Bộ 24 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023 - 2024) có đáp án - Đề 2

Chọn B

Ta có dãy số \(1;{\rm{ }} - \frac{1}{2};{\rm{ }}\frac{1}{4};{\rm{ }} - \frac{1}{8};{\rm{ }}\frac{1}{{16}};\,\, \ldots \) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = - \frac{1}{2}\).

Chọn A

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {3{x^2} + 5x - 11} \right) = {3.2^2} + 5.2 - 11 = 11\].

Chọn A

Ta có đồ thị hàm số hàm số \[y = f(x)\] bị đứt đoạn tại điểm có hoành độ \(x = 1\)nên hàm số \[y = f(x)\]gián đoạn tại điểm có hoành độ \(x = 1\).

Chọn D

Dãy số \({u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\) bị chặn vì \(0 < \frac{n}{{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}} < 1\).

Lại có:

\[ + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{n^2} + 1} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {n \cdot \sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} } \right) = + \infty \];

\[ + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{2^n} + 1} \right) = + \infty \];

\[ + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {n + \frac{1}{n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {n\left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right] = + \infty \].

Nên các dãy số \({u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} ,{u_n} = {2^n} + 1,{u_n} = n + \frac{1}{n}\) không bị chặn trên, suy ra các dãy số này không bị chặn.

Chọn A

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + 1} \right) = 3\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0\). Vì \(x \to {1^ + }\) nên \(x > 1 \Rightarrow x - 1 > 0\).

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \).

Chọn A

Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Leftrightarrow 100 = - 5 + \left( {n - 1} \right).3 \Leftrightarrow n = 36\),

Vậy Số 100 là số hạng thứ \(36\) của cấp số cộng đã cho.

Chọn A

Ta có: \(\lim {u_n} = \lim \frac{{a{n^3} - 5{n^2} + 4}}{{5{n^3} - 2{n^2} + 3n - 1}} = \lim \frac{{{n^3}\left( {a - \frac{5}{n} + \frac{4}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left( {5 - \frac{2}{n} + \frac{3}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}} = = \lim \frac{{\left( {a - \frac{5}{n} + \frac{4}{{{n^3}}}} \right)}}{{\left( {5 - \frac{2}{n} + \frac{3}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}} = \frac{a}{5}\).

\(\lim {u_n} = 2 \Rightarrow \frac{a}{5} = 2 \Rightarrow a = 10.\)

Chọn B

Ta có: \(f\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\sqrt {x - 2} + 3} \right) = \sqrt {2 - 2} + 3 = 3\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {ax - 1} \right) = 2{\rm{a}} - 1\).

Hàm số \(f\left( x \right)\) có giới hạn tại \({x_0} = 2 \Leftrightarrow f\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) \Rightarrow 2{\rm{a}} - 1 = 3 \Rightarrow a = 2\).

Chọn A

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SBC} \right)\\AD{\rm{//}}BC\\A{\rm{D}} \subset \left( {SA{\rm{D}}} \right),BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SBC} \right) = d\) với \(\left\{ \begin{array}{l}d{\rm{ qua }}S\\d{\rm{//}}A{\rm{D//}}BC\end{array} \right.\).

Chọn C

Chọn B

Vì \[AB'{\rm{//}}DC' \Rightarrow AB'{\rm{//}}\left( {BDC'} \right)\]; \[AD'{\rm{//}}BC' \Rightarrow AB'{\rm{//}}\left( {BDC'} \right)\]. Suy ra \[\left( {AB'D'} \right){\rm{//}}\left( {BDC'} \right)\].

Chọn B

a) \(\lim {\mkern 1mu} \left( {\sqrt {4{n^2} + 1} - 3n} \right) = \lim \,\,n\left( {\sqrt {4 + \frac{1}{{{n^2}}}} - 3} \right)\).

Vì \[\lim \,\,n = + \infty \] và \[\lim \left( {\sqrt {4 + \frac{1}{{{n^2}}}} - 3} \right) = 2 - 3 = - 1 < 0\].

Từ đó ta có \[\lim \,\left( {\sqrt {4{n^2} + 1} - 3n} \right) = - \infty \].

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\mkern 1mu} \frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{9 - {x^2}}} = \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\mkern 1mu} \frac{{(\sqrt {x + 1} - 2)(\sqrt {x + 1} + 2)}}{{(9 - {x^2})(\sqrt {x + 1} + 2)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\mkern 1mu} \frac{{x - 3}}{{(9 - {x^2})(\sqrt {x + 1} + 2)}}\)

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{(3 - x)(3 + x)(\sqrt {x + 1} + 2)}}\] \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - 1}}{{(3 + x)(\sqrt {x + 1} + 2)}}\] \[ = \frac{{ - 1}}{{(3 + 3)(\sqrt {3 + 1} + 2)}} = - \frac{1}{{24}}\].

c) Hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {0;6} \right] \Leftrightarrow \)hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {0;6} \right)\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} = f\left( 0 \right)\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} = f\left( 6 \right)\).

Ta cóvà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} \left( {1 + m} \right) = 1 + m = f\left( 6 \right)\).

Khi \[x \in \left[ {0;4} \right]\] thì \[f\left( x \right) = \sqrt x \] nên hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\).

Khi \[x \in \left( {4;6} \right]\] thì \[f\left( x \right) = 1 + m\] nên hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {4;6} \right)\).

Vậy, hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {0;6} \right] \Leftrightarrow \)hàm số liên tục tại diểm \(x = 4\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow m + 1 = \sqrt 4 \Leftrightarrow m = 1\).

Đặt \[BC = a;\,\,AB = AC = b;AH = h\]. Theo giả thiết ta có \[a,\,\,h,\,\,b\] lập cấp số nhân, suy ra

\[{h^2} = ab.\] Mặt khác tam giác \[ABC\] cân tại đỉnh \[A\]nên \[{h^2} = {m_a}^2 = \frac{{{b^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}\].

Do đó \[\frac{{{b^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = ab \Leftrightarrow {a^2} + 4ab - 4{b^2} = 0 \Leftrightarrow a = \left( {2\sqrt 2 - 2} \right)b\].

Lại có \[b = {q^2}a\] nên suy ra \[{q^2} = \frac{b}{a} = \frac{1}{{2\sqrt 2 - 2}} = \frac{{2\sqrt 2 + 2}}{4} = \frac{{\sqrt 2 + 1}}{2}\].

Gọi \({u_n}\) là mức lương của quý thứ n làm việc cho công ty.

Khi đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)lập thành cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 13,5\)và công sai d = 0,5 \( \Rightarrow \)\({u_{n + 1}} = {u_n} + 0,5\,\,\,(n \ge 1)\).

Một năm có 4 quý nên 3 năm có tổng 12 quý. Số tiền lương sau 3 năm bằng tổng số tiền lương của 12 quý và bằng tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Vậy tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm làm việc cho công ty của kỹ sư là:

\({S_{12}} = \frac{{12\left[ {2.13,5 + 11.0.5} \right]}}{2} = 195\)( triệu đồng).

a)

Ta có: \(S \in \left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SBC} \right)\).

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}A{\rm{D}} \subset \left( {SA{\rm{D}}} \right)\\BC \subset (SBC)\\A{\rm{D}}//BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SBC} \right) = d:\)đi qua \(S\) và song song với \(AD\).

b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\).

Xét \(\Delta SIC\) có \(\frac{{IG}}{{GS}} = \frac{{IM}}{{MC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow GM//SC\) (Định lý đảo của định lí Talet).

Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}GM//SC\\SC \subset (SAC)\\GM \not\subset (SAC)\end{array} \right. \Rightarrow GM//(SAC)\).

c) Trong mặt phẳng \(\left( {ABC{\rm{D}}} \right)\), gọi \(K = DI \cap AC\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SI{\rm{D}}} \right)\), gọi \(H = DG \cap SK\).

Vì \(SK \subset \left( {SAC} \right)\)nên ta có \(H = DG \cap \left( {SAC} \right).\)