Bộ 24 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023 - 2024) có đáp án - Đề 12
39 câu hỏi
Cho hai đường thẳng \(a,b\) chéo nhau, có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả \(a\) và \(b\)
\(1\).
\(2\).
\(0\).
Vô số.
Chọn D
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Trong không gian, qua một điểm và một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng.
Trong không gian, qua hai đường thẳng bất kì, có duy nhất một mặt phẳng.
Trong không gian, qua ba điểm bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
Trong không gian, qua ba điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
Chọn D
Cho hàm số \[f(x)\] xác định với mọi \[x \ne 0\] thỏa mãn \[f(x) + 3f\left( {\frac{1}{x}} \right) = 8x,\,\,x \ne 0\]. Tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{f(x)}}{{x - \sqrt 3 }}\]
\(2\)
\( - 2\).
\(0\).
\(1\).
Chọn B
Từ \[f(x) + 3f\left( {\frac{1}{x}} \right) = 8x,\,\,x \ne 0\], thay \[x\] bởi \[\frac{1}{x}\] ta được \[f\left( {\frac{1}{x}} \right) + 3f\left( x \right) = \frac{8}{x}\]. Suy ra
\[\left\{ \begin{array}{l}f\left( {\frac{1}{x}} \right) + 3f\left( x \right) = \frac{8}{x}\\f\left( x \right) + 3f\left( {\frac{1}{x}} \right) = 8x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3f\left( {\frac{1}{x}} \right) + 9f\left( x \right) = \frac{{24}}{x}\\f\left( x \right) + 3f\left( {\frac{1}{x}} \right) = 8x\end{array} \right. \Rightarrow 8f\left( x \right) = 8\left( {\frac{3}{x} - x} \right)\]
\[ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{3}{x} - x = \frac{{3 - {x^2}}}{x}\]. Do đó
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{f(x)}}{{x - \sqrt 3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{3 - {x^2}}}{{x\left( {x - \sqrt 3 } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{ - \left( {\sqrt 3 + x} \right)}}{x} = - 2\].
Cho \[k\]là số nguyên dương lẻ, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \, - \,\infty } {x^k}\) bằng
\(1\).
\( - \infty \).
\(0\).
\( + \infty \).
Chọn B
Trong các mệnh đề sau, khẳng định nào đúng?
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệtkhông có điểm chung thì song song.
Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.
Chọn A
Cho hai hình bình hành \[ABCD\] và \[ABEF\] không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi \[O,\,\,{O_1}\] lần lượt là tâm của hình bình hành \[ABCD,\,\,ABEF\]. \[M\] là trung điểm của \[CD\,.\] Khẳng định nào sau đây sai?
\[O{O_1}{\rm{//}}\left( {AFD} \right)\].
\[O{O_1}{\rm{//}}\left( {EFM} \right)\].
\[O{O_1}{\rm{//}}\left( {BDF} \right)\].
\(O{O_1}{\rm{//}}\left( {BEC} \right)\).
Chọn C
Ta có \[O{O_1} \subset \left( {BDF} \right)\] nên khẳng định \[O{O_1}{\rm{//}}\left( {BDF} \right)\] là khẳng định sai.
Cho hình chóp tứ giác \[S.ABCD\]. Gọi \[M\] và \[N\] lần lượt là trung điểm của \[SA\] và \[SC\,.\] Khẳng định nào sau đây đúng?
\[MN{\rm{//}}\,(SCD)\].
\[MN{\rm{//}}\,(SBC)\].
\[MN{\rm{//}}\,(SAB)\].
\[MN{\rm{//}}\,(ABD)\].
Chọn D
Ta có \[MN{\rm{//}}AC\] mà \[AC \subset \left( {ABD} \right) \Rightarrow MN{\rm{//}}\left( {ABD} \right)\].
Trong các dãy số sau, dãy số nào vô hạn?
\[1;2;8;16;24;54\].
Dãy \(({u_n})\) với \[{u_n} = {2^n} + 1,\,n \in {\mathbb{N}^*}\].
Dãy \(({u_n})\) với \[{u_n} = {2^n} + 1,n \in {\mathbb{N}^*},12 < n < 2023\].
\( - 1;1; - 1;1; - 1;1\).
Chọn B
Bạn Khang chơi trò chơi xếp các que diêm thành tháp theo qui tắc thể hiện như hình vẽ. Để xếp được tháp có \[10\] tầng thì bạn Khang cần đúng bao nhiêu que diêm?
\(270\).
\(210\).
\(100\).
\(39\).
Chọn B
Với cách xếp que diêm như hình trên, đặt \({u_1}\) là số que diêm tầng trên cùng, đặt \({u_2}\) là số que diêm tầng kế dưới, …Khi đó
\({u_1} = 3,{u_2} = 7,{u_3} = 11,...\), dãy này là một cấp số cộng với \({u_1} = 3,d = 4\).
Suy ra tổng số que diêm để xếp được 10 tầng là
\({S_{10}} = \frac{{10\left[ {2{u_1} + 9d} \right]}}{2} = 5\left( {2.3 + 9.4} \right) = 210\).
Trong bốn hàm số \(y = \sin x,\,\,y = x.\cos x,\,y = \tan x,\,y = \cot x\) có bao nhiêu hàm số là hàm số lẻ trên tập xác định của chúng
\(4\).
\(2\).
\(3\).
\(1\).
Chọn A
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = x.\cos x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\). Ta có
\(f\left( { - x} \right) = \left( { - x} \right).\cos \left( { - x} \right) = - x.\cos x = - f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm số lẻ, hơn nữa các hàm số \(y = \sin x,\,y = \tan x,\,y = \cot x\) đều là những hàm số lẻ.
Vậy cả 4 hàm số là những hàm số lẻ.
Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) là các dãy số thỏa mãn \(\lim {u_n} = a,\,\,\lim {v_n} = b,\,\left( {a;\,\,b \in \mathbb{R}} \right).\) Khẳng định nào sau đây sai?
\(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a + b\).
\(\lim {u_n}{v_n} = ab\).
\(\lim (2{u_{_n}} - 3{v_n}) = 2a - 3b\).
\(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\).
Chọn D
Ta có \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\) chỉ đúng khi \(\lim {u_n} = a,\,\,\lim {v_n} = b,\,\left( {a;\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\) và \(b \ne 0\).
Cho \[\lim \frac{{\sqrt[3]{{a{n^3} + 5{n^2} + 2}}}}{{\sqrt {2{n^2} - 3n - 1} }} = b\sqrt 2 \] . Giá trị của biểu thức \(P = \frac{a}{{{b^3}}}\) bằng
\[P = \frac{1}{8}\].
\[P = \frac{1}{{27}}\].
\[8\].
\[27\].
Chọn C
Ta có \[\lim \frac{{\sqrt[3]{{a{n^3} + 5{n^2} + 2}}}}{{\sqrt {2{n^2} - 3n - 1} }} = \lim \frac{{\sqrt[3]{{a + \frac{5}{n} + \frac{2}{{{n^3}}}}}}}{{\sqrt {2 - \frac{3}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} }} = \frac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \frac{{\sqrt[3]{a}}}{b} = 2 \Rightarrow \frac{a}{{{b^3}}} = 8\].
\(\lim \left( {\frac{{{2^{2n}}}}{{{2^{n + 1}}}} \cdot \frac{{4n - 3}}{{2n + 1}}} \right)\) bằng
\[ + \infty \].
\[ - \infty \].
\[6\].
\[2\].
Chọn A
Ta có \(\lim \left( {\frac{{{2^{2n}}}}{{{2^{n + 1}}}} \cdot \frac{{4n - 3}}{{2n + 1}}} \right) = \lim \left( {{2^n}.\frac{1}{2} \cdot \frac{{4n - 3}}{{2n + 1}}} \right) = + \infty \), vì \(\lim {2^n} = + \infty ,\lim \left( {\frac{1}{2} \cdot \frac{{4n - 3}}{{2n + 1}}} \right) = 1\).
Cho \[L = \mathop {\lim }\limits_{x \to m} \frac{{2{x^3} + (5 - 2m){x^2} + (2 - 5m)x - 2m}}{{{{(x - m)}^2}}}\]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để L có giới hạn hữu hạn?
\[1\]
Vô số.
\[2\].
\[0\].
Chọn A
Ta có \[L = \mathop {\lim }\limits_{x \to m} \frac{{2{x^3} + (5 - 2m){x^2} + (2 - 5m)x - 2m}}{{{{(x - m)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to m} \frac{{\left( {x - m} \right)\left( {2{x^2} + 5x + 2} \right)}}{{{{(x - m)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to m} \frac{{2{x^2} + 5x + 2}}{{x - m}}\].
Vì \[L\] hữu hạn nên \[2{x^2} + 5x + 2\] nhận \[m\] làm nghiệm, suy ra \[2{m^2} + 5m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 2\] hoặc \[m = - \frac{1}{2}\]. Do \[m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = - 2\].
Hình nào trong các hình sau không thể là hình chiếu song song của hình chữ nhật lên một mặt phẳng
Hình thang.
Hình chữ nhật.
Hình thoi.
Hình bình hành.
Chọn A
Cho một đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Có bao nhiêu mặt phẳng chứa \(a\) và song song với \(\left( P \right)\)
Vô số
\(0\).
\(2\).
\(1\).
Chọn D
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{a{n^2}}}{{n + 1}}\) (\(a\) là hằng số). Chọn khẳng định sai?
\({u_1} = \frac{a}{2}\).
\({u_2} = \frac{{4a}}{3}\).
\({u_{n + 1}} = \frac{{a.{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}}\).
\({u_{n + 1}} = \frac{{a{n^2}}}{{n + 2}}\).
Chọn D
Ta có \({u_n} = \frac{{a{n^2}}}{{n + 1}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = \frac{{a{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{a{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}}\). Do đó \({u_{n + 1}} = \frac{{a{n^2}}}{{n + 2}}\) là sai.
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
\(1,\, - 2,\,4,\, - 6,\,8\).
\(1,\,3,\,9,\,12,\,15\).
\(1,\,1,\,1,\,2,\,3\).
\(1,\,2,\,4,\,8,\,16\).
Chọn D
Dãy số \(1,\,2,\,4,\,8,\,16\) là một cấp số nhân với \({u_1} = 1,q = 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\) bằng
\(7\).
\( + \infty .\)
\( - \infty .\)
\(0\).
Chọn C
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} = - \infty \) vì \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {2x + 1} \right) = 7 > 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {x - 3} \right) = 0,x - 3 < 0,\forall x < 3\end{array} \right.\).
Rút gọn biểu thức \[\cos 2a.sina - \sin 2a.cosa\], ta được
\[\sin a.\]
\[ - \sin a.\]
\[ - \cos 3a.\]
\[\cos 3a.\]
Chọn B
Ta có \[\cos 2a.sina - \sin 2a.cosa = \sin \left( {a - 2a} \right) = \sin \left( { - a} \right) = - \sin a\].
Tính \(A = \cos 5^\circ + \cos 10^\circ + \cos 15^\circ + ... + \cos 180^\circ \)
\[A = 1.\]
\[A = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\]
\[A = - 1.\]
\[A = 0.\]
Chọn C
Ta có \(A = \left( {\cos 5^\circ + \cos 175^\circ } \right) + \left( {\cos 10^\circ + \cos 170^\circ } \right) + ... + \left( {\cos 85^\circ + \cos 95^\circ } \right) + \cos 90^\circ + \cos 180^\circ = - 1\).
Viết thêm bốn số vào giữa hai số \(160\) và \(5\) để được một cấp số nhân. Tổng các số hạng của cấp số nhân đó là
\(515\).
\(215\).
\(415\).
\(315.\)
Chọn D
Ta có \({u_1} = 160\), \({u_6} = 5 = {u_1}.{q^5} \Rightarrow q = \frac{1}{2}\). Do đó
\({S_6} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^6}} \right)}}{{1 - q}} = 160\frac{{1 - \frac{1}{{{2^6}}}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 315\)
Cho hai mặt phẳng phân biệt \(\left( P \right)\)và \(\left( Q \right)\), đường thẳng \(a \subset \left( P \right);\,b \subset \left( Q \right)\).Tìm khẳng định sai
Nếu \(\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)\) thì \(a{\rm{//}}\left( Q \right).\)
Nếu \(\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)\) thì \(a{\rm{//}}b\).
Nếu \(\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)\) thì \(b{\rm{//}}\left( P \right)\).
Nếu \(\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)\) thì \((P)\)và \((Q)\) không có điểm chung.
Chọn B
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt x }}{{{x^2}}}\] bằng
\( + \infty .\)
\[ - 1.\]
\[5.\]
\[1.\]
Chọn A
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt x }}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left( {{x^2} + x} \right) - x}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x }} = + \infty \].
Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm \({x_0} = - 1\)?
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\).
\(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}\).
\(y = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)\).
\(y = \frac{x}{{x - 1}}\).
Chọn A
Xét hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\), ta có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
Do đó hàm số gián đoạn tại \({x_0} = - 1\).
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,AD\). Biết \(AB = 2a\), \(CD = 2a\sqrt 2 \) và \(MN = a\sqrt 5 .\) Số đo của góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) bằng
\[60^\circ .\]
\[45^\circ \].
\[135^\circ .\]
\[90^\circ \].
Chọn B
Gọi \(P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AC,BD\). Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}MP{\rm{//}}AB\\MQ{\rm{//}}CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {AB,CD} \right) = \left( {MP,MQ} \right)\).
Lại có tứ giác \(MPNQ\) là hình bình hành và \(MP = \frac{{AB}}{2} = a\), \(PN = \frac{{CD}}{2} = a\sqrt 2 \).
Trong tam giác \(MPN:\cos P = \frac{{P{M^2} + P{N^2} - M{N^2}}}{{2PM.PN}} = \frac{{{a^2} + 2{a^2} - 5{a^2}}}{{2.a.a\sqrt 2 }} = - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat P = 135^\circ \)
Do đó \(\widehat M = 45^\circ = \left( {MP,MQ} \right) = \left( {AB,CD} \right)\).
Cho lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Số đo của góc giữa hai đường thẳng \(A'C\) và \(BD\) bằng
\[30^\circ .\]
\({90^0}.\)
\[45^\circ .\]
\[60^\circ .\]
Chọn B
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot A'A\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {A'AC} \right) \Rightarrow BD \bot A'C \Rightarrow \left( {BD,A'C} \right) = 90^\circ \).
Trong các dãy số có số hạng tổng quát được cho bởi công thức sau, dãy số nào là cấp số cộng
\({u_n} = {n^2} + n - 1\).
\({u_n} = {n^2} + 1\).
\({u_n} = {2^n}\).
\({u_n} = 2n + 3.\)
Chọn D
Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \[{u_n} = 2n + 3\]. Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = 2\left( {n + 1} \right) + 3 - \left( {2n + 3} \right) = 2,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng tổng quát \({u_n} = 2n + 3\) là một cấp số cộng với công sai \(d = 2\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\)\(AD\). Mặt phẳng\(\left( {MNO} \right)\) song song với mặt phẳng nào sau đây
\(\left( {SBC} \right)\).
\(\left( {SCD} \right)\)
\(\left( {SAD} \right)\).
\(\left( {SAB} \right)\).
Chọn B
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MN{\rm{//}}SD\\ON{\rm{//}}CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {MNO} \right) \bot \left( {SCD} \right)\).
Hàm số nào dưới đây liên tục trên \(\mathbb{R}\)?
\(y = \cos x + \cot x.\)
\(y = 2x - 3x.\sin x.\)
\(y = 2 + \cot x.\)
\(y = x - \tan x.\)
Chọn B
Xét hàm số \(y = 2x - 3x.\sin x\) có tập xác định là \[D = \mathbb{R}\]. Suy ra hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Dãy số nào dưới đây là dãy số giảm
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {( - 1)^n}.\)
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = - 2n + 6\).
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{1}{5}n - 4.\)
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 5n - 1\) .
Chọn B
Xét dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = - 2n + 6\). Ta có
\({u_{n + 1}} - {u_n} = - 2\left( {n + 1} \right) + 6 - \left( { - 2n + 6} \right) = - 2 < 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Suy ra dãy số giảm.
Tìm \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \ne 1\\m + 2\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x = 1\end{array} \right.\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
\(m = 0\).
\(m = 1\).
\(m = 3\).
\(m = 4\).
Chọn A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = 2,f\left( 1 \right) = m + 2\).
Hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 1\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow m + 2 = 2 \Leftrightarrow m = 0\)
Tập giá trị \(T\) của hàm số \(y = \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) - \cos 2x\) là
\(T = \left[ { - 1;1} \right].\)
\(T = \left[ {0;1} \right].\)
\(T = \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right].\)
\(T = \left[ { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]\).
Chọn A
Ta có \(y = \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) - \cos 2x = \cos 2x\cos \frac{\pi }{3} - \sin 2x\sin \frac{\pi }{3} - \cos 2x\)
\( = - \frac{1}{2}\cos 2x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x = - \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\). Do đó \( - 1 \le y = - \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) \le 1\).
Vậy \(T = \left[ { - 1;1} \right]\).
Phát biểu nào sau đây là sai
\[\lim n = + \infty .\]
\[\lim {\left( { - 2} \right)^n} = + \infty \].
\[\lim {q^n} = 0\], \[\left( {\left| q \right| < 1} \right)\]
\[\lim \frac{1}{n} = 0\].
Chọn A
Ta có \({\left( { - 2} \right)^n} > 0\), khi \(n\) chẵn và \({\left( { - 2} \right)^n} < 0\), khi \(n\) lẻ, do đó \[\lim {\left( { - 2} \right)^n} = + \infty \] là phương án sai.
Cho đồ thị hàm số \(y = \cos x\) như hình vẽ. Số nghiệm phương trình \(\cos x = - \frac{\pi }{4}\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\,2\pi } \right]\) bằng
\[4.\]
\[3.\]
\[2.\]
5.
Chọn B
Vẽ thêm đường thẳng \(y = - \frac{\pi }{4}\) lên cùng hệ trục, xét trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\,2\pi } \right]\) nhận thấy đường thẳng \(y = - \frac{\pi }{4}\) và đồ thị \(y = \cos x\) có 3 điểm chung, nên phương trình \(\cos x = - \frac{\pi }{4}\) có 3 nghiệm trên đoạn\(\left[ { - \pi ;\,2\pi } \right]\).
Một cấp số cộng \(({u_n})\) có tổng của sáu số hạng đầu bằng 18 và tổng của mười số hạng đầu bằng 110. Lập công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng này.
Cho tứ diện đều \[ABCD\] cạnh \[a\]. Tính góc giữa hai đường thẳng \[AC\] và \[BD\].
Gọi \[M\],\(P,Q\) lần lượt là trung điểm của \[BC\],\(CD\),\(AB\).
Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC{\rm{//}}MQ\\BD{\rm{//}}MP\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\widehat {AC,BD}} \right) = \left( {\widehat {MQ,MP}} \right)\).
Ta có \(\Delta QCD\) cân tại \(Q\), \(P\) là trung điểm \(CD\) nên suy ra \(QP \bot CD\)
\( \Rightarrow QP = \sqrt {Q{C^2} - C{P^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) . Ta lại có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}MQ = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}\\MP = \frac{1}{2}BD = \frac{a}{2}\end{array} \right.\\\end{array}\).
Suy ra: \(Q{P^2} = M{Q^2} + M{P^2} \Rightarrow \Delta MPQ\) vuông tại \(M\)\( \Rightarrow \left( {\widehat {MQ,MP}} \right) = \widehat {PMQ} = 90^\circ \).
Vậy \(\left( {\widehat {AC,BD}} \right) = 90^\circ \).
Đầu năm \[2023\], một công ty dịch vụ taxi được thành lập. Ban đầu, công ty thực hiện gói kinh doanh như sau. Công ty mua 5 xe ô tô bảy chỗ để kinh doanh, mỗi chiếc ô tô có giá \(700\) triệu đồng. Biết rằng, sau mỗi tháng sử dụng, giá trị mỗi ô tô giảm đi \(0,4{\rm{\% }}\) so với tháng ngay trước đó, và mỗi tháng một xe thu nhập được16 triệu đồng (giả sử số tiền làm ra mỗi tháng không đổi). Hỏi sau \(3\) năm tổng số tiền (bao gồm giá tiền 5 xe ô tô và tổng số tiền thu được) của gói kinh doanh này là bao nhiêu.
Xét trên mỗi xe
Sau \(1\) tháng giá trị của ô tô còn lại là: \[{u_1}\; = {\rm{7}}00--{\rm{7}}00.0,4\% = {\rm{7}}00.\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right){\rm{ }}\](triệu đồng).
Sau \(2\) tháng giá trị của ô tô còn lại là:
\[{u_2}\; = {\rm{ 7}}00.\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right){\rm{ }}--{\rm{ 7}}00.\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right).0,4\% {\rm{ }} = {\rm{ 7}}00.{\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right)^2}\;\] (triệu đồng).
Gọi \({u_n}\) là giá trị của ô tô sau \(n\)tháng sử dụng
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu \[{u_1}\; = {\rm{7}}00.\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right){\rm{ }}\](triệu đồng) và công bội \[q = 1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% {\rm{ }}\].
Khi đó \[{u_n}\; = {\rm{7}}00.{\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right)^n}{\rm{ }}\].
Sau \(3\) năm sử dụng giá trị của ô tô còn lại là:\[{u_{36}}\; = {\rm{ 7}}00.{\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right)^{36}}\; \approx {\rm{ 605,95}}\] (triệu đồng).
Sau \(3\) năm mỗi xe làm ra \(16.36 = 576\)(triệu đồng).
Sau \(3\) năm tổng số tiền (bao gồm giá tiền xe ô tô và tổng số tiền làm ra) của 5 xe có được là \((576 + 605,95)5 \approx 5909,75\) (triệu đồng).
Một hồ chứa 7000 \[{m^3}\] nước tinh khiết. Người ta bơm nước mặn với nồng độ muối 30g/\[{m^3}\] vào hồ với tốc độ 2\[{m^3}\]/phút. Gọi \[C(t)\] là biểu thức biểu thị nồng độ muối trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm. Tính \[\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } C(t)\]và giải thích ý nghĩa.
Sau t phút thì lượng muối trong hồ là \[30.2t = 60t\] (g) , và thể tích nước trong hồ là \(7000 + 2t\)(\[{m^3}\])
Vậy nồng độ muối của nước trong bể sau t phút bơm là \[C(t) = \frac{{60t}}{{7000 + 2t}}\]
Ta được \[\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } C(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{60t}}{{7000 + 2t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{60}}{{\frac{{7000}}{t} + 2}} = 30\]
Ý nghĩa: Khi thời gian bơm nước muối tăng đến vô hạn thì nồng độ muối của nước trong hồ sẽ tăng dần đến 30g/\[{m^3}\] xấp xỉ nồng độ muối của nước mặn bơm vào hồ.
