Bộ 24 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023 - 2024) có đáp án - Đề 3
38 câu hỏi
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào có giới hạn bằng 0?
\[{u_n} = {\left( { - \frac{7}{4}} \right)^n}\].
\[{u_n} = {\left( {\frac{4}{\pi }} \right)^n}\].
\[{u_n} = {\left( {\frac{5}{3}} \right)^n}\].
\[{u_n} = {\left( {\frac{3}{7}} \right)^n}\].
Chọn D
Giới hạn \[\lim {q^n} = 0 \Leftrightarrow \left| q \right| < 1\]. Khi đó \[\lim {\left( {\frac{3}{7}} \right)^n} = 0\]
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M,\,N,\,P\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh\[AA',\,BB',\,CC'\]. Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {BCA'} \right)\).
\(\left( {ABC} \right)\).
\(\left( {A'C'C} \right)\).
\(\left( {BMN} \right)\).
Chọn A
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MN//AB\\NP//AC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {MNP} \right)//\left( {ABC} \right)\)
Cho dãy số có các số hạng đầu là \( - 2;0;2;4;6;...\) Số hạng tổng quát của dãy số trên là
\({u_n} = 2n - 4\).
\({u_n} = - 2\left( {n + 1} \right)\).
\({u_n} = - 2n\).
\({u_n} = n - 2\).
Chọn A
\( - 2;0;2;4;6;... \Rightarrow CSC\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 2\\d = 2\end{array} \right. \Rightarrow {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 2 + \left( {n - 1} \right).2 = 2n - 4\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Trong các cặp đường thẳng sau, cặp đường thẳng nào chéo nhau?
\(SB\) và \(CD\).
\(AB\) và \(CD\).
\(SD\) và \(BD\).
\(AC\) và \[BD\].
Chọn A
Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{{x^k}}}\) (với k nguyên dương) là
\( + \infty \).
\( - \infty \).
1.
0.
Chọn D
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{{x^k}}} = 0\)
Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
\(1; - 3; - 6; - 9; - 12\).
\(1; - 3; - 7; - 11; - 15\).
\(1; - 3; - 5; - 7; - 9\).
\(1; - 2; - 4; - 6; - 8\).
Chọn B
Biết giới hạn\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{10{x^2} - 4x + 5}}{{8{x^2} + 2}} = \frac{a}{b}\] với \[a,\,b \in \mathbb{Z},\,\,\frac{a}{b}\] là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức \[T = 2023a - 2024b.\]
\[T = 2025.\]
\[T = 2021.\]
\(T = 1920\).
\[T = 2019.\]
Chọn D
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{10{x^2} - 4x + 5}}{{8{x^2} + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{10 - \frac{4}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}}}{{8 + \frac{2}{x}}} = \frac{{10}}{8} = \frac{5}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 4\end{array} \right.\\ \Rightarrow T = 2023.5 - 2024.4 = 2019\end{array}\]
Cho ba mặt phẳng \[(\alpha ),\,\,(\beta ),\,\,(\gamma )\]song song với nhau. Hai đường thẳng \(a\) và \(b\)cắt ba mặt phẳng \[(\alpha ),\,\,(\beta ),\,\,(\gamma )\] theo thứ thự tại \(A,\,B,C\)và \(A',B',C'\), sao cho điểm B nằm giữa điểm A và điểm C. Biết rằng \(BC = 4,\)\(AB = 5,\,\,A'C' = 18.\) Tính độ dài \(A'B'.\)
\[A'B' = 6.\]
\[A'B' = 8.\]
\[A'B' = 10.\]
\[A'B' = 9.\]
Chọn C
Có \(AC = AB + BC = 4 + 5 = 9\). Theo định lý Talet có \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{A'B'}}{{A'C'}} \Leftrightarrow \frac{5}{9} = \frac{{A'B'}}{{18}} \Rightarrow A'B' = 10\)
Tính giới hạn \[\lim \frac{{\sqrt {9{n^2} + n + 4} }}{{5n - 7}}.\]
\[0.\]
\( - \frac{3}{5}.\)
\[\frac{3}{5}.\]
\( + \infty .\)
Chọn C
Chia cả tử và mẫu cho n\[\lim \frac{{\sqrt {9{n^2} + n + 4} }}{{5n - 7}} = \lim \frac{{\sqrt {9 + \frac{1}{n} + \frac{4}{{{n^2}}}} }}{{5 - \frac{7}{n}}} = \frac{3}{5}\]
Cho hình chóp \(S.ABCD\) với \(ABCD\) là hình bình hành. Khi đó, điểm S và A cùng thuộc hai mặt phẳng là
\(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
\(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\)
\(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\).
\(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
Chọn B
\(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\)
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 5\) và công bội \(q = - 2\). Số hạng thứ sáu của cấp số nhân là
\({u_6} = 160\).
\({u_6} = - 320\).
\({u_6} = - 160\).
\({u_6} = 320\).
Chọn C
\({u_6} = {u_1}.{q^5} = 5.{\left( { - 2} \right)^5} = - 160\)
Cho \[\frac{{3\pi }}{2} < a < 2\pi \]. Khẳng định nào sau đây đúng?
\({\rm{sin}}a > 0,{\rm{cos}}a > 0\).
\({\rm{sin}}a > 0,{\rm{cos}}a < 0\).
\({\rm{sin}}a < 0,{\rm{cos}}a < 0\).
\({\rm{sin}}a < 0,{\rm{cos}}a > 0\).
Chọn D
\[\frac{{3\pi }}{2} < a < 2\pi \Rightarrow \alpha \] thuộc góc phần tư thứ IV nên \({\rm{sin}}a < 0,{\rm{cos}}a > 0\)
Giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 3}}{{ - {x^3} + 2}}\]bằng
\(0.\)
\[4\]
\( - 3.\)
\[ - 4.\]
Chọn B
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 3}}{{ - {x^3} + 2}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2} + 3}}{{ - {{\left( 1 \right)}^3} + 2}} = \frac{4}{1} = 4\]
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
\({\rm{cos }}x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})\).
\({\rm{cos }}x = {\rm{cos }}\alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})\).
\(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = \pi - \alpha + k\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})\).
\(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = - \alpha + k\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})\).
Chọn A
\({\rm{cos }}x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})\)
Cho hình lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(A'B'\). Đường thẳng \(B'C\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {HAB} \right)\)
(HA'C')
(AHC')
(AA'H)
Chọn C
Gọi K là giao điểm của B’C và BC’, I là trung điểm của AB.
Do HB’= AI và HB’ //AI nên AHB’I là hình bình hành => AH// B’I. (1)
* Trong tam giác ABC' có I và K lần lượt là trung điểm của AB; BC' nên IK là đường trung bình của tam giác. Suy ra: KI// AC’ (2)
Từ (1) và (2) suy ra:(AHC’) // (B’CI). Do đó: B’C //(AHC’).
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số tuần hoàn chu kỳ \[\pi \]?
\[y = {\rm{cot 2}}x\].
\[y = \sin x\].
\[y = \tan x\].
\[y = {\rm{cos }}x\]
Chọn C
Ta có các hàm số \[y = \sin x\], \[y = {\rm{cos }}x\] tuần hoàn với chu kỳ \[T = 2\pi \]
Hàm số \[y = \tan x\], \[y = \cot x\] tuần hoàn với chu kỳ \[T = \pi \]. Vậy C đúng
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(I,\,\,J\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SC\). Đường thẳng \(IJ\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {ABCD} \right)\).
\(\left( {SBD} \right)\)
\(\left( {SAC} \right)\).
\(\left( {SBC} \right)\).
Chọn A
\(IJ\) là đường trung bình của tam giác SAC nên \(IJ//AC\) mà \(AC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow IJ//\left( {ABCD} \right)\)
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(CD\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MBD} \right)\) và \(\left( {ABN} \right)\) là
Đường thẳng AC.
Đường thẳng \(BG\) (\(G\)là trọng tâm tam giác \(ACD\)).
Đường thẳng \(AH\)(\(H\)là trực tâm tam giác \(ACD\)).
Đường thẳng MN
Chọn A
Trong tam giác ACD, gọi \(G = AN \cap DM \Rightarrow \)G là trọng tâm tam giác ACD
Ta có: \(B \in \left( {MBD} \right) \cap \left( {ABN} \right)\)
\[G = AN \cap DM \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}G \in AN \subset \left( {ABN} \right)\\G \in DM \subset \left( {MBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow G \in \left( {MBD} \right) \cap \left( {ABN} \right)\]
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MBD} \right)\) và \(\left( {ABN} \right)\) là đường thẳng \(BG\) (\(G\)là trọng tâm tam giác \(ACD\)).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 5\) và \(d = 3\). Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
\[{S_{10}} = 130.\]
\[{S_{10}} = 95.\]
\[{S_{10}} = 105.\]
\[{S_{10}} = 85.\]
Chọn D
\[{S_{10}} = 10{u_1} + \frac{{10.\left( {10 - 1} \right).d}}{2} = 10.\left( { - 5} \right) + \frac{{10.\left( {10 - 1} \right).3}}{2} = 85\]
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 3,\,\,{u_2} = - 2\). Tìm công sai của cấp số cộng đó.
\(d = 5\).
\(d = - 1.\)
\(d = - 5\).
\(d = 1\).
Chọn C
\(\,{u_2} = {u_1} + d \Rightarrow d = {u_2} - {u_1} = - 2 - 3 = - 5\)
Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\]. Gọi \[M,N\] lần lượt là trung điểm của \[BB'\] và \[CC'\],\[\Delta = \left( {AMN} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right)\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
\[\Delta {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{// }}BC\].
\[\Delta {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{// }}AB\].
\[\Delta {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{//}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} AA'\].
\[\Delta {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{// }}AC\]
Chọn A
Công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q \ne 1\)là
\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 + {q^n}} \right)}}{{1 - q}}.\)
\({S_n} = \frac{{{u_n}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}.\)
\({S_n} = \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}.\)
\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}.\)
Chọn B
Tổng \(n\) số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q \ne 1\)là
\({S_n} = \frac{{{u_n}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC).\) Đường thẳng \(\Delta \) song song với đường thẳng nào dưới đây?
Đường thẳng \(AC.\)
Đường thẳng \(AB.\)
Đường thẳng \(AD.\)
Đường thẳng \(SA.\)
Chọn C
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_1} = - \frac{1}{2};{\rm{ }}{u_7} = - 32\]. Tìm công bội \[q\].
\(q = \pm \frac{1}{2}\).
\(q = \pm 2\).
\(q = \pm 4\).
\(q = \pm 1\).
Chọn B
\[{u_7} = {u_1}.{q^6} \Leftrightarrow - 32 = - \frac{1}{2}{q^6} \Leftrightarrow {q^6} = 64 \Leftrightarrow q = \pm 2\]
Tập nghiệm của phương trình \({\rm{tan}}x = - 1\) là
\(S = \left\{ {\frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(S = \left\{ { \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(S = \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn B
\({\rm{tan}}x = - 1 \Leftrightarrow {\rm{tan}}x = {\rm{tan}}\left( { - \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\)
Cho hai hình bình hành \[ABCD\]và \[ABEF\] không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi \[O\]và \[{O_1}\]lần lượt là tâm của các hình bình hành \[ABCD\]và \[ABEF\], M là trung điểm của cạnh CD. Khẳng định nào sau đây sai?
\[O{O_1}{\rm{//}}\left( {BEC} \right)\].
\[O{O_1}{\rm{//}}\left( {AFD} \right)\].
\[M{O_1}\]cắt \[\left( {BEC} \right)\].
\[O{O_1}{\rm{//}}\left( {EFM} \right)\].
Chọn C
\[O{O_1}\] là đường trung bình của tam giác BDF nên \[O{O_1}{\rm{//DF//EC}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O{O_1}{\rm{//}}\left( {BEC} \right)\\O{O_1}{\rm{//}}\left( {ADF} \right)\end{array} \right.\]. Vậy A, B đúng
Chú ý rằng \[\left( {EFM} \right) \equiv \left( {DEF} \right)\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}O{O_1}{\rm{//DF}}\\{\rm{DF}} \subset \left( {EFM} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O{O_1}//\left( {EFM} \right)\]. Vậy D đúng
Ngoài ra C sai vì \(M{O_1}//\left( {BEC} \right)\), thật vậy \(O{O_1}//CE,OM//BC\)nên \(\left( {O{O_1}M} \right)//\left( {BCE} \right) \Rightarrow M{O_1}//\left( {BCE} \right)\)
Tìm \(\lim \frac{{{3^n} + {5^n}}}{{{4^n} + {{3.5}^n}}}\) ta được
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{1}{4}\).
\(\frac{3}{4}\).
\( + \infty \).
Chọn A
\(\lim \frac{{{3^n} + {5^n}}}{{{4^n} + {{3.5}^n}}} = \lim \frac{{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} + 1}}{{{{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} + 3}} = \frac{1}{3}\)
Hình hộp có bao nhiêu đường chéo?
2.
3.
5.
4.
Chọn A
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành, \[M\] và \[N\] là hai điểm trên \[SA,\,\,SB\] sao cho \[\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{3}.\] Khẳng định nào sau đây đúng?
\[MN\]cắt \[(ABCD)\].
\[MN\]song song \[(ABCD)\].
\[MN\]song song với \[(SAD)\].
\[MN\] nằm trên \[(ABCD)\].
Chọn B
\[\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN//AB\\AB \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MN//\left( {ABCD} \right)\]
Với \[n \in {\mathbb{N}^*}\], trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, dãy số nào là dãy số tăng?
\[{u_n} = \frac{3}{{n + 2}}\].
\[{u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}\].
\[{u_n} = {4^n}\].
\[{u_n} = 1 - {n^2}\].
Chọn C
Dãy \[{u_n} = {4^n}\] là dãy số tang vì \[\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{4^{n + 1}}}}{{{4^n}}} = 4 > 1 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\]
Tập xác định của hàm số: \(y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\) là
\[\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2},\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{ - \pi }}{8} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2},\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Chọn C
ĐKXĐ \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow 2x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2},\,k \in \mathbb{Z}\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)biết \[{u_n} = \frac{{n - 1}}{{{n^2} + 1}}\]. Số \[\frac{2}{{13}}\]là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số?
5.
4.
3.
6.
Chọn A
Có \[{u_n} = \frac{{n - 1}}{{{n^2} + 1}} = \frac{2}{{13}} \Leftrightarrow 2{n^2} + 2 = 13n - 13 \Leftrightarrow 2{n^2} - 13n + 15 = 0 \Leftrightarrow n = 5\]
Vậy số \[\frac{2}{{13}}\]là số hạng thứ 5 của dãy số
Tìm giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{3 - \sqrt {3 - 2x} }}{{{x^2} + 4x + 3}}\].
\[ - \frac{1}{{12}}\].
\[ - \frac{1}{3}\].
\[ - \frac{1}{6}\].
\[\frac{1}{6}\].
Chọn C
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{3 - \sqrt {3 - 2x} }}{{{x^2} + 4x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{\left( {3 - \sqrt {3 - 2x} } \right)\left( {3 + \sqrt {3 - 2x} } \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {3 + \sqrt {3 - 2x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{6 + 2x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {3 + \sqrt {3 - 2x} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{2}{{\left( {x + 1} \right)\left( {3 + \sqrt {3 - 2x} } \right)}} = \frac{2}{{\left( { - 3 + 1} \right)\left( {3 + \sqrt {3 - 2.( - 3)} } \right)}} = - \frac{1}{6}\end{array}\]
Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau?
Hình thoi.
Hình bình hành.
Hình thang.
Hình chữ nhật.
Chọn C
Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình thang vì phép chiếu song song biến hai đường song song thành hai đường song song hoặc trùng nhau (hình thang có cạnh bên không song song với nhau)
Tính giới hạn \[L = \lim \frac{{4{n^2} - 3{n^3}}}{{2{n^3} + 5n - 2}}.\]\[\]
\(L = \frac{1}{2}.\)
\(L = 0.\)
\[L = 2.\]
\[L = - \frac{3}{2}.\]
Chọn D
\[L = \lim \frac{{4{n^2} - 3{n^3}}}{{2{n^3} + 5n - 2}} = \lim \frac{{4\frac{1}{n} - 3}}{{2 + \frac{5}{{{n^2}}} - \frac{2}{{{n^3}}}}} = - \frac{3}{2}\]
a) Tìm số hạng đầu \[{u_1}\]và công bội q của cấp số nhân (un) biết \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 13\\{u_4} - {u_1} = 26\end{array} \right.\]
b) Tính giới hạn: \[\lim \frac{{7{n^2} + 5n - 2}}{{4 - 3{n^2}}}\].
c) Tính giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{\sqrt {x + 4} - 3}}{{x - 5}}\].
a)
b)
c) 
Cho hình lăng trụ tam giác \[ABC.A'B'C'\]. Gọi \[H\] là trung điểm của \[A'B'\]. Chứng minh đường thẳng \[B'C\] song song với mặt phẳng\[\left( {AHC'} \right)\].
Gọi \(K\) là giao điểm của \(B'C\) và \(BC'\), \(I\) là trung điểm của \(AB\).
Do \(HB' = AI;HB'{\rm{//}}AI\) nên tứ giác\(AHB'I\) là hình bình hành hay\(AH{\rm{//}}B'I\)(1).
Mặt khác KI là đường trung bình trong tam giác ABC’ nên \(KI{\rm{//}}AC'\)(2)
Ta có AH và AC’ cắt nhau trong (AHC’); B’I và KI cắt nhau trong (B’CI) (3). Từ (1), (2), (3)\( \Rightarrow \left( {AHC'} \right){\rm{//}}\left( {B'CI} \right)\)
Mà\(B'C \subset \left( {B'CI} \right)\) nên\(B'C{\rm{//}}\left( {AHC'} \right)\).
Cách 2:
Trong mặt phẳng (ACC’A’), gọi O là giao điểm của AC’ và A’C. Vì tứ giác ACC’A’ là hình bình hành nên O là trung điểm của CA’.
Trong tam giác A’B’C ta có HO là đường trung bình nên HO // B’C
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}B'C//HO\\HO \subset (AHC')\\B'C \not\subset (AHC')\end{array} \right. \Rightarrow B'C//(AHC')\).
Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc 150mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 6%.
a)Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5 (làm tròn ở hàng phần nghìn) .
b) Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài(làm tròn ở hàng phần mười).
a)Gọi un là lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống ở ngày thứ n
Ta có:
Lượng thuốc sau khi uống ở ngày thứ 1 là: u1 = 150 mg
Lượng thuốc sau khi uống ở ngày thứ 2 là: u2 = 6%.u1 + 150 = 6%.150 + 150 = 150(1+0,06)
Lượng thuốc sau khi uống ở ngày thứ 3 là:
u3 = 6%.u2 + 150 = 0,06.150.(1+0,06) + 150 = 150(1+0,06 + 0,062)
Lượng thuốc sau khi uống ở ngày thứ 4 là: u4 = 6%.u3 + 150 = 150(1+0,06 + 0,062 + 0,063)
Lượng thuốc sau khi uống ở ngày thứ 5 là:
u5 = 6%.u4 + 150 = 150(1+0,06 + 0,062 + 0,063+ 0,064) \( \approx \)159,574(mg).
b) Nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong thời gian dài, lượng thuốc trong cơ thể được ước lượng bởi \[S = 150(1 + 0,06 + 0,{06^2} + ... + 0,{06^n} + ...)\].
Ta có \[1 + 0,06 + 0,{06^2} + ... + 0,{06^n} + ...\]là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn
với công bội q = 0,06 và số hạng đầu u1 = 1.
Do đó \[S = 150(1 + 0,06 + 0,{06^2} + ... + 0,{06^n} + ...) = 150.\frac{1}{{1 - 0,06}} = 150.\frac{{50}}{{47}} \approx 159,6(mg).\]
Vậy lượng thuốc trong cơ thể được ước lượng là 159,6 (mg) nếu dùng lâu dài.
