Bộ 24 Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 11 có đáp án (Mới nhất) (Đề 4)

Ta có : ${\mathrm{u}}_1=\frac{1^2}{1+1}=\frac{1}{2}$.

Ta có:

u₁ = 2.

${\mathrm{u}}_2=2.{\mathrm{u}}_1-1=2.2-1=3$.

${\mathrm{u}}_3=2.{\mathrm{u}}_2-1=2.3-1=5$.

Vậy ba số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là: 2; 3; 5.

Chọn đáp án A.

* Ta có: ${\mathrm{u}}_1=\frac{1-1}{1+2}=0$. Phương án A đúng.

* Ta có ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}-1}{\mathrm{n}+2}=\frac{(\mathrm{n}+2)-3}{\mathrm{n}+2}=1-\frac{3}{\mathrm{n}+2}<1$.

Suy ra:  nên  bị chặn trên. Phương án B đúng.

Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{1}{{\mathrm{n}}^2+3\mathrm{n}+2}=\frac{1}{\left(\mathrm{n}+1\right)\left(\mathrm{n}+2\right)} \\ =\frac{1}{1.2-1.1}\left(\frac{1}{\mathrm{n}+1}-\frac{1}{\mathrm{n}+2}\right) \\ =\frac{1}{\mathrm{n}+1}-\frac{1}{\mathrm{n}+2} \end{gathered}$$

Suy ra: ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=2^{\frac{1}{\mathrm{n}+1}-\frac{1}{\mathrm{n}+2}}$.

$\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{u}}_1=2^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\\ {\mathrm{u}}_2=2^{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}\\ {\mathrm{u}}_3=2^{\frac{1}{4}-\frac{1}{5}}\\ .....\\ {\mathrm{u}}_{2021}=2^{\frac{1}{2022}-\frac{1}{2023}}\end{array}\right.$.

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\mathrm{u}}_1.{\mathrm{u}}_2.{\mathrm{u}}_3....{\mathrm{u}}_{2021} \\ =2^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}.2^{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}.2^{\frac{1}{4}-\frac{1}{5}}.{...2}^{\frac{1}{2022}-\frac{1}{2023}} \\ =2^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+....+\frac{1}{2022}-\frac{1}{2023}} \\ =2^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2023}}=2^{\frac{2021}{4046}} \end{gathered}$$

Chọn đáp án C.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{u}}_1=1\\ {\mathrm{u}}_2={\mathrm{u}}_1.3^1\\ {\mathrm{u}}_3={\mathrm{u}}_2.3^2\\ .....\\ {\mathrm{u}}_{10}={\mathrm{u}}_9.3^9\end{array}\right.$

$\Rightarrow {\mathrm{u}}_1.{\mathrm{u}}_2.{\mathrm{u}}_3....{\mathrm{u}}_{10}$$={\mathrm{u}}_1.{\mathrm{u}}_2....{\mathrm{u}}_9.3^1.3^2.{...3}^9$$\iff {\mathrm{u}}_{10}=3^{1+2+....+9}=3^{\frac{9.10}{2}}=3^{45}$.

Chọn đáp án A.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{u}}_1+\left(\mathrm{n}-1\right)\mathrm{d}$

Ta có: ${\mathrm{u}}_{21}={\mathrm{u}}_1+\left(21-1\right)\mathrm{d}$$\iff 62=2+20\mathrm{d}$$\iff \mathrm{d}=3$.

­Vậy công sai của cấp số cộng đó là 3.

Áp dụng tính chất của cấp số cộng ${\mathrm{u}}_{\mathrm{k}}=\frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{k}-1}+{\mathrm{u}}_{\mathrm{k}+1}}{2}$ với $\mathrm{k}\ge 2$ ta có:

Ba số: 4 ; 5m+1; 32-7m theo thứ tự lập thành cấp số cộng

$\iff 5\mathrm{m}+1=\frac{4+\left(32-7\mathrm{m}\right)}{2}$$\iff 10\mathrm{m}+2=-7\mathrm{m}+36$$\iff \mathrm{m}=2$.

Vậy m = 2 thỏa mãn đề bài.

Ta có tổng của 8 số hạng của cấp số cộng ${\mathrm{S}}_8=\frac{\left({\mathrm{u}}_1+{\mathrm{u}}_8\right).8}{2}=4\left(-2+32\right)=120$

Chọn đáp án C.

Cấp số cộng (u_n) có công sai là d.

Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{u}}_1+\mathrm{d}=4\\ {\mathrm{u}}_1+3\mathrm{d}=6\end{array}\right.$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{u}}_1=3\\ \mathrm{d}=1\end{array}\right.$

Vậy ${\mathrm{u}}_9={\mathrm{u}}_1+8\mathrm{d}=11$.

Chọn đáp án A.

Cấp số nhân (u_n) có công bội là q.

Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{u}}_3=7\\ {\mathrm{u}}_5=28\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{u}}_1.{\mathrm{q}}^2=7\\ {\mathrm{u}}_1.{\mathrm{q}}^4=28\end{array}\right.\Rightarrow {\mathrm{q}}^2=4$ .

Mà q > 0 nên q = 2.

Chọn đáp án C.

Ta có số hạng thứ mười ${\mathrm{u}}_{10}={\mathrm{u}}_1.{\mathrm{q}}^9=16.{\left(\frac{1}{2}\right)}^9=\frac{1}{32}$

Chọn đáp án D.

Gọi u_n là số hạng thứ n của dãy.

Ta có: số hạng tổng quát của cấp số nhân: ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{u}}_1.{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}-1}$

$\Rightarrow -39366=-2{.3}^{\mathrm{n}-1}$$\iff 3^{\mathrm{n}-1}=19683$$\iff 3^{\mathrm{n}-1}=3^9$$\iff \mathrm{n}=10$.

Vậy –39366 là số hạng thứ 10.

Chọn đáp án A.

+) Trường hợp q = 1.

Ta có ${\mathrm{u}}_1={\mathrm{u}}_2=...={\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=...$

Khi đó từ giả thiết ta có: $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{u}}_1+{\mathrm{u}}_2+...+{\mathrm{u}}_5=30\\ {\mathrm{u}}_1+{\mathrm{u}}_2+...+{\mathrm{u}}_{10}=50\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}5{\mathrm{u}}_1=30\\ 10{\mathrm{u}}_1=50\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{u}}_1=\frac{30}{5}\\ {\mathrm{u}}_1=5\end{array}\right.$ (vô lý)

+) Trường hợp $\mathrm{q}\ne 1$.

Theo giả thiết ta có $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{S}}_5=30\\ {\mathrm{S}}_{10}=50\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{{\mathrm{u}}_1\left(1-{\mathrm{q}}^5\right)}{1-\mathrm{q}}=30\left(1\right)\\ \frac{{\mathrm{u}}_1\left(1-{\mathrm{q}}^{10}\right)}{1-\mathrm{q}}=50\left(2\right)\end{array}\right.$

Chia vế cho vế của (2) cho (1) ta được: $1+{\mathrm{q}}^5=\frac{5}{3}\iff {\mathrm{q}}^5=\frac{2}{3}\iff \mathrm{q}=\sqrt[5]{\frac{2}{3}}$.

Chọn đáp án D.

Chọn đáp án C.

Ta có $\lim {\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}=0$ nếu $\left|\mathrm{q}\right|<1$.

Mà $\left|\frac{2021}{\text{643}\mathrm{\pi }}\right|>1$, $\left|\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right|>1$, $\left|\frac{4}{\mathrm{\pi }}\right|>1$, $\left|\frac{2\mathrm{\pi }}{7}\right|<1$.

Do đó $\lim {\left(\frac{2\mathrm{\pi }}{7}\right)}^{\mathrm{n}}=0$.

Chọn đáp án B.

Ta có $\frac{1}{2\mathrm{n}}\to 0$ khi $\mathrm{n}\to +\infty$.

Áp dụng kết quả $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}}=1$, ta có $\mathrm{I}=\lim \left(\mathrm{nsin}\frac{1}{2\mathrm{n}}\right)=\lim \left(\frac{1}{2}.\frac{\sin \frac{1}{2\mathrm{n}}}{\frac{1}{2\mathrm{n}}}\right)$$=\frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}$

Vậy $\mathrm{I}=\frac{1}{2}$

Chọn đáp án C.

Ta có $\mathrm{I}=\lim \frac{{\mathrm{n}}^2\left(3\mathrm{n}+2\right)}{{\left(\mathrm{n}+1\right)}^2\left(\mathrm{n}+3\right)}$$=\lim \frac{3+\frac{2}{\mathrm{n}}}{{\left(1+\frac{1}{\mathrm{n}}\right)}^2\left(1+\frac{3}{\mathrm{n}}\right)}$$=3$

Chọn đáp án B.

Chọn đáp án A.

Chọn đáp án A.

Chọn đáp án A.

Ta có

$$\begin{gathered} \frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}+...+\frac{1}{3{.2}^{\mathrm{n}}} \\ =\frac{1}{3.2}+\frac{1}{3{.2}^2}+\frac{1}{3{.2}^3}+...+\frac{1}{3{.2}^{\mathrm{n}}} \\ =\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{\mathrm{n}}}\right) \\ =\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{\frac{1}{2^{\mathrm{n}}}-1}{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}.\frac{1}{2^{\mathrm{n}}} \end{gathered}$$

Khi đó $\lim \left(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}+...+\frac{1}{3{.2}^{\mathrm{n}}}\right)$$=\lim \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}.\frac{1}{2^{\mathrm{n}}}\right)$$=\frac{1}{3}$ .

Ta có a = 1, b = 3. Vậy $\mathrm{P}=\mathrm{a}-{\mathrm{b}}^2=-8$.

$\left\{\begin{array}{l}\left(\mathrm{P}\right) \text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\left(\mathrm{Q}\right)\\ \mathrm{d}\subset \left(\mathrm{P}\right)\end{array}\right.\Rightarrow$ d và (Q) không có điểm chung hay d song song với (Q).

Chọn đáp án D.

G là trọng tâm tứ diện ABCD $\iff$$\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}+\overrightarrow{\mathrm{GD}}=\overrightarrow{0}$

$\iff$$\left(\overrightarrow{\mathrm{GM}}+\overrightarrow{\mathrm{MA}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{GM}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}\right)$$+\left(\overrightarrow{\mathrm{GM}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{GM}}+\overrightarrow{\mathrm{MD}}\right)=\overrightarrow{0}$, với mọi điểm M

$\iff$$\overrightarrow{\mathrm{MG}}=\frac{1}{4}.\left(\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}+\overrightarrow{\mathrm{MD}}\right)$, với mọi điểm M.

Vậy $\mathrm{k}=\frac{1}{4}$

Chọn đáp án D.

Xét hình lập phương ABCD.A'B'C'D', ta có ${\mathrm{AA}}^{\text{'}}\perp \mathrm{AB};$${\mathrm{AA}}^{\text{'}}\perp \mathrm{AD}$ nhưng AB và AD cắt nhau. Do đó phương án A sai.

+ Vì tam giác ABC là tam giác đều suy ra IB vuông góc với AC.

+ Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{SA}}.\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\overrightarrow{\mathrm{IA}}-\overrightarrow{\mathrm{IS}}\right)\left(\overrightarrow{\mathrm{IC}}-\overrightarrow{\mathrm{IB}}\right)$$=\overrightarrow{\mathrm{IA}}.\overrightarrow{\mathrm{IC}}-\overrightarrow{\mathrm{IA}}.\overrightarrow{\mathrm{IB}}-\overrightarrow{\mathrm{IS}}.\overrightarrow{\mathrm{IC}}+\overrightarrow{\mathrm{IS}}.\overrightarrow{\mathrm{IB}}$$=-{\mathrm{a}}^2$

Ta có  ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}-5=\frac{6{.5}^{\mathrm{n}}+5{.2}^{\mathrm{n}}}{5^{\mathrm{n}}+2^{\mathrm{n}}}-5=\frac{5^{\mathrm{n}}}{5^{\mathrm{n}}+2^{\mathrm{n}}}$$\Rightarrow \frac{1}{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}-5}=\frac{5^{\mathrm{n}}+2^{\mathrm{n}}}{5^{\mathrm{n}}}=1+{\left(\frac{2}{5}\right)}^{\mathrm{n}}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{S}=\frac{1}{{\mathrm{u}}_1-5}+\frac{1}{{\mathrm{u}}_2-5}+...+\frac{1}{{\mathrm{u}}_{2021}-5} \\ =\left[1+{\left(\frac{2}{5}\right)}^1\right]+\left[1+{\left(\frac{2}{5}\right)}^2\right]+...+ \\ \left[1+{\left(\frac{2}{5}\right)}^{2021}\right] \\ =\left[2021+\frac{2}{5}.\frac{1-{\left(\frac{2}{5}\right)}^{2021}}{1-\frac{2}{5}}\right] \\ =\left[2021+\frac{2}{3}.\left(1-{\left(\frac{2}{5}\right)}^{2021}\right)\right] \\ =\left[\frac{6065}{3}-\frac{2}{3}{\left(\frac{2}{5}\right)}^{2021}\right]. \end{gathered}$$

Mà $\mathrm{S}=\frac{\mathrm{a}}{3}-\frac{\mathrm{b}}{3}{\left(\frac{2}{5}\right)}^{\mathrm{c}}$ nên $\mathrm{a}=6065;$$\mathrm{b}=2;$$\mathrm{c}=2021$.

Nên $\mathrm{a}+2{\mathrm{b}}^2-2\mathrm{c}=6065+2{.2}^2-2.2021$$=2031$

+) Ta có: ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=2021{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}-1}-1$$\iff {\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}-\frac{1}{2020}=2021\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}-1}-\frac{1}{2020}\right)$

+) Đặt ${\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}-\frac{1}{2020}$. Ta có  ${\mathrm{v}}_1={\mathrm{u}}_1-\frac{1}{2020}=-1-\frac{1}{2020}=-\frac{2021}{2020}$ và ${\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}=2021{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}-1},\forall \mathrm{n}\ge 2$

Suy ra dãy (v_n)là cấp số nhân với công bội là q = 2021, ${\mathrm{v}}_1=-\frac{2021}{2020}$

Khi đó ${\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{v}}_1.{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}-1}=-\frac{2021}{2020}.{2021}^{\mathrm{n}-1}$$=-\frac{{2021}^{\mathrm{n}}}{2020},\forall \mathrm{n}\ge 1$

Do đó ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}+\frac{1}{2020}=-\frac{{2021}^{\mathrm{n}}}{2020}+\frac{1}{2020},$$\forall \mathrm{n}=1,2,...$

+) Ta có: $\lim \frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{2021}^{\mathrm{n}}}=\lim \left(-\frac{1}{2020}+\frac{1}{2020{.2021}^{\mathrm{n}}}\right)$$=-\frac{1}{2020}$

a) Chứng minh $\left({\mathrm{AB}}^{\text{'}}{\mathrm{D}}^{\text{'}}\right)\text{//}\left({\mathrm{BC}}^{\text{'}}\mathrm{D}\right)$.

Từ giả thiết ta có $\left.\begin{array}{l}\mathrm{BD}\text{//}{\mathrm{B}}^{\text{'}}{\mathrm{D}}^{\text{'}}\\ {\mathrm{AB}}^{\text{'}}\text{//}{\mathrm{DC}}^{\text{'}}\end{array}\right\}\Rightarrow \left({\mathrm{AB}}^{\text{'}}{\mathrm{D}}^{\text{'}}\right)\text{//}\left({\mathrm{BC}}^{\text{'}}\mathrm{D}\right)$

b) Chứng minh ${\mathrm{AC}}^{\text{'}}\perp {\mathrm{A}}^{\text{'}}\mathrm{B}$

Ta có: $\overrightarrow{{\mathrm{AC}}^{\text{'}}}.\overrightarrow{{\mathrm{A}}^{\text{'}}\mathrm{B}}=\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{\text{'}}}\right).$$\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{\text{'}}}\right)$

$$\begin{gathered} ={\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2+\overrightarrow{\mathrm{AD}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{\text{'}}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{\text{'}}} \\ -\overrightarrow{\mathrm{AD}}.\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{\text{'}}}-{\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{\text{'}}}}^2 \\ \Rightarrow \overrightarrow{{\mathrm{AC}}^{\text{'}}}\perp \overrightarrow{{\mathrm{A}}^{\text{'}}\mathrm{B}}\Rightarrow {\mathrm{AC}}^{\text{'}}\perp {\mathrm{A}}^{\text{'}}\mathrm{B} \end{gathered}$$.

c) Chứng minh $\mathrm{MN}\text{//}\left({\mathrm{AB}}^{\text{'}}{\mathrm{D}}^{\text{'}}\right)$

Dễ thấy M, N không thuộc (AB'D').

$\mathrm{MN}\text{//}\left({\mathrm{AB}}^{\text{'}}{\mathrm{D}}^{\text{'}}\right)\iff \overrightarrow{\mathrm{MN}},\overrightarrow{{\mathrm{AB}}^{\text{'}}},\overrightarrow{{\mathrm{AD}}^{\text{'}}}$ đồng phẳng $\iff \exists \mathrm{m},\mathrm{n}:\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\mathrm{m}\overrightarrow{{\mathrm{AB}}^{\text{'}}}+\mathrm{n}\overrightarrow{{\mathrm{AD}}^{\text{'}}}$

Đặt $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{b}},\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{\text{'}}}=\overrightarrow{\mathrm{c}}$

 $$\begin{gathered} \overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{AN}}-\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{\text{'}}}+\overrightarrow{{\mathrm{A}}^{\text{'}}\mathrm{N}}-\frac{1}{5}\overrightarrow{\mathrm{AD}} \\ =\overrightarrow{\mathrm{c}}+\frac{2}{5}\overrightarrow{{\mathrm{A}}^{\text{'}}\mathrm{C}}-\frac{1}{5}\overrightarrow{\mathrm{b}} \\ =\overrightarrow{\mathrm{c}}+\frac{2}{5}\left(\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{c}}\right)-\frac{1}{5}\overrightarrow{\mathrm{b}} \\ =\frac{2}{5}\overrightarrow{\mathrm{a}}+\frac{1}{5}\overrightarrow{\mathrm{b}}+\frac{3}{5}\overrightarrow{\mathrm{c}} \end{gathered}$$

$\overrightarrow{{\mathrm{AB}}^{\text{'}}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}$, $\overrightarrow{{\mathrm{AD}}^{\text{'}}}=\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}$

$\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\mathrm{m}\overrightarrow{{\mathrm{AB}}^{\text{'}}}+\mathrm{n}\overrightarrow{{\mathrm{AD}}^{\text{'}}}$$\iff \frac{2}{5}\overrightarrow{\mathrm{a}}+\frac{1}{5}\overrightarrow{\mathrm{b}}+\frac{3}{5}\overrightarrow{\mathrm{c}}$$=\mathrm{m}\overrightarrow{\mathrm{a}}+\mathrm{n}\overrightarrow{\mathrm{b}}+\left(\mathrm{m}+\mathrm{n}\right)\overrightarrow{\mathrm{c}}$$\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}=\frac{2}{5}\\ \mathrm{n}=\frac{1}{5}\end{array}\right.$$\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{2}{5}\overrightarrow{{\mathrm{AB}}^{\text{'}}}+\frac{1}{5}\overrightarrow{{\mathrm{AD}}^{\text{'}}}$

Vậy MN // (AB'D').