - 1 > - 2 \Leftrightarrow 7 > - 2\) (luôn đúng).
Do đó cặp số \(\left( {4;\,1} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Xét hai đại lượng \(x,y\) phụ thuộc vào nhau theo hệ thức dưới đây. Trường hợp nào \(y\) không là hàm số của \(x\).
\(x + y = 1\);
\({y^2} = x\);
\(y = 2x + 1\);
\(y = {x^2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có
+ \(x + y = 1 \Leftrightarrow y = - x + 1\) là hàm số vì hàm số biểu thị một giá trị của \(x\) tương ứng với duy nhất một giá trị của \(y\).
+\({y^2} = x\) không phải là hàm số vì hàm số biểu thị một giá trị của \(x\) tương ứng với duy nhất một giá trị của \(y\) mà \({y^2} = x \Rightarrow y = \pm \sqrt x \) (có 2 giá trị).
+ \(y = 2x + 1\) là hàm số vì hàm số biểu thị một giá trị của \(x\) tương ứng với duy nhất một giá trị của \(y\).
+ \(y = {x^2}\) là hàm số vì hàm số biểu thị một giá trị của \(x\) tương ứng với duy nhất một giá trị của \(y\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x - 3\). Kết luận nào sau đây đúng?
\(f\left( 1 \right) = 2\);
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\);
Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \left( {\frac{3}{2};\, + \infty } \right)\);
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xét đáp án A: ta có \(f\left( 1 \right) = 2.1 - 3 = - 1\) đáp án A sai.
Xét đáp án B: Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2x - 3\). Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Lấy \({x_1};\,{x_2}\) là hai số tuỳ ý sao cho \({x_1} < {x_2}\) ta có:
\({x_1} < {x_2} \Rightarrow 2{x_1} < 2{x_2} \Rightarrow 2{x_1} - 3 < 2{x_2} - 3 \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\)
Suy ra hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Suy ra đáp án B đúng, đáp án C sai.
Đáp án D sai vì tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Cho hàm số \(y = {x^2} - 2x - 1\). Trục đối xứng của hàm số là:
\(x = 1\);
\(x = - 1\);
\(x = - 2\);
\(x = 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đỉnh \(S\) có toạ độ: \({x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 2} \right)}}{{2.1}} = 1;\,{y_S} = {1^2} - 2.1 - 1 = - 2\)
Vậy \(S(1; - 2)\).
Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 1\) có bảng biến thiên là
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), đồ thị hàm số bậc hai \(y = {x^2} - 3x + 1\) là một đường Parabol:
- Có đỉnh \(S\) với \({x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 3} \right)}}{{2.1}} = \frac{3}{2};\,{y_S} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} - 3.\left( {\frac{3}{2}} \right) + 1 = - \frac{5}{4}\).
- Có bề lõm quay lên trên vì \(a > 0\).
Ta có bảng biến thiên của hàm số:
Cho hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\] có đồ thị \[P\] . Tọa độ đỉnh của \[P\] là:
\[I\left( { - \frac{b}{{2a}};\,\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\];
\[I\left( { - \frac{b}{a};\, - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\];
\[I\left( { - \frac{b}{{2a}};\, - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\];
\[I\left( {\frac{b}{{2a}};\,\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], đồ thị hàm số bậc hai \[y = a{x^2} + bx + c\,(a \ne 0)\] là một parabol \[(P)\]:
Có đỉnh \[S\] với hoành độ \[{x_S} = - \frac{b}{{2a}}\], tung độ \[{y_S} = - \frac{\Delta }{{4a}}\].
Do đó C đúng.
Cho biết \(\cot \alpha = \frac{1}{2}\). Giá trị của \(P = \frac{{2\sin \alpha - 2\cos \alpha }}{{2\cos \alpha + 3\sin \alpha }}\) bằng bao nhiêu?
\(P = 0\);
\(P = \frac{1}{4}\);
\(P = - \frac{1}{4}\);
\(P = \frac{2}{7}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\cot \alpha = \frac{1}{2}\) nên \({\rm{sin}}\alpha \ne 0\)
Chia cả tử và mẫu của \(\sin \alpha \) ta được:
\[P = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\sin \alpha }} - 2\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}{{2\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} + 3\frac{{\sin \alpha }}{{\sin \alpha }}}} = \frac{{2 - 2\cot \alpha }}{{2\cot \alpha + 3}} = \frac{{2 - 2.\frac{1}{2}}}{{2.\frac{1}{2} + 3}} = \frac{1}{4}\].
Giá trị của biểu thức \(M = \tan \left( { - 10^\circ } \right).\tan 20^\circ ...\tan \left( { - 70^\circ } \right).\tan 80^\circ \) bằng
\(M = - 1\);
\(M = 1\);
\(M = 0\);
\(M = - 4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(M = \tan \left( { - 10^\circ } \right).\tan 20^\circ .\tan \left( { - 30^\circ } \right).\tan 40^\circ .\tan \left( { - 50^\circ } \right).\tan 60^\circ .\tan \left( { - 70^\circ } \right).\tan 80^\circ \)
\( = \left( { - \tan 10^\circ } \right).\tan 20^\circ .\left( { - \tan 30^\circ } \right).\tan 40^\circ .\left( { - \tan 50^\circ } \right).\tan 60^\circ .\left( { - \tan 70^\circ } \right).\tan 80^\circ \)
\( = \tan 10^\circ .\tan 20^\circ .\tan 30^\circ .\tan 40^\circ .\tan 50^\circ .\tan 60^\circ .\tan 70^\circ .\tan 80^\circ \)
\( = \tan 10^\circ .\tan 20^\circ \tan 30^\circ .\tan 40^\circ .\cot 40^\circ .\cot 30^\circ .\cot 20^\circ .\cot 10^\circ \)
\[ = \left( {\tan 10^\circ .\cot 10^\circ } \right).\left( {\tan 20^\circ .\cot 20^\circ } \right).\left( {\tan 30^\circ .\cot 30^\circ } \right).\left( {\tan 40^\circ .\cot 40^\circ } \right)\]
\[ = 1.1.1.1 = 1\].
Cho tam giác \(ABC\) có cạnh \(AB = 2cm,\widehat {ABC} = 110^\circ ,\widehat {BAC} = 35^\circ \). Độ dài cạnh \(AC\) nằm trong khoảng nào sau đây?
\(\left( {1;\,\,3} \right)\);
\(\left( {3;\,\,5} \right)\);
\(\left( {5;\,\,7} \right)\);
\(\left( {7;\,\,9} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét tam giác \(ABC\), có:
\(\widehat C = 180^\circ - 110^\circ - 35^\circ = 35^\circ \)
\( \Rightarrow ABC\) là tam giác cân
\( \Rightarrow AB = AC = 4\,\,cm\)
Áp dụng định lí cos trong tam giác \(ABC\), ta được:
\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.{\rm{cos}}\widehat A\]
\[ = {4^2} + {4^2} - 2.4.4.{\rm{cos110}}^\circ \]
\[ = 42,9\]
\( \Leftrightarrow BC \approx 6,6\,\,\left( {cm} \right)\)
Vì vậy \(6,6 \in \left( {5;\,\,7} \right)\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Nhận xét nào dưới đây là sai?
\(\sin \left( {B + C} \right) = \sin A\);
\(\sin B = {\rm{cos}}C\);
\(\tan B = \cot C\);
\(\sin \left( {\frac{{B + C}}{2}} \right) = \sin \frac{A}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có:
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong tam giác)
\( \Rightarrow \sin \left( {B + C} \right) = \sin A\). Do đó A đúng.
Ta lại có: \(\frac{{\widehat A}}{2} + \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \sin \left( {\frac{{B + C}}{2}} \right) = {\rm{cos}}\frac{A}{2}\). Do đó D sai.
Tại có: \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \)(hai góc phụ nhau)
\( \Rightarrow \sin B = {\rm{cos}}C\)
\( \Rightarrow \tan B = \cot C\)
Do đó B và C đúng.
Tam giác \[ABC\] có diện tích \(S\). Nếu tăng cạnh \(BC\) lên \(2\) lần đồng thời tăng cạnh \(CA\) lên \(3\) lần và giữ nguyên độ lớn của góc \(C\) thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng
\(2S\);
\(3S\);
\(4S\);
\(6S\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Diện tích tam giác \[ABC\] ban đầu là: \(S = \frac{1}{2}.CA.BC.\sin C\).
Tăng cạnh \(BC\) lên \(2\) lần đồng thời tăng cạnh \(CA\) lên \(3\) lần và giữ nguyên độ lớn của góc \(C\) thì diện tích tam giác \[ABC\] mới là:
\(S' = \frac{1}{2}.3CA.2BC.\sin C = 6.\frac{1}{2}CA.BC.\sin C = 6S\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 5,\,\,BC = 7,\,\,AC = 8\). Chiều cao xuất phát từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\) có độ dài là
\(\frac{{5\sqrt 3 }}{2}\);
\(10\sqrt 3 \);
\(\frac{{20\sqrt 3 }}{7}\);
\(\frac{{10\sqrt 3 }}{7}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Kẻ \(AH \bot BC\)
Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là: \(p = \frac{{5 + 7 + 8}}{2} = 10\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là:
\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {10\left( {10 - 5} \right)\left( {10 - 7} \right)\left( {10 - 8} \right)} = 10\sqrt 3 \) (đvdt).
Mặt khác, ta có:
\(S = \frac{1}{2}BC.AH = \frac{1}{2}.7.AH = \frac{7}{2}AH = 10\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow AH = \frac{{20\sqrt 3 }}{7}\).
Vậy độ dài chiều cao xuất phát từ đỉnh \(A\) là: \(\frac{{20\sqrt 3 }}{7}\).
Trong tam giác \(ABC\), phát biểu nào sau đây đúng?
\(\frac{{a + b + c}}{S} = r\);
\(\frac{S}{{a + b + c}} = r\);
\[\frac{S}{{2\left( {a + b + c} \right)}} = r\];
\(\frac{{2S}}{{a + b + c}} = r\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[S = pr\]
Mà \[p\] là nửa chu vi của tam giác \(ABC\) nên \[p = \frac{{a + b + c}}{2}\]
Khi đó: \[S = \frac{{a + b + c}}{2}r \Leftrightarrow r = \frac{{2S}}{{a + b + c}}\].
Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ \(A\) đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 60°. Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30 km/h. Tàu thứ hai đi với vận tốc 40km/h. Hỏi sau 2h hai tàu cách nhau bao nhiêu km?
\(13\);
\(15\);
\(10\sqrt {13} \);
\(20\sqrt {13} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Giả sử hai tàu xuất phát từ \(A\) như hình vẽ, tàu thứ nhất sau \(2h\) đi đến \(B\), tàu thứ hai sau \(2h\) đi đến \(C\). Khoảng cách hai tàu lúc này là đoạn \(BC\).
Ta có: sau \(2h\) quãng đường tàu thứ nhất đi được là: \(AB = 2.30 = 60km\)
sau \(2h\) quãng đường tàu thứ hai đi được là: \(AC = 2.40 = 80km\)
Áp dụng định lí cosin ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A = {60^2} + {80^2} - 2.60.80.\cos 60^\circ \)
\( \Leftrightarrow BC = 20\sqrt {13} \)
Vậy hai tàu cách nhau \(20\sqrt {13} \left( {km} \right)\).
Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không được xác định từ hai điểm \(A,B\) bất kỳ
\(1\);
\(2\);
\(0\);
\(4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Từ hai điểm \(A,\,B\) ta xác định được hai vectơ là \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BA} \).
Khẳng định nào sau đây đúng?
Hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau;
Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu độ dài của chúng bằng nhau;
Giá của vectơ là đường thẳng vuông góc với vectơ đó;
Vectơ không là vectơ có độ dài bằng mọi vectơ.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
+ Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Do đó đáp án A đúng
+ Hai vectơ được được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Do đó đáp án B sai.
+ Đường thẳng đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) được gọi là giá của vectơ \(\overrightarrow {AB} \). Do đó đáp án C sai.
+ Quy ước vectơ không có độ dài bằng 0. Do đó đáp án D sai.
Cho hình thoi tâm \(O\), cạnh bằng \(a\) và \(\widehat A = 60^\circ \). Kết luận nào sau đây là đúng?
\(\left| {\overrightarrow {AO} } \right| = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = a\)
\(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right|\)
\(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(\widehat A = 60^\circ \) nên \(\Delta ABC\) đều nên ta có \(A{O^2} = A{B^2} - B{O^2} = {a^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AO} } \right| = AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Cho ba điểm \(A,\,B,\,C\) bất kỳ. Kết luận nào sau đây sai?
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \);
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Cho ba điểm \(A,\,B,\,C\) bất kỳ ta có:
+ \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \)là khẳng định đúng (theo quy tắc hiệu hai vectơ).
+ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) là khẳng định đúng (theo quy tắc ba điểm).
+ \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \) là khẳng định đúng (theo quy tắc ba điểm).
+ \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \ne \overrightarrow {BC} \) nên khẳng định D sai.
Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M,\,N,\,P\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,BC,\,CA\). Khi đó \(\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {NP} \) bằng
\(\overrightarrow {BP} \);
\(\overrightarrow {MN} \);
\(\overrightarrow {CP} \);
\(\overrightarrow {PA} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(ABC\), có: \(M,\,P\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,CA\) nên \(MP\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).
\( \Rightarrow MP = BN = \frac{1}{2}BC\)
Suy ra: \(\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {BP} \).
Cho \(\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \) và điểm \(O\). Gọi \(M,\,N\) lần lượt là hai điểm thoả mãn \(\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow b ,\,\overrightarrow {ON} = - 4\overrightarrow b \) khi đó \(\overrightarrow {MN} \) bằng
\(7\overrightarrow b \);
\(5\overrightarrow b \);
\( - 7\overrightarrow b \);
\( - 5\overrightarrow b \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} = \overrightarrow {MN} \) (theo quy tắc ba điểm)
Suy ra: \( - 4\overrightarrow b - 3\overrightarrow b = \overrightarrow {MN} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = - 7\overrightarrow b \).
Cho tam giác \(ABC\) đều có cạnh bằng \(2a\). Độ dài \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) bằng
\(2a\);
\(a\sqrt 3 \);
\(2a\sqrt 3 \);
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét tam giác \(ABC\) có \(AH\) là đường cao.
Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AH} \) vậy \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AH} } \right| = 2AH\)
Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) có \(AB = 2a,\,BH = a\)
Áp dụng định lí Pitago ta có:
\(\begin{array}{l}A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {\left( {2a} \right)^2} - {a^2} = 3{a^2}\\ \Rightarrow AH = a\sqrt 3 \end{array}\)
Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2a\sqrt 3 \).
Cho tam giác \[ABC\], gọi \[I\] là trung điểm của \[BC\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
\[\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {IC} \];
\[3\overrightarrow {BI} = 2\overrightarrow {IC} \];
\[\overrightarrow {BI} = 2\overrightarrow {IC} \];
\[2\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {IC} \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \[I\] là trung điểm \[BC\] nên \[BI = CI\] và \[\overrightarrow {BI} \] cùng hướng \[\overrightarrow {IC} \]. Do đó hai vectơ \[\overrightarrow {BI} ,\,\overrightarrow {IC} \] bằng nhau hay \[\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {IC} \].
PHẦN 2II. PHẦN TỰ LUẬN (3 ĐIỂM)
(1,0 điểm) Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe hon đa Future Fi với chi phí mua một chiếc là \(27\) triệu đồng và bán ra với giá là \(31\) triệu đồng. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là \(600\) chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm \(1\) triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm \[200\] chiếc. Vậy doanh nghiệp phải bán với giá bao nhiêu sau khi giảm giá để lợi nhuận thu được là cao nhất.
Hướng dẫn giải
Gọi số tiền mà doanh nghiệp A dự định giảm giá là \(x\) ( triệu đồng) \(\left( {0 \le x \le 4} \right)\).
Tiền lãi khi bán được một xe là: \(31 - x - 27 = 4 - x\)(triệu đồng).
Số lượng xe bán được khi đã giảm giá là: \(600 + 200x\) (xe).
Lợi nhuận cửa hàng thu được là: \(\left( {600 + 200x} \right)\left( {4 - x} \right) = - 200{x^2} + 200x + 2\,\,400\)(triệu đồng).
Xét hàm số bậc hai \(y = - 200{x^2} + 200x + 2\,\,400\), có:
Đỉnh \(I\) có tọa độ: \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{200}}{{2.\left( { - 200} \right)}} = \frac{1}{2}\); \({y_I} = - \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{1\,\,960\,\,000}}{{4.\left( { - 200} \right)}} = 2\,\,450\).
Hay \(I\left( {\frac{1}{2};2\,\,450} \right)\)
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đạt giá trị lớn nhất là \(2\,450\) khi x = \(\frac{1}{2}\).
Vậy doanh nghiệp phải bán với giá \(30,5\) triệu đồng để lợi nhuận thu được là cao nhất.
(1,0 điểm)
a) Cho hai tập hợp \(M = \left( { - \infty ;2} \right)\) và \(N = \left[ { - 3;5} \right)\). Tìm \(M \cap N\).
b) Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Điểm \[M\] bất kỳ nằm trong tam giác có hình chiếu xuống \[BC,\,AC,\,AB\] theo thứ tự là \[D,\,E,\,F\]. Tìm tập hợp điểm \[M\] biết rằng \[\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} \] cùng phương với \[\overrightarrow {BC} \].
a) Ta có:
Vì vậy \(M \cap N = \left[ { - 3;2} \right)\).
b)
Ta có: \[\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MA} \].
Gọi \[I\] là trung điểm của \[AD\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MI} \].
Vậy nên \[\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = 2\overrightarrow {MI} \].
Để \[\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} \] cùng phương với \[\overrightarrow {BC} \] thì \[\overrightarrow {MI} \] cùng phương \[\overrightarrow {BC} \].
Suy ra \(MI\parallel BC\), mà \(I\) là trung điểm của \(AD\) nên \(MI\)là đường trung bình của tam giác \(ABC\).
Do đó tập hợp các điểm \[M\] là đoạn \[PQ\] (với \(PQ\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)và \(P \in AB,Q \in AC\)).
(1,0 điểm)
Một tháp viễn thông cao \(42\,\,m\) được dựng thẳng đứng trên một sườn dốc \(34^\circ \) so với phương ngang. Từ đỉnh tháp người ta neo một sợi cáp xuống một điểm trên sườn dốc cách chân tháp \(33\,\,m\) (như hình vẽ). Tính chiều dài của sợi dây cáp đó.
Hướng dẫn giải
Ta có hình vẽ sau:
Khi đó: \(\widehat {MHN} = 34^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {PMN} = 90^\circ - \widehat {MHN} = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ \)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(MNP\), có:
\(N{P^2} = M{N^2} + M{P^2} - 2.MN.MP.{\rm{cos}}\widehat {NMP}\)
\( = {33^2} + {42^2} - 2.33.42.{\rm{cos56}}^\circ \)
\( \approx 1302,9\)
\( \Leftrightarrow NP \approx 36,1\).
Vậy chiều dài của sợi dây cáp khoảng \(36,1\,\,m\).
