Đề thi
Bộ 20 đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án (Đề 17)
AdminToánLớp 12104 lượt thi
36 câu hỏi
1. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), \(SA\) vuông góc với đáy, \(AB = a,AC = 2a,SA = 3a\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\)?
\({a^3}\).
\(3{a^3}\).
\(6{a^3}\).
\(2{a^3}\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Diện tích \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}a.2a = {a^2}\).
Thể tích khối chóp \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.3a.{a^2} = {a^3}\).
2. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{\left| x \right| + 1}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận?
\(2\).
\(3\).
\(0\).
\(1\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có \(\mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } y = 1\) và \(\mathop {lim}\limits_{x \to - \infty } y = - 1\) nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang.
3. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là \[2a\], \[a\], \[3a\]. Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng
\[6{a^3}\].
\[3{a^3}\].
\[5{a^3}\].
\[{a^3}\].
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Thể tích của khối hộp chữ nhật là: \[V = 2a.a.3a = 6{a^3}\].
4. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Hàm số nào sau đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
\(y = x + \frac{1}{{x + 3}}\).
\(y = {x^4} + {x^2} + 1\).
\(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 5\).
\(y = \frac{1}{{x - 2}}\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Các hàm số \(y = \frac{1}{{x - 2}}\) và \(y = x + \frac{1}{{x + 3}}\) có tập xác định không phải là \(\mathbb{R}\) nên loại hai đáp án này.
Xét hàm số: \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 5\) có\(y' = 3{x^2} - 6x + 3 = 3{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Suy ra: Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 5\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
5. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Số giao điểm của đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(y = 2\) là
\(4\).
\(2\).
\(1\).
\(0\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
\({x^4} - 3{x^2} = 2 \Leftrightarrow {x^4} - 3{x^2} - 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2} > 0\\{x^2} = \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2} < 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow x = \pm \sqrt {\frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}} \).
Vậy số giao điểm của đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(y = 2\) là \[2\] giao điểm.
6. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Hình sau là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau đây?
\(y = {x^3} - 3x - 1\)
\(y = {x^3} - 1\).
\(y = - {x^3} - 1\)
\(y = - {x^3} + 3x - 1\)
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Ta thấy đồ thị đi qua điểm \(M\left( {1;1} \right)\) nên ta loại A, C, D.
7. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang?
\(0\).
\(3\).
\(2\).
\(1\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = + \infty \), \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = 2\), \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \), \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) nên đồ thị có \(1\) tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 1\).
8. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Hình lăng trụ tam giác có bao nhiêu mặt?
\(5\).
\(9\).
\(6\).
\(3\).
Xem đáp án 
Lời giải
Chọn A
Dựa vào hình vẽ ta thấy hình lăng trụ tam giác có \(5\)mặt.
9. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như trong hình dưới. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 1\]
Hàm số đạt cực đại tại \[x = 5.\]
Hàm số đạt cực đại tại \[x = 0\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 0.\]
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\)
10. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( {0;1} \right)\).
\(\left( { - 1;0} \right)\).
\(\left( { - 1;1} \right)\).
\(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Xem đáp án 
Lời giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có bảng biến thiên sau
11. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên bên dưới. Gọi \[M,{\rm{ }}m\] lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) khi \(x \in \left[ { - 3;3} \right]\). Giá trị \(M - 2m\) bằng
\(6\).
\(f\left( 2 \right)\).
\( - 2\).
\(10\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Dựa vào bảng biên thiên trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) ta có giá trị lớn nhất \(M = 4\)và giá trị nhỏ nhất \(m = - 3\).
Vậy: \(M - 2m = 4 + 6 = 10\).
12. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} + {x^2} + 2x + 3\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) là
\( - 17\).
\( - 19\).
\(17\).
\(19\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + 2x + 3\) xác định và liên tục trên \(\left[ { - 1;2} \right]\).
\(y{\rm{'}} = 3{x^2} + 2x + 2 > 0\;\forall \;x \in \left[ { - 1\;;\;2} \right] \Rightarrow \) hàm số đồng biến trên \(\left[ { - 1;2} \right]\), do đó
\(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = {\rm{max}}\left\{ {f\left( { - 1} \right),f\left( 2 \right)} \right\} = 19,\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = {\rm{min}}\left\{ {f\left( { - 1} \right),f\left( 2 \right)} \right\} = 1\).
Vậy tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} + {x^2} + 2x + 3\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) là \(19\).
13. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,\;\;\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như sau
Giá trị cực tiểu của hàm số là
\({x_{CT}} = - 2\).
\({x_{CT}} = - 3\).
\({y_{CT}} = - 3\).
\({y_{CT}} = 1\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị ta có hàm số giá trị cực tiểu của hàm số là\({y_{CT}} = - 3\).
14. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Hàm số đạt cực đại tại điểm
\(x = 2\).
\(x = 0\).
\(x = 5\).
\(x = 1\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Qua bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 2\).
15. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng \(B\) và khoảng cách từ đỉnh đến đáy chóp bằng \(3h\). Thể tích của khối chóp đó là:
\(\frac{2}{3}Bh\).
\(\frac{1}{3}Bh\).
\(Bh\).
\(3Bh\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
16. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;3} \right)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;1} \right)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\). Do đó, đáp án D đúng.
17. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho khối đa diện đều loại \(\left\{ {3;4} \right\}\). Tổng các góc phẳng tại \(1\) đỉnh của khối đa diện bằng
\(324^\circ \).
\(360^\circ \).
\(180^\circ \).
\(240^\circ \).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Khối đa diện đều loại \(\left\{ {3;4} \right\}\) là khối bát diện đều, mỗi mặt là một tam giác đều và tại mỗi đỉnh có \(4\) tam giác đều nên tổng các góc tại \(1\) đỉnh bằng \(240^\circ \).
18. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \[a\], \(\widehat {BAD} = {60^0}\)\[SB = \,SC\, = \,SD\, = \,2a\]. Tính thể tích khối chóp \[S.ABC\].
\(\frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{24}}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{4}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{6}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}}\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Vì \(ABCD\) là hình thoi và \(\widehat {BAD} = {60^0}\)nên tam giác \(ABD\) đều và tam giác \(BCD\) cũng đều.
Gọi \(G\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD\) , vì\[\,SB = \,SC\, = \,SD\, = \,2a\] nên \(SG \bot \left( {BCD} \right)\).
Thể tích khối chóp \[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SG.{S_{ABC}}\].
\(SG = \sqrt {S{C^2} - C{G^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {\frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}\) .
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}} = \frac{1}{2}\left( {2.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}} \right) = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Vậy \[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SG.{S_{ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{4}\].
19. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tìm số nghiệm của phương trình \(f\left( {x + 2018} \right) = 1\).
\(2\).
\(1\).
\(3\).
\(4\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Đồ thị hàm số \(y = f\left( {x + 2018} \right)\) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) sang trái \(2018\) đơn vị. Do đó số nghiệm của phương trình \(f\left( {x + 2018} \right) = 1\) cũng là số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 1\). Theo hình vẽ ta có số nghiệm là \(3\).
20. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên khoảng \((0; + \infty )\).
\(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} y = 4\).
\(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} y = 8\).
\(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} y = 5\).
\(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} y = 3\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Ta có:\(y' = 1 - \frac{8}{{{x^3}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^3} = 8 \Leftrightarrow x = 2 \in (0, + \infty )\)
Ta có \(y(2) = 2 + \frac{4}{{{2^2}}} = 3\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \).
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} y = 3\).
21. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + 1}}\,\,\left( {a\,,b\,,c \in \mathbb{R}} \right)\)có bảng biến thiên như sau:
Tập các giá trị \(b\)là tập nghiệm của bất phương trình nào dưới đây?
\({b^2} - 3b + 2 < 0.\)
\({b^3} - 8 < 0.\)
\({b^3} - 8 \le 0.\)
\( - {b^2} + 4 > 0.\)
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + 1}}\)có đường tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - \frac{1}{c}\)và đường tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{a}{c}\).
Nhìn vào bảng biến thiên, ta thấy \( - \frac{1}{c} = - 1 \Rightarrow c = 1\)và \(\frac{a}{c} = 2 \Rightarrow a = 2\)(vì \(c = 1\)).
Ta có \(y' = \frac{{a - bc}}{{{{\left( {cx + 1} \right)}^2}}}\).
Vì hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)nên
\(y' = \frac{{a - bc}}{{{{\left( {bx + c} \right)}^2}}} > 0 \Leftrightarrow a - bc > 0 \Leftrightarrow 2 - b > 0 \Leftrightarrow b < 2 \Leftrightarrow {b^3} < 8 \Leftrightarrow {b^3} - 8 < 0\).
Vậy tập các giá trị \(b\)là tập nghiệm của bất phương trình \({b^3} - 8 < 0.\)
22. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) là \(f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 3x} \right)\left( {{x^2} - 4x} \right)\). Điểm cực đại của hàm số đã cho là
\(x = - 2\).
\(x = 0\).
\(x = 3\).
\(x = 2\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 3x} \right)\left( {{x^3} - 4x} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 3x = 0\\{x^3} - 4x = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\left( {nghie\"a m\,\~n \^o n} \right)\\x = 0\,\left( {nghie\"a m\,ke\`u p} \right)\\x = 2\,\left( {nghie\"a m\,\~n \^o n} \right)\\x = - 2\,\left( {nghie\"a m\,\~n \^o n} \right)\end{array} \right.\).
Từ đó ta có bảng biến thiên như sau:
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\).
23. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + {m^2} - 2m + 3\). Gọi \(S\) là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 20;20} \right]\) để hàm số đạt cực đại tại \({x_0} = 0\). Số phần tử của tập \(S\) là
\(20\).
\(21\).
\(19\).
\(41\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Áp dụng tính chất hàm trùng phương có \(a > 0\), để đạt cực đại tại \({x_0} = 0\) thì \(b = - 2m\left\langle {0 \Leftrightarrow m} \right\rangle 0\mathop \to \limits^{m \in \mathbb{Z},m \in \left[ { - 20;20} \right]} m \in \left\{ {1;2;...;20} \right\} = S\). Vậy có 20 phần tử.
24. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). \(SA\) vuông góc với đáy và tạo với đường thẳng \(SB\) một góc \(45^\circ \). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA\) là chiều cao của hình chóp \( \Rightarrow SA \bot AB\)\( \Rightarrow \Delta SAB\) vuông tại \(A\).
\( \Rightarrow \widehat {\left( {SA,SB} \right)} = \widehat {ASB} = 45^\circ \Rightarrow \Delta SAB\) vuông cân tại \(A \Rightarrow SA = AB = a\).
Vậy thể tích của khối chóp \(S.ABC\) là: \(V = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
25. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = \frac{{3mx + 1}}{{x + m}}\) với \(m \ne \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho nằm trên đường thẳng có phương trình nào sau đây?
\(y = - 3x\).
\(y = 3x\).
\(y = - 3x + 2\).
\(y = 2x\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Đồ thị của hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - m\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 3m\) nên giao điểm của hai tiệm cận là \(A\left( { - m;3m} \right) \Rightarrow {y_A} = 3m = - 3{x_A}\).
Vậy \(A\) thuộc đường thẳng có phương trình \(y = - 3x\).
26. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{ax + 2020}}{{bx + c}}\;\left( {a,\;b,\;c \in \mathbb{R}} \right)\)có bảng biến thiên như sau:
Trong các số \(a,\;b\)và \(c\)có bao nhiêu số dương?
\[0\].
\[2\].
\[3\].
\[1\].
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Tiệm cận đứng: \(x = 1 > 0 \Rightarrow - \frac{c}{b} > 0 \Rightarrow bc < 0.\)
Tiệm cận ngang: \(y = 2 > 0 \Rightarrow \frac{a}{b} > 0 \Rightarrow ab > 0.\)
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm \(x > 1 > 0 \Rightarrow - \frac{{2020}}{a} > 0 \Rightarrow a < 0 \Rightarrow b < 0 \Rightarrow c > 0.\)
27. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] sao cho hàm số \(f(x) = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + 9x + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
\(7\).
\(5\).
\(8\).
\(6\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Tập xác định: \[D = \mathbb{R}\].
Ta có \[f'\left( x \right) = {x^2} + 2mx + 9\].
Hàm số \[y = f\left( x \right)\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\]\( \Leftrightarrow \)\[f'\left( x \right) \ge 0{\rm{ }}{\rm{,}}\forall x \in \mathbb{R}\] (dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm) \[ \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + 9 \ge 0{\rm{ }}{\rm{,}}\forall x \in \mathbb{R}\].
\[ \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - 9 \le 0{\rm{ ( do }}a = 1 > 0{\rm{)}}\]\[ \Leftrightarrow - 3 \le m \le 3\].
Do \[m \in \mathbb{Z}\] nên \[m \in \left\{ { - 3\,;\, - 2\,;\, - 1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3} \right\}\]
Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số \[m\] thỏa mãn.
28. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hình lập phương \(\left( H \right)\) có diện tích toàn phần bằng \(24{a^2}\), thể tích của khối lập phương \(\left( H \right)\) tương ứng bằng
\(4\sqrt 2 {a^3}.\)
\(12{a^3}.\)
\(8{a^3}.\)
\(6\sqrt 6 {a^3}.\)
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
· Ta có diện tích toàn phần của hình lập phương: \(6 \times {\rm{ca\"i n}}{{\rm{h}}^2} = 24{a^2} \Rightarrow {\rm{ca\"i nh}} = 2{\rm{a}}\)
· Thể tích của khối lập phương: \({\left( {2a} \right)^3} = 8{a^3}\)
29. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm \(m\) để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + m\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) bằng \( - 25\), khi đó hãy tính giá trị của biểu thức \(P = 2m + 1\).
\(7\).
\(5\).
\(3\).
\(1\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + m\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\).
Ta có \(y' = 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} - 9\), \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\).
Từ bảng biến thiên suy ra \(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\)\( \Leftrightarrow f\left( 3 \right) = - 25 \Leftrightarrow m - 27 = - 25 \Leftrightarrow m = 2\).
Suy ra \(P = 2m + 1 = 5\).
30. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(a\left\langle {0,b} \right\rangle 0,c > 0,d > 0\).
\(a\left\langle {0,b} \right\rangle 0,c = 0,d > 0\).
\(a > 0,b\left\langle {0,c} \right\rangle 0,d > 0\).
\(a < 0,b\left\langle {0,c = 0,d} \right\rangle 0\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Từ đồ thị ta có \(a\left\langle {0\;;\;d} \right\rangle 0\).
Gọi \({x_1}\;;\;{x_2}\) là nghiệm của phương trình \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c = 0\).
Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2b}}{{3a}} > 0}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{{3a}} = 0}\end{array}} \right.\) mà do \(a < 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 0}\\{b > 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{b > 0}\\{c = 0}\\{d > 0}\end{array}} \right.\).
31. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\]liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có đạo hàm \[f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x - 1} \right)^3}\left( {2 - x} \right)\]. Hàm số \[y = f\left( x \right)\] đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( {2\,;\, + \infty } \right)\).
\(\left( {1\,;\,2} \right)\).
\(\left( { - \infty \,;\, - 1} \right)\).
\(\left( { - 1\,;\,1} \right)\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Ta có \[f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x - 1} \right)^3}\left( {2 - x} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\].
Từ đó, ta có bảng biến thiên như sau:
Dựa vào bảng biến thiên thì hàm số \[y = f\left( x \right)\] đồng biến trên \(\left( {1\,;\,2} \right)\).
32. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông, cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy. Gọi \(M\), \(N\) là trung điểm của \(SA\), \(SB\). Mặt phẳng \(MNCD\) chia hình chóp đã cho thành hai phần. tỉ số thể tích hai phần \(S.MNCD\) và \(MNABCD\) là
\(\frac{3}{4}\).
\(\frac{3}{5}\).
\(\frac{4}{5}\).
\(1\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Ta có \({V_{S.ABC}} = {V_{S.ACD}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}}\);
và \({V_{S.MNC}} = \frac{{SM}}{{SA}} \cdot \frac{{SN}}{{SB}} \cdot \frac{{SC}}{{SC}} \cdot {V_{S.ABC}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABC}}\); \({V_{S.MCD}} = \frac{{SM}}{{SA}} \cdot \frac{{SD}}{{SD}} \cdot \frac{{SC}}{{SC}} \cdot {V_{S.ACD}} = \frac{1}{2}{V_{S.ACD}}\).
Suy ra \({V_{S.MNCD}} = {V_{S.MNC}} + {V_{S.MCD}} = \frac{3}{4}{V_{S.ABC}} = \frac{3}{8}{V_{S.ABCD}}\).
Đồng thời \({V_{MNABCD}} = {V_{S.ABCD}} - {V_{S.MNCD}} = \frac{5}{8}{V_{S.ABCD}}\).
Vậy tỉ số thể tích hai phần \(S.MNCD\) và \(MNABCD\) là \(\frac{3}{5}\).
33. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên
Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2{x^3} - 3{x^2} + 1} \right)\) là
\(5\).
\(3\).
\(7\).
\(11\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).
Ta có \(g'\left( x \right) = \left( {6{x^2} - 6x} \right)f'\left( {2{x^3} - 3{x^2} + 1} \right)\);
\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{6{x^2} - 6x = 0}\\{f'\left( {2{x^3} - 3{x^2} + 1} \right) = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\\{f'\left( {2{x^3} - 3{x^2} + 1} \right) = 0}\end{array}} \right.{\rm{\;\;}}\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\\{\left( 1 \right)}\end{array}\).
Mặt khác, từ đồ thị hàm số ta thấy \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a \in \left( { - 1;0} \right)}\\{x = b \in \left( {0;1} \right)}\\{x = 2}\end{array}} \right.\).
Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x^3} - 3{x^2} + 1 = a}\\{2{x^3} - 3{x^2} + 1 = b}\\{2{x^3} - 3{x^2} + 1 = 2}\end{array}} \right.{\rm{\;\;\;\;}}\begin{array}{*{20}{c}}{\left( 2 \right)}\\{\left( 3 \right)}\\{\left( 4 \right)}\end{array}\).
Xét hàm số \(u = 2{x^3} - 3{x^2} + 1\), \(u' = 6{x^2} - 6x\), \(u' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right.\).
Bảng biến thiên:
Từ đó ta có
Với \(a \in \left( { - 1;0} \right)\), phương trình \(\left( 2 \right)\) có một nghiệm duy nhất \({x_1} < 0\).
Phương trình \(\left( 4 \right)\) có một nghiệm duy nhất \({x_2} > 1\).
Với \(b \in \left( {0;1} \right)\), phương trình \(\left( 3 \right)\)có ba nghiệm lần lượt là \({x_3} \in \left( {{x_1};0} \right);{x_4} \in \left( {0;1} \right);{x_5} \in \left( {1;{x_2}} \right)\).
Vậy \(g'\left( x \right) = 0\) có 7 nghiệm đơn nên hàm số có 7 điểm cực trị.
34. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ
Hàm số \(y = f\left( {1 - x} \right) + \frac{{{x^2}}}{2} - x\) nghịch biến trên khoảng
\(\left( { - 2;0} \right)\).
\(\left( {1;3} \right)\).
\(\left( { - 1;\frac{3}{2}} \right)\).
\(\left( { - 3;1} \right)\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số \(y = f\left( {1 - x} \right) + \frac{{{x^2}}}{2} - x\) có \(y' = - f'\left( {1 - x} \right) + x - 1\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow - f'\left( {1 - x} \right) + x - 1 = 0 \Leftrightarrow f'\left( {1 - x} \right) = - \left( {1 - x} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - x = - 3}\\{1 - x = 1}\\{1 - x = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4}\\{x = 0}\\{x = - 2}\end{array}} \right.\).
Ta có bảng biến thiên:
Do đó Hàm số \(y = f\left( {1 - x} \right) + \frac{{{x^2}}}{2} - x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\).
35. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm đa thức bậc 3 và có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm của phương trình\(f\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right) = 0\)trong đoạn \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) là
\(2\).
4.
3.
1.
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Đặt \(t = \sin x + \sqrt 3 \cos x\). Ta có \(t = 2\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \Rightarrow - 2 \le t \le 2\). Ta được PT \(f\left( t \right) = 0\).
Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là \(\left( { - 2; - 4} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\) nên đồ thị có điểm uốn là gốc tọa độ \(O\). Do đó đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là \(x = a\left\langle { - 2,x = 0,x = b} \right\rangle 2\). Mà \( - 2 \le t \le 2\) nên PT \(f\left( t \right) = 0\) có 1 nghiệm là \(t = 0\).
Với \(t = 0\) ta được \(2\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Theo yêu cầu bài: \(0 \le x \le \frac{{5\pi }}{2} \Leftrightarrow 0 \le \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \le \frac{{5\pi }}{2} \Leftrightarrow - \frac{2}{3} \le k \le \frac{{11}}{6}\).
Vì \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0;k = 1\). Ta được 2 nghiệm \(x = \frac{{2\pi }}{3}\) và \(x = \frac{{5\pi }}{3}\) thỏa yêu cầu bài toán.
36. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số nghiệm thực của bất phương trình \(1 + f\left( {{x^3} - 3{x^2} + 1} \right) \ge \sqrt {2{f^2}\left( {{x^3} - 3{x^2} + 1} \right) + 2} \) là
\(5\).
\(4\).
\(3\).
\(2\).
Xem đáp án 
Lời giải
Chọn A
Đặt \(a = f\left( {{x^3} - 3{x^2} + 1} \right)\) ta được bất phương trình
\(1 + a \ge \sqrt {2{a^2} + 2} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + a \ge 0}\\{1 + 2a + {a^2} \ge 2{a^2} + 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \ge - 1}\\{{{\left( {a - 1} \right)}^2} \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a = 1\).
Với \(a = 1\) ta được \(f\left( {{x^3} - 3{x^2} + 1} \right) = 1\). Đặt \(t = {x^3} - 3{x^2} + 1\) ta được PT \(f\left( t \right) = 1\left( * \right)\).
Vẽ đường thẳng \(y = 1\) lên đồ thị đã cho ta được PT \(\left( * \right)\)có 1 nghiệm \(t = {t_1} \in \left( { - 2; - 1} \right)\) và 1 nghiệm \(t = {t_2} \in \left( {1;2} \right)\).
Ta có BBT của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\) như sau
Với \(t = {t_1}\) ta được PT \({x^3} - 3{x^2} + 1 = {t_1}\). Dựa vào BBT ta thấy PT này có 3 nghiệm phân biệt.
Với \(t = {t_2}\) ta được PT \({x^3} - 3{x^2} + 1 = {t_2}\). Dựa vào BBT ta thấy PT này có 1 nghiệm.
Vậy BPT đã cho có 4 nghiệm thực.
