Bộ 24 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023 - 2024) có đáp án - Đề 7
38 câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABC\) và \(G,K\) lần lượt là trong tâm tam giác \(SAB,SBC\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(GK//SB\).
\(GK//AB\).
\(GK//AC\).
\(GK//BC\).
Chọn C
Gọi \(I\) là trung điểm \(SB\). Xét tam giác \(AIC\), vì \(\frac{{IG}}{{IA}} = \frac{{IK}}{{IC}} = \frac{1}{3}\) nên \(GK//AC\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\)biết \({u_n} = \frac{{2{n^2} - 1}}{{{n^2} + 3}}.\) Tìm số hạng \({u_5}.\)
\({u_5} = \frac{1}{4}.\)
\({u_5} = \frac{7}{4}.\)
\({u_5} = \frac{{17}}{{12}}.\)
\({u_5} = \frac{{71}}{{39}}.\)
Chọn B
Ta có \({u_5} = \frac{{{{2.5}^2} - 1}}{{{5^2} + 3}} = \frac{{49}}{{28}} = \frac{7}{4}\).
Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \,\, - 1} {\mkern 1mu} f(x) = 4\). Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \,\, - 1} {\mkern 1mu} \frac{{f(x)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}}\) bằng
\(4\).
\(0\).
\( - \infty \).
\( + \infty \).
Chọn D
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \,\, - 1} {\mkern 1mu} f(x) = 4 > 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to \,\, - 1} {\left( {x + 1} \right)^4} = 0\) và \({\left( {x + 1} \right)^4} > 0,\forall x \ne - 1\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \,\, - 1} {\mkern 1mu} \frac{{f(x)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}} = + \infty \).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau.
Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Chọn C
PHai đường thẳng không song song thì có thể cắt nhau.
PHai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì có thể trùng nhau.
P Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
PHai đường thẳng không có điểm chung thì có thể song song.
Tính \(\lim \frac{{{{3.2}^n} - {3^n}}}{{{2^{n + 1}} + {3^{n + 1}}}}\) được kết quả bằng
\(2\).
\( - \infty \).
\( - \frac{1}{3}\).
\(1\).
Chọn C
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) thỏa mãn \(\lim {u_n} = 7\) và \(\lim {v_n} = 4\). Giá trị của \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right)\) bằng
\(28\).
\(11\)
\(7\).
\( - 7\)
Chọn A
Ta có \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \lim {u_n}.\lim {v_n} = 7.4 = 28\).
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right),\,\left( Q \right)\) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng \(d\). Đường thẳng \(a\) song song với cả hai mặt phẳng \(\left( P \right),\,\left( Q \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(a\) song song \(d\).
\(a,d\) cắt nhau.
\(a,d\) chéo nhau.
\(a,d\) trùng nhau.
Chọn A
Nếu đường thẳng \(a\) song song với cả hai mặt phẳng \(\left( P \right),\,\left( Q \right)\) thì \(a\) song song với giao tuyến \(d\) của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).
Cho hình tứ diện\[ABCD\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
Tồn tại một mặt phẳng chứa\[AB\]và\(CD\).
\[AB\] và \(CD\) cắt nhau.
\[AB\]và\(CD\)song song.
\[AB\]và \(CD\)chéo nhau.
Chọn D
Vì \[AB\]và \(CD\) là hai cạnh đối diện của một tứ diện nên hai đường thẳng \[AB\]và \(CD\)chéo nhau.
Hàm số \[y = \frac{1}{{2x - 4}}\] gián đoạn tại điểm nào dưới đây?
\[x = 1\].
\[x = 0\].
\[x = - 1\].
\[x = 2\].
Chọn D
Hàm số \[y = \frac{1}{{2x - 4}}\] không xác định tại điểm \[x = 2\] nên gián đoạn tại điểm đó.
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) thì \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau.
Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước, ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước đó.
Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đều song song với mặt phẳng \(\left( \beta \right)\).
Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đều song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( \beta \right)\).
Chọn C
Mệnh đề đúng là “Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đều song song với mặt phẳng \(\left( \beta \right)\)”.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 5 - 2n\). Tìm công sai của cấp số cộng.
\(d = - 2\).
\(d = 2\).
\(d = 3\).
\(d = 1\).
Chọn A
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_2} = 1\end{array} \right.\) nên công sai của cấp số cộng là \(d = {u_2} - {u_1} = - 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^3} + {x^2} + 2021} \right)\) bằng
\(2\).
\( + \infty \).
\( - \infty \).
\(0\).
Chọn C
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^3} + {x^2} + 2021} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 1 + \frac{1}{x} + \frac{{2021}}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty \) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - 1 + \frac{1}{x} + \frac{{2021}}{{{x^3}}}} \right) = - 1 < 0\).
Nghiệm của phương trình \(\sin x = \sin \frac{\pi }{3}\) là
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn A
Ta có \(\sin x = \sin \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Cho dãy số \(({u_n})\)biết \({u_n} = \frac{1}{{3n + 2}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dãy số giảm.
Dãy số vừa tăng vừa giảm.
Dãy số không tăng, không giảm.
Dãy số tăng.
Chọn A
Vì \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{3\left( {n + 1} \right) + 2}} - \frac{1}{{3n + 2}} = \frac{{ - 3}}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}} < 0\) hay \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in \mathbb{N}*\) nên dãy số đã cho giảm.
Phát biểu nào sau đây là sai?
\(\lim \frac{1}{{{n^5}}} = 0\).
\(\lim c = c\) (c là hằng số ).
\(\lim {q^n} = 0\)\(\left( {\left| q \right| > 1} \right)\).
\(\lim \frac{1}{n} = 0\).
Chọn C
Khi \[\left\{ \begin{array}{l}\left| q \right| > 1\\q > 0\end{array} \right.\] thì \(\lim {q^n} = + \infty \).
Khi \[\left\{ \begin{array}{l}\left| q \right| > 1\\q < 0\end{array} \right.\] thì \(\lim {q^n}\) không tồn tại.
Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\], qua phép chiếu song song theo phương đường thẳng \[CC'\], mặt phẳng chiếu \[\left( {A'B'C'} \right)\] biến \[M\] thành \[M'\]. Trong đó \[M\] là trung điểm của \[BC\]. Chọn mệnh đề đúng?
\[M'\] là trung điểm của \[A'B'\].
\[M'\] là trung điểm của \[A'C'\].
\[M'\] là trung điểm của \[B'C'\].
Cả ba đáp án trên đều sai.
Chọn C
Vì \[M'\] là hình chiếu của điểm \[M\] trên mặt phẳng chiếu \[\left( {A'B'C'} \right)\] phương chiếu \[CC'\] nên \(MM\prime \parallel CC\prime \), mà \[M\] là trung điểm của \[BC\] nên \[M'\] là trung điểm của \[B'C'\].
Cho các giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\mkern 1mu} g\left( x \right) = 3\), hỏi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\mkern 1mu} \left[ {3f\left( x \right) - 4g\left( x \right)} \right]\) bằng
\(3\).
\(2\).
\( - 6\).
\(5\).
Chọn C
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\mkern 1mu} \left[ {3f\left( x \right) - 4g\left( x \right)} \right] = 3\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\mkern 1mu} f\left( x \right) - 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 3.2 - 4.3 = - 6\).
Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A\prime B\prime C\prime \). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\left( {A\prime BC} \right)\parallel \left( {AB\prime C\prime } \right)\).
\(\left( {BA\prime C\prime } \right)\parallel \left( {B\prime AC} \right)\).
\(\left( {ABC\prime } \right)\parallel \left( {A\prime B\prime C} \right)\).
\((ABC)\parallel \left( {A\prime B\prime C\prime } \right)\).
Chọn D
Mệnh đề \(\left( {A\prime BC} \right)\parallel \left( {AB\prime C\prime } \right)\) sai vì \(A\prime B\) cắt \(AB\prime \).
Mệnh đề \(\left( {BA\prime C\prime } \right)\parallel \left( {B\prime AC} \right)\) sai vì \(BA\prime \) cắt \(B\prime A\).
Mệnh đề \(\left( {ABC\prime } \right)\parallel \left( {A\prime B\prime C} \right)\) sai vì \(AC\prime \) cắt \[A\prime C\].
Mệnh đề \((ABC)\parallel \left( {A\prime B\prime C\prime } \right)\) đúng vì hai đáy của lăng trụ luôn song song với nhau.
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x + 1}}\) bằng
\[2\].
\[1\].
\[3\].
\[0\].
Chọn B
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x + 1}} = \frac{{1 - 2 + 3}}{{1 + 1}} = 1\).
Kiến thức Toán học nào sau đây có trong câu ca dao “Dù ai nói ngả nói nghiêng, lòng ta vẫn vững như kiềng ba chân”?
Ba điểm phân biệt nằm trên một đường thẳng.
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Có bốn điểm không nằm trên một mặt phẳng.
Chọn C
Kiến thức Toán học đã dùng là “Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng”.
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = - 2\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\mkern 1mu} \left[ {f\left( x \right) + 4x - 1} \right]\).
\(5\).
\(6\).
\(11\).
\(9\).
Chọn D
Ta có\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\mkern 1mu} \left[ {f\left( x \right) + 4x - 1} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\mkern 1mu} \left( {4x - 1} \right) = - 2 + 4.3 - 1 = 9\).
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
\[1\,;\, - 2\,;\,4\,;\, - 8\,;\,16\].
\[1\,;\, - 1\,;\,1\,;\, - 1\,;\,1\].
\[1\,;\, - 3\,;\,9\,;\, - 27\,;\,54\].
\[1\,;\,2\,;\,4\,;\,8\,;\,16\].
Chọn C
Dãy \[1\,;\, - 2\,;\,4\,;\, - 8\,;\,16\] là một cấp số nhân với công bội bằng \( - 2\).
Dãy \[1\,;\, - 1\,;\,1\,;\, - 1\,;\,1\] là một cấp số nhân với công bội bằng \( - 1\).
Dãy \[1\,;\, - 3\,;\,9\,;\, - 27\,;\,54\] không phải là một cấp số nhân vì \(\frac{{{u_4}}}{{{u_3}}} = - 3 \ne \frac{{{u_5}}}{{{u_4}}} = - 2\).
Dãy \[1\,;\, - 2\,;\,4\,;\, - 8\,;\,16\] là một cấp số nhân với công bội bằng \(2\).
Cho hàm số \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x^2} - 3x - 1\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x \ne 2}\\{m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x = 2}\end{array}} \right.\]. Giá trị của \(m\) để hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x = 2\) là
\(m = - 1\).
\(m = 3\).
\(m = 0\).
\(m = 1\).
Chọn D
Hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x = 2\) khi \(f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\) hay \(m = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {2{x^2} - 3x - 1} \right) = 1\).
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3\sin \,x - 1\) lần lượt là
\(4; - 2\).
\(1; - 1\).
\(2;\, - 4\).
\(3; - 3\).
Chọn C
Ta thấy \( - 1 \le \sin x \le 1 \Leftrightarrow - 3 \le 3\sin x \le 3\) hay \( - 4 \le y \le 2,\forall x \in \mathbb{R}\).
Do đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3\sin \,x - 1\) lần lượt là \(2;\, - 4\).
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{\sin x}}\) là
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {0;\pi } \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\;k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,\;k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Chọn B
Hàm số \(y = \frac{1}{{\sin x}}\) xác định khi \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \).
Vậy tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\;k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x}}{{{x^2} - 3x + 2}}\)liên tục trên khoảng nào dưới đây:
\(\left( { - 2;0} \right)\).
\(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
\(\left( {0;2} \right)\).
\(\left( {1;3} \right)\).
Chọn A
Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x}}{{{x^2} - 3x + 2}}\) xác định trên \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;2} \right\}\) nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right),\left( {1;2} \right),\left( {2; + \infty } \right)\). Vì \(\left( { - 2;0} \right) \subset D\) nên hàm số cũng liên tục trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\).
Một loại vi khuẩn, ban đầu có 3 con, biết sau mỗi phút số lượng tăng gấp đôi. Hỏi sau \(5\) phút có bao nhiêu con?
\(96\).
\(15\).
\(48\).
\(50\).
Chọn A
Số lượng vi khuẩn sau 5 phút là \({3.2^5} = 96\) (con).
Cho \[\tan \alpha = 2\]. Tính \[\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\].
\[1\].
\[\frac{1}{3}\].
\[ - \frac{1}{3}\].
\[\frac{2}{3}\].
Chọn B
Ta có\[\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan \alpha - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan \alpha .\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{2 - 1}}{{1 + 2.1}} = \frac{1}{3}\].
Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
\(1; - 3; - 6; - 9; - 12.\)
\(1; - 2; - 4; - 6; - 8\).
\(1; - 3; - 7; - 11; - 15.\)
\(1; - 3; - 5; - 7; - 9\).
Chọn C
Dãy số \(1; - 3; - 6; - 9; - 12\) không phải cấp số cộng vì \(\left( { - 3} \right) - 1 \ne \left( { - 6} \right) - \left( { - 3} \right)\).
Dãy số \(1; - 2; - 4; - 6; - 8\) không phải cấp số cộng vì \(\left( { - 2} \right) - 1 \ne \left( { - 4} \right) - \left( { - 2} \right)\).
Dãy số \(1; - 3; - 7; - 11; - 15\) là một cấp số cộng với công sai bằng \( - 4\).
Dãy số \(1; - 3; - 5; - 7; - 9\) không phải cấp số cộng vì \(\left( { - 3} \right) - 1 \ne \left( { - 5} \right) - \left( { - 3} \right)\).
Hình hộp có bao nhiêu mặt là hình bình hành?
\(8\).
\(6\).
\(4\).
\(3\).
Chọn B
Hình hộp có 6 là hình bình hành, bao gồm 4 mặt bên và 2 mặt đáy.
Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{ - 2x + 1}}{{x - 1}}\) bằng
\( - \infty .\)
\(\frac{2}{3}.\)
\(\frac{1}{3}.\)
\( + \infty .\)
Chọn A
Ta có\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{ - 2x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} \left( { - 2x + 1} \right) = - 1 < 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} \left( {x - 1} \right) = 0\) và \(x - 1 > 0,\forall x > 1\).
Tính \(\lim \frac{{2n + 3}}{{3 + n}}\) được kết quả là
\[\frac{1}{2}\].
\(2\).
\[0\].
\[1\].
Chọn B
Ta có \[\lim \frac{{2n + 3}}{{3 + n}} = \lim \frac{{2 + \frac{3}{n}}}{{\frac{3}{n} + 1}} = 2\].
Cho hình chóp \(S.ABC\). Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh\(SB,\,SC\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
\(MN\,{\rm{//}}\,(SAC)\).
\(MN\,{\rm{//}}\,(SBC)\).
\(MN\,{\rm{//}}\,(SAB)\).
\(MN\,{\rm{//}}(ABC)\).
Chọn D
Vì \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SBC\) nên \(MN\parallel BC\) mà \(BC \subset \left( {ABC} \right)\) và \(MN \not\subset \left( {ABC} \right)\) nên \(MN\parallel \left( {ABC} \right)\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \sqrt {5n + 2} \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dãy số không tăng, không giảm.
Dãy số vừa tăng vừa giảm.
Dãy số tăng.
Dãy số giảm.
Chọn C
Vì \({u_{n + 1}} - {u_n} = \sqrt {5\left( {n + 1} \right) + 2} - \sqrt {5n + 2} = \frac{5}{{\sqrt {5\left( {n + 1} \right) + 2} + \sqrt {5n + 2} }} > 0\) nên \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in \mathbb{N}*\).
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) tăng.
Cho \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Chọn mệnh đề đúng.
\(\tan \alpha > 0\).
\(\cos \alpha < 0\).
\(\sin \alpha < 0\).
\(\cot \alpha < 0\).
Chọn A
Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\sin \alpha > 0;\cos \alpha > 0;\tan \alpha > 0;\cot \alpha > 0\).
Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là \[80.000\] đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá của mỗi mét khoan tăng thêm \[5.000\] đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống \[50{\rm{m}}\] mới có nước. Hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó với độ sâu 50m?
Khi khoan đến mét thứ \[50\], số tiền phải trả là
\({S_{50}} = \frac{{50\left[ {2.80000 + \left( {50 - 1} \right).5000} \right]}}{2}\)\( = 10.125.000\) đồng
a. Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}}\).
b. Cho dãy số \(({u_n})\) biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 2\\{u_n} = 3{u_{n - 1}} - 1,\,\,\forall n \ge 2\end{array} \right.\). Tính \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{2^n} + {3^n}}}\).
a. Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x - 3}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x + 3} \right)\)\( = 6\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình thang có đáy lớn \(BC = 2a,AD = a,AB = b.\) Mặt bên \(SAD\) là tam giác đều. Gọi \[P,\,Q\] lần lượt là trung điểm các cạnh \(SB,SC\).
a. Chứng minh \(PQ//\left( {SAD} \right)\).
b.Gọi \(M\) thuộc cạnh \(AB\), đặt \(AM = x\,\left( {0 < x < b} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)đi qua \[M\], song song với \[SA\] và \(BC\), cắt hình chóp theo một thiết diện. Tìm \(x\) để diện tích thiết diện là lớn nhất.
a.
Ta có \[PQ\]là đường trung bình \(\Delta SBC\) suy ra \[PQ\parallel BC\]mà \[BC\parallel AD\] (tính chất hình thang)
nên \[PQ\parallel AD\]hay\[PQ\parallel \left( {SAD} \right)\].
b.
Dựng thiết diện:
Gọi \(N = \left( \alpha \right) \cap CD\) . Vì \(\left( \alpha \right)//BC\) nên \(MN//BC\).
Gọi \(E = \left( \alpha \right) \cap SB\). Vì \[\left( \alpha \right)//SA\] nên \(ME//SA\).
Gọi \(F = \left( \alpha \right) \cap SC\). Vì \(\left( \alpha \right)//BC\) nên \(FE//BC\).
Vậy thiết diện là hình thang \(MNFE\).
Lại có \(\frac{{CF}}{{CS}} = \frac{{BE}}{{BS}} = \frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{CN}}{{CD}} \Rightarrow FN//SD\)\( \Rightarrow \frac{{FN}}{{SD}} = \frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{ME}}{{SA}};\,SA = SD = a.\)
\( \Rightarrow FN = ME = \frac{{a\left( {b - x} \right)}}{b}\).
Vậy \(MNFE\) là hình thang cân.
Tính diện tích:
Vì \(MN = \frac{{a\left( {b + x} \right)}}{b}\); \(FE = \frac{{2ax}}{b}\) ;\(EM = \frac{{a\left( {b - x} \right)}}{b}\)nên \({S_{MNFE}} = \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{{4{b^2}}}\left( {b - x} \right)\left( {b + 3x} \right)\).
Ta có \(\left( {b - x} \right)\left( {b + 3x} \right) = \frac{1}{3}\left( {3b - 3x} \right)\left( {b + 3x} \right) \le \frac{{4{b^2}}}{3}\).
\(\max {S_{MNFE}} = \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{3} \Leftrightarrow x = \frac{b}{3}\).
