Bộ 24 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023 - 2024) có đáp án - Đề 11

Chọn D

Ta có \({u_2} = {u_1} + d = 8 + 3 = 11\)

Chọn C

Ta có \(60^\circ = 60.\frac{\pi }{{180}} = \frac{\pi }{3}\)

Chọn B

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{x^2} - x + 3} \right) = {0^2} - 0 + 3 = 3\)

Ta có \(\cot \left( {3x + 60^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow 3x + 60^\circ = 60^\circ + k180^\circ \)

\( \Leftrightarrow 3x = k180^\circ \Leftrightarrow x = k60^\circ \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có \({u_n} - {u_{n - 1}} = \left( {3n + 5} \right) - \left[ {3\left( {n - 1} \right) + 5} \right] = 3,\forall n \ge 2\). Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng.

Số hạng đầu \({u_1} = 3.1 + 5 = 8\)

a) Ta có \[I = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^3}}} + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{3^n}}} - \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 2023 = 0 + 0 - 2023 = - 2023\].

b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 3n}}{{2{n^{}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {4 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 3}}{{2 - \frac{1}{n}}}\)\[ = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {4 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } 3}}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {2 - \frac{1}{n}} \right)}} = \frac{{2 + 3}}{2} = \frac{5}{2}\]

a) Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}}\]\[ = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 2 - \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{3}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 1 - \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{x^2}}}}} = \frac{{2 - 0 + 0}}{{1 - 0}} = 2\]

b) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {f\left( x \right) - 5} \right] \ne 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - 5}}{{x - 2}} = + \infty \) hoặc\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - 5}}{{x - 2}} = - \infty \). Mâu thuẫn giả thiết . Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {f\left( x \right) - 5} \right] = 0\).Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 5.\)

Ta có :

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {f\left( x \right) + 4} - 3}}{{{x^2} + x - 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) + 4 - 9}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {f\left( x \right) + 4} + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - 5}}{{\left( {x - 2} \right)}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {f\left( x \right) + 4} + 3} \right)}}\\ = 3.\frac{1}{{5.6}} = \frac{1}{{10}}\end{array}\)

Ta có TXĐ : \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\); \[f(3) = {3^2} + 3.3 + \frac{5}{{3 - 2}} = 23\].

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {3x} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{5}{{x - 2}} = {3^2} + 3.3 + \frac{5}{{3 - 2}} = 23 = f(3)\]

Vậy hàm số liên tục tại x=3

Gọi \[x\] là số tiền bác An gửi ngân hàng \[MSB\].

\[320000000 - x\] là số tiền bác An gửi ngân hàng VietinBank.

Sau 15 tháng số tiền lãi ở ngân hàng \[MSB\] là \[x{(1 + 2,1\% )^5} - x\].

Sau 9 tháng số tiền lãi ở ngân hàng VietinBank là \[(320000000 - x){(1 + 0.73\% )^9} - (320000000 - x)\].

Ta có \[x{(1 + 2,1\% )^5} - x + (320000000 - x){(1 + 0,73\% )^9} - (320000000 - x) = 26670725,95\].

\[ \Leftrightarrow x = 120000000\].

Vậy số tiền bác An gửi vào hai ngân hàng\[MSB\]là \(120\) triệu đồng và ngân hàng VietinBank \(200\) triệu đồng

a) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(CD\,{\rm{//}}\,AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD\,{\rm{//}}\,AB\\CD\, \not\subset \,\,(\,SAB\,)\,\,\\AB\, \subset \,(SAB\,)\end{array} \right.\, \Rightarrow \,CD\,{\rm{//}}\,(\,SAB)\) (điều phải chứng minh).

b) Ta có \(OM,MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\) và tam giác \(SBD\)

\(\left\{ \begin{array}{l}OM||SA\\OM \not\subset \left( {SAB} \right)\\SA \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OM//\left( {SAB} \right)\)(1)

\(\left\{ \begin{array}{l}ON||SB\\ON \not\subset \left( {SAB} \right)\\SB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow ON//\left( {SAB} \right)\) (2)

Từ (1), (2) và \(ON \cap OM = O,OM,ON \subset \left( {OMN} \right) \Rightarrow \left( {OMN} \right)//\left( {SAB} \right)\)

c) Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(O\) và song song với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\). Xác định giao tuyến của mặt phẳng \((P)\)với các mặt phẳng \[(ABCD)\]và \[(SAB)\].

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}O \in \left( P \right) \cap \left( {ABCD} \right)\\\left( P \right)//\left( {SBC} \right)\\\left( {ABCD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right) \cap \left( {ABCD} \right) = Ox,Ox//BC\]

Gọi \(Ox \cap AB = Q\)

\[\left\{ \begin{array}{l}Q \in \left( P \right) \cap \left( {SAB} \right)\\\left( P \right)//\left( {SBC} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right) \cap \left( {SAB} \right) = Qy,Oy//SB\].

d)

Cách 1:

Gọi \(F\) là giao điểm của \(AE\) và \(CD\) trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}GE \subset \left( {ANF} \right)\\GE//\left( {SCD} \right)\\\left( {ANF} \right) \cap \left( {SCD} \right) = NF\end{array} \right. \Rightarrow GE//NF\)

\( \Rightarrow \frac{{FE}}{{FA}} = \frac{{NG}}{{NA}} = \frac{1}{3}\)

Theo Talet, ta có: \(\frac{{EC}}{{AD}} = \frac{{FE}}{{FA}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow EC = \frac{1}{3}AD = \frac{1}{3}BC \Rightarrow \frac{{EB}}{{EC}} = 2\)

Nhận xét: \(\Delta EAB\) và \(\Delta EAC\) có chung đường cao kẻ từ \(A\).

Do đó: \(\frac{{{S_{\Delta EAB}}}}{{{S_{\Delta EAC}}}} = \frac{{EB}}{{EC}} = 2\).

Cách 2:

Vẽ \(GF\) song song với \(SD\)\(\left( {F \in AD} \right)\).

Ta chứng minh được: \(\left( {GEF} \right)//\left( {SCD} \right) \Rightarrow EF//CD\)

Từ đó suy ra được:

\(\frac{{EC}}{{BC}} = \frac{{FD}}{{AD}} = \frac{{GN}}{{AN}} = \frac{1}{3} \Rightarrow EC = \frac{1}{3}BC\)

Nhận xét: \(\Delta EAB\) và \(\Delta EAC\) có chung đường cao kẻ từ \(A\)

 Do đó: \(\frac{{{S_{\Delta EAB}}}}{{{S_{\Delta EAC}}}} = \frac{{EB}}{{EC}} = 2\)