Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Cánh Diều có đáp án - Đề 10
38 câu hỏi
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 ĐIỂM)
Mệnh đề kéo theo \(P \Rightarrow Q\) sai khi
\(P\) sai và \(Q\) đúng;
\(P\) sai và \(Q\) sai;
\(P\) đúng và \(Q\) sai;
\(P\) đúng và \(Q\) đúng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Mệnh đề kéo theo \(P \Rightarrow Q\) sai khi và chỉ khi \(P\) đúng và \(Q\) sai.
\(\forall a,b \in \mathbb{R},a < b,\exists r \in \mathbb{Q}:a < r < b\);
\(\forall a,b \in \mathbb{R},\forall r \in \mathbb{Q}:a < r < b\);
\(\forall a,b \in \mathbb{R},a < b,\forall r \in \mathbb{Q}:a < r < b\)
\(\exists a,b \in \mathbb{R},\exists r \in \mathbb{Q}:a < r < b\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Mệnh đề đã cho được viết dưới dạng kí hiệu là: \(\forall a,b \in \mathbb{R},a < b,\forall r \in \mathbb{Q}:a < r < b\).
“Tất cả các bạn học sinh trong lớp 10A đều không thích môn Toán”;
“Có một học sinh của lớp 10A thích học môn Toán”;
“Có một học sinh trong lớp 10A không thích học môn Toán”;
“Mọi học sinh trong lớp 10A đều không thích học môn Toán”.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phủ định của mệnh đề “Mọi học sinh của lớp 10A đều thích học môn Toán” là “Có một học sinh trong lớp 10A không thích học môn Toán”.
\(2\);
\(3\);
\(0\);
\(1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét phương trình:
\({x^3} - 8{x^2} + 15x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 8x + 15} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 8x + 15 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\\x = 5\end{array} \right.\)
Mà \(x \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(A = \left\{ {3;\,\,5} \right\}\).
Vì vậy tập \(A\) có hai phần tử.
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\(\left( {0;\,\,3} \right] \subset \left( { - 1;\,3} \right)\);
\(\left( { - 1;2} \right) \subset \mathbb{Q}\);
\(\left( { - 1;\,\,4} \right) \cup \left[ {5;\,\,6} \right] \subset \mathbb{Z}\);
\(\left\{ {\frac{1}{2}} \right\} \subset \mathbb{Q}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+) Ta có: \(3 \in \left( {0;\,\,3} \right]\) nhưng \(3 \notin \left( { - 1;\,3} \right)\)nên \(\left( {0;\,\,3} \right] \not\subset \left( { - 1;\,3} \right)\). Do đó A sai.
+) Ta có: \(\sqrt 2 \in \left( { - 1;2} \right)\) mà \(\sqrt 2 \notin \mathbb{Q}\) nên \(\left( { - 1;2} \right) \not\subset \mathbb{Q}\). Do đó B sai.
+) Ta có: \(\frac{3}{4} \in \left( { - 1;\,\,4} \right) \cup \left[ {5;\,\,6} \right]\) mà \(\frac{3}{4} \notin \mathbb{Z}\). Do đó C sai.
+) Ta có: \(\frac{1}{2} \in \mathbb{Q}\) nên \(\left\{ {\frac{1}{2}} \right\} \subset \mathbb{Q}\). Do đó D đúng.
Cho \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba tập hợp bất kì khác rỗng, được biểu diễn bằng biểu đồ Ven như hình bên. Phần gạch sọc trong hình vẽ biểu diễn tập hợp nào sau đây?
Phần gạch chéo trong hình tương ứng với tập hợp nào sau đây?
\(\left( {A \cup B} \right)\backslash C\);
\(\left( {A \cap B} \right)\backslash C\);
\(\left( {A \cap B} \right) \cap C\);
\(\left( {A \cap B} \right) \cup C\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Phần gạch chéo trong hình tương ứng với tập \(\left( {A \cap B} \right)\backslash C\).
\(56\);
\(71\);
\(41\);
\(45\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số học sinh của lớp 10A là: \(26 + 30 - 15 = 41\) (học sinh).
Gọi \(M\) là giá trị lớn nhất và \(m\) là giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x;\,y} \right) = 4x - 3y\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 3\\x - y \le 5\\y \le 5\end{array} \right.\) được biểu diễn bởi hình vẽ sau:
Giá trị \(M - m\) bằng
\(2\);
\(4\);
\(48\);
\(25\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong tam giác \(ABC\) với \(A\left( { - 2;\,\,5} \right)\), \(B\left( {10;\,\,5} \right)\), \(C\left( {4;\,\, - 1} \right)\).
Ta có:
Tại \(A\left( { - 2;\,\,5} \right)\) có \(F\left( { - 2;\,5} \right) = 4.\left( { - 2} \right) - 3.5 = - 23\);
Tại \(B\left( {10;\,\,5} \right)\) có \(F\left( {10;\,5} \right) = 4.10 - 3.5 = 25\);
Tại \(C\left( {4;\,\, - 1} \right)\) có \(F\left( {4;\, - 1} \right) = 4.4 - 3.\left( { - 1} \right) = 19\).
Suy ra \(M = 25,m = - 23\).
Vì vậy \(M - m = 25 - \left( { - 23} \right) = 48\).
\(x - {12^2}y > 7\);
\(3x + 4{y^2} \le 7\);
\(\frac{2}{x} - 7y > 90\)
\(xy \ge - 9\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(x - {12^2}y > 7 \Leftrightarrow x - 144y > 7\) có dạng của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
;
;
.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vẽ đường thẳng \(d:\frac{1}{2}x - 3y = - 3\)
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( { - 6;\,0} \right)\) và \(B\left( {0;\,1} \right)\)
Lấy điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right) \notin d\) có: \(\frac{1}{2}.0 - 3.0 = 0 > - 3\) nên điểm \(O\) thuộc vào miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d\) và chứa điểm \(O\) (kể cả đường thẳng \(d\)) được biểu diễn như hình vẽ sau:
\(m = \frac{5}{4}\);
\(m = - \frac{1}{2}\);
\(m = 2\frac{1}{4}\);
\(m = 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Thay \(x = 0\) và \(y = - 2\) vào bất phương trình \(3mx - y < m + 1\), ta được:
\(3m.0 - \left( { - 2} \right) < m + 1\)
\( \Leftrightarrow m + 1 < 2\)
\( \Leftrightarrow m < 1\)
Vậy với \(m = - \frac{1}{2} < 1\) thì cặp \(\left( {0;\,\, - 2} \right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho.
\({x_0} + {y_0} \ge 0\);
\({x_0} < 0\);
\({y_0} \ge - 1\);
\({x_0} - {y_0} > - 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) là điểm thỏa mãn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên nên ta có:
\({x_0} + {y_0} < 0\). Do đó A sai.
\({x_0} \ge - 1\). Do đó B sai.
\({y_0} \ge 0 > - 1\) nên \({y_0} \ge - 1\) là mệnh đề đúng. Do đó C đúng.
\({x_0} - {y_0} > - 1\) là chưa đủ điều kiện để khẳng định được tính đúng sai. Do đó D sai.
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y < 1\\x + 2y \ge 0\end{array} \right.\) có miền nghiệm được biểu diễn như hình vẽ:
Câu nào mô tả đúng nhất miền nghiệm của hệ bất phương trình trên?
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền bị gạch chéo trong hình vẽ kể cả hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\);
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền bị gạch chéo trong hình vẽ không kể cả hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\);
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo trong hình vẽ kể đường thẳng \({d_1}\) và không kể đường thẳng \({d_2}\);
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo trong hình vẽ không kể đường thẳng \({d_1}\) và kể cả đường thẳng \({d_2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo trong hình vẽ không kể đường thẳng \({d_1}\) và kể cả đường thẳng \({d_2}\).
\(1\);
\(2\);
\(3\);
\(4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 1\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2x - y > - 2\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
+) Thay \(x = 0\) và \(y = 0\) lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 0 - 2.0 \le 1 \Leftrightarrow 0 \le 1\) (luôn đúng);
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2.0 - 0 > - 2 \Leftrightarrow 0 > - 2\) (luôn đúng).
Do đó cặp số \(\left( {0;\,0} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \(x = - 1\) và \(y = 1\) lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 1 - 2.1 \le 1 \Leftrightarrow - 3 \le 1\) (luôn đúng);
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2.\left( { - 1} \right) - 1 > - 2 \Leftrightarrow - 3 > - 2\) (vô lí).
Do đó cặp số \(\left( { - 1;\,1} \right)\)không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \(x = - 2\) và \(y = 3\) lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 2 - 2.3 \le 1 \Leftrightarrow - 8 \le 1\) (luôn đúng);
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2.\left( { - 2} \right) - 3 > - 2 \Leftrightarrow - 7 > - 2\) (vô lí).
Do đó cặp số \(\left( { - 2;\,3} \right)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Thay \(x = 4\) và \(y = 1\) lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 4 - 2.1 \le 1 \Leftrightarrow 2 \le 1\) (vô lí);
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2.4 - 1 > - 2 \Leftrightarrow 7 > - 2\) (luôn đúng).
Do đó cặp số \(\left( {4;\,1} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên:
Nhận xét nào dưới đây là đúng?
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\);
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là âm vô cực;
Hàm số đạt giá trị lớn nhất là \( - 1\);
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Biểu thức \(\sqrt {x - 3} \) có nghĩa khi \(x - 3 \ge 0\), tức là khi \(x \ge 3\).
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(D = \left[ {3; + \infty } \right)\).
Cho đồ thị hàm số sau:
Gọi \(M\) là giá trị lớn nhất của hàm số. Khi đó
\(M = 10\);
\(M = 0\);
\(M = + \infty \);
\(M \in \emptyset \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Dựa vào hình vẽ ta thấy hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất.
\(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 2} }}{{2x}}\);
\(y = {x^3} - \frac{{\left| x \right|}}{2}\);
\(y = \sqrt {x - 9} \);
\(y = \frac{1}{{\left| x \right|}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = {x^3} - \frac{{\left| x \right|}}{2}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
\( - 1\);
\(1\);
\(3\);
\( - 3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hàm số có trục đối xứng là: \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.1}} = - 1\).
Cho hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình vẽ:
Kết luận nào dưới đây là đúng?
\(a > 0,\,\,b < 0,\,\,c > 0\);
\(a < 0,\,\,b > 0,\,\,c > 0\);
\(a < 0,\,\,b < 0,\,\,c > 0\);
\(a < 0,\,\,b > 0,\,\,c < 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì Parabol có bề lõm quay lên trên nên \(a > 0\).
Suy ra đáp án C, D sai.
Xét đáp án A: Ta gọi I là đỉnh của Parabol vậy
\({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{\left( { - 4} \right)}}{{2.1}} = 2;\,{y_I} = {2^2} - 4.2 - 1 = - 5\) Vậy đỉnh \(I(2; - 5)\)
Suy ra đáp án A sai.
Xét đáp án B: Ta gọi I là đỉnh của Parabol vậy
Vậy đỉnh \(I(2; - 1)\)
Trục đối xứng \(x = 2\).
Giao điểm của đồ thị với trục \(Oy\) là \(A\left( {0;3} \right)\).
Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là ngiệm của phương trình \({x^2} - 4x + 3 = 0\) tức là \(x = 1\) và \(x = 3\).
Suy ra đáp án B đúng.
\(\sin 0^\circ + {\rm{cos}}0^\circ = 1\);
\({\sin ^2}30^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}60^\circ = 1\);
\(\sin 90^\circ + {\rm{cos9}}0^\circ = 1\);
\({\sin ^2}120^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}120^\circ = 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có:
\(\sin 0^\circ + {\rm{cos}}0^\circ = 0 + 1 = 1\). Do đó A đúng.
\({\sin ^2}30^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}60^\circ = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2} \ne 1\). Do đó B sai.
\(\sin 90^\circ + {\rm{cos9}}0^\circ = 1 + 0 = 1\). Do đó C đúng.
\({\sin ^2}120^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}120^\circ = 1\). Do đó D đúng.
\(\cos \alpha = \frac{2}{3}\).
\(\cos \alpha = - \frac{2}{3}\).
\(\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
\(\cos \alpha = \frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1\)
\( \Leftrightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\)
\( \Leftrightarrow {\rm{cos}}\alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Từ vị trí \(A\) cách mặt đất \(1m\), một bạn nhỏ quan sát một cây đèn đường (hình vẽ).
Biết \(HB = 6\,\,m\), \(\widehat {BAC} = 44^\circ \). Chiều cao của cây đèn đường gần nhất với giá trị nào sau đây?
\(5,1\,\,m\);
\(7,2\,m\);
\(5,9\,\,m\);
\(8,3\,\,m\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\), có:
\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {1^2} + {6^2} = 37\)
\( \Leftrightarrow AB = \sqrt {37} \,\,cm\)
\(\tan ABH = \frac{{AH}}{{BH}} = \frac{1}{6} \Rightarrow \widehat {ABH} \approx 9,5^\circ \).
\( \Rightarrow \widehat {ABC} = 90^\circ - 9,5^\circ = 80,5^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {ACB} = 180^\circ - 80,5^\circ - 44^\circ = 55,5^\circ \)
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), có:
\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} \Leftrightarrow BC = \frac{{AB.\sin \widehat {BAC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{\sqrt {37} .\sin 44^\circ }}{{\sin 55,5^\circ }} \approx 5,1\,\,\left( m \right).\)
Vậy chiều cao của cây đèn đường khoảng \(5,1\,\,m\).
\[{\rm{cos}}\frac{A}{2} \le \frac{1}{2}\];
\[{\rm{cos}}A \ge \frac{1}{2}\];
\[{\rm{cos}}A = 0\];
\[{\rm{cos}}A < \frac{1}{2}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta được:
\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)
\( \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}};\sin B = \,\,\frac{b}{{2R}};\,\,\sin C = \,\,\frac{c}{{2R}}.\)
\( \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{4{R^2}}} = \frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}}\)
\( \Leftrightarrow {a^2} = b.c\)
Áp dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác \(ABC\), ta được:
\[{\rm{cos}}A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2.b.c}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - bc}}{{2.b.c}}\]
Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số dương \({b^2} + {c^2}\) ta được:
\({b^2} + {c^2} \ge 2bc\)
Khi đó: \[{\rm{cos}}A = \frac{{{b^2} + {c^2} - bc}}{{2.b.c}} \ge \frac{{2bc - bc}}{{2bc}} = \frac{1}{2}\].
\(\frac{a}{{\sin A}} = 2R\);
\(\sin A = \frac{a}{{2R}}\);
\(b\sin B = 2R\);
\(\sin C = \frac{{c\sin A}}{a}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Theo định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\).
Từ đó suy ra \(\frac{a}{{\sin A}} = 2R\), \(\sin A = \frac{a}{{2R}}\), \(\sin C = \frac{{c\sin A}}{a}\). Do đó các công thức ở các đáp án A, B, D đúng và đáp án C sai.
\(2,37\,\,c{m^2}\);
\(0,63\,\,c{m^2}\);
\(2,45\,\,c{m^2}\);
\(1,58\,\,c{m^2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(ABC\), có:
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Rightarrow \widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {75^\circ + 60^\circ } \right) = 45^\circ \)(định lí tổng ba góc trong tam giác)
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta được:
\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow BC = \frac{{AB.\sin A}}{{\sin C}} = \frac{{2.\sin 75^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = 1 + \sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\).
Diện tích tam giác \(ABC\) bằng:
\(S = \frac{1}{2}AB.BC.\sin B = \frac{1}{2}.2.\left( {1 + \sqrt 3 } \right).\sin 60^\circ = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2} \approx 2,37\,\,\left( {c{m^2}} \right).\)
\(1 + \sqrt 2 \);
\(\frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\);
\(\frac{{\sqrt 2 - 1}}{2}\);
\(\frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Giả sử ta có \(AB = AC = a\), do tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là \(R = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là \(p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{a + a + a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)a}}{2}\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{{{a^2}}}{2}\).
Lại có \(S = pr\) với \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).
Suy ra \(r = \frac{S}{p} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)a}}{2}}} = \frac{a}{{2 + \sqrt 2 }}\). Vậy \(\frac{R}{r} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{a}{{2 + \sqrt 2 }}}} = 1 + \sqrt 2 \).
\(\sin \alpha = \sin \beta \);
\(\cos \alpha = - \cos \beta \);
\(\tan \alpha = - \tan \beta \);
\(\cot \alpha = \cot \beta \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hai góc bù nhau có sin bằng nhau; côsin, tang, côtang đối nhau.
Do đó, \(\sin \alpha = \sin \beta \), \(\cos \alpha = - \cos \beta \), \(\tan \alpha = - \tan \beta \), \(\cot \alpha = - \cot \beta \). Vậy đáp án D sai.
Hai vectơ cùng hướng thì có giá song song;
Hai vectơ cùng phương thì có giá song song;
Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương;
Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hai vectơ cùng phương thì có giá song song hoặc trùng nhau. Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng. Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Diện tích;
Thể tích;
Giá tiền;
Lực.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đại lượng lực là đại lượng có hướng bao gồm cả độ lớn và hướng nên lực cần được biểu diễn bởi vectơ.
Cho hình bình hành \(ABCD\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DB} \);
\(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} \);
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DB} \), do đó đáp án A và đáp án B đúng.
Lại có: \(AB\,{\rm{//}} = DC\), do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} \) cùng hướng và cùng độ dài nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)Vậy đáp án D đúng.
Cho lục giác đều \(ABCDEF\) có tâm \(O\). Đẳng thức nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {EO} = \overrightarrow 0 \);
\(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {FE} = \overrightarrow {AD} \);
\(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {EB} - \overrightarrow {OC} \);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {FE} = \overrightarrow 0 \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {FE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \).
\(a\sqrt {10} \);
\(4a\);
\(3a\);
\(5a\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD\).
Do \(ABCD\) nên tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\), từ định lí Pythagore ta suy ra
\(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt {10} \).
Vậy \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} } \right| = a\sqrt {10} \).
Hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,k\overrightarrow a \) luôn cùng phương;
Hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,k\overrightarrow a \) luôn cùng hướng;
Hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,k\overrightarrow a \) có độ dài bằng nhau;
Hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,k\overrightarrow a \) luôn ngược hướng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Với vectơ \(\overrightarrow a \) khác \(\overrightarrow 0 \) và một số thực \(k \ne 0\), ta có hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,k\overrightarrow a \) luôn cùng phương với nhau.
\(\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {PQ} \);
\(\overrightarrow {MQ} = 2\overrightarrow {NP} \);
\(\overrightarrow {MN} = - 2\overrightarrow {PQ} \);
\(\overrightarrow {MQ} = - 2\overrightarrow {NP} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(MN\,\,{\rm{//}}\,\,PQ\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {PQ} \) cùng phương.
Lại có vectơ \(\overrightarrow {MN} \) có hướng đi từ trái sang phải, còn vectơ \(\overrightarrow {PQ} \) có hướng đi từ phải sang trái. Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {PQ} \) ngược hướng. Mà \(MN = 2PQ\).
Vậy \(\overrightarrow {MN} = - 2\overrightarrow {PQ} \).
Đẳng thức nào sau đây mô tả đúng hình vẽ dưới?
\(\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\overrightarrow {NP} \);
\(\overrightarrow {MP} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {NP} \);
\(\overrightarrow {MN} = 6\overrightarrow {MP} \);
\(\overrightarrow {MN} = 3\overrightarrow {PM} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Từ hình vẽ ta thấy đoạn thẳng \(MN\) được chia thành 6 phần bằng nhau và điểm \(P\) thuộc đoạn \(MN\) và \(MP\) chiếm 2 phần hay \(MP = \frac{2}{6}MN = \frac{1}{3}MN\) và \(NP = \frac{4}{6}MN = \frac{2}{3}MN\), \(MP = \frac{2}{4}NP = \frac{1}{2}NP\).
Hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {NP} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {MP} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {NP} \).
Hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {PM} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow {PM} \).
Vậy đáp án B đúng.
II. PHẦN TỰ LUẬN (3 ĐIỂM)
(1 điểm)
a) Xác định điều kiện của \(a,b\) để \(A \cap B = \emptyset \) với \(A = \left[ {a - 1;\,\,a + 2} \right]\) và \(B = \left( {b;\,\,b + 4} \right]\).
b) Cho tam giác \(ABC\) có \(G\) là trọng tâm. Gọi \(D\) và \(E\) lần lượt là các điểm thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AE} = x\overrightarrow {AC} \). Tìm \(x\) để ba điểm \(D,\,\,G,\,\,E\) thẳng hàng. Với giá trị tìm được của \(x\), hãy tính tỉ số \(\frac{{DG}}{{DE}}\).
Hướng dẫn giải
a) Để \(A \cap B = \emptyset \) ta có hai trường hợp sau:
TH1: \(a + 2 \le b \Leftrightarrow a - b \le - 2\).
TH2: \(a - 1 > b + 4 \Leftrightarrow a - b > 5\).
Vậy với \(a - b \le - 2\) hoặc \(a - b > 5\) thì \(A \cap B = \emptyset \).
b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\)
Xét tam giác ABC, có:
\(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
Ta có: \(\overrightarrow {DG} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AE} = 2\overrightarrow {AB} - x\overrightarrow {AC} \)
Để \(D,\,\,G,\,\,E\) thẳng hàng thì tồn tại số thực \(k\) thỏa mãn: \(\overrightarrow {DG} = k\overrightarrow {DE} \)
\( \Leftrightarrow \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = k\left( {2\overrightarrow {AB} - x\overrightarrow {AC} } \right)\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2k = \frac{5}{3}\\kx = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{5}{6}\\x = \frac{2}{5}\end{array} \right.\).
Vậy \(x = \frac{2}{5}\) thì \(D,\,\,G,\,\,E\) thẳng hàng và khi đó \(\frac{{DG}}{{DE}} = k = \frac{5}{6}\).
(1,0 điểm) Anh An làm nghề thợ mộc chuyên đóng bàn và ghế học sinh. Mỗi cái bàn anh bán lãi được \(150\) nghìn đồng, mỗi cái ghế bán lãi được \(100\) nghìn đồng. Mỗi tuần anh làm việc không quá \(60\) giờ. Anh đóng một cái bàn tốn hết \(6\) giờ và đóng một cái ghế tốn hết \(3\) giờ. Để có lãi, anh An phải làm số ghế nhiều hơn số bàn ít nhất \(2\) lần. Hỏi một tuần anh An phải đóng bao nhiêu cái bàn, bao nhiêu cái ghế để số tiền lãi thu về lớn nhất?
Gọi \(x\) là số bàn và \(y\) là số ghế anh An đóng được trong một tuần \(\left( {x;y\,\, \ge 0} \right)\).
Số giờ đề đóng \(x\) chiếc bàn và \(y\) chiếc ghế là: \(6x + 3y\) (giờ).
Mỗi tuần anh làm việc không quá \(60\) giờ nên ta có bất phương trình: \(6x + 3y \le 60\) (1).
Vì số ghế nhiều hơn số bàn ít nhất \(2\) lần nên ta có: \(y \ge 2x\)(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ bất phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\6x + 3y \le 60\\y \ge 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + y \le 20\\ - 2x + y \ge 0\end{array} \right.\)
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tam giác \(OAB\) với \(O\left( {0;\,\,0} \right),\,A\left( {5;\,\,10} \right),\,\,B\left( {0;20} \right)\).
Số tiền lãi thu được: \(F\left( {x;\,\,y} \right) = 150x + 100y\) (nghìn đồng).
Ta có:
Tại \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) có \(F\left( {0;\,\,0} \right) = 150.0 + 100.0 = 0\);
Tại \(A\left( {5;\,\,10} \right)\) có \(F\left( {5;\,\,10} \right) = 150.5 + 100.10 = 1\,\,750\);
Tại \(B\left( {0;20} \right)\) có \(F\left( {0;\,\,20} \right) = 150.0 + 100.20 = 2\,\,000\).
Vậy một tuần anh An phải đóng được \(0\) chiếc bàn và \(20\)chiếc ghế để tiền lãi thu được là lớn nhất.
(1,0 điểm) Cho các địa điểm \(A,B\) và \(C\) (như hình vẽ) biết \(AB = 100\,\,km,\,AC = 150\,\,km,\widehat {ABC} = 110^\circ \). Bạn An muốn đi từ \(A\) đến \(C\) bằng một trong hai cách sau đây:
Cách 1: Đi tàu thủy từ \(A\) và \(C\) với vận tốc \(30\,\,km/h\).
Cách 2: Đi xe hơi từ \(A\) và \(B\) rồi từ \(B\) đến \(C\) với vận tốc \(50\,\,km/h\).
Hỏi đi cách nào thì An sẽ đến \(C\) sớm hơn?
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(ABC\), có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.{\rm{cos}}\widehat {ABC}\)
\( = {100^2} + {150^2} - 2.100.150.{\rm{cos110}}^\circ \)
\( \approx 42\,\,760,6\)
\( \Rightarrow AC \approx 206,8\,\,\left( {km} \right)\).
Thời gian đi tàu thủy từ \(A\) đến \(C\) là: \(206,8:30 \approx 7\left( h \right)\).
Tổng quãng đường đi theo cách 2 là: \(100 + 150 = 250\,\,\,\left( {km} \right)\).
Thời gian đi theo cách 2 là: \(250:50 = 5\left( h \right)\).
Vậy đi theo cách 2 thì An sẽ đến \(C\) sớm hơn.
