Bộ 24 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023 - 2024) có đáp án - Đề 5
25 câu hỏi
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - x + 7} \right).\)
5.
9.
0.
7.
Chọn B
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - x + 7} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) + 7 = 9\)
Giá trị của \(\lim \left( {\frac{2}{n}} \right)\) bằng:
1.
2.
0.
3.
Chọn C
Hàm số nào sau đây liên tục tại \(x = 2\)?
\(f(x) = \frac{{2{x^2} + 6x + 1}}{{x + 2}}\).
\(f(x) = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\).
\(f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 2}}\).
\(f(x) = \frac{{3{x^2} - x - 2}}{{{x^2} - 4}}\).
Chọn A
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} + 6x + 1}}{{x + 2}} = \frac{{21}}{4} = f(2)\]. Suy ra hàm số liên tục tại \(x = 2\).
Kết quả của giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 15}}{{x - 2}}\] là:
0.
1.
\( + \infty \).
\( - \infty \)
Chọn D
Khi \(x \to {2^ + }\), \[x - 2 \to {0^ + }\]và \[x - 15 \to - 13\]. Suy ra \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 15}}{{x - 2}} = - \infty \]
Hàm số \[y = f(x)\]có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?
\[y = 1.\]
\[x = 1.\]
\[x = 2.\]
\[y = 3.\]
Chọn B
Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}}\) bằng:
6.
\( - 6\).
\( - 3\).
3.
Chọn A
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x + 3} \right) = 6\)
Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?
Nếu hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng thì hai đường thẳng đó chéo nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau khi chúng không có điểm chung.
Hai đường thẳng song song khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng.
Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.
Chọn D
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\), gọi \(I\)và \(J\) lần lượt là trung điểm của \(BC\)và \(AD\). Khẳng định nào sau đây sai?
\[\left( {AIA'} \right)\parallel \left( {CJC'} \right)\].
\[AC\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\].
\[\left( {ACB'} \right)\parallel \left( {A'C'D} \right)\].
\[\left( {ACB'} \right)\parallel \left( {A'C'B} \right)\].
Chọn D
Đáp án A: \[\left\{ \begin{array}{l}CC'\parallel AA' \Rightarrow CC'\parallel \left( {AIA'} \right)\\JC\parallel AI \Rightarrow JC\parallel \left( {AIA'} \right)\\JC \cap CC' = C\end{array} \right. \Rightarrow \left( {CJC'} \right)\parallel \left( {AIA'} \right)\]
Đáp án B: \[AC\parallel A'C' \Rightarrow AC\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\]
Trên đường tròn lượng giác, cho góc lượng giác có số đo \[\frac{\pi }{2}\] thì mọi góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc lượng giác trên đều có số đo dạng:
\[\frac{\pi }{2}\].
\[\frac{\pi }{2} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\frac{\pi }{2} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\frac{\pi }{2} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Chọn C
Cho đường thẳng \(a\)song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Nếu \(\left( \beta \right)\)chứa\(a\)và cắt\(\left( \alpha \right)\) theo giao tuyến là\(b\)thì\(a\)và\(b\)là hai đường thẳng:
Cắt nhau.
Trùng nhau.
Chéo nhau.
Song song với nhau.
Chọn D
Phép chiếu song song biến \(\Delta ABC\) thành \(\Delta A'B'C'\) theo thứ tự đó. Vậy phép chiếu song song nói trên, sẽ biến trung điểm \(M\) của cạnh \(AC\) thành:
trung điểm \(M'\) của cạnh \(B'C'\).
trung điểm \(M'\) của cạnh \(A'C'\).
trung điểm \(M'\) của cạnh \(A'B'\).
trung điểm \(M'\) của cạnh \(BC\).
Chọn B
Phép chiếu song song bảo toàn thứ tự của các điểm. Mà \[A,M,C\] thứ tự thẳng hàng, nên phép chiếu song song sẽ biến \[A,M,C\] thành \[A',M',C'\]
Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
\[f\left( x \right) = 1 - \cos {\rm{ }}x\].
\[f\left( x \right) = {\sin ^2}x\].
\[f\left( x \right) = \cos 2x\].
\[f\left( x \right) = x + \tan x\]
Chọn D
Xét hàm số \[f\left( x \right) = x + \tan x\]
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\). Khi đó, \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\).
\(f\left( { - x} \right) = - x + \tan \left( { - x} \right) = - x - \tan x = - f\left( x \right)\).
Vậy \[f\left( x \right) = x + \tan x\] là hàm số lẻ.
Phương trình \(\cos x = \cos \frac{\pi }{3}\) có nghiệm là:
\(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Chọn C
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 7\) và \({u_2} = 4\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng:
\( - 3\).
\(\frac{5}{2}\).
\(\frac{2}{5}\).
3.
Chọn A
Ta có: \(d = {u_2} - {u_1} = 4 - 7 = - 3\)
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = - 3\) và công bội \(q = \frac{2}{3}\). Số hạng thứ năm của \(\left( {{u_n}} \right)\) là:
\(\frac{{27}}{{16}}\).
\(\frac{{16}}{{27}}\).
\( - \frac{{27}}{{16}}\).
\( - \frac{{16}}{{27}}\).
Chọn D
Ta có: \({u_5} = {u_1}.{q^4} = \left( { - 3} \right).{\left( {\frac{2}{3}} \right)^4} = - \frac{{16}}{{27}}\)
Tập xác định của hàm số \[y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\] là:
\[{\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
\[{\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
\[{\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
\[{\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
Chọn A
Tập xác định \[x + \frac{\pi }{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\pi \]. Suy ra \[{\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\]
Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
\(1; - 3; - 7; - 11; - 15;...\).
\(1; - 3; - 6; - 9; - 12;...\).
\(1; - 2; - 4; - 6; - 8;...\).
\(1; - 3; - 5; - 7; - 9;...\).
Chọn A
Xét dãy số \(1; - 3; - 7; - 11; - 15;...\) có \( - 3 - 1 = - 4; - 7 - \left( { - 3} \right) = - 4;...\). Suy ra, đây có một cấp số cộng có số hạng đầu là 1, công sai là \( - 4\)
Số \(345\) là tổng của bao nhiêu số hạng đầu trong cấp số cộng \(2;5;8;11...\)?
15.
8.
6.
5.
Chọn C
Dãy số \(2;5;8;11...\) có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d = 3\end{array} \right.\)
Khi đó, \({u_n} = {u_1} + \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}d \Leftrightarrow 345 = n.2 + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}3 \Rightarrow n = 15\)
Số mặt của hình lăng trụ tam giác là:
3.
5.
2.
4.
Chọn B
Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \[{u_1} = 1\]và công sai \(q = - \frac{1}{5}\).
\[\frac{6}{5}\].
\[\frac{4}{5}\].
\[\frac{5}{6}\].
\[\frac{5}{4}\].
Chọn C
\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{1 - \left( { - \frac{1}{5}} \right)}} = \frac{5}{6}\)
Cho cấp số cộng un có u1 = -5 và d = 3. Tìm số hạng thứ 26 của cấp số cộng.
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{u_n} = {u_1} + (n - 1)d\\{u_{26}} = {u_1} + 25d = - 5 + 25.3 = 70\end{array} \right.\].
Tính các giới hạn
a) \(\lim \frac{{{n^2} - 3n + 5}}{{3{n^2} - 1}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {9{x^2} + x} + 3x} \right)\)
a) \(\lim \frac{{{n^2} - 3n + 5}}{{3{n^2} - 1}} = \lim \frac{{1 - \frac{3}{n} + \frac{5}{{{n^2}}}}}{{3 - \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{1}{3}\)
b)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {9{x^2} + x} + 3x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{\sqrt {9{x^2} + x} - 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{ - \sqrt {9 + \frac{1}{x}} - 3}} = \frac{{ - 1}}{6}\)
Cho hàm số
. Tìm \(m\) để hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\).
Hàm số xác định tại \({x_0} = 1\), \(f\left( 1 \right) = - m + 3\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 3} + 2}} = \frac{1}{2}\).
Hàm số đã cho liên tục tại \({x_0} = 1\)\( \Leftrightarrow \)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow \)\( - m + 3 = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}\).
Vậy \(m = \frac{5}{2}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang, đáy lớn \(AD\) gấp đôi đáy bé \(BC\). Gọi \(O = AC \cap BD,M\) thuộc cạnh \(SA\) sao cho \(AM = 2MS\) và \(N\) thuộc cạnh \(SB\) sao cho \(2BN = NS\).
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
b) Chứng minh rằng \(\left( {OMN} \right){\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).
a) Xét \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\)có:
+ \(S\)là điểm chung thứ nhất
+ Trong \(\left( {ABCD} \right)\), \[AB \cap CD = I \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in (SAB)\\I \in (SCD)\end{array} \right.\]. Suy ra \(I\) là điểm chung thứ 2
Vậy\[(SAB) \cap (SC{\rm{D}}) = SI\]
b) Ta có \(AM = 2MS \Rightarrow \frac{{AM}}{{AS}} = \frac{2}{3}.\)
\(2BN = NS \Rightarrow \frac{{BN}}{{BS}} = \frac{1}{3}.\)
Xét \(\Delta OAB\) và \(\Delta OBC\) có
\(\left\{ \begin{array}{l}AD//BC\\AD = 2BC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA = 2OC\\OD = 2OB\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{AO}}{{AC}} = \frac{2}{3}\\\frac{{BO}}{{BD}} = \frac{1}{3}\end{array} \right.\)
Trong tam giác\(SAC\) có \(\frac{{AM}}{{AS}} = \frac{{AO}}{{AC}} = \frac{2}{3}\) nên \(OM{\rm{//}}SC\)
\[\left\{ \begin{array}{l}OM//SC\\OM \not\subset (SCD)\\CD \subset (SCD)\end{array} \right. \Rightarrow OM//(SCD)\]
Trong tam giác\(SBD\) có \(\frac{{BN}}{{BS}} = \frac{{BO}}{{BD}} = \frac{1}{3}\) nên \(ON{\rm{//}}SD\)
\[\left\{ \begin{array}{l}ON//SD\\ON \not\subset (SCD)\\SD \subset (SCD)\end{array} \right. \Rightarrow ON//(SCD)\]
Như vậy,
\(\left\{ \begin{array}{l}OM{\rm{//(}}SCD)\\ON{\rm{//(}}SCD)\\OM,\,ON \subset (OMN)\\OM \cap ON = O\end{array} \right. \Rightarrow (OMN){\rm{//}}(SCD)\)
Có hai cơ sở khoan giếng A và B. Cơ sở A giá mét khoan đầu tiên là \(80000\) (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm \(5000\) (đồng) so với giá của mét khoan ngay trước đó. Cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là \(60000\) (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm \(7\% \) giá của mét khoan ngay trước đó. Một công ty giống cây trồng muốn thuê khoan hai giếng với độ sâu lần lượt là \(20\)\[\left( {\rm{m}} \right)\] và \(25\)\[\left( {\rm{m}} \right)\] để phục vụ sản xuất. Giả thiết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau. Công ty ấy nên đưa ra phương án như thế nào để tiết kiệm chi phí nhất?
Cơ sở \(A\)giá mét khoan đầu tiên là \(8000\) (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm \(500\) (đồng) so với giá của mét khoan ngay trước đó. Do đó theo tổng của một cấp số cộng ta có:
+ Nếu đào giếng \(20\)\[\left( {\rm{m}} \right)\] hết số tiền là: \({S_{20}} = \frac{{20}}{2}\left[ {2.8000 + \left( {20 - 1} \right)500} \right] = 255000\) (đồng).
+ Nếu đào giếng \(25\)\[\left( {\rm{m}} \right)\] hết số tiền là: \({S_{25}} = \frac{{25}}{2}\left[ {2.8000 + \left( {25 - 1} \right)500} \right] = 350000\) (đồng).
Cơ sở \(B\) giá của mét khoan đầu tiên là \(6000\) (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm \(7\% \) giá của mét khoan ngay trước đó. Do đó theo tổng của một cấp số nhân ta có:
+ Nếu đào giếng \(20\)\[\left( {\rm{m}} \right)\] hết số tiền là:
+ Nếu đào giếng \(25\)\[\left( {\rm{m}} \right)\] hết số tiền là:
Ta thấy 
nên giếng \(20\)\[\left( {\rm{m}} \right)\] chọn B còn giếng \(25\)\[\left( {\rm{m}} \right)\]chọn cơ sở A.
