Đề thi
Bộ 20 đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án (Đề 2)
AdminToánLớp 1271 lượt thi
50 câu hỏi
1. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó?
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\).
\(y = {x^3} + 4x + 1\).
\(y = {x^2} + 1\).
\(y = {x^4} + 2{x^2} + 1\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Vì hàm số \(y = {x^3} + 4x + 1\)có \(y' = 3{x^2} + 4 > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Vậy hàm số \(y = {x^3} + 4x + 1\)luôn đồng biến trên tập xác định của nó.
2. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( {0;\,4} \right)\).
\(\left( {0;\,2} \right)\).
\(\left( {0;\,3} \right)\).
\(\left( { - \infty ;\,0} \right)\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Trên khoảng \(\left( {0;\,2} \right)\)đồ thị hàm số là một đường cong đi lên từ trái sang phải, vì vậy hàm số đồng biến trên\(\left( {0;2} \right)\).
3. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Bảng biến thiên sau là của hàm số nào?
\(y = {x^4} - 2{x^2} + 1\).
\(y = - {x^4} + 2{x^2} + 3\).
\(y = {x^4} - 2{x^2} + 3\).
\(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Từ bảng biến thiên ta có hàm số có hệ số \(a < 0\), vậy loại đáp án A,C
Ta có \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1 \Rightarrow y' = - 4{x^2} + 4x\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = \pm 1}\end{array}} \right. \Rightarrow y\left( 0 \right) = 1;y\left( { \pm 1} \right) = 2\). Vậy chọn đáp án D
4. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y\, = \,{x^4}\, - \,2{x^2}\, + \,1\) là
\(\left( { - 1\,;\,0} \right)\).
\(\left( {1\,;\,0} \right)\).
\(\left( { - 1\,;\,0} \right)\) và \(\left( {1\,;\,0} \right)\).
\(\left( {0\,;\,1} \right)\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Tập xác định: \[D\, = \,\mathbb{R}\].
Ta có: \(y'\, = \,4{x^3}\, - \,4x\). Cho \(y'\, = \,0\,\)\( \Leftrightarrow \,4{x^3}\, - \,4x\, = \,0\)\( \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x\, = \,0\\x\, = \, \pm 1\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy tọa độ điểm cực đại là \(\left( {0\,;\,1} \right)\).
5. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị trên một khoảng \(K\) như hình vẽ bên. Trên \(K\), hàm số có bao nhiêu cực trị?
\(3\).
\(2\).
\(0\).
\(1\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Trên \(K\), hàm số có \(2\)cực trị.
6. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số bằng
\( - \frac{{25}}{4}\).
\( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\( - 6\).
\(0\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Dựa vào BBT ta có đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua \(x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) và \(x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) và \(x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Khi đó giá trị cực tiểu của hàm số bằng \(y\left( { \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = - \frac{{25}}{4}\).
7. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Giá trị lớn nhất của hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + x - 2\] trên đoạn \[\left[ {0;2} \right]\] bằng
\[ - \frac{{50}}{{27}}\].
\[ - 2\].
\[1\].
\[0\].
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + x - 2\] liên tục trên đoạn \[\left[ {0;2} \right]\].
Ta có \[f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ {0;\,\,2} \right]\\x = \frac{1}{3} \in \left[ {0;\,\,2} \right]\end{array} \right.\].
Do \(f\left( 0 \right) = - 2\), \(f\left( 1 \right) = - 2\), \(f\left( 2 \right) = 0\), \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) = - \frac{{50}}{{27}}\) nên giá trị lớn nhất của hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + x - 2\] trên đoạn \[\left[ {0;2} \right]\] bằng \(0\).
8. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left[ { - 1;4} \right]\] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi \[M\] và \[m\] lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \[\left[ { - 1;4} \right]\]. Giá trị của \[M + 2m\] bằng
0.
-3.
-5.
2.
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Quan sát đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên \[\left[ { - 1;4} \right]\] ta có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \[\left[ { - 1;4} \right]\] lần lượt là \[M = 3;m = - 3\]. Vậy giá trị của \[M + 2m = 3 + 2.\left( { - 3} \right) = - 3\].
9. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Đồ thị hàm số nào trong các hàm số được cho dưới đây không có tiệm cận ngang?
\(y = \frac{{x + 2}}{{{x^2} + 1}}\).
\(y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\).
\(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 2}}\).
\(y = \frac{1}{{x + 2}}\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x + 2}}{{{x^2} + 1}} = 0\) nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 0\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x + 2}}{{x + 1}} = 1\) nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 2}} = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 2}} = - \infty \)nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{x + 2}} = 0\) nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 0\).
10. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có bảng biến thiên như sau:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Hàm số có hai điểm cực trị.
Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \[2\] và giá trị nhỏ nhất bằng \[ - 3\].
Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( { - \infty ; - 1} \right)\], \[\left( {2; + \infty } \right)\].
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = + \infty \], nên hàm số không có giá trị lớn nhất.
11. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Tìm hàm số đó.
\(y = {x^3} - 3x + 2\).
\(y = {x^4} - {x^2} + 1\).
\(y = {x^4} + {x^2} + 1\).
\(y = - {x^3} + 3x + 2\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Dựa vào hình dáng đồ thị ta thấy:
+) Đồ thị của hàm số đa thức bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,(a \ne 0)\)\( \Rightarrow \)loại đáp án B,
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \Rightarrow \)Hệ số\(a\)dương. Loại đáp án
Hàm số ở đáp án A thỏa mãn.
12. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Số các đỉnh hoặc các mặt của bất kì hình đa diện nào cũng
lớn hơn hoặc bằng \(4\).
lớn hơn \(4\).
lớn hơn hoặc bằng \(5\).
lớn hơn \(5\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Do ba điểm bất kì đều đồng phẳng nên đáp án đúng là A
Mà tứ diện là khối đa diện có số đỉnh và số mặt đều là \[4\].
13. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Khối lăng trụ ngũ giác có tất cả bao nhiêu cạnh ?
\[20\].
\[25\].
\[10\].
\[15\].
Xem đáp án 
Lời giải
Chọn D
Hình vẽ.
14. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Hình bát diện đều có bao nhiêu đỉnh?
\(8\).
\(12\).
\(6\).
\(10\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Hình bát diện đều có \(6\) đỉnh.
15. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tổng số đỉnh, số cạnh và số mặt của hình lập phương là
\(16\).
\(26\).
\(8\).
\(24\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Hình lập phương có 8 đỉnh, 12 cạnh và 6 mặt.
Vậy tổng số đỉnh, số cạnh và số mặt của hình lập phương là \(26\).
16. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật với \(AB = a,AD = 2a,SA\)vuông góc với mặt đáy và \(SA = a\sqrt 3 .\) Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng.
\({a^3}\sqrt 3 \).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
\(2{a^3}\sqrt 3 \).
\(\frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
\(V = \frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3}.a.2a.a\sqrt 3 = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
17. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tính thể tích khối chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng \(a\), chiều cao bằng \(3a\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
\(\frac{{{a^3}}}{3}\).
\({a^3}\).
Xem đáp án 
Lời giải
Chọn D
Ta có: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}h.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.3a.{a^2} = {a^3}\)
18. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích là \(V\), thể tích của khối chóp \(C'.ABC\) là:
\[2V\].
\(\frac{1}{2}V\).
\(\frac{1}{3}V\).
\(\frac{1}{6}V\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Gọi \(h\) là khoảng cách từ \(C'\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(B\) là diện tích tam giác \(ABC\). Khi đó, thể tích lăng trụ \(V = Bh\), thể tích khối chóp \(C'.ABC\) là \[{V_{C'.ABC}} = \frac{1}{3}Bh\]. Do đó, \[{V_{C'.ABC}} = \frac{1}{3}V\].
19. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho khối hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\] có \[AB = a,\]\[AD = b,\]\[\,AA' = c\]. Thể tích của khối hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\]bằng bao nhiêu?
\[abc.\]
\[\frac{1}{2}abc.\]
\[\frac{1}{3}abc.\]
\[3abc.\]
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Thể tích hình hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\] là \[V = abc.\]
20. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f{\rm{'}}\left( x \right) = x{\left( {x + 1} \right)^2}\). Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
\(\left( { - 1;0} \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Ta có \(f{\rm{'}}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = - 1}\end{array}} \right.\).
Có \(f{\rm{'}}\left( x \right) = x{\left( {x + 1} \right)^2}\). Ta thấy đạo hàm của hàm số đổi dấu từ âm sang dương khi qua nghiệm \(x = 0\) và không đổi dấu khi qua nghiệm \(x = - 1\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
21. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = - \frac{{{x^3}}}{3} + m{x^2} - 6mx + 2\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?
\(6\).
\(7\).
vô số.
\(5\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Ta có: \(y' = - {x^2} + 2mx - 6m\)
Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow y' = - {x^2} + 2mx - 6m \le 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\a < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m \le 0\\ - 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m \le 6\). Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6} \right\}\).
Vậy có \(7\) giá trị \(m\) nguyên thỏa mãn bài toán.
22. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^3}\)với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\)là
\(6\).
\(4\).
\(2\).
\(3\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)trong đó có \(x = 0\)là nghiệm bội \(2\), \(x = 1\)là nghiệm đơn, \(x = - 1\)là nghiệm bội \(3\)và hàm số có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Ta có bảng xét dấu
Vậy nên hàm số có \[2\]điểm cực trị.
23. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Biết \(M\left( {0;2} \right)\), \(N\left( {2; - 2} \right)\) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Tính giá trị của hàm số tại \(x = - 2\).
\(y\left( { - 2} \right) = 2\).
\(y\left( { - 2} \right) = 22\).
\(y\left( { - 2} \right) = 6\).
\(y\left( { - 2} \right) = - 18\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Ta có: \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\).
Vì \(M\left( {0;2} \right)\),\(N\left( {2; - 2} \right)\) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số nên:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y'\left( 0 \right) = 0}\\{y'\left( 2 \right) = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 0}\\{12a + 4b + c = 0}\end{array}} \right.\left( 1 \right)\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y\left( 0 \right) = 2}\\{y\left( 2 \right) = - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{d = 2}\\{8a + 4b + 2c + d = - 2}\end{array}} \right.\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\)suy ra:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = - 3}\\{c = 0}\\{d = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow y = {x^3} - 3{x^2} + 2 \Rightarrow y\left( { - 2} \right) = - 18\).
24. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm tất cả các giá trị của \[m\] để hàm số \(y = \left( {m + 1} \right){x^4} + 2\left( {m - 2} \right){x^2} + 1\) có ba cực trị.
\( - 1 < m < 2\).
\(m > 2\).
\( - 1 \le m \le 2\).
\(m < - 1\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
\(y' = 4\left( {m + 1} \right){x^3} + 4\left( {m - 2} \right)x = 4x\left( {\left( {m + 1} \right){x^2} + m - 2} \right)\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\left( {m + 1} \right){x^2} + m - 2 = 0\end{array} \right.\).
Hàm số có ba cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) có ba nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \frac{{2 - m}}{{m + 1}} > 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 2\).
25. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Gọi \(m\) là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x - 1 + \frac{4}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\). Tìm \(m\).
\(m = 2\).
\(m = 5\).
\(m = 3\).
\(m = 4\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Ta có: \(y' = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\). Cho \(y' = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 1\end{array} \right.\).
Mà \(y\left( 3 \right) = 4\); \(\mathop {\lim }\limits_{n \to {1^ + }} y = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } y = + \infty \) nên hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng \(4\) khi \(x = 3\).
26. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) bằng 8 với \(m\) là tham số thực). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(0 < m < 4.\)
\(4 < m < 8.\)
\(8 < m < 10.\)
\(m > 10.\)
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Hàm số đã cho liên tục và đơn điệu trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\). Khi đó, hàm số đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt tại \(x = 1\) và \(x = 2\) hoặc ngược lại.
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là: \(y\left( 1 \right) + y\left( 2 \right) = 8 \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{2} + \frac{{m + 2}}{3} = 8 \Leftrightarrow m = \frac{{41}}{5}.\)
27. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{2}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\) bằng
\(2\).
\(1\).
\(3\).
\(0\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Tập xác định \(D = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
Ta có
\(\mathop {lim}\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {lim}\limits_{x \to \pm \infty } \frac{2}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = 0 \Rightarrow y = 0\) là tiệm cận ngang.
\(\mathop {lim}\limits_{x \to - {2^ - }} y = \mathop {lim}\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{2}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = + \infty \Rightarrow x = - 2\) là tiệm cận đứng.
\(\mathop {lim}\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {lim}\limits_{x \to {2^ + }} \frac{2}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = + \infty \Rightarrow x = 2\) là tiệm cận đứng.
Vậy số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \(3\).
28. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Đồ thị hàm số \[y = \frac{{x + 1}}{{x - m}}\] có đường tiệm cận đứng là \[x = 3\]. Giá trị của \[m\] bẳng
\(3\).
\(4\).
\(5\).
\(6\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Áp dụng:
Hàm số\[y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\], (với điều kiện \[c \ne 0\,\], \[ad - cb \ne 0\]) đồ thị có đường tiệm cận đứng \[x = \frac{{ - d}}{c}\].
Cách 1 (TN):
Với \(m = 3\)\[ \Rightarrow \] đồ thị hàm số \[y = \frac{{x + 1}}{{x - m}} = \frac{{x + 1}}{{x - 3}}\]có đường tiệm cận đứng là \[x = 3\].
Với \(m = 4\)\[ \Rightarrow \] đồ thị hàm số \[y = \frac{{x + 1}}{{x - m}} = \frac{{x + 1}}{{x - 4}}\]có đường tiệm cận đứng là \[x = 4\].
Với \(m = 5\)\[ \Rightarrow \] đồ thị hàm số \[y = \frac{{x + 1}}{{x - m}} = \frac{{x + 1}}{{x - 5}}\]có đường tiệm cận đứng là \[x = 5\].
Với \(m = 6\)\[ \Rightarrow \] đồ thị hàm số \[y = \frac{{x + 1}}{{x - m}} = \frac{{x + 1}}{{x - 6}}\]có đường tiệm cận đứng là \[x = 6\].
Vậy giá trị cần tìm của \[m\] bẳng 3.
Cách 2 (TL):
Hàm số \[y = \frac{{x + 1}}{{x - m}}\] có tập xác định \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\].
Với\[m = - 1 \Rightarrow y = \frac{{x + 1}}{{x + 1}} = 1,\forall x \ne 1\]\[ \Rightarrow \] đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Với\[m \ne - 1\,\,\]thì đồ thị hàm số \[y = \frac{{x + 1}}{{x - m}}\]có đường tiệm cận đứng là \[x = m\,\,\,(1)\].
Giả thiết cho đồ thị hàm số \[y = \frac{{x + 1}}{{x - m}}\] có đường tiệm cận đứng là \[x = 3\,\,(2)\].
Từ (1) và (2) ta có \(m = 3\).
29. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(ac > 0,bd > 0\).
\(ab < 0,cd < 0\).
\(bc > 0,ad < 0\).
\(bc\left\langle {0,ad} \right\rangle 0\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{d}{c}} \right\}\).
Do đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x = - \frac{d}{c}\) nằm bên phải trục tung nên \( - \frac{d}{c} > 0 \Leftrightarrow cd < 0\). \(\left( 1 \right)\)
Do đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \(y = \frac{a}{c}\) nằm phía trên trục hoành nên
\(\frac{a}{c} > 0 \Leftrightarrow ac > 0\). \(\left( 2 \right)\)
Hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đạo hàm \(y' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\).
Từ đồ thị, hàm số nghịch biến trên từng khoảng của tập xác định suy ra \(ad - bc < 0\) hay \(ad < bc\) (loại đáp án D).
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm \(\left( { - \frac{b}{a};0} \right)\), điểm này nằm phía bên trái trục tung nên \( - \frac{b}{a}\left\langle {0 \Leftrightarrow ab} \right\rangle 0\)\(\left( 3 \right)\)(loại đáp án B).
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\) ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{cd < 0}\\{ac > 0}\\{ab > 0}\end{array}} \right.\), suy ra \(a,b,c\)cùng dấu và \(d\) trái dấu với \(a,b,c\).
Khi đó \(bd < 0\) (loại đáp án A).
Kết luận: Chọn đáp án C: \(bc > 0,ad < 0\).
30. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + 2}}{{cx + b}}\)có đồ thị như hình vẽ. Hãy tính tổng \(S = a + b + c\).
\(S = 2\).
\(S = 1\).
\(S = 3\).
\(S = 4\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\)\( \Leftrightarrow - \frac{b}{c} = 1 \Leftrightarrow b + c = 0\)\(\left( 1 \right)\)
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{a}{c} = 1 \Leftrightarrow a - c = 0\)\(\left( 2 \right)\)
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm \(\left( { - 2;0} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{ - 2a + 2}}{{ - 2c + b}} = 0 \Leftrightarrow a = 1\)\(\left( 3 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\)và \(\left( 3 \right)\)\( \Rightarrow a = 1\), \(b = - 1\), \(c = 1\).
Vậy \(S = a + b + c = 1\).
31. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ
Số nghiệm thực của phương trình \(f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\) là
\(0\).
\(2\).
\(1\).
\(3\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Từ bảng biến thiên ta thấy \(f\left( 2 \right) = - 2\).
Do đó ta có \(f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = - 2\,\,\left( 1 \right)\).
Từ bảng biến thiên ta nhận được \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \(x = 2\) và \(x = {x_0} \in \left( { - \infty ;0} \right)\).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thực.
32. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\)và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình \(3f\left( x \right) - 5 = 0\)trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\)là
\(1\).
\(0\).
\(3\).
\(2\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Ta có \(3f\left( x \right) - 5 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{5}{3}\).
Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng \(y = \frac{5}{3}\)cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại ba điểm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\).
Do đó phương trình \(3f\left( x \right) - 5 = 0\)có ba nghiệm thự
33. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ
Số các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(f\left( x \right) = 2 - 3m\) có \(4\) nghiệm phân biệt là
\(4\).
\(0\).
\(1\).
\(2\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Số nghiệm của phương trình\(f\left( x \right) = 2 - 3m\) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 2 - 3m\).
Phương trình \(f\left( x \right) = 2 - 3m\) có \(4\) nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \) đường thẳng \(y = 2 - 3m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \(4\) điểm phân biệt.
Từ bảng biến thiên suy ra: \(3 < 2 - 3m < 5 \Leftrightarrow - 1 < m < - \frac{1}{3}\) nên không có giá trị nguyên nào của \(m\) thỏa mãn.
34. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Lăng trụ có \(2020\) đỉnh có số mặt là
\(1009\).
\(1012\).
\(1010\).
\(1011\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Lăng trụ có \(2n\) đỉnh thì có số mặt là \(n + 2.\)
Khi đó lăng trụ có \(2020\) đỉnh thì \(n = 1010\) và có số mặt là \(1010 + 2 = 1012.\)
35. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho khối tứ diện \(ABCD\). Lấy điểm \(M\) nằm giữa \(A\) và \(B\), điểm \(N\) nằm giữa \(C\) và \(D\). Bằng hai mặt phẳng \(\left( {CDM} \right)\) và \(\left( {ABN} \right)\), ta chia khối tứ diện đó thành bốn khối tứ diện nào sau đây?
\(MANC\), \(BCDN\), \(AMND\), \(ABND\).
\(MANC\), \(BCMN\), \(AMND\), \(MBND\).
\(ABCN\), \(ABND\), \(AMND\), \(MBND\).
\(NACB\), \(BCMN\), \(ABND\), \(MBND\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Bằng hai mặt phẳng \(\left( {CDM} \right)\) và \(\left( {ABN} \right)\), ta chia khối tứ diện đó thành bốn khối tứ diện:
\(MANC\), \(BCMN\), \(AMND\), \(MBND\).
36. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
\(2\).
\(3\).
\(5\).
\(4\).
Xem đáp án 
Lời giải
Chọn D
Ta có:
Đó là các mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\], \[\left( {SBD} \right)\], \[\left( {SHJ} \right)\], \[\,\left( {SGI} \right)\] với \[G\], \[H\], \[I\], \[J\] là các trung điểm của các cạnh đáy dưới hình vẽ bên dưới.
37. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hình tứ giác \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\)là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\)vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\sqrt 3 \). Hãy tính thể tích \(V\)của khối chóp \(S.ABCD\).
\(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{6}\).
\(\sqrt 3 {a^3}\).
\(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Thể tích của khối chóp là: \(V = \frac{1}{3}{a^2}.a\sqrt 3 = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
38. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tam giác SAB vuông cân tại S, ABCD là hình vuông cạnh 2a. Thể tích khối chóp S.ABCD là
.
.
.
.
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Gọi H là trung điểm của 
.
.Tam giác SAB vuông cân tại S, suy ra 
.
.Thể tích khối chóp 
39. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu đạo hàm \(f'\left( x \right)\) như hình sau:
Hỏi hàm số \(y = f\left( {2 - x} \right) + \frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} - 5x + 2021\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( {1;3} \right)\).
\(\left( { - 1;1} \right)\).
\(\left( { - 3; - 2} \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 3} \right)\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
\(\begin{array}{*{20}{l}}{y = f\left( {2 - x} \right) + \frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} - 5x + 2021 \Rightarrow y' = f'\left( {2 - x} \right){{\left( {2 - x} \right)}^'} + {x^2} - 4x - 5}\\{ = - f'\left( {2 - x} \right) + {x^2} - 4x - 5}\end{array}\)
Xét khoảng \(\left( {1;\;3} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - x \in \left( { - 1\;;1} \right) \Rightarrow - f'\left( {2 - x} \right) < 0}\\{{x^2} - 4x - 5 \in \left( { - 9; - 8} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow y' < 0\) hàm số nghịch biến
Xét khoảng \(\left( { - 1\;\;;\;\;1} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - x \in \left( {1\;;\;\;3} \right) \Rightarrow - f'\left( {2 - x} \right) > 0}\\{{x^2} - 4x - 5 \in \left( { - 8\;\;;\;\;0} \right)}\end{array}} \right.\)
Xét khoảng \(\left( { - 3\;;\;\; - 2} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - x \in \left( {4;\;\;5} \right) \Rightarrow - f'\left( {2 - x} \right) > 0}\\{{x^2} - 4x - 5 \in \left( {7;\;\;16} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow y' > 0\) hàm số đồng biến
Xét khoảng \(\left( { - \infty ;\;\; - 3} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - x \in \left( {5\;;\;\; + \infty } \right) \Rightarrow - f'\left( {2 - x} \right) < 0}\\{{x^2} - 4x - 5 \in \left( {0\;;\;\; + \infty } \right)}\end{array}} \right.\).
40. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ.
Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{1}{2}{x^2} - 3x\). Khi đó khẳng định nào sau đây đúng ?
\(g\left( 0 \right) \le g\left( 2 \right)\).
\(g\left( { - 2} \right) > g\left( 0 \right)\).
\(g\left( 2 \right) < g\left( 4 \right)\).
\(g\left( { - 4} \right) = g\left( { - 2} \right)\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Ta có \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - x - 3 = f'\left( x \right) - \left( {x + 3} \right)\).
Khi đó: \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) - \left( {x + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \left( {x + 3} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{x = 0{\rm{ }}}\\{x = 2{\rm{ }}}\end{array}} \right.\).
Lập Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) nên suy ra được \(g\left( 2 \right) < g\left( 4 \right)\).
41. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm tham số\(m\)để hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x + 5m}}\)đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 10} \right)\).
\(\left( {\frac{2}{5}; + \infty } \right)\).
\(\left( {\frac{2}{5}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}\).
\(\left( {\frac{2}{5};2} \right]\).
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Ta có: \[y' = \frac{{x + 5m - x - 2}}{{{{\left( {x + 5m} \right)}^2}}} = \frac{{5m - 2}}{{{{\left( {x + 5m} \right)}^2}}}\].
Để hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x + 5m}}\) đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 10} \right)\) thì \[\left\{ \begin{array}{l}y' = \frac{{5m - 2}}{{{{\left( {x + 5m} \right)}^2}}} > 0\\ - 5m \notin \left( { - \infty ; - 10} \right)\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5m - 2 > 0\\m \notin \left( {2; + \infty } \right)\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \frac{2}{5}\\m \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{2}{5} < m \le 2\].
42. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số\(m\) để hàm số \(y = - \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {{m^2} - 2} \right)x + 2019\) đạt cực đại tại \(x = 1\)?
\(1\).
\(3\).
\(0\).
\(2\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Ta có \(y' = - {x^2} + 2mx + {m^2} - 2\) và \(y'' = - 2x + 2m\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\) thì \(y'\left( 1 \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow - {1^2} + 2m.1 + {m^2} - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 3}\\{m = 1}\end{array}} \right.\).
Với \(m = - 3\)ta có \(y''\left( 1 \right) = - 2 \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 3} \right) = - 8 < 0\)nên \(x = 1\) là điểm cực đại.
Suy ra \(m = - 3\) thỏa mãn.
Với \(m = 1\)ta có \(y' = - {x^2} + 2x - 1 = - {\left( {x - 1} \right)^2} \le 0\)\( \Rightarrow \) hàm số luôn nghịch biến, nên hàm số không có cực trị.
Suy ra \(m = 1\) không thỏa mãn.
Vậy \(m = - 3\) thì hàm số \(y = - \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {{m^2} - 2} \right)x + 2019\) tại \(x = 1\).
43. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Số giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) để bất phương trình \(4{\sin ^2}x - 4\cos x \le 4{m^2} - 4m + 5\)nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) là
\(21.\)
\(20\).
\(17\).
\(18\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
\(f\left( x \right) = 4{\sin ^2}x - 4\cos x = - 4{\cos ^2}x - 4\cos x + 4\)
Đặt \(t = c{\rm{os}}x\) ,\(x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;1} \right]\)
\(f\left( t \right) = - 4{t^2} - 4t + 4\)\(f'\left( t \right) = - 8t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{2}\)
Bảng biến thiên
\(t\) | \( - 1\) |
| \( - \frac{1}{2}\) |
| \(1\) |
\(f'\left( t \right)\) | | | \( + \) | \(0\) | \( - \) | | |
\(f\left( t \right)\) |
|
| \(5\) | |
|
\(4\) |
|
|
| \( - 4\) |
Khi đó :
\(4{m^2} - 4m + 5 \ge f\left( t \right)\forall t \in \left[ { - 1;1} \right]\)\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 5 \ge 5\)\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m \ge 0\)\( \Leftrightarrow m \in \left[ { - 10;0} \right] \cup \left[ {1;10} \right]\)
Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên có 21 giá trị thỏa mãn .
44. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\] và có bảng biến thiên như sau:
Tìm số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right) = \frac{1}{{2f\left( x \right) - 3}}\].
Không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
2 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang.
2 tiệm cận ngang, 1 tiệm cận đứng.
1 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang.
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{2f\left( x \right) - 3}} = 0\]
\[ \Rightarrow \] Đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right)\] có tiệm cận ngang là đường thẳng \[y = 0\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{2f\left( x \right) - 3}} = 0\]
\[ \Rightarrow \] Đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right)\] có tiệm cận ngang là đường thẳng \[y = 0\].
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right)\] chính là số nghiệm của phương trình \[2f\left( x \right) = 3\].
Số nghiệm của phương trình \[2f\left( x \right) = 3\] chính là số giao điểm của đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right)\] và đường thẳng \[y = \frac{3}{2}\].
Từ bảng biến thiên, ta thấy đường thẳng \[y = \frac{3}{2}\] cắt đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right)\] tại đúng \[2\] điểm phân biệt, một điểm có hoành độ thuộc \[\left( {1;2} \right)\], điểm còn lại có hoành độ thuộc \[\left( {2; + \infty } \right)\].
Vậy đồ thị hàm số \[y = g\left( x \right)\] có \[1\] tiệm cận ngang và \[2\] tiệm cận đứng.
45. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(f\left( {\left| x \right|} \right) - m = 0\) có 4 nghiệm phân biệt .
6.
7.
8.
9.
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Phương trình (1): \(f\left( {\left| x \right|} \right) - m = 0\)\( \Leftrightarrow f\left( {\left| x \right|} \right) = m\).
Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của hai đồ thị: \(\left( C \right):y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) và \(\left( d \right):y = m\).
Hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\)là hàm số chẵn \( \Rightarrow \left( C \right)\) nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Mà \(y = f\left( {\left| x \right|} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right)khix \ge 0}\\{f\left( { - x} \right)khix < 0}\end{array}} \right.\).
\( \Rightarrow \) Bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\):
Dựa vào bảng biến thiên ta có: phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m \in \left( { - 3;5} \right)\).
Mà \(m \in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\} \Rightarrow \)Có 7 giá trị m thỏa mãn.
46. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\). Tìm số nghiệm của phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\).
\(5\).
\(9\).
\(4\).
\(7\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Xét phương trình \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3x + 1 = 0\) dùng máy tính cầm tay ta ước lượng được phương trình có ba nghiệm và \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} \approx - 1,879\\{x_2} \approx 1,532\\{x_3} \approx 0,347\end{array} \right.\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\), ta có bảng biến thiên của \(f\left( x \right)\) như sau:
Xét phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\;\left( 1 \right)\) ta ước lượng được \(\left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) \approx - 1,879\\f\left( x \right) \approx 1,532\\f\left( x \right) \approx 0,347\end{array} \right.\).
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\) ta có:
+ Với \(f\left( x \right) \approx - 1,879\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có \(1\) nghiệm.
+ Với \(f\left( x \right) \approx 1,532\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có \(3\) nghiệm.
+ Với \(f\left( x \right) \approx 0,347\)phương trình \(\left( 1 \right)\) có \(3\) nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có \(7\) nghiệm.
47. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, mặt bên (SBC) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là mặt phẳng 
đi qua điểm B và vuông góc với SC, chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
đi qua điểm B và vuông góc với SC, chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. 
.
.
.
.
Xem đáp án
Lời giải.
Chọn A
Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của BC, SC.
Vì 
.
.Trên mặt phẳng (ABC), qua B dựng đường thẳng song song với AI, cắt AC tại D.
Trên mặt phẳng (SAC), gọi E là giao điểm của KD và SA.
Vì 
nên 
. Mặt phẳng (BDK) chia hình chóp S.ABC thành hai phần là SKBE và KBEAC.
nên . Mặt phẳng (BDK) chia hình chóp S.ABC thành hai phần là SKBE và KBEAC.Trên mặt phẳng (SCD), ta có K, A lần lượt là trung điểm của các cạnh CS, CD nên KA là đường trung bình của tam giác SCD. Do đó, 
. Suy ra 
.
. Suy ra .Ta có
.
Suy ra 
48. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC \cdot A'B'C'\). Tam giác \(ABC'\)có diện tích bằng \(8\)và hợp với mặt phẳng đáy một góc có số đo \({30^^\circ }\). Tính thể tích của khối lăng trụ.
\(8\sqrt 3 \).
\(4\sqrt 3 \).
\(16\sqrt 3 \).
\(24\sqrt 3 \).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Gọi \(I\)là trung điểm của \(AB\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot CI}\\{AB \bot CC'}\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {CIC'} \right)} \right.\).
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB = \left( {ABC} \right) \cap \left( {ABC'} \right)}\\{AB \bot \left( {CIC'} \right)}\\{\left( {CIC'} \right) \cap \left( {ABC} \right) = CI}\\{\left( {CIC'} \right) \cap \left( {ABC'} \right) = C'}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \left( {\overline {\left( {ABC} \right),\left( {ABC'} \right)} } \right) = \left( {\widehat {CI,C'I}} \right) = \widehat {C'IC} = {30^^\circ }\).
Đặt \(AB = x(x > 0)\).
Vì \(CI\)là đường cao của tam giác đều \(ABC\)nên \(CI = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}\).
+) \(CC' = CI \cdot {\rm{tan}}{30^^\circ } = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{x}{2}\), \(C'I = \frac{{CI}}{{{\rm{cos}}{{30}^^\circ }}} = x\).
Diện tích tam giác \(ABC'\)là \({S_{ABC'}} = \frac{1}{2}AB \cdot C'I \Leftrightarrow 8 = \frac{1}{2}{x^2} \Leftrightarrow x = 4\).
Thể tích khối lăng trụ đã cho là \(V = {S_{AQC}} \cdot CC' = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \cdot {\rm{tan}}{30^^\circ } = \frac{{3{x^3}}}{8} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{x^3}\sqrt 3 }}{8} = \frac{{{4^3}\sqrt 3 }}{8} = 8\sqrt 3 \).
49. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ
Hàm số \(g\left( x \right) = 3f\left( {2 - x} \right) + {x^3} - 3x\) đạt cực đại tại điểm
\(x = 1\).
\(x = - 1\).
\(x = 3\).
\(x = 2\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Ta có \(g'\left( x \right) = - 3f'\left( {2 - x} \right) + 3{x^2} - 3\).
Từ bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy:
\(f'\left( {2 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - x = 1\\2 - x = 2\\2 - x = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\\x = - 1\end{array} \right.\)
\(f'\left( {2 - x} \right) > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x > 1\\2 - x < 3\\2 - x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( { - 1;1} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\)
\(f'\left( {2 - x} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - x < 1\\2 - x > 3\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\). Ta có bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\):
(Nhờ thầy vẽ lại BBT ạ)
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực đại tại \(x = - 1\).
50. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Có bao nhiêu số nguyên \(m \in \left[ { - 5;5} \right]\)để \(\mathop {min}\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| \ge 2\).
\(6\).
\(4\).
\(3\).
\(5\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Ta có \(\mathop {min}\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| \ge 2 \Leftrightarrow \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| \ge 2;\forall x \in \left[ {1;3} \right]\left( 1 \right)\) (Do hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right|\)liên tục trên \(\left[ {1;3} \right]\)).
Giải \(\left( 1 \right)\): \(\left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| \ge 2;\forall x \in \left[ {1;3} \right] \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} - 3{x^2} + m \ge 2;\forall x \in \left[ {1;3} \right]}\\{{x^3} - 3{x^2} + m \le - 2;\forall x \in \left[ {1;3} \right]}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} - 3{x^2} \ge 2 - m;\forall x \in \left[ {1;3} \right]}\\{{x^3} - 3{x^2} \le - 2 - m;\forall x \in \left[ {1;3} \right]}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 - m \le \mathop {min}\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)}\\{ - 2 - m \ge \mathop {max}\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)}\end{array}} \right.\left( * \right)\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\)trên \(\left[ {1;3} \right]\). Hàm số xác định và liên tục trên \(\left[ {1;3} \right]\)mà \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\). Ta có: \(f\left( 1 \right) = - 2;f\left( 3 \right) = 0;f\left( 2 \right) = - 4\).
Do đó \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = 0;\mathop {min}\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = - 4\). Từ \(\left( * \right)\)suy ra \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 - m \le - 4}\\{ - 2 - m \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge 6}\\{m \le - 2}\end{array}} \right.\).
Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \in \left[ { - 5;5} \right]}\\{m \in Z}\end{array}} \right.\)nên \(m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2} \right\}\).
Vậy có 4 giá trị \(m\)thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2:
Đặt \(t = {x^3} - 3{x^2}\), với \(x \in \left[ {1;3} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 4;0} \right]\). Khi đó bài toán trở thành \(\mathop {min}\limits_{\left[ { - 4;0} \right]} \left| {t + m} \right| \ge 2\).
TH1: \( - m \le - 4 \Rightarrow \mathop {min}\limits_{\left[ { - 4;0} \right]} \left| {t + m} \right| = \left| { - 4 + m} \right| = m - 4 \ge 2 \Leftrightarrow m \ge 6\).
TH2: \( - m \ge 0 \Rightarrow \mathop {min}\limits_{\left[ { - 4;0} \right]} \left| {t + m} \right| = \left| m \right| = - m \ge 2 \Leftrightarrow m \le - 2\).
Kết hợp với điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \in \left[ { - 5;5} \right]}\\{m \in Z}\end{array}} \right.\)suy ra \(m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2} \right\}\).
Vậy có 4 giá trị \(m\)thỏa mãn yêu cầu bài toán.
