Bộ 24 Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 11 có đáp án (Mới nhất) (Đề 6)
39 câu hỏi
Cho dãy số (un) thỏa mãn lim(un – 2021) = 0. Giá trị của lim un bằng
+∞.
0.
–2021.
2021.
Áp dụng định nghĩa 2 trang 113 sách giáo khoa Đại số và Gải tích 11 ban Cơ bản ta có lim un = 2021.
Chọn đáp án D.
Trong các giới hạn sau, giới hạn nào có giá trị bằng 1?
lim3n+1−3n−3
lim1−nn+2
lim1+nn−1
lim−1+2n
Vì lim3n+1−3n−3=lim1−nn+2=lim−1+2n=−1
Còn lim1+nn−1=1
Chọn đáp án C.
Đặt lim un = a, lim vn = b. Mệnh đề nào dưới đây sai?
lim (un.vn)=lim un+lim vn.
lim (un+vn)=lim un+lim vn.
lim (un−vn)=lim un−lim vn.
lim (un.vn)=lim un.lim vn.
Mệnh đề lim(un.vn)=lim un.lim vn là mệnh đề đúng nên mệnh đề ở câu A sai.
Chọn đáp án A.
Chọn khẳng định đúng.
Dãy số (un) có giới hạn là –∞ khi n → +∞ nếu un lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞ nếu un nhỏ hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞ nếu un lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Dãy số (un) có giới hạn là –∞ khi n → +∞ nếu un nhỏ hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞ nếu un lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi, do đó chọn C.
Chọn đáp án C.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
lim qn = +∞ (với |q| > 1).
Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0, thì limunvn=+∞
lim nk=+∞ với k là một số nguyên dương.
lim qn=0 với q<1.
Mệnh đề A chỉ đúng với q thỏa mãn q > 1, với q < – 1 thì không tồn tại giới hạn dãy số qn.
Mệnh đề B đúng theo định lí về giới hạn vô cực.
Mệnh đề C và D đúng theo kết quả của giới hạn đặc biệt.
Chọn đáp án A.
Cho các dãy số (un), (vn) và lim un=a, lim vn=+∞ thì limunvn bằng
1.
0.
–∞.
+∞.
Dùng định lý giới hạn: cho dãy số (un), (vn) và lim un=a, limv n=+∞ trong đó a hữu hạn thì limunvn=0
Chọn đáp án B.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu limun=+∞ thì lim un=−∞
Nếu lim un=−a thì limun=a
Nếu lim un=0 thì limun=0.
Nếu limun=+∞ thì lim un=+∞
Nếu limun=+∞ thì lim un=+∞ hoặc lim un=−∞
Nếu lim un=−a thì limun=a thì a > 0.
Còn lim un=0 thì limun=0 là mệnh đề đúng.
Chọn đáp án C.
Cho limx→2fx=0, limx→2gx=2021. Tính limx→2fxgx (nếu có).
+∞ .
Không tồn tại limx→2fxgx
–∞.
0.
Ta có: limx→2fxgx=02021=0
Chọn đáp án D.
limx→+∞x3+2x2−1 bằng
0.
1.
+∞.
–∞.
Ta có: limx→+∞x3+2x2−1=limx→+∞x31+2x−1x3
Vì limx→+∞x3=+∞ và limx→+∞1+2x−1x3=1>0
Suy ra limx→+∞x31+2x−1x3=+∞
Vậy limx→+∞x3+2x2−1=+∞
Chọn đáp án C.
Cho limx→1fx=3, limx→1gx=−2. Tính limx→12fx−3gx ?
0.
5.
12.
13.
Có limx→12fx−3gx=limx→12fx−limx→13gx=2limx→1fx−3limx→1gx=2.3−3.−2=12
Chọn đáp án C.
Kết quả của giới hạn limx→0−xx là
0.
1.
–1.
+∞.
limx→0−xx=limx→0−−xx=limx→0−−1=−1
Chọn đáp án C.
Kết quả của giới hạn limx→−∞−x4 là
0.
+∞.
–∞.
–1.
Ta có: limx→−∞−x4= –∞.
Chọn đáp án C.
Kết quả của giới hạn limx→2x2−2x−1 là
–∞.
0.
+∞.
–1.
limx→2x2−2x−1=22−2.2−1=−1
Chọn đáp án D.
Hàm số nào sau đây không liên tục tại x = 0?
f(x)=x2+x+1x−1.
f(x)=x2+x+1x.
f(x)=x2+xx+2.
f(x)=x2+xx−1.
Hàm số f(x)=x2+x+1x không xác định tại x = 0 nên hàm số không liên tục tại x = 0.
Chọn đáp án B.
Khẳng định nào đúng ?
Hàm số f(x)=x+1x2+1 xác định trên ℝ.
Hàm số fx=x+1x−1 liên tục trên ℝ.
Hàm số fx=x+1x−1 liên tục trên ℝ.
Hàm số fx=x+1x−1 liên tục trên ℝ.
Hàm số f(x)=x+1x2+1 là hàm sơ cấp xác định trên ℝ nên liên tục trên ℝ.
Chọn đáp án A.
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thảnh đoạn thẳng.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.
Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự của ba điểm đó.
Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
Tính chất của phép chiếu song song:
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Suy ra B sai : Chúng có thể trùng nhau.
Chọn đáp án B.
Cho ba vectơ a→,b→,c→. Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba vecto đó đồng phẳng.
Một trong ba vecto đó bằng 0→.
Có hai trong ba vecto đó cùng phương.
Có một vecto không cùng hướng với hai vecto còn lại.
Có hai trong ba vecto đó cùng hướng.
Nếu hai trong ba vectơ đó cùng hướng thì ba vectơ đồng phẳng; nếu hai trong ba vectơ đó không cùng hướng thì chưa thể kết luận được ba vectơ đó đồng phẳng.
Chọn đáp án C.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', M, N là các điểm thỏa mãn MA→=−14MD→, NA'→=−23NC→. Mệnh đề nào sau đây đúng?
MN//AC'B.
MN//BC'D.
MN//A'C'D.
MN//BC'B.
Đặt BA→=a→,BB'→=b→,BC→=c→ thì a→,b→,c→ là ba vec tơ không đồng phẳng và BD→=BA→+AD→=BA→+BC→=a→+c→; BC'→=b→+c→,BA'→=a→+b→
Ta có MA→=−14MD→⇒BA→−BM→=−14BD→−BM→⇒54BM→=BA→+14BD→
⇒BM→=4BA→+BD→5=4a→+a→+c→5=5a→+c→5
Tương tự BN→=3a→+3b→+2c→5
MN→=BN→−BM→=−2a→+3b→+c→5=−25a→+c→+35(b→+c→)=−25BD→+35BC'→
Suy ra MN→,DB→,BC'→ đồng phẳng mà N∉BC'D⇒MN//BC'D
Chọn đáp án B.
Cho tứ diện đều ABCD. Tích vô hướng AB→.CD→ bằng?
a2.
a22.
0.
−a22.
AB→.CD→=CB→−CA→.CD→=CB.CD.cos600−CA.CD.cos600=0.
Chọn đáp án C.
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC^=BAD^=60°. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→và CD→.
60°.
45°.
120°.
90°.
AB→.CD→=AB→.AD→−AC→=AB→.AD→−AB→.AC→=AB→.AD→cosAB→,AD→−AB→.AC→cosAB→,AC→=AB→.AD→cos600−AB→.AC→cos600Mà AC=AD⇒AB→.CD→=0⇒AB→,CD→=900
Chọn đáp án D.
Tìm a để lima.n2+4n8n2+3=34.
a = 6.
a = 3.
a = 27.
a = 9.
lima.n2+4n8n2+3=lima+4n8+3n2=lima+4nlim8+3n2=a8.
lima.n2+4n8n2+3=34⇔a8=34⇔a=6.
Chọn đáp án A.
Tính tổng S=1−12+14−18+...+1−2n−1+...
S=32
S=23
S=2
S=12
S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1=1;q=−12
Do đó ta có: S=u11−q=11−−12=23
Chọn đáp án B.
Biết lim2n3+n2−42+n+4n3=L. Khi đó 1 – L2 bằng
1.
34.
0.
14.
lim2n3+n2−42+n+4n3=limn32+1n−4n3n32n3+1n2+4=24=12
Suy ra L=12. Khi đó 1−L2=1−122=34
Chọn đáp án B.
Tính limx→−∞5x−3x2−5
35.
-35.
5.
–5.
limx→−∞5x−3x2−5=limx→−∞x5−3xx1−5x2=limx→−∞x5−3x−x1−5x2=limx→−∞5−3x−1−5x2=−5
Chọn đáp án D.
Tính limx→0+2x+1x bằng
2.
−∞.
+∞.
1.
Vì limx→0+2x+1=1; x>0 nên limx→0+2x+1x=+∞
Chọn đáp án C.
Cho limx→−∞x2+ax+5+x=5. Giá trị của a bằng bao nhiêu ?
6.
10.
–10.
–6.
limx→−∞x2+ax+5+x=limx→−∞a.x+5x2+ax+5−x=−a2
Mà limx→−∞x2+ax+5+x=5⇒−a2=5⇔a=−10
Cho hàm số f(x)=x2−9x+3 khi x≠−3−x2+3 khi x=−3. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hàm số chỉ liên tục tại điểm x = –3 và gián đoạn tại các điểm x ≠ –3.
Hàm số không liên tục trên ℝ.
Hàm số liên tục trên ℝ.
Hàm số không liên tục tại điểm x = –3.
+ Với x ≠ – 3: f(x)=x2−9x+3.
Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên hàm số liên tục trên (−∞;−3), (−3;+∞).
+ Tại x = –3: f(−3)=−6; limx→−3x2−9x+3=limx→−3(x−3)(x+3)x+3=limx→−3(x−3)=−6
Vậy hàm số đã cho liên tục tại x = –3.
Vậy hàm số liên tục trên ℝ.
Chọn đáp án C.
Cho hàm số: fx=x2+3x2−2x−3 khi x≠4a+5 khi x=4, tìm a để f(x) liên tục tại x = 4.
a=195+5
a=195−5
a = –5.
a = 5.
Ta có f(x) liên tục tại x = 4 thì:
limx→4fx=limx→4x2+3x2−2x−3=42+342−2.4−3=195=f4
⇔a+5=f4=195⇔a=195−5
Vậy a=195−5 thì hàm số liên tục tại x = 4.
Chọn đáp án B.
Cho hàm số fx=x2−5x+64x+1−3 khi x>22mx−1 khi x≤2. Tìm giá trị của tham số m để hàm số liên tục trên ℝ.
m=−32.
m=−18.
m=18.
m=32.
Tập xác định D=ℝ.
Khi x∈2;+∞ thì fx=x2−5x+64x+1−3 là hàm sơ cấp xác định trên 2;+∞nên hàm số f(x) liên tục trên 2;+∞
Khi x∈−∞;2 thì fx=2mx−1 là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên −∞;2
Do đó hàm số liên tục trên ℝkhi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 2.
Ta có: f(2) = 4m – 1.
limx→2+fx=limx→2+x2−5x+64x+1−3=limx→2+x−2x−34x+1+34x+1−9
=limx→2+x−34x+1+34=−32
limx→2−fx=limx→2−2mx−1=4m−1
Hàm số liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi:
f2=limx→2+fx=limx→2−fx⇔4m−1=−32⇔m=−18
Chọn đáp án B.
Hàm số nào sau đây không liên tục trên ℝ?
y=2x2+1.
y=2x−1x+1.
y=4x3−3x+1.
y=2x−5x2+2.
Hàm số y=2x−1x+1 có tập xác định là D=ℝ\−1 nên hàm số bị gián đoạn tại điểm x = –1. Do đó hàm số y=2x−1x+1 không liên tục trên ℝ
Chọn đáp án B.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết SA vuông góc với đáy và AB = SA = a, AC = 2a. Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC.
30°.
60°.
90°.
45°.
Tam giác ABC vuông tại B ⇒AD=BC=AC2−AB2=2a2−a2=a3
Ta có BC // AD nên SD,BC^=SD,AD^=SDA^
Xét tam giác SAD vuông tại A, ta có tanSDA^=SAAD=33⇒SDA^=30°
Vậy SD,BC^=300.
Chọn đáp án A.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' (tham khảo hình vẽ).
Góc giữa hai đường thẳng AC và A'D bằng
45°.
60°.
30°.
90°.
Do A'C' // AC nên ta có: AC,A'D=A'C',A'D=DA'C'^.
Vì A'D=A'C'=C'D ⇒ΔA'C'D đều ⇒DA'C'^=60°
Chọn đáp án B.
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC^=BAD^=60°, CAD^=90°. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→?
120°.
90°.
60°.
45°.
Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD.
Ta có: IJ→=12IC→+ID→
Vì tam giác ABC có AB = AC và BAC^=60°
Nên tam giác ABC đều. Suy ra: CI⊥AB
Tương tự ta có tam giác ABD đều nên DI⊥AB.
Xét IJ→.AB→=12IC→+ID→.AB→=12IC→.AB→+12ID→.AB→=0→
Suy ra IJ→⊥AB→. Hay góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ bằng 90°.
Chọn đáp án B.
Trong không gian, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Các vectơ AB→+AD→+AA'→, AB→+AD→, CB→−CA→ đồng phẳng.
Các vectơ AA'→, BB'→, CC'→ không đồng phẳng.
Các vectơ AB→+AD→,C'B'→+C'D'→,A'C→ không đồng phẳng.
Các vectơ AB'→+AD'→, AB→+AA'→, AD→+AA'→ đồng phẳng.
Xét phương án A.
Ta có AB→+AD→+AA'→=AC'→, AB→+AD→=AC→, CB→−CA→=AB→.
Các vectơ AB→,AC→,AC'→ không đồng phẳng vì ABCC' là tứ diện.
Xét phương án B. Ta có AA'→, BB'→, CC'→ đồng phẳng vì giá của chúng là các đường thẳng song song nhau nên sẽ luôn song song với một mặt phẳng nào đó.
Xét phương án C. Ta có AB→+AD→=AC→,C'B'→+C'D'→=C'A'→. Các vectơ AC→,C'A'→,A'C→ có giá là các đường thẳng cùng nằm trên mặt phẳng AA'C'C nên chúng đồng phẳng.
Xét phương án D. Ta có AB→+AA'→=AB'→,AD→+AA'→=AD'. Các vectơ AB'→,AD'→,x→=AB'→+AD'→ hiển nhiên đồng phẳng.
Chọn đáp án D.
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C', M là trung điểm của BB'. Đặt CA→=a→,CB→=b→,AA'→=c→. Khẳng định nào sau đây đúng?
AM→=a→−c→+12b→
AM=b→+c→−12a→
AM→=a→+c→−12b→
AM→=b→−a→+12c→
Ta có: AM→=12AB→+12AB'→=12AB→+12AB→+12AA'→
=AC→+CB→+12AA'→=b→−a→+12c→.
Chọn đáp án D.
Tính giới hạn lim13+16+110+...+2(n+1)(n+2), n∈ℕ*.
lim13+16+110+...+2(n+1)(n+2)=lim216+112+120+...+1(n+1)(n+2)=lim[2.(12−13+13−14+14−15+...+1n+1−1n+2)]=lim2.12−1n+2=1
Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là tâm của hình bình hành ABFE và K là tâm của hình bình hành BCGF. Chứng minh các vectơ BD→, IK→, GF→ đồng phẳng.
Vì I, K lần lượt là trung điểm của AF và CF.
Suy ra IK là đường trung bình của tam giác AFC ⇒ IK //AC ⇒ IK // (ABCD)
Mà GF // (ABCD) và BD ⊂ (ABCD) suy ra ba vectơ BD→, IK→, GF→ đồng phẳng.
Một mô hình gồm các khối cầu xếp chồng lên nhau tạo thành một cột thẳng đứng. Biết rằng mỗi khối cầu có bán kính gấp đôi khối cầu nằm ngay trên nó và bán kính khối cầu dưới là 50 cm. Hỏi chiều cao tối đa của mô hình là bao nhiêu?
Gọi bán kính khối cầu dưới cùng là R = 50 cm.
Gọi R1,R2,...,Rn là các khối cầu nằm ngay trên khối cầu cuối cùng.
Ta có: R2=R12,R3=R22=R14,...,Rn=Rn−12=R12n−1
Gọi hn là chiều cao của mô hình gồm các khối cầu chồng lên nhau. Ta có hn=2R1+2R2+...+2Rn
=2R1+12R1+14R1+...+12n−1R1
= 2R11+12+14+...+12n−1
h=limn→+∞hn=limn→+∞[2R11+12+14+...+12n−1]
=2R111−12=4R1
Suy ra h = 4.50 = 200 cm = 2 m. Vậy chiều cao tối đa của mô hình là 2 m.
Chứng minh rằng phương trình (m2 + 1)x3 – 2m2x2 – 4x + m2 + 1 = 0luôn có 3 nghiệm.
Đặt f(x) = (m2 + 1)x3 – 2m2x2 – 4x + m2 + 1.
+ Hàm số f(x) = (m2 + 1)x3 – 2m2x2 – 4x + m2 + 1 liên tục trên ℝ.
+ Ta có: f(x) = m2(x3 – 2x2 + 1) + x3 – 4x + 1
f−3=−44m2−14<0; ∀m
f0=m2+1>0,∀m
f(1) = – 2
f2=m2+1>0 ; ∀m
Vì f(– 3).f(0) < 0nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (–3; 0).
Vì f(0).f(1) < 0nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
Vì f(1).f(2) < 0nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 2).
Vậy phương trình có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–3; 2), mà phương trình đã cho là bậc 3 nên phương trình có đúng 3 nghiệm.
