Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Cánh Diều có đáp án - Đề 8
76 câu hỏi
Góc có số đo \[\frac{{3\pi }}{5}\] đổi sang độ là
\[240^\circ \].
\[135^\circ \].
\[108^\circ \].
\[270^\circ \].
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\frac{{3\pi }}{5}\,\,rad = \frac{{3\pi }}{5} \cdot \frac{{180^\circ }}{\pi } = 108^\circ \].
Cho góc \(\alpha \) thỏa \( - \frac{{3\pi }}{2} < \alpha < - \pi \). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\(\cos \alpha > 0\).
\(\cot \alpha > 0\).
\(\sin \alpha > 0\).
\(\tan \alpha > 0\).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Do \( - \frac{{3\pi }}{2} < \alpha < - \pi \) nên điểm \(M\) biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\alpha \)thuộc góc phần tư số II. Do đó: \(\sin \alpha > 0,\cos \alpha < 0,\tan \alpha < 0,\cot \alpha < 0\). |
|
Với góc \[\alpha \] bất kỳ, đẳng thức nào sau đây là đúng?
\[\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = \cos \alpha \].
\[\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cos \alpha \].
\[\sin \left( {\pi - \alpha } \right) = - \sin \alpha \].
\[\tan \left( {\pi - \alpha } \right) = \tan \alpha \].
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cos \alpha \], \[\sin \left( {\pi - \alpha } \right) = \sin \alpha \], \[\tan \left( {\pi - \alpha } \right) = - \tan \alpha \]
Do đó ta chọn \[\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cos \alpha \].
Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}.\)
\(\cos a--\cos b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}.\)
\(\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}.\)
\(\sin a--\sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Theo công thức biến tổng thành tích ta có: \(\cos a--\cos b = - 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}.\)
Cho \(\sin a = \frac{3}{5},0 < a < \frac{\pi }{2}.\) Giá trị biểu thức \(M = \sin \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)\) bằng
\(M = - \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}\).
\(M = - \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}\).
\(M = - \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}\).
\(M = - \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có : \({\cos ^2}a = 1 - {\sin ^2}a = \frac{{16}}{{25}}\). Do \(0 < a < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos a > 0 \Rightarrow \cos a = \frac{4}{5}\)
Khi đó \(M = \sin \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\sin a - \cos a} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}\).
Nếu \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{3}{2}\) thì \(\sin 2\alpha \) bằng
\(\frac{5}{4}\).
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{{13}}{4}\).
\(\frac{9}{4}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{3}{2} \Rightarrow {\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = \frac{9}{4} \Leftrightarrow 1 + \sin 2\alpha = \frac{9}{4} \Leftrightarrow \sin 2\alpha = \frac{5}{4}\).
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\sin 3x + \cos 2x - \sin x}}{{\cos x + \sin 2x - \cos 3x}}\,\,\,\left( {\sin 2x \ne 0;2\sin x + 1 \ne 0} \right)\) ta được
\(A = \cot 6x\).
\(A = \cot 3x\).
\(A = \cot 2x\).
\(A = \tan x + \tan 2x + \tan 3x\).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(A = \frac{{\sin 3x + \cos 2x - \sin x}}{{\cos x + \sin 2x - \cos 3x}}\)\( = \frac{{2\cos 2x\sin x + \cos 2x}}{{2\sin 2x\sin x + \sin 2x}}\)\( = \frac{{\cos 2x(1 + 2\sin x)}}{{\sin 2x(1 + 2\sin x)}} = \cot 2x\).
Gọi \(M = \cos \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right).\sin \left( {a - b} \right)\). Ta có:
\(M = 1 - 2{\sin ^2}b\).
\(M = 1 + 2{\sin ^2}b\).
\(M = \cos 4b\).
\(M = \sin 4b\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(M = \cos \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right).\sin \left( {a - b} \right)\)
\( = \cos \left[ {\left( {a + b} \right) - \left( {a - b} \right)} \right]\)
\( = \cos 2b\)
\( = 1 - 2{\sin ^2}b\).
Hàm số \(y = \sin 2x\) có chu kỳ là
\(T = 2\pi \).
\(T = \frac{\pi }{2}\).
\(T = \pi \).
\(T = 4\pi \).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số \(y = \sin 2x\) tuần hoàn với chu kỳ \(T = 2\pi \) nên hàm số \(y = \sin 2x\) tuần hoàn với chu kỳ \(T = \pi .\)
Tập xác định của hàm số \[y = \cot x\] là
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số \(y = \cot x\) xác định khi và chỉ khi \(sinx \ne 0\)\( \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Hàm số nào sau đây có tính đơn điệu trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) khác với các hàm số còn lại?
\(y = \sin x\).
\(y = \cos x\).
\(y = \tan x\).
\(y = - \cot x\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Do hàm số \(y = \cos x\)nghịch biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).
Ba hàm số còn lại \(y = \sin x\), \(y = \tan x\), \(y = - \cot x\) đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).
Xét sự biến thiên của hàm số \(y = 1 - \sin x\) trên một chu kì tuần hoàn của nó. Trong các kết luận sau, kết luận nào sai?
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\,0} \right).\)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right).\)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng\(\,\,\left( {\frac{\pi }{2};\,\pi } \right).\)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\,\frac{{3\pi }}{2}} \right).\)
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi \) và kết hợp với các phương án đề bài thì ta sẽ xét sự biến thiên của hàm số trên \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\,\frac{{3\pi }}{2}} \right].\)
Ta có hàm số \(y = \sin x:\)
* Đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\,\,\frac{\pi }{2}} \right).\)
* Nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\,\,\frac{{3\pi }}{2}} \right).\)
Từ đây suy ra hàm số \(y = 1 - \sin x:\)
* Nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\,\,\frac{\pi }{2}} \right).\)
* Đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\,\,\frac{{3\pi }}{2}} \right).\)
Dưới đây là đồ thị của hàm số \(y = 1 - \sin x\) và hàm số \(y = \sin x\)trên \(\mathbb{R}.\)
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 1 - 2\cos x - {\cos ^2}x\) là
\[2\].
\[5\].
\[0\].
\[3\].
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có : \(y = 1 - 2\cos x - {\cos ^2}x\)\( = 2 - {\left( {\cos x + 1} \right)^2}\)
Nhận xét : \( - 1 \le \cos x \le 1\)\( \Leftrightarrow 0 \le \cos x + 1 \le 2\)\( \Rightarrow 0 \le {\left( {\cos x + 1} \right)^2} \le 4\)
Do đó \(y = 2 - {\left( {\cos x + 1} \right)^2} \le 2 - 0 = 2\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là \(2\).
Trong các hàm số dưới đây có bao nhiêu hàm số là hàm số chẵn?
\[y = {\rm{cos}}3x\,\,\left( 1 \right)\]; \[y = {\rm{sin }}\left( {{x^2} + 1} \right){\rm{ }}\left( 2 \right)\]; \[y = {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}x\;\,\,\,\left( 3 \right)\]; \[y = {\rm{cot }}x\,\,\;\left( 4 \right)\].
\[1\].
\[2\].
\[3\].
\[4\].
Lời giải
Đáp án đúng là: C
⦁ Xét hàm \[y = f\left( x \right) = \cos 3x\]
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]
Với mọi \[x \in D,\] ta có: \[ - x \in D\] và \[f\left( { - x} \right) = \cos \left( { - 3x} \right) = \cos 3x = f\left( x \right)\]
Do đó, \[y = f\left( x \right) = \cos 3x\] là hàm chẵn trên trên \(\mathbb{R}\).
⦁ Xét hàm \[y = g\left( x \right) = \sin \left( {{x^2} + 1} \right)\]
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]
Với mọi \[x \in D,\] ta có: \[ - x \in D\] và \(g\left( { - x} \right) = \sin \left( {{{\left( { - x} \right)}^2} + 1} \right) = \sin \left( {{x^2} + 1} \right) = g\left( x \right)\)
Do đó: \[y = g\left( x \right) = \sin \left( {{x^2} + 1} \right)\]là hàm chẵn trên \(\mathbb{R}\).
⦁ Xét hàm\(\,y = h\left( x \right) = {\tan ^2}x\).
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Với mọi \[x \in D,\] ta có: \[ - x \in D\] và \(h\left( { - x} \right) = {\tan ^2}\left( { - x} \right) = {\tan ^2}x = h\left( x \right)\)
Do đó: \(\,y = h\left( x \right) = {\tan ^{2016}}x\)là hàm số chẵn trên \(D\).
⦁ Xét hàm\(\,\,y = t\left( x \right) = \cot x\).
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\]
Với mọi \[x \in D,\] ta có: \[ - x \in D\] và \(t\left( { - x} \right) = \cot \left( { - x} \right) = - \cot x = - t\left( x \right)\)
Do đó: \(\,y = t\left( x \right) = \cot x\)là hàm số lẻ trên \(D\).
Vậy \[\left( 1 \right)\], \[\left( 2 \right)\], \[\left( 3 \right)\] là các hàm số chẵn.
Phương trình \[\sin x = \sin \alpha \] có nghiệm là
\[\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.;k \in \mathbb{Z}\]
\[\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = \pi - \alpha + k\pi \end{array} \right.;k \in \mathbb{Z}\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = - \alpha + k\pi \end{array} \right.;k \in \mathbb{Z}\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.;k \in \mathbb{Z}\].
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\(\cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\cos x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
\(\cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)nên A sai.
\(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) nên B đúng, D sai.
\(\cos x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne - \pi + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) nên C sai.
Nghiệm phương trình: \(1 + \tan x = 0\) là
\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Từ \(1 + \tan x = 0 \Leftrightarrow \tan x = - 1\)\[ \Leftrightarrow \]\[x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Gọi \(X\) là tập nghiệm của phương trình \(\cos \left( {\frac{x}{2} + 15^\circ } \right) = \sin x\). Khi đó
\(290^\circ \in X\).
\(250^\circ \in X\).
\(220^\circ \in X\).
\(240^\circ \in X\).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\rm{cos}}\left( {\frac{x}{2} + 15^\circ } \right) = {\rm{sin}}x \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {\frac{x}{2} + 15^\circ } \right) = {\rm{cos}}x\left( {90^\circ - x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{2} + 15^\circ = 90^\circ - x + k360^\circ \\\frac{x}{2} + 15^\circ = - 90^\circ + x + k360^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 50^\circ + k240^\circ \\x = 210^\circ - k720^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy \(290^\circ \in X\).
Phương trình \[\tan \frac{x}{2} = \tan x\] có nghiệm là
\[x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
\[x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
\[x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
Cả A, B, C đều sai.
Đáp án đúng là: A
ĐK: \[\cos \frac{x}{2} \ne 0,\cos x \ne 0\]
Ta có: \[\tan \frac{x}{2} = \tan x \Leftrightarrow \frac{x}{2} = x + k\pi \Leftrightarrow x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\] (thỏa mãn).
Số nghiệm \(x \in \left[ {0;14} \right]\) của phương trình \[\cos 3x - 4\cos 2x + 3\cos x - 4 = 0\] là
\[1\].
\[2\].
\[3\].
\[4\].
Lời giải
Đáp án đúng là: D
\[\cos 3x - 4\cos 2x + 3\cos x - 4 = 0\]
\( \Leftrightarrow 4{\cos ^3}x - 3\cos x - 4(2{\cos ^2}x - 1) + 3\cos x - 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow 4{\cos ^3}x - 8{\cos ^2}x = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \)
Vì \(x \in \left[ {0;14} \right] \Rightarrow x = \frac{\pi }{2},x = \frac{{3\pi }}{2},x = \frac{{5\pi }}{2},x = \frac{{7\pi }}{2}\).
Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{a{n^2}}}{{n + 1}}\)\[(a\] là hằng số). Số hạng \({u_{n + 1}}\) là số hạng nào sau đây?
\({u_{n + 1}} = \frac{{a.{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}}\).
\({u_{n + 1}} = \frac{{a.{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 1}}\).
\({u_{n + 1}} = \frac{{a.{n^2} + 1}}{{n + 1}}\).
\({u_{n + 1}} = \frac{{a{n^2}}}{{n + 2}}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \({u_{n + 1}} = \frac{{a.{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{a{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {n + 2} \right)}^2}}}\).
Cho dãy số có các số hạng đầu là:\(8,15,22,29,36,...\). Số hạng tổng quát của dãy số này là
\({u_n} = 7n + 7\).
\({u_n} = 7.n\).
\({u_n} = 7.n + 1\).
Không viết được dưới dạng công thức.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(8 = 7.1 + 1\) ; \(15 = 7.2 + 1\); \(22 = 7.3 + 1\); \(29 = 7.4 + 1\); \(36 = 7.5 + 1\)
Suy ra số hạng tổng quát \({u_n} = 7n + 1\).
Cho dãy số \(({u_n})\) được xác định bởi \({u_n} = \frac{{{n^2} + 3n + 7}}{{n + 1}}\). Năm số hạng đầu của dãy là
\(\frac{{11}}{2};\frac{{17}}{3};\frac{{25}}{4};7;\frac{{47}}{6}\).
\(\frac{{13}}{2};\frac{{17}}{3};\frac{{25}}{4};7;\frac{{47}}{6}\).
\(\frac{{11}}{2};\frac{{14}}{3};\frac{{25}}{4};7;\frac{{47}}{6}\).
\(\frac{{11}}{2};\frac{{17}}{3};\frac{{25}}{4};8;\frac{{47}}{6}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có năm số hạng đầu của dãy là
\({u_1} = \frac{{{1^2} + 3.1 + 7}}{{1 + 1}} = \frac{{11}}{2}\), \({u_2} = \frac{{17}}{3},{u_3} = \frac{{25}}{4},{u_4} = 7,{u_5} = \frac{{47}}{6}\)
Khẳng định nào sau đây là đúng với dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {( - 1)^n}\) ?
\(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
\(\left( {{u_n}} \right)\) không bị chặn.
\(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.
\(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \( - 1 \le {u_n} \le 1 \Rightarrow ({u_n})\) là dãy bị chặn.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_n} = \sqrt {n - 1} \) với \(n \in {\mathbb{N}^*}.\) Khẳng định nào sau đây là sai?
5 số hạng đầu của dãy là: \(0;1;\sqrt 2 ;\sqrt 3 ;\sqrt 5 \).
Số hạng \({u_{n + 1}} = \sqrt n \).
Là dãy số tăng.
Bị chặn dưới bởi số \(0\).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
5 số hạng đầu của dãy là \(0;1;\sqrt 2 ;\sqrt 3 ;\sqrt 4 \).
Trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cho tứ giác \(ABCD\), điểm \(E \notin \left( \alpha \right)\). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi ba trong năm điểm \(A,B,C,D,E\)?
\[6\].
\[7\].
\[8\].
\[9\].
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Điểm \(E\) và 2 điểm bất kì trong 4 điểm \(A,B,C,D\) tạo thành 6 mặt phẳng, bốn điểm \(A,B,C,D\) tạo thành 1 mặt phẳng.
Vậy có tất cả 7 mặt phẳng.
Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số mặt và số cạnh là
5 mặt, 5 cạnh.
6 mặt, 5 cạnh.
6 mặt, 10 cạnh.
5 mặt, 10 cạnh.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Hình chóp ngũ giác có 5 mặt bên + 1 mặt đáy. 5 cạnh bên và 5 cạnh đáy.
Cho tứ diện \(ABCD\). \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {GAB} \right)\) là
\[AM\], \[M\] là trung điểm \[AB\].
\[AH,\]\[H\] là hình chiếu của \[B\] trên \[CD.\]
\[AN\], \[N\] là trung điểm \[CD\].
\[AK,\]\[K\] là hình chiếu của \[C\] trên \[BD.\]
Lời giải
Đáp án đúng là: C
\[A\] là điểm chung thứ nhất của \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {GAB} \right)\) \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\), \[N\] là trung điểm \[CD\] nên \[N \in BG\] nên \[N\] là điểm chung thứ hai của \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {GAB} \right)\). Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {GAB} \right)\) là \[AN\]. |
|
Cho hình chóp tứ giác \[S.ABCD\], gọi \[O\] là giao điểm của hai đường chéo \[AC\] và \[BD\]. Một mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] cắt các cạnh bên \[SA,SB,SC,SD\] tương ứng tại các điểm \[M,N,P,Q\]. Khẳng định nào đúng?
Các đường thẳng \[MP,NQ,SO\] đồng quy.
Các đường thẳng \[MP,NQ,SO\] chéo nhau.
Các đường thẳng \[MP,NQ,SO\] song song.
Các đường thẳng \[MP,NQ,SO\] trùng nhau.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Trong mặt phẳng \[\left( {MNPQ} \right)\] gọi \[I = MP \cap NQ\]. Ta sẽ chứng minh \[I \in SO\]. Dễ thấy \[SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]. \[\left\{ \begin{array}{l}I \in MP \subset \left( {SAC} \right)\\I \in NQ \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in \left( {SAC} \right)\\I \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in SO\] Vậy \[MP,NQ,SO\] đồng quy tại \[I\]. |
|
Cho đường thẳng \[a\] nằm trên \[mp\left( P \right),\] đường thẳng \[b\] cắt \[\left( P \right)\] tại \[O\] và \[O\] không thuộc \[a\]. Vị trí tương đối của \[a\] và \[b\] là
chéo nhau.
cắt nhau.
trùng nhau.
song song nhau.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
![Lời giải Đáp án đúng là: A Dựa vào hình vẽ ta suy ra \[a\] và \[b\] chéo nhau. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/30-1762305244.png)
Dựa vào hình vẽ ta suy ra \[a\] và \[b\] chéo nhau.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó đồng quy.
Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến, nếu có, của chúng sẽ song song với cả hai đường thẳng đó.
Nếu hai đường thẳng \[a\] và \[b\] chéo nhau thì có hai đường thẳng \[p\] và \[q\] song song nhau mà mỗi đường đều cắt cả \[a\] và\[b\] .
Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
⦁ Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì có thể đôi một song song nhau ⇒A sai.
⦁ Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến, nếu có, của chúng có thể trùng với một trong hai đường thẳng đó ⇒B sai.
⦁ Giả sử: \[p\] cắt \[a\] và \[b\] lần lượt tại \[A\] và \[B;\]\[q\] cắt \[a\] và \[b\] lần lượt tại \[A'\] và \[B'\].
Nếu \[p\,{\rm{//}}\,q \Rightarrow A,B,A',B'\] đồng phẳng \[ \Rightarrow a,b\] đồng phẳng (mâu thuẫn) ⇒C sai.
⦁ Hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng ⇒D đúng.
Cho hình chóp\[S.ABCD\]. Gọi \[M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q,\,\,R,\,\,T\] lần lượt là trung điểm\[AC\], \[BD\], \[BC,\]\[CD\], \[SA\],\[SD\]. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?
\[M,P,R,T.\]
\[M,Q,T,R.\]
\[M,N,R,T.\]
\[P,Q,R,T.\]
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(RT\) là đường trung bình của tam giác \(SAD\) nên \(RT{\rm{//}}AD\,\). \(MQ\) là đường trung bình của tam giác \(ACD\) nên \(MQ{\rm{//}}AD\). Suy ra \(RT{\rm{//}}MQ\). Do đó \(M,\,\,Q,\,\,R,\,\,T\) đồng phẳng. |
|
Cho hình chóp \[{\rm{S}}.ABCD\] đáy là hình bình hành tâm O, I là trung điểm của \[SC\], xét các mệnh đề:
(1) Đường thẳng \[IO\] song song với \[SA\].
(2) Mặt phẳng \[\left( {IBD} \right)\] cắt các cạnh của hình chóp \[S.ABCD\] theo một hình tứ giác.
(3) Giao điểm của đường thẳng \[AI\] với mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\] là trọng tâm của tam giác \[\left( {SBD} \right)\].
(4) Giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {IBD} \right)\]và \[\left( {SAC} \right)\] là \[IO\].
Số mệnh đề đúng trong các mệnh để trên là
2.
4.
3.
1.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Mệnh đề đúng vì \[IO\] là đường trung bình của tam giác \[SAC\].
Mệnh đề sai vì tam giác \[IBD\] chính là thiết diện của hình chóp \[S.ABCD\] cắt bởi mặt phẳng \[\left( {IBD} \right)\].
Mệnh đề đúng vì giao điểm của đường thẳng \[AI\] với mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\] là giao điểm của \[AI\] với \[SO\].
Mệnh đề đúng vì \[I,\,O\] là hai điểm chung của 2 mặt phẳng \[\left( {IBD} \right)\] và \[\left( {SAC} \right)\].
Vậy số mệnh đề đúng trong các mệnh để trên là: 3.
Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau \(a,\;b,\;c\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng qua \(a\), \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng qua \(b\) sao cho giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song với \(c\). Có nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) thỏa mãn yêu cầu trên?
Vô số mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).
Một mặt phẳng \(\left( P \right)\), vô số mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
Một mặt phẳng \(\left( Q \right)\), vô số mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Một mặt phẳng \(\left( P \right)\), một mặt phẳng\(\left( Q \right)\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(c\) song song với giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên \(c\,{\rm{//}}\,\left( P \right)\) và \(c\,{\rm{//}}\,\left( Q \right)\). Khi đó, \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa \(a\) và song song với \(c,\) mà \(a\) và \(c\) chéo nhau nên chỉ có một mặt phẳng như vậy. Tương tự cũng chỉ có một mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(b\) và song song với \(c\). Vậy có nhiều nhất một mặt phẳng \(\left( P \right)\) và một mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thỏa yêu cầu bài toán. |
|
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành tâm \[O\]. Lấy điểm \[I\] trên đoạn \[SO\] sao cho \[\frac{{SI}}{{SO}} = \frac{2}{3}\], \[BI\] cắt \[SD\] tại \[M\] và \[DI\] cắt \[SB\] tại \[N\]. Tứ giác \[MNBD\] là hình gì?
Hình thang.
Hình bình hành.
Hình chữ nhật.
Tứ diện vì \[MN\] và \[BD\] chéo nhau.
Đáp án đúng là: A
\[I\] trên đoạn \[SO\] và \[\frac{{SI}}{{SO}} = \frac{2}{3}\] nên \(I\) là trọng tâm tam giác \(SBD\). Suy ra \(M\) là trung điểm \(SD;\) \(N\) là trung điểm \(SB.\) Do đó \[MN\,{\rm{//}}\,BD\] và \(MN = \frac{1}{2}BD\) nên \[MNBD\] là hình thang. |
|
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,5 điểm)
a) Tính giá trị lượng giác \[\tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\] khi \[\sin \alpha = \frac{3}{5},\,\,\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \].
b) Giải phương trình \(\cos \left( {\frac{\pi }{3} + 3x} \right) + \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} - 4x} \right) + \cos x = 1.\)
c) Ngọn đèn trên hải đăng \(H\) cách bờ biển \(yy'\)một khoảng \(HO = 1\,{\rm{km}}\). Đèn xoay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ \(\frac{\pi }{{10}}\,{\rm{rad}}/{\rm{s}}\) và chiếu hai luồng ánh sáng về hai phía đối diện nhau. Khi đèn xoay, điểm \(M\) mà luồng ánh sáng của hải đăng rọi vào bờ biển chuyển động dọc theo bờ. Ban đầu luồng sáng trùng với đường thẳng \(HO\). |
|
Viết hàm số biểu thị toạ độ \({y_M}\) của điểm \(M\) trên trục \(Oy\) theo thời gian \(t\) và xác định thời điểm \(t\) mà đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà \(N\) nằm trên bờ biển với toạ độ \({y_N} = - 1\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).
a)Vì \[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \] nên \[\cos \alpha < 0\].
Ta có: \[{\sin ^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1\].
Suy ra: \[cos\alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \frac{4}{5} \Rightarrow \tan \alpha = - \frac{3}{4}\].
Vậy \[\tan \left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{3} + \tan \alpha }}{{1 - \tan \frac{\pi }{3}\tan \alpha }} = \frac{{48 - 25\sqrt 3 }}{{11}}\].
b) \(\cos \left( {\frac{\pi }{3} + 3x} \right) + \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} - 4x} \right) + \cos x = 1\)
\( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{3} + 3x} \right) + \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} - 4x} \right) = 1 - \cos x\)
\( \Leftrightarrow 2\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{x}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{7x}}{2} - \frac{\pi }{6}} \right) = 2{\sin ^2}\frac{x}{2} \Leftrightarrow 2\sin \frac{x}{2}\cos \left( {\frac{{7x}}{2} - \frac{\pi }{6}} \right) = 2{\sin ^2}\frac{x}{2}\)
\( \Leftrightarrow \sin \frac{x}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{{7x}}{2} - \frac{\pi }{6}} \right) - \sin \frac{x}{2}} \right] = 0 \Leftrightarrow \sin \frac{x}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{{7x}}{2} - \frac{\pi }{6}} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{x}{2}} \right)} \right] = 0.\)
● \(\sin \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{2} = k\pi \Leftrightarrow x = k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
● \(\cos \left( {\frac{{7x}}{2} - \frac{\pi }{6}} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{x}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{7x}}{2} - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{x}{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{7x}}{2} - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} - \frac{x}{2} + k2\pi \\\frac{{7x}}{2} - \frac{\pi }{6} = - \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{x}{2}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\\x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = k2\pi \); \(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\); \(x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\), \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
c) Dựa vào hệ trục ta có: \(\tan \alpha = \frac{{OM}}{{OH}} \Rightarrow OM = OH.\tan \alpha \) Với \(\alpha = \frac{\pi }{{10}}t\) \( \Rightarrow {y_M} = 1.\tan \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right) = \tan \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right)\) Khi \({y_N} = - 1 \Rightarrow \tan \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right) = - 1\) \( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{10}}t = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) \( \Leftrightarrow t = \frac{{15}}{2} + 10k,k \in \mathbb{Z}\) và \(k \ge 0\). |  |
(0,5 điểm) Chứng minh rằng dãy số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = \sqrt 2 }\\{{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n} + 2} }\end{array}} \right.\) tăng và bị chăn trên bởi 2.
⦁ Ta có \({u_n} > 1\)
Giả sử tồn tại \({u_n} \ge 2 \Rightarrow \sqrt {{u_{n - 1}} + 2} \ge 2 \Rightarrow {u_{n - 1}} \ge 2\)
Như vậy, nếu tồn tại \({u_n} \ge 2\) thì suy ra \({u_{n - 1}} \ge 2\), từ đó cũng suy ra được \({u_{n - 2}},{u_{n - 3}} \ldots {u_2},{u_1} \ge 2\) vô lý
Do \({u_1} = \sqrt 2 < 2.\) Nên điều giả sử là sai.
Suy ra \({u_n} < 2\) (1)
⦁ Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = \sqrt {{u_n} + 2} - {u_n} = \frac{{{u_n} + 2 - u_n^2}}{{\sqrt {{u_n} + 2} + {u_n}}} = \frac{{\left( {2 - {u_n}} \right)\left( {1 + {u_n}} \right)}}{{\sqrt {{u_n} + 2} + {u_n}}} > 0\)
Suy ra \({u_{n + 1}} > {u_n},\) nên đây là dãy tăng (2)
Từ (1) và (2) suy ra dãy đã cho tăng và bị chặn trên bởi 2.
(1,0 điểm) Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Gọi \(M\) và \(P\) là hai điểm di dộng trên các cạnh \(AD\) và \(BC\), sao cho \(MA = PC = x\)\(\left( {0 < x < a} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(MP\) song song với \(CD\) cắt \(AC,\,\,BD\) lần lượt tại \(N,Q.\)
a) Chứng minh tứ giác \(MNPQ\) là hình thang cân.
b) Tính diện tích hình thang cân \(MNPQ\) theo \[a\] và \[x\]. Tìm \(x\) để diện tích đó nhỏ nhất.
a) Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) = MN}\\{CD\,{\rm{//}}\,\left( \alpha \right)}\\{CD \subset \left( {ACD} \right)}\end{array}} \right.\] suy ra \[MN\,{\rm{//}}\,CD\] Tương tự \[\left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right) = PQ\,{\rm{//}}\,CD\] Vì \[MN\,{\rm{//}}\,CD\,{\rm{//}}\,PQ\] nên thiết diện \(MNPQ\) là hình thang. Ta có \(DQ = CP = x\), \(DM = a - x\). |  |
Áp dụng định lý côsin trong tam giác \(DMQ\), ta có
\(MQ = \sqrt {D{M^2} + D{Q^2} - 2DM.DQ\cos 60^\circ } = \sqrt {3{x^2} - 3ax + {a^2}} \)
Tương tự ta cũng tính được \[NP = \sqrt {3{x^2} - 3ax + {a^2}} \].
Suy ra \[MQ = NP\].
Vậy thiết diện \(MNPQ\) là hình thang cân.
b) Tam giác \(ACD\) đều có \(MN\,{\rm{//}}\,CD\) nên tam giác \(AMN\) cũng đều nên \(MN = AM = x\)
Tam giác \(BCD\) đều có \(PQ\,{\rm{//}}\,CD\) nên tam giác \(BPQ\) cũng đều nên \(PQ = BP = a - x\).
Trong hình thang cân \(MNPQ\), hạ \(NH\) vuông góc với \(PQ\) và tìm được \(NH = \frac{1}{2}\sqrt {8{x^2} - 8ax + 3{a^2}} \).
Do đó \[{S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}\left( {MN + PQ} \right).NH\]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {x + \left( {a - x} \right)} \right].\frac{1}{2}\sqrt {8{x^2} - 8ax + 3{a^2}} \]
\[ = \frac{1}{4}a\sqrt {8{x^2} - 8ax + 3{a^2}} \]
\( = \frac{1}{4}a\sqrt {8{{\left( {x - \frac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2}} \ge \frac{{{a^2}}}{4}\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \[x = \frac{a}{2}\].
Vậy diện tích hình thang \(MNPQ\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \[\frac{{{a^2}}}{4}\] khi \[x = \frac{a}{2}\].
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7 điểm)
Mệnh đề kéo theo \(P \Rightarrow Q\) sai khi
\(P\) sai và \(Q\) đúng;
\(P\) sai và \(Q\) sai;
\(P\) đúng và \(Q\) sai;
\(P\) đúng và \(Q\) đúng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Mệnh đề kéo theo \(P \Rightarrow Q\) sai khi và chỉ khi \(P\) đúng và \(Q\) sai.
Viết mệnh đề sau bằng cách sử dụng kí hiệu \(\forall \) hoặc \(\exists \): “Cho hai số thực khác nhau bất kì luôn tồn tại một số hữu tỉ nằm giữa hai số thực đã cho”.
\(\forall a,b \in \mathbb{R},a < b,\exists r \in \mathbb{Q}:a < r < b\);
\(\forall a,b \in \mathbb{R},\forall r \in \mathbb{Q}:a < r < b\);
\(\forall a,b \in \mathbb{R},a < b,\forall r \in \mathbb{Q}:a < r < b\)
\(\exists a,b \in \mathbb{R},\exists r \in \mathbb{Q}:a < r < b\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Mệnh đề đã cho được viết dưới dạng kí hiệu là: \(\forall a,b \in \mathbb{R},a < b,\forall r \in \mathbb{Q}:a < r < b\).
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề phủ định của mệnh đề: “Mọi học sinh của lớp 10A đều thích học môn Toán”?
“Tất cả các bạn học sinh trong lớp 10A đều không thích môn Toán”;
“Có một học sinh của lớp 10A thích học môn Toán”;
“Có một học sinh trong lớp 10A không thích học môn Toán”;
“Mọi học sinh trong lớp 10A đều không thích học môn Toán”.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phủ định của mệnh đề “Mọi học sinh của lớp 10A đều thích học môn Toán” là “Có một học sinh trong lớp 10A không thích học môn Toán”.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {x \in {\mathbb{N}^*}|{x^3} - 8{x^2} + 15x = 0} \right\}\). Số phần tử của tập \(A\) là
\(2\);
\(3\);
\(0\);
\(1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét phương trình:
\({x^3} - 8{x^2} + 15x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 8x + 15} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 8x + 15 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\\x = 5\end{array} \right.\)
Mà \(x \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(A = \left\{ {3;\,\,5} \right\}\).
Vì vậy tập \(A\) có hai phần tử.
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\(\left( {0;\,\,3} \right] \subset \left( { - 1;\,3} \right)\);
\(\left( { - 1;2} \right) \subset \mathbb{Q}\);
\(\left( { - 1;\,\,4} \right) \cup \left[ {5;\,\,6} \right] \subset \mathbb{Z}\);
\(\left\{ {\frac{1}{2}} \right\} \subset \mathbb{Q}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+) Ta có: \(3 \in \left( {0;\,\,3} \right]\) nhưng \(3 \notin \left( { - 1;\,3} \right)\)nên \(\left( {0;\,\,3} \right] \not\subset \left( { - 1;\,3} \right)\). Do đó A sai.
+) Ta có: \(\sqrt 2 \in \left( { - 1;2} \right)\) mà \(\sqrt 2 \notin \mathbb{Q}\) nên \(\left( { - 1;2} \right) \not\subset \mathbb{Q}\). Do đó B sai.
+) Ta có: \(\frac{3}{4} \in \left( { - 1;\,\,4} \right) \cup \left[ {5;\,\,6} \right]\) mà \(\frac{3}{4} \notin \mathbb{Z}\). Do đó C sai.
+) Ta có: \(\frac{1}{2} \in \mathbb{Q}\) nên \(\left\{ {\frac{1}{2}} \right\} \subset \mathbb{Q}\). Do đó D đúng.
Cho \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba tập hợp bất kì khác rỗng, được biểu diễn bằng biểu đồ Ven như hình bên. Phần gạch sọc trong hình vẽ biểu diễn tập hợp nào sau đây?
Phần gạch chéo trong hình tương ứng với tập hợp nào sau đây?
\(\left( {A \cup B} \right)\backslash C\);
\(\left( {A \cap B} \right)\backslash C\);
\(\left( {A \cap B} \right) \cap C\);
\(\left( {A \cap B} \right) \cup C\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Phần gạch chéo trong hình tương ứng với tập \(\left( {A \cap B} \right)\backslash C\).
Lớp \(10A\) có \(26\)em thích bóng đá, \(30\) em thích bóng chuyền, \(15\) em thích cả bóng đá và bóng chuyền. Hỏi lớp \(10A\) có bao nhiêu học sinh (biết các học sinh của lớp đều thích ít nhất một trong hai môn trên)?
\(56\);
\(71\);
\(41\);
\(45\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số học sinh của lớp 10A là: \(26 + 30 - 15 = 41\) (học sinh).
Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn: \(\left( {3m + 2} \right)x - \left( {m - 1} \right)y < 2\). Tìm điều kiện của tham số \(m\) để cặp \(\left( {1;\,\, - 1} \right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho.
\(m \ge \frac{1}{4}\);
\(m < - \frac{1}{2}\);
\(m < \frac{1}{4}\);
\(m > - \frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Thay \(x = 1\) và \(y = - 1\) vào bất phương trình \(\left( {3m + 2} \right)x - \left( {m - 1} \right)y < 2\), ta được:
\(\left( {3m + 2} \right).1 - \left( {m - 1} \right).\left( { - 1} \right) < 2\)
\( \Leftrightarrow 3m + 2 + m - 1 < 2\)
\( \Leftrightarrow 4m < 1\)
\( \Leftrightarrow m < \frac{1}{4}\)
Vậy với \(m < \frac{1}{4}\) thì cặp \(\left( {1;\,\, - 1} \right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Anh Trung có kế hoạch đầu tư \(400\) triệu đồng vào hai khoản \(X\) và \(Y\). Để đạt được lợi nhuận thì số tiền đầu tư cho khoản \(X\) phải ít nhất là \(100\) triệu đồng và số tiền đầu tư cho khoản \(Y\) không nhỏ hơn số tiền đầu tư cho khoản \(X\). Viết hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn mô tả về hai khoản đầu tư đó.
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x - y \le 10\\y \ge 0\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 100\\x - y \le 100\\y \ge 0\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 100\\x - y \le 0\\y \ge 0\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 100\\x - y \le 10\\y \ge 100\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Gọi số tiền anh Trung đầu tư cho khoản \(X\)là \(x\) (triệu đồng), số tiền đầu tư cho khoản \(Y\) là \(y\) (triệu đồng) \(\left( {x,y \ge 0} \right)\).
Vì số tiền đầu tư cho khoản \(X\) phải ít nhất là \(100\) triệu đồng nên ta có bất phương trình: \(x \ge 100\).
Số tiền đầu tư cho khoản \(Y\) không nhỏ hơn số tiền đầu tư cho khoản \(X\) nên \(y \ge x\) hay \(x - y \le 0\).
Khi đó ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 100\\x - y \le 0\\y \ge 0\end{array} \right.\).
Bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(x - {12^2}y > 7\);
\(3x + 4{y^2} \le 7\);
\(\frac{2}{x} - 7y > 90\)
\(xy \ge - 9\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(x - {12^2}y > 7 \Leftrightarrow x - 144y > 7\) có dạng của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Cho các hệ sau:
(I). \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y < 0\\x + 2y > 3\end{array} \right.\); (II). \(\left\{ \begin{array}{l}x - y < 0\\x + 2y \ge 0\end{array} \right.\);
(III). \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - y > 0\\x + {y^2} \le 0\end{array} \right.\); (IV). \(\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}y > 0\\\sqrt 2 x - y \le 0\end{array} \right.\).
Số hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là
\(0\);
\(1\);
\(2\);
\(3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Các hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là: (I), (II), (III).
Miền không gạch chéo (không kể biên) là miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi hình vẽ sau:
Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho?
\(\left( {3;\,\,0} \right)\);
\(\left( {0;\,\, - 2} \right)\);
\((0;\,\,0)\);
\(\left( {5;0} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Dựa vào hình vẽ ta thấy chỉ có điểm \(\left( {5;0} \right)\) thuộc vào miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Cho hình vẽ sau:
Miền không bị gạch chéo kể cả đường thẳng \({d_2}\) và không kể đường thẳng \({d_1}\) biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào dưới đây?
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y < - 2\\x + 5y \ge 10\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y \ge 2\\x + 5y < 10\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge - 2\\x - 5y < 10\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y < - 2\\x + 5y \ge 10\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
+) Gọi đường thẳng \({d_1}\) có dạng \(y = ax + b\left( 1 \right)\)
Đường thẳng này đi qua hai điểm \(\left( {0;\,\,2} \right)\) và \(\left( { - 2;\,\,0} \right)\)
Thay lần lượt tọa độ hai điểm này vào \(\left( 1 \right)\) ta được hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}2 = a.0 + b\\0 = a.\left( { - 2} \right) + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {d_1}:y = x + 2\) hay \({d_1}:x - y = - 2\)
Lấy \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) có \(0 - 0 = 0 > - 2\) là điểm không thuộc miền nghiệm của hệ đã cho và miền nghiệm không kể đường thẳng \[{d_1}\] nên ta có bất phương trình \(x - y < - 2\).
+) Gọi đường thẳng \({d_2}\) có dạng \(y = a'x + b'\left( 2 \right)\)
Đường thẳng này đi qua hai điểm \(\left( {0;\,\,2} \right)\) và \(\left( {10;\,\,0} \right)\)
Thay lần lượt tọa độ hai điểm này vào \(\left( 2 \right)\) ta được hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}2 = a.0 + b\\0 = a.10 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{5}\\b = 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {d_2}:y = - \frac{1}{5}x + 2\) hay \({d_2}:x + 5y = 10\)
Lấy \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) có \(0 + 5.0 = 0 < 2\) là điểm không thuộc miền nghiệm của hệ đã cho và miền nghiệm kể cả đường thẳng \[{d_2}\] nên ta có bất phương trình \(x + 5y \ge 10\).
Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {0;3} \right)\];
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;1} \right)\];
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {0;2} \right)\];
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;3} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Từ đồ thị hàm số ta có
Trên khoảng \[\left( { - \infty ;0} \right)\], đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;0} \right)\].
Trên khoảng \[\left( {0;2} \right)\], đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {0;2} \right)\].
Trên khoảng \[\left( {2; + \infty } \right)\], đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {2; + \infty } \right)\].
Vậy khẳng định C đúng.
Điều kiện của tham số \(m\) để hàm số \(y = \left( {2m - 3} \right)x + m + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
\(m < \frac{3}{2}\);
\(m > - \frac{3}{2}\);
\(m \ne \frac{3}{2}\);
\(m > \frac{3}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Để hàm số \(y = \left( {2m - 3} \right)x + m + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(2m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{3}{2}\).
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{4 - x}}{{x + \sqrt {x - 1} }}\) là
\(\left[ {1;\,\, + \infty } \right)\);
\(\left( {1; + \infty } \right)\);
\(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\);
\(\left[ {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ {0;1} \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Điều kiện xác định \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x + \sqrt {x - 1} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\sqrt {x - 1} \ne - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x - 1 \ne {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left[ {1; + \infty } \right)\).
Parabol \[\left( P \right):{\rm{ }}y = - 2{x^2} - 6x + 3\] có hoành độ đỉnh là
\[x = - 3\];
\[x = \frac{3}{2}\];
\[x = - \frac{3}{2}\];
\[x = 3\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Parabol \[\left( P \right):{\rm{ }}y = - 2{x^2} - 6x + 3\]có hoành độ đỉnh là \[x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 6}}{{2.( - 2)}} = - \frac{3}{2}\].
Cho bảng biến thiên sau:
Trục đối xứng của hàm số bậc hai có bảng biến thiên trên là
\(x = 1\);
\(x = 2\);
\(y = 1\);
\(y = 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Trục đối xứng của hàm số bậc hai là \(x = 1\).
Cho tam giác \[ABC\] và điểm \[I\] thỏa mãn \[\overrightarrow {IA} = - 2\overrightarrow {IB} \]. Biểu diễn \[\overrightarrow {IC} \] theo các vectơ \[\overrightarrow {AB} \], \[\overrightarrow {AC} \] ta được
\(\overrightarrow {IC} = - 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {IC} = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {IC} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {IC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \[\overrightarrow {IA} = - 2\overrightarrow {IB} \]\[ \Rightarrow \overrightarrow {IA} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \].
Vậy \[\overrightarrow {IC} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \].
Cho biết \(\tan \alpha = 2\). Giá trị của \(P = \frac{{2\sin \alpha - 2\cos \alpha }}{{2\cos \alpha + 3\sin \alpha }}\) bằng bao nhiêu?
\(P = 0\);
\(P = \frac{1}{4}\);
\(P = - \frac{1}{4}\);
\(P = \frac{2}{7}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\tan \alpha = 2\) nên \({\rm{cos}}\alpha \ne 0\)
Chia cả tử và mẫu của \(\cos \alpha \) ta được:
\[P = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 2\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{2\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + 3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{2\tan \alpha - 2}}{{2 + 3\tan \alpha }} = \frac{{2.2 - 2}}{{2 + 3.2}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\].
Cho \(\alpha \) và \(\beta \) thỏa mãn \(0^\circ \le \alpha ,\beta \le 180^\circ \). Phát biểu nào dưới đây là đúng?
Nếu \(\alpha > \beta \) thì \(\tan \alpha > \tan \beta \);
Nếu \(\alpha = - \beta \) thì \[{\rm{cos}}\alpha = {\rm{cos}}\beta \];
Nếu \(\alpha > \beta \) thì \(\sin \alpha = - \sin \beta \);
Nếu \(\alpha = - \beta \) thì \(\cot \alpha = \cot \beta \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\alpha = - \beta \) thì \[{\rm{cos}}\alpha = {\rm{cos}}\beta \]. Do đó B đúng.
Cho tam giác \(ABC\). Tính \(P = \sin A.\sin \left( {B + C} \right) - \cos A.cos\left( {B + C} \right)\).
\(P = 1\);
\(P = - 1\);
\(P = 2\);
\(P = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(P = \sin A.\sin \left( {B + C} \right) - \cos A.cos\left( {B + C} \right)\)
\( = \sin A.\sin \left[ {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right] - \cos A.cos\left[ {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right]\)
\( = \sin A.\sin A - \cos A.\left( { - \cos A} \right)\)
\( = {\sin ^2}A + {\cos ^2}A\)
\( = 1\).
Cho tam giác \[ABC\] với \(BC = a\sqrt 2 \), \(\widehat {BAC} = 150^\circ \). Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] là
\(R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
\(R = a\sqrt 3 \).
\(R = a\sqrt 2 \).
\(R = 2a\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét tam giác \[ABC\]:
Áp dụng định lí sin trong tam giác \[ABC\] ta được:
\(R = \frac{{BC}}{{2\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2\sin 150^\circ }} = \sqrt 2 a\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 5,\,\,BC = 7,\,\,AC = 8\). Diện tích tam giác \(ABC\) là
\(10\sqrt 3 \);
\(60\sqrt {13} \);
\(280\);
\(10\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là: \(p = \frac{{5 + 7 + 8}}{2} = 10\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là:
\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {10\left( {10 - 5} \right)\left( {10 - 7} \right)\left( {10 - 8} \right)} = 10\sqrt 3 \) (đvdt).
Trong tam giác \(ABC\), phát biểu nào sau đây đúng?
\(\frac{{a + b + c}}{S} = r\);
\(\frac{S}{{a + b + c}} = r\);
\[\frac{S}{{2\left( {a + b + c} \right)}} = r\];
\(\frac{{2S}}{{a + b + c}} = r\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[S = pr\]
Mà \[p\] là nửa chu vi của tam giác \(ABC\) nên \[p = \frac{{a + b + c}}{2}\]
Khi đó: \[S = \frac{{a + b + c}}{2}r \Leftrightarrow r = \frac{{2S}}{{a + b + c}}\].
Giải tam giác là
tìm số đo các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi ta biết được các yếu tố đủ để xác định tam giác đó;
tìm độ dài các cạnh của tam giác;
tìm số đo ba góc của tam giác;
tính diện tích tam giác bằng các cách khác nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Giải tam giác là tìm số đo các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi ta biết được các yếu tố đủ để xác định tam giác đó.
Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = 16;\,\,\widehat B = 56^\circ ,\,\widehat C = 70^\circ \). Độ dài cạnh \(AC\) xấp xỉ bằng
16,4;
16,3;
16,2;
1\(6\),1.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \), suy ra \(\widehat A = 180^\circ - \left( {56^\circ + 70^\circ } \right) = 54^\circ \).
Theo định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta có: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\).
Suy ra \(AC = \frac{{BC\sin B}}{{\sin A}} = \frac{{16 \cdot \sin 56^\circ }}{{\sin 54^\circ }} \approx 16,4\).
Chọn khẳng định đúng.
Hai vectơ cùng hướng thì có giá song song;
Hai vectơ cùng phương thì có giá song song;
Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương;
Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hai vectơ cùng phương thì có giá song song hoặc trùng nhau. Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng. Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Trong các đại lượng sau, đại lượng nào cần được biểu diễn bởi vectơ?
Diện tích;
Thể tích;
Giá tiền;
Lực.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đại lượng lực là đại lượng có hướng bao gồm cả độ lớn và hướng nên lực cần được biểu diễn bởi vectơ.
Cho hình bình hành \(ABCD\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DB} \);
\(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} \);
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DB} \), do đó đáp án A và đáp án B đúng.
Lại có: \(AB\,{\rm{//}} = DC\), do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} \) cùng hướng và cùng độ dài nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)Vậy đáp án D đúng.
Cho lục giác đều \(ABCDEF\) có tâm \(O\). Đẳng thức nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {EO} = \overrightarrow 0 \);
\(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {FE} = \overrightarrow {AD} \);
\(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {EB} - \overrightarrow {OC} \);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {FE} = \overrightarrow 0 \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {FE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \).
Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 3a,\,\,AD = a\). Khi đó, \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} } \right|\) bằng
\(a\sqrt {10} \);
\(4a\);
\(3a\);
\(5a\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD\).
Do \(ABCD\) nên tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\), từ định lí Pythagore ta suy ra
\(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt {10} \).
Vậy \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} } \right| = a\sqrt {10} \).
Cho vectơ \(\overrightarrow a \) khác \(\overrightarrow 0 \) và một số thực \(k \ne 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,k\overrightarrow a \) luôn cùng phương;
Hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,k\overrightarrow a \) luôn cùng hướng;
Hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,k\overrightarrow a \) có độ dài bằng nhau;
Hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,k\overrightarrow a \) luôn ngược hướng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Với vectơ \(\overrightarrow a \) khác \(\overrightarrow 0 \) và một số thực \(k \ne 0\), ta có hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,k\overrightarrow a \) luôn cùng phương với nhau.
Cho hình thang \(MNPQ\) có \(MN\,{\rm{//}}\,PQ,\,MN = 2PQ\). Phát biểu nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {PQ} \);
\(\overrightarrow {MQ} = 2\overrightarrow {NP} \);
\(\overrightarrow {MN} = - 2\overrightarrow {PQ} \);
\(\overrightarrow {MQ} = - 2\overrightarrow {NP} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(MN\,\,{\rm{//}}\,\,PQ\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {PQ} \) cùng phương.
Lại có vectơ \(\overrightarrow {MN} \) có hướng đi từ trái sang phải, còn vectơ \(\overrightarrow {PQ} \) có hướng đi từ phải sang trái. Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {PQ} \) ngược hướng. Mà \(MN = 2PQ\).
Vậy \(\overrightarrow {MN} = - 2\overrightarrow {PQ} \).
Đẳng thức nào sau đây mô tả đúng hình vẽ dưới?
\(\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\overrightarrow {NP} \);
\(\overrightarrow {MP} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {NP} \);
\(\overrightarrow {MN} = 6\overrightarrow {MP} \);
\(\overrightarrow {MN} = 3\overrightarrow {PM} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Từ hình vẽ ta thấy đoạn thẳng \(MN\) được chia thành 6 phần bằng nhau và điểm \(P\) thuộc đoạn \(MN\) và \(MP\) chiếm 2 phần hay \(MP = \frac{2}{6}MN = \frac{1}{3}MN\) và \(NP = \frac{4}{6}MN = \frac{2}{3}MN\), \(MP = \frac{2}{4}NP = \frac{1}{2}NP\).
Hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {NP} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {MP} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {NP} \).
Hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {PM} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow {PM} \).
Vậy đáp án B đúng.
PHẦN II. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)
(1,0 điểm)
a) Cho hai tập hợp \(A = \left[ { - 9;\,\,5} \right)\) và \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x + 2 < 4} \right\}\). Tìm tập hợp \(\left( {{C_\mathbb{R}}A} \right)\backslash B\).
b) Cho tam giác đều \(ABC\) có trọng tâm \(O\). Gọi \(I\) là một điểm tùy ý bên trong tam giác \(ABC\). Hạ \(ID,IE,IF\) tương ứng vuông góc với \(BC,CA,AB\). Tính \(\overrightarrow {ID}+ \overrightarrow {IE}+ \overrightarrow {IF} \) theo vectơ \(\overrightarrow {IO} \).
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(A = \left[ { - 9;\,\,5} \right)\)
\( \Rightarrow {C_\mathbb{R}}A = \left( { - \infty ;\,\, - 9} \right) \cup \left[ {5;\, + \infty } \right)\)
Xét \(x + 2 < 4 \Leftrightarrow x < 2\)
\( \Rightarrow B = \left( { - \infty ;2} \right)\).
Vì vậy \(\left( {{C_\mathbb{R}}A} \right)\backslash B = \left[ {5;\,\, + \infty } \right)\).
b)
Qua điểm \(I\) dựng các đoạn \(MQ\parallel AB,PS\parallel BC,NR\parallel CA\).
Vì \(ABC\) là tam giác đều nên các tam giác \(IMN,IPQ,IRS\) cũng là tam giác đều.
Suy ra \(D,E,F\) lần lượt là trung điểm của \(MN,PQ,RS\).
Khi đó: \(\overrightarrow {ID} + \overrightarrow {IE} + \overrightarrow {IF} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IP} + \overrightarrow {IQ} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IR} + \overrightarrow {IS} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {IR} } \right) + \left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IS} } \right) + \left( {\overrightarrow {IN} + \overrightarrow {IP} } \right)} \right] = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}.3\overrightarrow {IO} = \frac{3}{2}\overrightarrow {IO} \).
Vậy \(\overrightarrow {ID} + \overrightarrow {IE} + \overrightarrow {IF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {IO} \).
(1,0 điểm) Anh An làm nghề thợ mộc chuyên đóng bàn và ghế học sinh. Mỗi cái bàn anh bán lãi được \(150\) nghìn đồng, mỗi cái ghế bán lãi được \(100\) nghìn đồng. Mỗi tuần anh làm việc không quá \(60\) giờ. Anh đóng một cái bàn tốn hết \(6\) giờ và đóng một cái ghế tốn hết \(3\) giờ. Để có lãi, anh An phải làm số ghế nhiều hơn số bàn ít nhất \(2\) lần. Hỏi một tuần anh An phải đóng bao nhiêu cái bàn, bao nhiêu cái ghế để số tiền lãi thu về lớn nhất?
Gọi \(x\) là số bàn và \(y\) là số ghế anh An đóng được trong một tuần \(\left( {x;y\,\, \ge 0} \right)\).
Số giờ đề đóng \(x\) chiếc bàn và \(y\) chiếc ghế là: \(6x + 3y\) (giờ).
Mỗi tuần anh làm việc không quá \(60\) giờ nên ta có bất phương trình: \(6x + 3y \le 60\) (1).
Vì số ghế nhiều hơn số bàn ít nhất \(2\) lần nên ta có: \(y \ge 2x\)(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ bất phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\6x + 3y \le 60\\y \ge 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + y \le 20\\ - 2x + y \ge 0\end{array} \right.\)
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tam giác \(OAB\) với \(O\left( {0;\,\,0} \right),\,A\left( {5;\,\,10} \right),\,\,B\left( {0;20} \right)\).
Số tiền lãi thu được: \(F\left( {x;\,\,y} \right) = 150x + 100y\) (nghìn đồng).
Ta có:
Tại \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) có \(F\left( {0;\,\,0} \right) = 150.0 + 100.0 = 0\);
Tại \(A\left( {5;\,\,10} \right)\) có \(F\left( {5;\,\,10} \right) = 150.5 + 100.10 = 1\,\,750\);
Tại \(B\left( {0;20} \right)\) có \(F\left( {0;\,\,20} \right) = 150.0 + 100.20 = 2\,\,000\).
Vậy một tuần anh An phải đóng được \(0\) chiếc bàn và \(20\)chiếc ghế để tiền lãi thu được là lớn nhất.
(1,0 điểm)
Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng \(A\), đi theo hướng \(N60^\circ E\) với vận tốc 60 km/h (\(N60^\circ E\) là hướng tạo với hướng bắc một góc \(60^\circ \) và tạo với hướng đông một góc \(30^\circ \)). Đi được \(90\) phút thì động cơ bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng bắc với vận tốc 6 km/h. Sau \(3\) giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo. Tính khoảng cách từ cảng \(A\) tới đảo nơi tàu neo đậu.
Hướng dẫn giải
Ta có hình vẽ:
Quãng đường di chuyển của tàu từ \(A\) đến vị trí \(B\) (động cơ tàu bị hỏng) sau \(1,5\) giờ với vận tốc \(60km/h\) là: \(60\,.\,1,5\, = \,90\,\,\left( {km} \right)\).
Quãng đường di chuyển của tàu từ \(B\) đến vị trí \(C\) (nơi neo đậu) sau \(3\) giờ với vận tốc \(6\,\,km/h\) là: \(6\,.\,3\, = \,18\,\,\left( {km} \right)\).
Ta có: \(\widehat {ABC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
Xét tam giác \(ABC\), có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.{\rm{cos}}\widehat {ABC}\) (định lí cosin)
\( = {90^2} + {18^2} - 2.90.18.{\rm{cos120}}^\circ \)
\( = 10\,\,044\)
\( \Leftrightarrow AC = 18\sqrt {31} \approx 100\,\,\left( {km} \right)\).
Vậy khoảng cách từ cảng \(A\) tới đảo nơi tàu neo đậu là khoảng \(100\,\,km\).
