Bộ 24 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023 - 2024) có đáp án - Đề 11
20 câu hỏi
Hình tứ diện có số cạnh là
\(5\).
\(6\).
\(4\).
\(3\).
Chọn B
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{u_n} - 3} \right) = 0\). Giới hạn \(\lim {u_n}\) bằng
\(\lim {u_n} = 2\).
\(\lim {u_n} = 0\).
\(\lim {u_n} = 3\).
\(\lim {u_n} = - 3\).
Chọn C
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{u_n} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \lim {u_n} = 3\)
Tập xác định của hàm số \(y = \cot x\) là
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn D
Hàm số xác định khi \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\). Vậy \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Trong không gian cho ba đường thẳng \(a,\,\,b,\,\,c\), biết \(a\) song song với \(b\) và \(b\) song song với \(c\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
\(a,\,\,c\) song song hoặc trùng nhau.
\(a,\,\,c\) song song.
\(a,\,\,c\) cắt nhau.
\(a,\,\,c\) trùng nhau.
Chọn A
Hàm số nào dưới đây liên tục trên \(\mathbb{R}?\)
\(y = {x^3} - 2x\)
\(y = \sqrt x \)
\(y = \frac{1}{x}\).
\(y = \tan x\)
Chọn A
Theo tính chất, \(y = {x^3} - 2x\) là hàm đa thức liên tục trên tập \(\mathbb{R}\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 2n + 3\). Giá trị \({u_7}\) bằng
\({u_7} = 3\).
\({u_7} = 7\).
\({u_7} = 17\).
\({u_7} = 14\).
Chọn C
Ta có \({u_7} = 2.7 + 3 = 17\).
Khẳng định nào dưới đây đúng?
Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song vớimọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng kia.
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì song song với nhau.
Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.
Hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau.
Chọn D
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 3\) và \({u_2} = 12\). Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
\(9\).
\(4\).
\(\frac{1}{4}\).
\( - 9\).
Chọn B
Ta có \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{12}}{3} = 4\).
Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\tan \left( {x - y} \right) = \frac{{\tan x - \tan y}}{{1 + \tan x\tan y}}\).
\(\tan \left( {x - y} \right) = \frac{{\tan x - \tan y}}{{1 - \tan x\tan y}}\).
\(\tan \left( {x - y} \right) = \frac{{\tan x - \tan y}}{{\tan x\tan y}}\).
\(\tan \left( {x - y} \right) = \frac{{\tan x + \tan y}}{{\tan x\tan y}}\).
Chọn A
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 8\) và công sai \(d = 3\). Giá trị của \({u_2}\) bằng
\(5\).
\(24\).
\(\frac{8}{3}\).
\(11\).
Chọn D
Ta có \({u_2} = {u_1} + d = 8 + 3 = 11\)
Đổi số đo của góc \(60^\circ \) sang đơn vị rađian là
\(\frac{{2\pi }}{5}\).
\(\frac{{4\pi }}{5}\).
\(\frac{\pi }{3}\).
\(\frac{{3\pi }}{5}\).
Chọn C
Ta có \(60^\circ = 60.\frac{\pi }{{180}} = \frac{\pi }{3}\)
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{x^2} - x + 3} \right)\)bằng
\(0\).
\(3\).
\( - 5\).
\(6\).
Chọn B
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{x^2} - x + 3} \right) = {0^2} - 0 + 3 = 3\)
Giải phương trình \(\cot \left( {3x + 60^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Ta có \(\cot \left( {3x + 60^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow 3x + 60^\circ = 60^\circ + k180^\circ \)
\( \Leftrightarrow 3x = k180^\circ \Leftrightarrow x = k60^\circ \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng tổng quát là \({u_n} = 3n + 5,n \in {\mathbb{N}^*}\). Chứng minh rằng \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu của cấp số cộng đó
Ta có \({u_n} - {u_{n - 1}} = \left( {3n + 5} \right) - \left[ {3\left( {n - 1} \right) + 5} \right] = 3,\forall n \ge 2\). Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng.
Số hạng đầu \({u_1} = 3.1 + 5 = 8\)
Cho cấp nhân có số hạng \({u_2} = 4,{u_5} = 32\). Tìm số hạng thứ 20 của cấp số nhân đó.
Số hạng thứ 20 của cấp số nhân đó là \({u_{20}} = {u_1}.{q^{19}} = {2^{20}} = 1048576\).
Tính các giới hạn sau:
a) \[I = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^3}}} + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{3^n}}} - \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 2023\]. b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 3n}}{{2{n^{}} - 1}}\).
a) Ta có \[I = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^3}}} + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{3^n}}} - \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 2023 = 0 + 0 - 2023 = - 2023\].
b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 3n}}{{2{n^{}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {4 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 3}}{{2 - \frac{1}{n}}}\)\[ = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {4 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } 3}}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {2 - \frac{1}{n}} \right)}} = \frac{{2 + 3}}{2} = \frac{5}{2}\]
a) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - 1}}\);
b) Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\)thỏa mãn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - 5}}{{x - 2}} = 3.\)Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {f\left( x \right) + 4} - 3}}{{{x^2} + x - 6}}\)
a) Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}}\]\[ = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 2 - \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{3}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 1 - \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{x^2}}}}} = \frac{{2 - 0 + 0}}{{1 - 0}} = 2\]
b) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {f\left( x \right) - 5} \right] \ne 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - 5}}{{x - 2}} = + \infty \) hoặc\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - 5}}{{x - 2}} = - \infty \). Mâu thuẫn giả thiết . Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {f\left( x \right) - 5} \right] = 0\).Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 5.\)
Ta có :
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {f\left( x \right) + 4} - 3}}{{{x^2} + x - 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) + 4 - 9}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {f\left( x \right) + 4} + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - 5}}{{\left( {x - 2} \right)}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {f\left( x \right) + 4} + 3} \right)}}\\ = 3.\frac{1}{{5.6}} = \frac{1}{{10}}\end{array}\)
Xét tính liên tục của hàm số \[f(x) = {x^2} + 3x + \frac{5}{{x - 2}}\] tại\(x = 3\)
Ta có TXĐ : \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\); \[f(3) = {3^2} + 3.3 + \frac{5}{{3 - 2}} = 23\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {3x} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{5}{{x - 2}} = {3^2} + 3.3 + \frac{5}{{3 - 2}} = 23 = f(3)\]
Vậy hàm số liên tục tại x=3
Bác An gửi \(320\) triệu đồng vào ngân hàng MSB và VietinBank theo hình thức lãi kép. Số tiền thứ nhất gửi vào ngân hàng MSB với lãi suất \(2,1\% \) một quý (3 tháng) trong thời gian \(15\) tháng. Số tiền còn lại gửi vào ngân hàng VietinBank với lãi suất \(0,73\% \) một tháng trong thời gian \(9\) tháng. Biết tổng số tiền lãi Bác An nhận được ở hai ngân hàng là \(26670725,95\) đồng. Hỏi số tiền bác An lần lượt gửi ở hai ngân hàng \[MSB\] và VietinBank là bao nhiêu (số tiền được làm tròn tới hàng đơn vị)?
Gọi \[x\] là số tiền bác An gửi ngân hàng \[MSB\].
\[320000000 - x\] là số tiền bác An gửi ngân hàng VietinBank.
Sau 15 tháng số tiền lãi ở ngân hàng \[MSB\] là \[x{(1 + 2,1\% )^5} - x\].
Sau 9 tháng số tiền lãi ở ngân hàng VietinBank là \[(320000000 - x){(1 + 0.73\% )^9} - (320000000 - x)\].
Ta có \[x{(1 + 2,1\% )^5} - x + (320000000 - x){(1 + 0,73\% )^9} - (320000000 - x) = 26670725,95\].
\[ \Leftrightarrow x = 120000000\].
Vậy số tiền bác An gửi vào hai ngân hàng\[MSB\]là \(120\) triệu đồng và ngân hàng VietinBank \(200\) triệu đồng
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SC\) và \(SD\).
a) Chứng minh đường thẳng \(CD\) song song với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
b) Chứng minh mặt phẳng \((OMN)\) song song với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
c) Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(O\) và song song với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\). Xác định giao tuyến của mặt phẳng \((P)\)với các mặt phẳng \[(ABCD)\]và \[(SAB)\].
d) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAD\) và \(E\) là điểm thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(GE\) song song với mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\). Tính tỉ số diện tích của hai tam giác \(EAB\) và \(EAC\).
a) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(CD\,{\rm{//}}\,AB\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD\,{\rm{//}}\,AB\\CD\, \not\subset \,\,(\,SAB\,)\,\,\\AB\, \subset \,(SAB\,)\end{array} \right.\, \Rightarrow \,CD\,{\rm{//}}\,(\,SAB)\) (điều phải chứng minh).
b) Ta có \(OM,MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\) và tam giác \(SBD\)
\(\left\{ \begin{array}{l}OM||SA\\OM \not\subset \left( {SAB} \right)\\SA \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OM//\left( {SAB} \right)\)(1)
\(\left\{ \begin{array}{l}ON||SB\\ON \not\subset \left( {SAB} \right)\\SB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow ON//\left( {SAB} \right)\) (2)
Từ (1), (2) và \(ON \cap OM = O,OM,ON \subset \left( {OMN} \right) \Rightarrow \left( {OMN} \right)//\left( {SAB} \right)\)
c) Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(O\) và song song với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\). Xác định giao tuyến của mặt phẳng \((P)\)với các mặt phẳng \[(ABCD)\]và \[(SAB)\].
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}O \in \left( P \right) \cap \left( {ABCD} \right)\\\left( P \right)//\left( {SBC} \right)\\\left( {ABCD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right) \cap \left( {ABCD} \right) = Ox,Ox//BC\]
Gọi \(Ox \cap AB = Q\)
\[\left\{ \begin{array}{l}Q \in \left( P \right) \cap \left( {SAB} \right)\\\left( P \right)//\left( {SBC} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right) \cap \left( {SAB} \right) = Qy,Oy//SB\].
d)
Cách 1:
Gọi \(F\) là giao điểm của \(AE\) và \(CD\) trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}GE \subset \left( {ANF} \right)\\GE//\left( {SCD} \right)\\\left( {ANF} \right) \cap \left( {SCD} \right) = NF\end{array} \right. \Rightarrow GE//NF\)
\( \Rightarrow \frac{{FE}}{{FA}} = \frac{{NG}}{{NA}} = \frac{1}{3}\)
Theo Talet, ta có: \(\frac{{EC}}{{AD}} = \frac{{FE}}{{FA}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow EC = \frac{1}{3}AD = \frac{1}{3}BC \Rightarrow \frac{{EB}}{{EC}} = 2\)
Nhận xét: \(\Delta EAB\) và \(\Delta EAC\) có chung đường cao kẻ từ \(A\).
Do đó: \(\frac{{{S_{\Delta EAB}}}}{{{S_{\Delta EAC}}}} = \frac{{EB}}{{EC}} = 2\).
Cách 2:
Vẽ \(GF\) song song với \(SD\)\(\left( {F \in AD} \right)\).
Ta chứng minh được: \(\left( {GEF} \right)//\left( {SCD} \right) \Rightarrow EF//CD\)
Từ đó suy ra được:
\(\frac{{EC}}{{BC}} = \frac{{FD}}{{AD}} = \frac{{GN}}{{AN}} = \frac{1}{3} \Rightarrow EC = \frac{1}{3}BC\)
Nhận xét: \(\Delta EAB\) và \(\Delta EAC\) có chung đường cao kẻ từ \(A\)
Do đó: \(\frac{{{S_{\Delta EAB}}}}{{{S_{\Delta EAC}}}} = \frac{{EB}}{{EC}} = 2\)
