Bộ 20 đề thi giữa học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án- Đề 19
50 câu hỏi
Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ:
Mệnh đề nào sau đây ĐÚNG?
Hàm số có hai điểm cực trị.
Hàm số có giá trị lớn nhất bằng và giá trị nhỏ nhất bằng
Hàm số chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất.
Hàm số có một điểm cực trị.
Chọn A
Hàm số y=−x4+2x2+5 có điểm cực tiểu là:
x =0
x = 1
x = 5
x = -1
Chọn A
Ta có: TXĐ D =R
y'=−4x3+4xy''=−12x2+4y'=0⇔x=−1x=0x=1y''−1=y''1=−8<0y''0=4>0
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x =0
Cho hàm số y =f(x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số y=2f(x)+1 đạt cực tiểu tại điểm
x = 0
y = 1
M(2;5)
x = 2
Chọn A
Đặt g(x)=2f(x)+1
g'x=2f'x, do đó điểm cực tiểu của g(x) cũng chính là điểm cực tiểu của f(x).
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x =0.
Cho hàm số y=fx=x2−2x−4 có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số y =f(x) có bao nhiêu cực trị?
4
2
1
3
Chọn D
Dựa vào đồ thị ta có đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là các điểm chỉ ra trên hình vẽ.
Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: y=3m+1x+3+mvuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y=x3−3x2−1.
m=16⋅
m=−13⋅
m=−16⋅
m=13⋅
Chọn C
Xét hàm số y=x3−3x2−1
y'=3x2−6x=0⇔x=0⇒y=−1x=2⇒y=−5
Đồ thị có 2 điểm cực trị là A(0;-1), B(2;-5)
Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là đường thằng AB có phương trình: y=−2x−1.
Để đường thẳng AB⊥d⇔3m+1.−2=−1⇔m=−16⋅
Cho hàm số y =f(x) có limx→+∞fx=1 và limx→−∞fx=−1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y =1 và y =-1
Đồ thị hàm số đã cho không có hai tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x =1 và x =-1
Chọn A
Ta có: limx→+∞fx=1⇒đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang y = 1
limx→−∞fx=−1⇒đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang y =-1
Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là y =1 và y =-1
Xét các khẳng định sau:
(I) Nếu hàm số y =f(x) có giá trị cực đại là M và giá trị cực tiểu là m thì M>m.
(II) Đồ thị hàm số y=ax4+bx2+c a≠0 luôn có ít nhất một điểm cực trị.
(III)Tiếp tuyến (nếu có) tại điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn song song với trục hoành.
Số khẳng định đúng là
3
1
0
2
Chọn B.
Khẳng định (I) sai vì có thể không đúng đối với hàm số có nhiều cực trị hoặc hàm số bị gián đoạn. Ví dụ hàm số y=x2+3x+3x+2 có M=−3,m=1.
Khẳng định (II) đúng vì hàm trùng phương luôn có một hoặc ba cực trị.
Khẳng định (III) sai vì tiếp tuyến có thể trùng với trục hoành.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có đường tiệm cận ngang?
y=2x−3x+1.
y=x3−3x+2.
y=2x2+x−1x−1.
y=1+x2.
Chọn A.
Hàm số y=2x−3x+1 có tập xác định D=ℝ\−1 và limx→+∞y=2, limx→−∞y=2 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y =2.
Hàm số y=x3−3x+2 có tập xác định D=ℝ và limx→±∞y=±∞ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Hàm số y=2x2+x−1x−1 có tập xác định D=ℝ\1 và limx→+∞y=+∞, limx→−∞y=−∞ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Hàm số y=1+x2 có tập xác định D=ℝ và limx→+∞y=+∞,limx→−∞y=+∞ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Cho hàm số y =f(x) xác định, liên tục có đạo hàm trên đoạn a;b (với a<b). Xét các khẳng định sau:
(I). Nếu f'x≥0 , ∀x∈a;b thì hàm số y =f(x) đồng biến trên khoảng (a;b).
(II). Giả sử fa>fc>fb, ∀c∈a;b suy ra hàm số nghich biến trên (a;b).
(III). Giả sử phương trình f'x=0 có nghiệm x =m. Khi đó nếu hàm số f(x) đồng biến trên (m;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên (a;m).
(IV). Nếu hàm số y =f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì f'x>0 ,∀x∈a;b
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
3
1
0
2
Chọn C.
(I). Sai, vì: Thiếu điều kiện f'x=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm.
(II). Sai.
(III). Sai, ví dụ: Xét hàm số y=fx=x33−x2+x−5.
Ta có f'x=x2−2x+1. Cho f'x=0⇔x2−2x+1⇔x=1.
Khi đó phương trình f'x=0 có nghiệm x0=1 nhưng đây là nghiệm kép nên không đổi dấu khi qua x0=1.
(III). Sai.
Sửa lại cho đúng nếu hàm số y =f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì f'x≥0 ,∀x∈a;b
Vậy có 1 mệnh đề đúng.
Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm của tham số m sao cho hàm số y=mx−9x−m đồng biến trên khoảng 2; +∞?
4
5
3
6
Chọn C
Tập xác định: D=ℝ/m.
Ta có y'=−m2+9x−m2.
Hàm số có tiệm cận đứng là x = m
Yêu cầu bài toán ⇔−m2+9>0m≤2⇔−3<m<3m≤2⇔−3<m≤2.
Vậy các giá trị nguyên không âm thỏa mãn là: 0;1;2
Cho hàm số y =f(x) Hàm số y =f'(x) có đồ thị như hình bên.
Hàm số y=f1−x đồng biến trên khoảng
(-2;0)
−1; +∞.
(2;3)
−∞; −1.
Chọn C
Đặt y=f1−x=gx
g'x=−f'1−x
Hàm số y=f1−x đồng biến ⇔g'x>0⇔−f'1−x>0
⇔f'1−x<0⇔1−x<−12<1−x<3⇔x>2−2<x<−1
Tìm giá trị thực của hàm số m để hàm số y=13x3−mx2+m2−4x+3 đạt cực đại tại x =3
m =-1
m = 5
m = 1
m =-7
Chọn B
Ta có: y'=x2−2mx+m2−4
y''=2x−2m
y'3=m2−6m+5.
y'3=0⇔m2−6m+5=0⇔m=1m=5
Khi m=1: y''3=2.3−2.1=4>0.
Khi m=5: y''3=2.3−2.5=−4<0.
Vậy hàm số đạt cực đại tại x =3 khi m =5
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=x3−3x2+2mx+m có cực đại và cực tiểu.
m≤32.
m>32.
m<−32.
m<32.
Chọn D
y'=3x2−6x+2m
Cho y'=0⇔3x2−6x+2m=0 *
hàm số y=x3−3x2+2mx+m có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình * có hai
nghiệm phân biệt và y' đổi dấu khi qua các nghiệm này ⇔Δ>0
⇔36−24m<0 ⇔m<32.
Cho hàm số y=ax4+bx2+ccó đồ thị như hình vẽ, xác định dấu của a,b,c.
a<0, b>0, c<0.
a>0, b>0, c>0.
a>0, b<0, c<0.
a>0, b<0, c>0.
Chọn C
Hình dáng đồ thị ⇒a>0: Loại đáp án A
Hàm số có 3 cực trị nên a.b<0 ⇒b<0: Loại đáp án B
Giao điểm của đồ thị với trục tung nằm dưới điểm O nên c<0: Loại đáp án D
Hàm số y=−x4+4x2+1 nghịch biến trên mỗi khoảng nào sau đây?
−2; 2.
2; +∞.
−2; 0 , 2; +∞.
−2; 0 ∪ 2; +∞.
Chọn C
y'=−4x3+8x
y'=0⇔−4x3+8x=0⇔x=0x=±2
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên −2; 0 , 2; +∞
Tìm tất cả các giá trị m để hàm số y=−13x3+mx2−2m+3x+4 nghịch biến trên R.
−3≤m≤1.
−1≤m≤3.
−3<m<1.
−1<m<3
Chọn B
Tập xác định D =R.
y'=−x2+2mx−2m−3.
Hàm số nghịch biến trên Rkhi và chỉ khi Δ'≤0⇔m2−2m−3≤0⇔−1≤m≤3.
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y=x+2+m trên đoạn [-3;3] bằng7. Số phần tử của S là :
2
0
6
1
Chọn A
Tập xác định D =R.
Ta có f−3=m−1;f3=m+3.
y=x+2+m có giá trị lớn nhất trên đoạn [-3;3] bằng 7 ta có các trường hợp sau :
+) Trường hợp 1 :
f−3≤f3f3=7⇔m≥−1m=4⇔m=4.
+) Trường hợp 2 :
f−3>f3f−3=7⇔m<−1m=−6⇔m=−6
Vậy có 2 giá trị m.
Cho hàm số y =f(x) xác định và liên tục trên khoảng −∞;12 và 12;+∞. Đồ thị hàm số y =f(x) là đường cong như hình vẽ bên :
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau :
max1;2fx=2.
max−2;1fx=0.
max−3;0fx=f−3.
max3;4fx=f4
Chọn C
Dựa vào đồ thị ta có max−3;0fx=f−3.
Cho hàm số y =f(x) có đồ thị của hàm số y=f'(x) như hình vẽ.
Khi đó hàm số gx=fx−x có bao nhiêu điểm cực trị ?
1
4
3
2
Chọn D
Xét hàm số gx=fx−x ⇒g'x=f'x−1
Đồ thị hàm số y=g'xcó được bằng cách tịnh tiến đồ thị của hàm số y=f'x xuống dưới 1 đơn vị nên khi đó g'(x) sẽ đổi dấu 2 lần nên hàm số gx=fx−x có 2 điểm cực trị.
Tìm m ể tiệm cận ngang của đồ thị của hàm số y=m−1x+23x+4 cắt đường thẳng 2x−3y+5=0 tại điểm có hoành độ bằng 2.
m =2
m =1
m =10
m =7
Chọn C
Hàm số y=m−1x+23x+4 có tiệm cận ngang là đường thẳng y=m−13
Giao điểm của tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=m−1x+23x+4 với đường thẳng 2x−3y+5=0 là M(2;3). Khi đó ta có m−13=3⇔m=10.
Có bao nhiêu giá trị của tham số m thỏa mãn đồ thị hàm số y=x+3x2−x−m có đúng hai đường tiệm cận ?
3
1
4
2
Chọn D
Ta có limx→±∞y=0 nên hàm số có 1 đường tiệm cận ngang y =0
Ycbt ⇔ Hàm số y=x+3x2−x−m có đúng 1 đường tiệm đứng.
+ Trường hợp 1: Phương trình x2−x−m=0 có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm x = 1⇔Δ>0−m=0⇔1+4m>0m=0⇔m=0.
+ Trường hợp 2: Phương trình x2−x−m=0 có nghiệm kép x≠1
⇔Δ=0−m≠0⇔1+4m=0m≠0⇔m=−14.
Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn.
Hàm số y=bx+2x−a a≠0; a, b∈ℝ có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
a>0, b>0.
a>0, b<0.
a<0, b>0.
a<0, b<0.
Chọn A
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = a và tiệm cận ngang y =b. Dựa vào đồ thị ta thấy a>0, b>0.
Cho hàm số y =f(x). Hàm số y =f'(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số y=fx2−1 đồng biến trên khoảng
(0;1)
(-1;1)
1 ; 2
−∞ ;−2.
Chọn A
Ta có y'=2x.f'x2−1
Hàm số đồng biến khi y'>0⇔2x.f'x2−1>0⇔x>0f'x2−1>0x<0f'x2−1<0
Trường hợp 1: x>0−1<x2−1<0x2−1>1⇔x∈0;1x∈2 ; +∞.
Trường hợp 2: x<00<x2−1<1x2−1<−1⇔x∈−2 ; 1.
Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=2x−1−x2+x+3x2−5x+6.
x =-3 và x =-2
x =-3
x = 3 và x = 2
x = 3
Chọn D
Tập xác định của hàm số ℝ\2 ; 3.
Ta có limx→2y=limx→22x−1−x2+x+3x2−5x+6=limx→23x+1x−2x−2x−32x−1+x2+x+3
=limx→23x+1x−32x−1+x2+x+3=−76. Suy ra, đường thẳng x = 2 không là tiệm cận đứng của đồ thị.
limx→3+y=limx→3+2x−1−x2+x+3x2−5x+6=+∞. Vì limx→3+x2−5x+6=0x2−5x+6>0, ∀x>3limx→3+2x−1−x2+x+3=5−18>0.
Suy ra, đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Cho hàm số y =f(x) xác định, liên tục trên ℝ\2 và có bảng biến thiên sau
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Hàm số đạt cực tiểu tại x =0 và đạt cực đại tại x = 4
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2
Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng -15.
Chọn D
Dựa vào bảng xét dấu, ta có đáp án là D.
Cho khối chóp có đáy là đa giác lồi có 7 cạnh. Trong số các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Số cạnh của khối chóp bằng 8.
Số cạnh của khối chóp bằng 14.
Số mặt của khối chóp bằng số đỉnh của nó.
Số đỉnh của khối chóp bằng 15
Chọn B
Khối chóp có đáy là đa giác lồi có 7 cạnh nên có 7 cạnh bên và 7 cạnh đáy.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài là a. Thể tích khối tứ diện SBCD bằng
a34.
a36.
a38.
a33.
Chọn B
VSBCD=12VSABCD=16.SA.SABCD=a36.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Biết rằng AB=3, AC=4, AA'=5. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là
20
30
60
10
Chọn B
VABC.A'B'C'=AA'.SΔABC=12.AA'.AB.AC=12.5.3.4=30.
Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông cân tại C và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABD) tam giác ABD là tam giác đều
và có cạnh bằng 2a. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD
a333.
a33.
a339.
a32.
Chọn A
Hình đa diện sau có bao nhiêu cạnh?
12
16
8
9
Chọn B
Hình chóp SABCD, đáy là hình chữ nhật có: BA=a, AD=2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=a3. Thể tích của khối chóp SABCD là:
2a333
2a363
a33
a333
Chọn A
Thể tích của khối chóp là: VSABCD=13SA.SΔABCD=13a3.a.2a=2a33
Hình vẽ bên dưới có bao nhiêu mặt
10
7
9
4
Chọn C
Lắp ghép hai khối đa diện H1, H2 để tạo thành khối đa diện (H), trong đó H1 là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a, H2 là khối tứ diện đều cạnh a sao cho một mặt của H1 trùng với một mặt của H2 như hình vẽ. Hỏi khối đa diện (H) có tất cả bao nhiêu mặt?
9
7
8
5
Chọn B
· Khối chóp tứ giác đều H1 có 5 mặt. Khối tứ diện đều H2 có 4 mặt.
· Vậy khối đa diện (H) có: 9−2=7 mặt.
Mặt phẳng ( AB'C') chia khối lăng trụ ABCA'B'C' thành các khối đa diện nào?
Hai khối chóp tứ giác.
Hai khối chóp tam giác.
Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác.
Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.
Chọn D
· Mặt phẳng AB'C' chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành các khối A.A'B'C' và A.BB'C'C.
Nếu chiều cao và cạnh đáy của một hình chóp tứ giác đều cùng tăng lên 3 lần thì thể tích của nó cũng tăng lên
18 lần.
27 lần.
54 lần.
9 lần
Chọn B
Ta có: V=13.S.h
Cạnh đáy và chiều cao tăng lên 3 lần ⇒S1=9S;h1=3h
⇒V1=13.S1.h1=13.9S.3h=27V
Thể tích hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a bằng
a322
a36
a323
a326
Chọn D
Ta có:SABCD=a2
SO=SA2−AO2=a2−a222=22a
⇒VS.ABCD=13.SO.SABCD=13.22a.a2=26a3
Tính thể tích của khối chóp SABC có AB=a, AC=2a, BAC^=1200, ( SAB) và ( SAC) cùng vuông góc với ( ABC), góc giữa mặt phẳng SBC vàABC là
V=7a314⋅
V=a377⋅
V=a32114⋅
V=3a32114⋅
Chọn C
Ta có
SAB⊥ABCSAC⊥ABCSAB∩SAC=SA⇒SA⊥ABC⇒V=13.SA.SΔABC
Trong mặt phẳng ABC kẻ AI⊥BC⇒SI⊥BC
Suy ra góc giữa 2 mặt phẳng SBC,ABC^=AI,SI=SIA^=600
Trong tam giác ABC ta có
BC2=AB2+AC2−2.AB.AC.cosA=a2+4a2−2.a.2a.−12=7a2⇒BC=a7
Ta có SΔABC=12AB.AC.sinA=12.a.2a.sin1200=a232
Mà SΔABC=12AI.BC⇒AI=2SΔABCBC=2.a232a7=a217
Trong tam giác SAI vuông tại A ta có tanSIA^=SAAI⇒SA=AI.tan600=a217.3=3a77
Vậy thể tích của khối chóp là V=13.SA.SΔABC=13.3a77.a232=a32114.
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABCDA'B'C'D' có cạnh đáy bằng a Góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng (ABC) là 45° Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
a334.
a336.
a3312.
a3324.
Chọn A
Góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng ABC là A'B,AB^=A'BA^=450.
Ta có tam giác A'AB vuông tại cân A suy ra AA'=AB=a
Vậy thể tích khối lăng trụ là V=AA'.SΔABC=a.a234=a334.
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng S chiều cao bằng h và thể tích bằng V. Trong các đẳng thức dưới đây, hãy tìm đẳng thức đúng ?
S=3Vh.
S=Vh.
S=13V.h.
S=V.h.
Chọn B
Ta có thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy S chiều cao h là: V=S.h⇒S=Vh.
Thể tích hình lập phương cạnh 3 là:
3.
3
63.
33.
Chọn D
Ta có thể tích của khối lập phương cạnh a là: V=a3
Vậy thể tích của khối lập phương cạnh 3 là: V=33=33
Suy ra y'=−x2+2x+312'=12−2x+2.1−x2+2x+3=−x+1−x2+2x+3
Cho hình chóp SABCD có đáy hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi M,N là trung điểm của SA,SB. Mặt phẳng MNCD chia hình chóp đã cho thành hai phần. Tỉ số thể tích hai phần S.MNCD và MNABCD là
1
34
35
45
Chọn C
Xét hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy với M,N là trung điểm của SA,SB ta có
VS.ABCD=VS.ACD+VS.ABC
VS.MNCD=VS.MCD+VS.NMC
VS.ACD=VS.ABC=12VS.ABCD
Mà trong SABCD ta có VS.MNCVS.ABC=SMSA.SNSB=12.12=14.
Suy ra VS.MNC=14VS.ABC=14.12VS.ABCD=18VS.ABCD
Trong SACD ta có VS.MCDVS.ACD=SMSA=12
Suy ra VS.MCD=12VS.ACD=12.12VS.ABCD=14VS.ABCD
Vậy VS.MNCD=VS.MCD+VS.NMC=18VS.ABCD+14VS.ABCD=38VS.ABCD
Suy ra VS.MNCDVMNBACD=VS.MNCDVS.ABCD−VS.MNCD=38VS.ABCDVS.ABCD−38VS.ABCD=35.
Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh bằng 6 và chiều cao bằng 5 .
V=50
V=150
V=60
V=180
Chọn D.
Diện tích đáy : S=62=36.
Thế tích khối hộp chữ nhật là : V=S.h=36.5=180.
Cho khối chóp S.ABC, trên ba cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A', B', C' sao cho SA'=12SA, SB'=13SB, SC'=14SC. Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp SABC và S.A'B'C'. Khi đó tỉ số V'V là:
24
124.
12
112.
Chọn B
Ta có: VS.A'B'C'VS.ABC=SA'SA⋅SB'SB⋅SC'SC=12⋅13⋅14=124.
Do đó, V'V=124.
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD=a172, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm đoạn AB Tính chiều cao của khối chóp HSBD theo a
a215.
3a5.
3a5.
a37.
Chọn C
Gọi O là giao điểm của AC,BD và I là trung điểm của BO
Ta có: OI//AC⇒OI⊥BD.
SH⊥ABCD⇒SH⊥BD.
Do đó, BD⊥SHI⇒SBD⊥SHI;SBD∩SHI=SI.
Trong SHI, dựng HK⊥SI⇒HK⊥SBD.
Lúc đó, chiều cao của khối chóp H.SBD là HK.
Xét ΔAHD vuông tại H: HD=AH2+AD2=a22+a2=a52.
Xét ΔSHD vuông tại H: HD=AH2+AD2=a22+a2=a52.
AC là đường chéo hình vuông cạnh H: SH=SD2−HD2=a1722−a522=a3.
Xét ΔHSI vuông tại H có đường cao HK: 1HK2=1SH2+1HI2=1a32+1a242=253a2⇒HK2=3a225⇒HK=3a5.
Vậy chiều cao của khối chóp H.SBDlà 3a5.
Cho hình chóp SABCD có đáy là tam giác ABC vuông tại B có AB=3,BC=4 Biết rằng các mặt bên của khối chóp đều tạo với đáy một góc bằng nhau và bằng α với tanα=536, đồng thời chân đường cao của hình chóp nằm ở miền trong △ABC. Thể tích khối chóp đã cho là
V=5312
V=533
V=536
V=532.
Chọn B
Gọi H là tâm đường tròn nội tiếp của △ABC.
Ta có các mặt bên của khối chóp đều tạo với đáy một góc bằng nhau chân đường cao của hình chóp nằm ở miền trong △ABC nên .
Từ H kẻ HM⊥BC M∈BC
Suy ra HM//AB; SM⊥BC⇒SMH^=α.
SABC=12AB.BC=6; BC=5.
Ta có HM=r=SABCAB+BC+AC2=66=1
Xét △SHM: SH=HM.tanα=536.
Vậy VS.ABC=13SABC.SH=13.6.536=533.
Cho hình lăng trụ ABCDA'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a tâm O và ABC^=120°. Góc giữa cạnh bên AA' và mặt đáy bằng 60° Đỉnh A' cách đều các điểm A,B,D Tính theo a thể tích V của hình lăng trụ đã cho.
a336.
3a32.
a332.
a33.
Chọn C
ABCD là hình thoi và ABC^=120°⇒ΔABD đều.
Gọi I là trọng tâm của ΔABD.
A' cách đều A,B,D nên A'I⊥ABCD⇒AA',ABCD=A'AI^=60°.
Ta có: AI=23AO=23.a32=a33.
A'I=AI.tanA'AI^=a33.tan60°=a.
Vậy V=A'I.SABCD=A'I.AB.BC.sinABC^=a.a.a.sin120°=a332
Cho hình chóp SABCD có đáyABCD là hình chữ nhật với AB=4 cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD) và SC =6 Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
Vmax=24.
Vmax=403.
Vmax=803.
Vmax=203.
Chọn B
Đặt BC=x x>0. Ta có: AC2=x2+16⇒SA=20−x2
Thể tích của khối chóp đã cho là: V=43x20−x2.
Xét hàm số fx=43x20−x2. Ta có: f'x=4320−2x220−x2
f'x=0⇔x=10x=−10.
Ta có BBT:
Vậy Vmax=f10=403.
Cho khối lăng trụ ABCA'B'C'. Gọi P là trọng tâm tam giác A'B'C' và Q là trung điểm của BC. Tính tỉ số thể tích giữa hai khối tứ diện B'PAQ và A'ABC
12
23
13
34
Chọn A
Gọi h, S, V lần lượt là chiều cao, diện tích đáy và thể của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
+ VA'ABC=13.S.h=13V.
+ VB'PAQ=VABQ.A'B'H−VA.A'B'P+VB'BAQ+VQHPB'=12V−13.SΔA'B'P.h+13.SΔBAQ.h+13.SΔHPB'.h
=12V−13.13.S.h+13.12.S.h+13.16.S.h=12V−19+16+118V=16V.
Vậy VB'PAQVA'ABC=12.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB=a,AC=2a,AA1=2a5 và góc BAC bằng 120°. Gọi K, I lần lượt là trung điểm các cạnh CC1,BB1. Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng A1BK.
a153.
a53.
a15.
a56.
Chọn D
+ Ta có: BC=AB2+AC2−2AB.AC.cos120°=a7.
Diện tích tam giác ABC: SΔABC=12AB.ACsin120°=a232.
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của A1 lên B1C1. Lúc đó:
A1H=2SΔABCBC=a217là chiều cao tứ diện A1.BIK.
Diện tích tam giác KIB: SΔKIB=12KI.IB=a2352.
Suy ra, thể tích tứ diện A1.BIK: VA1.BIK=13SΔBIK.A1H=a3156.
+ Ta lại có:
BK=CK2+CB2=2a3A1K=A1C12+C1K2=3aA1B=A1A2+AB2=a21.
Đặt p=BK+A1K+A1I2,diện tích tam giác A1KB là SΔA1KB=pp−BKp−A1Kp−A1B=3a23.
+ Gọi h=dI,A1BK.
Lúc đó, h là chiều cao khối tứ diện I.A1BKnên h=3VA1.BIKSΔA1BK=56.
Lưu ý: Tam giác vuông A1KB tại K
Cho hình lăng trụ ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA'=3a2. Biết rằng hình chiếu vuông góc của A' lên ABC là trung điểm của BC. Tính thể tích khối lăng trụ đó.
V=a3.
V=2a33.
V=3a342.
V=a3.32
Chọn C
Gọi I là trung điểm của BC. AI là đường cao của tam giác đều cạnh a nên AI=a32.
Tam giác AA'I vuông tại I nên: A'I=AA'2−AI2=a62.
Suy ra thể tích lăng trụ là: V=A'I.SΔABC=a62.a234=3a342
