Đề thi
Bộ 20 đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án (Đề 15)
AdminToánLớp 12129 lượt thi
35 câu hỏi
1. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\]có đạo hàm trên \[\mathbb{R}\]. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
(I):Nếu \[f'\left( x \right) > 0\]trên khoảng \[\left( {{x_0} - h;{x_0}} \right)\]và \[f'\left( x \right) < 0\]trên khoảng \[\left( {{x_0};{x_0} + h} \right)\]\[\left( {h > 0} \right)\]thì hàm số đạt cực đại tại điểm \[{x_0}\].
(II):Nếu hàm số đạt cực đại tại điểm \[{x_0}\]thì tồn tại các khoảng \[\left( {{x_0} - h;{x_0}} \right)\], \[\left( {{x_0};{x_0} + h} \right)\]\[\left( {h > 0} \right)\]sao cho \[f'\left( x \right) > 0\]trên khoảng \[\left( {{x_0} - h;{x_0}} \right)\]và \[f'\left( x \right) < 0\]trên khoảng \[\left( {{x_0};{x_0} + h} \right)\].
Cả (I) và (II) cùng đúng.
Cả (I) và (II) cùng sai.
Mệnh đề (I) đúng, mệnh đề (II) sai.
Mệnh đề (I) sai, mệnh đề (II) đúng.
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Ta có mệnh đề (I) đúng và mệnh đề (II) sai (câu lý thuyết)
2. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Khối đa diện đều loại \(\left\{ {p;q} \right\}\) được sắp xếp theo thứ tự tăng dần của số đỉnh là
\[\left\{ {3;\,3} \right\}\], \[\left\{ {3;\,4} \right\}\], \[\left\{ {4;\,3} \right\}\], \[\left\{ {5;\,3} \right\}\], \[\left\{ {3;\,5} \right\}\].
\[\left\{ {3;\,3} \right\}\], \[\left\{ {3;\,4} \right\}\], \[\left\{ {4;\,3} \right\}\], \[\left\{ {3;\,5} \right\}\], \[\left\{ {5;\,3} \right\}\].
\[\left\{ {3;\,3} \right\}\], \[\left\{ {3;\,4} \right\}\], \[\left\{ {5;\,3} \right\}\], \[\left\{ {4;\,3} \right\}\], \[\left\{ {3;\,5} \right\}\].
\[\left\{ {3;\,3} \right\}\], \[\left\{ {4;\,3} \right\}\], \[\left\{ {3;\,4} \right\}\], \[\left\{ {3;\,5} \right\}\], \[\left\{ {5;\,3} \right\}\].
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh, M là tổng số mặt của khối đa diện đều loại \[\left\{ {p;q} \right\}\].
Ta có: 
. Cụ thể:
. Cụ thể: Xét tứ diện đều loại 
.
. Xét khối lập phương đều loại 
.
. Xét khối bát diện đều loại 
.
. Xét khối mười hai mặt đều loại 
.
. Xét khối hai mươi mặt đều loại 
.
.Vậy ta có sắp xếp: \[\left\{ {3;\,3} \right\}\], \[\left\{ {3;\,4} \right\}\], \[\left\{ {4;\,3} \right\}\], \[\left\{ {3;\,5} \right\}\], \[\left\{ {5;\,3} \right\}\].
3. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2\) trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) bằng
\(20\).
\( - 16\).
\(4\).
\(0\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
+ Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\),\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\).
+ \(f\left( { - 3} \right) = - 16;f\left( 3 \right) = 20;f\left( { - 1} \right) = 4;f\left( 1 \right) = 0\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(f\left( { - 3} \right) = - 16\).
4. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho tứ diện \(OABC\)có \(OA\), \(OB\), \(OC\) đôi một vuông góc với nhau và \(OA = 2a\), \(OB = 3a\), \(OC = 8a\). \(M\) là trung điểm đoạn \(OC\). Tính thể tích \(V\) khối tứ diện \(OABM\).
\(8{a^3}\).
\(3{a^3}\).
\(4{a^3}\).
\(6{a^3}\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OA \bot OB}\\{OA \bot OC}\end{array}} \right. \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right)\)
Thể tích khối tứ diện \(OABM\) là \(V = \frac{1}{3}.OA.{S_{\Delta OBM}} = \frac{1}{3}.OA.\frac{1}{2}.{S_{\Delta OBC}} = \frac{1}{6}.OA.\frac{1}{2}.OB.OC = \frac{1}{{12}}.2a.3a.8a = 4{a^3}\).
5. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(CD\) xác định và liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\), có bảng biến thiên dưới đây:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(39^\circ \).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) nên hàm số đồng biến trên \(M\).
6. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực đại tại điểm
\(x = 2.\)
\(x = - 2.\)
\(x = - 1.\)
\(x = 1.\)
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Dựa vào đồ thị của hàm số, hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\).
7. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;\,3} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ dưới đây . Gọi \(m,\,M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhẩt của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;\,3} \right]\). Giá trị của \(m.M\) bằng bao nhiêu?
\( - 8\).
\(1\).
\( - 6\).
\( - 12\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Quan sát đồ thị trên \(\left[ { - 2;\,3} \right]\) ta thấy GTLN của hàm số bằng \(M = 4\) tại \(x = - 1\) và đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(m = - 3\) tại \(x = - 2\).
Vậy \(m.M = - 12\).
8. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có đồ thị như hình vẽ.
Số nghiệm thực của phương trình \(f\left( x \right) = 3\)là
\(2\).
0.
3.
\(1\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 3\)bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)và đường thẳng \(y = 3\).
Ta có đường thẳng \(y = 3\)song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tọa độ \(\left( {0;3} \right)\).
Từ đồ thị ta thấy đường thẳng \(y = 3\)cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)tại hai điểm phân biệt. Do đó phương trình \(f\left( x \right) = 3\)có 2 nghiệm thực phân biệt.
9. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng \(3S\)và chiều cao bằng \(h\)được tính là
\(V = 3Sh\)
\(V = \frac{3}{2}Sh\)
\(V = Sh\)
\(V = \frac{1}{3}Sh\)
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
· Ta có: \(V = \frac{1}{3}.3S.h = Sh\)
10. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có bảng biến thiên như sau
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\(0\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số nhận các đường thẳng x = -2, x = 2 là các đường tiệm cận đứng, y = 0 là tiệm cận ngang
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là \(3\).
11. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
\(y = {x^3} + x\).
\(y = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}\)
\(y = {x^2} + x\).
\(y = {x^4} + {x^2}\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Ta thấy hàm số \(y = {x^2} + x\) là hàm số bậc hai do đó không đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số \(y = {x^4} + {x^2}\) là hàm số trùng phương luôn có điểm cực trị do đó không đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}\)có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\) nên không đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số \(y = {x^3} + x\) có \(y' = 3{x^2} + 1 > 0\), với \(\forall x \in \mathbb{R}\) do đó hàm số luôn đồng biến trên tập xác định \(\mathbb{R}\).
12. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( {0;4} \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).
\(\left( { - 2;0} \right)\).
\(\left( { - 3; + \infty } \right)\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\), đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)đi xuống (từ trái sang phải) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(y = f\left( x \right)\).
13. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị hàm số nào dưới đây
\(y = {x^4} + 3{x^2}\).
\(y = - {x^4} - 2{x^2}\).
\(y = - {x^4} + 4{x^2}\).
\(y = \frac{1}{4}{x^4} - 2{x^2}\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Dựa vào đồ thị và đáp án, hàm số cần tìm có dạng \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) với \(a < 0\). Loại C, D.
Vì đồ thị hàm số có 3 cực trị nên \(ab < 0\). Loại A. Vậy chọn B.
14. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(f\left( x \right)\)có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
\(x = 1\).
\(x = 4\).
\(x = - 2\).
\(x = 3\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Dựa vào BBT hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = - 2\).
15. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Thể tích khối lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng \[a\] là
\(\frac{{{a^3}}}{4}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Ta có \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
16. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Một hình đa diện có ít nhất bao nhiêu đỉnh?
\(4\).
\(3\).
\(6\).
\(5\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Một hình đa diện có ít nhất bốn đỉnh.
17. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\). Chọn phát biểu đúng?
Đường tiệm cận đứng \(y = 2\).
Đường tiệm cận đứng \(x = 2\).
Đường tiệm cận đứng \(y = 1\).
Đường tiệm cận đứng \(x = 1\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
+ Ta có \(\mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \Rightarrow x = 1\)là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
18. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \[y = {x^4} + m{x^2} + 1\] với \[m\]là số thực âm. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
\(2\).
\(3\).
\(1\).
\(0\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Phương pháp trắc nghiệm. Vì hàm số bậc 4 trùng phương hệ số \[a;b\] trái dấu nhau nên có 3 cực trị.
Phương pháp tự luận. Tính \[y' = 4{x^3} + 2mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \sqrt { - \frac{m}{2}} \\x = - \sqrt { - \frac{m}{2}} \end{array} \right.\] nên hàm số có 3 cực trị.
19. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + 2}}{{cx + b}}\)có đồ thị như hình vẽ. Hãy tính tổng \(S = a + b + c\).
\(S = 1\).
\(S = 3\).
\(S = 4\).
\(S = 2\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\)\( \Leftrightarrow - \frac{b}{c} = 1 \Leftrightarrow b + c = 0\)\(\left( 1 \right)\)
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{a}{c} = 1 \Leftrightarrow a - c = 0\)\(\left( 2 \right)\)
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm \(\left( { - 2;0} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{ - 2a + 2}}{{ - 2c + b}} = 0 \Leftrightarrow a = 1\)\(\left( 3 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\)và \(\left( 3 \right)\)\( \Rightarrow a = 1\), \(b = - 1\), \(c = 1\).
Vậy \(S = a + b + c = 1\).
20. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\). Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Khi đó, số nghiệm thực của phương trình \(2018f\left( x \right) - 2019 = 0\) là:
\(4\).
\(3\).
\(2\).
\(0\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Ta có, \(2018f\left( x \right) - 2019 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{2019}}{{2018}} \in \left( {1;2} \right)\).
Dựa vào đồ thị ta thấy, đường thẳng \(y = \frac{{2019}}{{2018}}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \(4\) điểm phân biệt.
21. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \[y = f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2mx + 4}}\]. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị có ba đường tiệm cận.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 2}\\{m < - 2}\end{array}} \right.}\\{m \ne - \frac{5}{2}}\end{array}} \right.\).
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < - 2}\\{m > 2}\end{array}} \right.\).
\(m > 2\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < - 2}\\{m \ne - \frac{5}{2}}\end{array}} \right.\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2mx + 4}} = 0\). suy ra đường thẳng \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Để đồ thị hàm số đã cho có ba đường tiệm cận thì phương trình \[{x^2} - 2mx + 4 = 0\] có hai nghiệm phân biệt và khác \( - 1\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta ' > 0}\\{{{\left( { - 1} \right)}^2} - 2m\left( { - 1} \right) + 4 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 > 0\\2m + 5 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 2}\\{m < - 2}\end{array}} \right.}\\{m \ne - \frac{5}{2} \cdot }\end{array}} \right.\)
22. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ax + 3}}{{2x - b}}\)có bảng biến thiên như sau
Giá trị \(a - 2b\)bằng?
\(10\)
\(8\)
\( - 6\)
\(0\)
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Đk: \( - a.b - 6 \ne 0 \Leftrightarrow a.b \ne - 6\)
Từ BBT ta dễ dàng nhận thấy ĐTHS có TCN là:\(y = 2\)
và tiệm cận đứng là: \(x = 1\)
Suy ra \[\frac{a}{2} = 2 \Leftrightarrow a = 4\]và \[\frac{b}{2} = 1 \Leftrightarrow b = 2\](TMĐK)
Vậy \[a - 2b = 4 - 2.2 = 0\].
23. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\),\(AB = a\),\(AC = 2a\), cạnh bên \(SA\)vuông góc với mặt đáy và \(SA = a\). Tính thể tích V của khối chóp \(S.ABC\).
\(V = \frac{{{a^3}}}{4}\).
\(V = {a^3}\).
\(V = \frac{{{a^3}}}{2}\).
\(V = \frac{{{a^3}}}{3}\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Diện tích đáy \(B = {S_{ABC}} = \frac{1}{2}a.2a = {a^2}\)
Chiều cao: \(h = a\)
\({V_{ABCA'B'C'}} = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}{a^2}.a = \frac{{{a^3}}}{3}\)
24. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = 2\sqrt[3]{9}\).
\(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = 3\sqrt[3]{9}\).
\(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = 7\).
\(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = \frac{{33}}{5}\).
Xem đáp án 
Lời giải
Chọn B
Cách 1: (Dùng bất đẳng thức CauChy)
\(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}} = \frac{{3x}}{2} + \frac{{3x}}{2} + \frac{4}{{{x^2}}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{3x}}{2}.\frac{{3x}}{2}.\frac{4}{{{x^2}}}}} = 3\sqrt[3]{9}\) (do \(x > 0\))
Dấu xảy ra khi \(\frac{{3x}}{2} = \frac{4}{{{x^2}}} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{8}{3}}}\).
Vậy \(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = 3\sqrt[3]{9}\)
Cách 2: (Dùng đạo hàm)
Xét hàm số \(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Ta có \(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}} \Rightarrow y{\rm{'}} = 3 - \frac{8}{{{x^3}}}\)
Cho \(y{\rm{'}} = 0 \Leftrightarrow \frac{8}{{{x^3}}} = 3 \Leftrightarrow {x^3} = \frac{8}{3} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{8}{3}}}\)
\( \Rightarrow \mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = y\left( {\sqrt[3]{{\frac{8}{3}}}} \right) = 3\sqrt[3]{9}\).
25. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số\(y = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} - \left( {2m - 3} \right)x + 4\)đồng biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
\(\left[ {0; + \infty } \right)\).
\(\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right]\).
\(\left( { - \infty ;0} \right]\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
TXĐ: D = \(\mathbb{R}\).
Có \(y' = {x^2} + 4x - 2m + 3\)
Để hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)thì \(y' \ge 0\)\(\forall x \in \left( { - 1; + \infty } \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 2m + 3 \ge 0\)\(\forall x \in \left( { - 1; + \infty } \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 3\; \ge \;2m\)\(\forall x \in \left( { - 1; + \infty } \right)\quad \left( * \right)\)
Đặt \(h\left( x \right) = {x^2} + 4x + 3\)với \(x \in \left( { - 1; + \infty } \right)\)
Ta có \(h'\left( x \right) = 2x + 4\)
\(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 2\)
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có\(\left( * \right)\; \Leftrightarrow \;2m\; \le \;0\; \Leftrightarrow \;m\; \le \;0\) hay \(m \in \left( { - \infty ;0} \right]\)
26. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(f\left( x \right)\)xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)có bảng biến thiên như sau:
Hỏi đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\)có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
\(1\).
\(3\).
\(2\).
\(4\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 2 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{2}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - 2 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = - \frac{1}{2}\).
Suy ra đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\)có hai đường tiệm cận ngang là \(y = \frac{1}{2}\)và \(y = - \frac{1}{2}\).
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\)ta thấy: phương trình \(f\left( x \right) = 0\)có hai nghiệm phân biệt \({x_1} < - 1 < {x_2}\).
Khi đó: \(f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right) = 0\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}^ - } f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) > 0\,khi\,x \to {x_1}^ - \end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}^ - } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = + \infty \)và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_2}^ - } f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) > 0\,khi\,x \to {x_2}^ - \end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_2}^ - } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = + \infty \).
Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\)có hai tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = {x_1}\)và \(x = {x_2}\).
27. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho khối chóp \[S.ABC{\rm{ }}\]có đáy \[ABC{\rm{ }}\]là tam giác vuông cân tại \[A\], \[BC = a\sqrt 2 \]. Hình chiếu vuông góc \[H\] của \[S\] trên mặt phẳng đáy là trung điểm của đoạn thẳng \[BC\] và \[SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\] (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính thể tích \[V\] của khối chóp đã cho.
\(V = \frac{{{a^3}}}{{12}}\).
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
\(V = \frac{{{a^3}}}{4}\).
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Ta có \(V = \frac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SH\).
Vì\[ABC{\rm{ }}\]là tam giác vuông cân tại \[A\], cạnh huyền \[BC = a\sqrt 2 \] nên \[AB = AC = a\].
\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{{{a^2}}}{2}\].
Tam giác \[ABC{\rm{ }}\]vuông tại \[A\] có trung tuyến \[AH = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\].
Tam giác \[SAH\]vuông tại \[H\] có \[SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{a}{2}\].
Vậy \(V = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}}}{{12}}\).
28. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \[y = \frac{{mx - {m^2} - 2}}{{ - x + 1}}\] (\[m\] là tham số thực) thỏa mãn \[\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 4; - 2} \right]} y = \frac{{ - 1}}{3}\]. Mệnh đề nào sau dưới đây đúng?
\[ - 3 < m < \frac{{ - 1}}{2}\].
\[\frac{{ - 1}}{2} < m < 0\].
\[m > 4\].
\[1 \le m < 3\].
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Ta có \(y' = \frac{{ - {m^2} + m - 2}}{{{{\left( { - x + 1} \right)}^2}}} < 0\)với \(\forall x \in \left[ { - 4; - 2} \right]\)\( \Rightarrow \)hàm số \[y = \frac{{mx - {m^2} - 2}}{{ - x + 1}}\] nghịch biến trên \(\left[ { - 4; - 2} \right]\)\( \Rightarrow \)\[\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 4; - 2} \right]} y = y\left( { - 4} \right)\]\( = \frac{{ - {m^2} - 4m - 2}}{5}\).
Theo đề bài ta có \[\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 4; - 2} \right]} y = \frac{{ - 1}}{3}\]\( \Leftrightarrow \frac{{ - {m^2} - 4m - 2}}{5} = - \frac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow 3{m^2} + 12m + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{ - 6 + \sqrt {33} }}{3}\\m = \frac{{ - 6 - \sqrt {33} }}{3}\end{array} \right.\).
29. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Hàm số \(f\left( x \right)\)có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\)và \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\), biết \(f\left( 2 \right) = 1\). Khẳng định nào sau đây có thể xảy ra?
\(f\left( 3 \right) = 0\).
\(f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) = 4\).
\(f\left( 1 \right) = 4\).
\(f\left( {2019} \right) > f\left( {2020} \right)\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Ta có hàm số \(f\left( x \right)\)có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\)và \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) nên hàm số \(f\left( x \right)\)đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Lại có \(f\left( 2 \right) = 1\)mà \(3 > 2 \Rightarrow f\left( 3 \right) > f\left( 2 \right)\) nên \(A\) sai
\(1 < 2 \Rightarrow f\left( 1 \right) < f\left( 2 \right)\) nên \(C\) sai
\(2019 < 2020 \Rightarrow f\left( {2019} \right) < f\left( {2020} \right)\) nên \(D\) sai
Xét \(B\):\(f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) = 4 \Rightarrow f(3) = 4 - f\left( 2 \right) = 4 - 1 = 3 > f\left( 2 \right)\)
Vậy \(B\) có thể xảy ra
30. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f{\rm{'}}\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right){\left( {x + 4} \right)^3},\forall x \in \mathbb{R}\). Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
\(4\).
\(1\).
\(2\).
\(3\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
\(f{\rm{'}}\left( x \right) = 0\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 4} \right)}^3} = 0}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 1}\\{x = - 4}\end{array}} \right.}\end{array}\)
Ta có bảng xét dấu của \(f{\rm{'}}\left( x \right)\)
Dựa vào bảng xét dấu của \(f{\rm{'}}\left( x \right)\) suy ra hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu.
31. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài đường chéo 1 mặt \(AC = 2\sqrt 2 a\). Thể tích của khối lập phương là:
.
.
.
.
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Gọi \(x\) là độ dài cạnh của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
Ta có \(AC = 2\sqrt 2 a \Leftrightarrow x\sqrt 2 = 2\sqrt 2 a \Leftrightarrow x = 2a\)
Vậy thể tích của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' là \(V = {x^3} = {\left( {2a} \right)^3} = 8{a^3}.\)
32. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M\), \(N\), \(K\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\), \(BC\), \(SA\). Biết mặt phẳng \(\left( {MNK} \right)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai phần có thể tích là \({V_1},{V_2}\)\(\left( {{V_1} < {V_2}} \right)\). Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\).
\(\frac{7}{{13}}\).
\(\frac{9}{{23}}\).
\(\frac{{49}}{{71}}\).
\(\frac{{17}}{{67}}\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), kéo dài \(MN\) cắt \(DA\), \(DC\) lần lượt tại \(F\), \(E\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\), gọi \(FK \cap SD = Q\). Trong mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\), gọi \(QE \cap SC = P\).
Suy ra thiết diện là ngũ giác \(MNPQK\) và \(MN{\rm{//}}AC\;{\rm{//\;}}PK\).
Đặt \(h = d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {K,\left( {ABCD} \right)} \right) = d\left( {P,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}h\)
Ta có: \(FA = BN = \frac{1}{2}AD \Rightarrow \frac{{FD}}{{FA}} = 3\).
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(SAD\), suy ra
\(\frac{{QS}}{{QD}}.\frac{{FD}}{{FA}}.\frac{{KA}}{{KS}} = 1 \Rightarrow \frac{{QS}}{{QD}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{QD}}{{SD}} = \frac{3}{4} \Rightarrow d\left( {Q,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{3}{4}h\)
Mặt khác: \({S_{FAM}} = {S_{NCE}} = {S_{BMN}} = \frac{1}{4}{S_{ABC}} = \frac{1}{8}{S_{ABCD}} \Rightarrow {S_{DEF}} = \frac{9}{8}{S_{ABCD}}\)
Suy ra thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh S là
\(V = {V_{QDEF}} - {V_{KAMF}} - {V_{PECN}} = \frac{1}{3}\left( {\frac{3}{4}h.\frac{9}{8}S - \frac{1}{2}h.\frac{1}{8}S - \frac{1}{2}h.\frac{1}{8}S} \right)\)
\( = \frac{1}{3}.\frac{{23}}{{32}}.h.{S_{ABCD}} = \frac{{23}}{{32}}{V_{ABCD}} = {V_2}\)
\( \Rightarrow {V_1} = \frac{9}{{32}} \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{9}{{23}}\)
33. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị hàm \(f'\left( x \right)\) như hình dưới.
Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} - 3x} \right)\) là
4.
3.
6.
5.
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
\(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} - 3x} \right)\)\( \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {3{x^2} - 3} \right)f'\left( {{x^3} - 3x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x^2} - 3 = 0}\\{f'\left( {{x^3} - 3x} \right) = 0}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = 1}\\{{x^3} - 3x = m\quad \left( 1 \right),m \in \left( {1;2} \right)}\end{array}} \right.\).
Xét hàm số \(h\left( x \right) = {x^3} - 3x \Rightarrow h'\left( x \right) = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = 1}\end{array}} \right.\).
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình \(\left( 1 \right)\) có ba nghiệm phân biệt khác \( - 1\)và \(1\).
Nên phương trình \(g'\left( x \right) = 0\)có \(5\) nghiệm đơn phân biệt \( \Rightarrow g\left( x \right) = f\left( {{x^3} - 3x} \right)\)có 5 điểm cực trị.
34. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(f\left( x \right)\)có đồ thị như hình vẽ. Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {f\left( x \right) - 1} \right)\). Tìm số nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).
\(10\).
\(6\).
\(8\).
\(9\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Xét \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right).f'\left( {f\left( x \right) - 1} \right)\)
Ta có: \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f'\left( x \right) = 0\left( 1 \right)}\\{f'\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 0\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
Giải (1): Từ đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\)suy ra hàm số \(f\left( x \right)\)có 3 điểm cực trị từ đó suy ra : \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a,a \in \left( { - 1;0} \right)}\\{x = 1}\\{x = b,b \in \left( {1;2} \right)}\end{array}} \right.\)
Giải (2): Tương tự như phương trình (1) ta suy ra : \(f'\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) - 1 = a,a \in \left( { - 1;0} \right)}\\{f\left( x \right) - 1 = 1}\\{f\left( x \right) - 1 = b,b \in \left( {1;2} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = a + 1,a + 1 > 0}\\{f\left( x \right) = 2}\\{f\left( x \right) = b + 1,2 < b + 1 < 3}\end{array}} \right.\)
Nhận thấy đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\)cắt :
+) Đường thẳng: \(y = a + 1\)tại \(2\)điểm phân biệt
+) Đường thẳng: \(y = 2\)tại \(2\)điểm phân biệt
+) Đường thẳng: \(y = b + 1\)tại \(2\)điểm phân biệt.
+) Đường thẳng: \(y = b + 1\)tại \(2\)điểm phân biệt.
Mặt khác các nghiệm của phương trình (1) và (2) không trùng nhau nên từ đó kết luận phương trình phương trình \(g'\left( x \right) = 0\)có \(9\)nghiệm phân biệt.
35. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\)có đồ thị là đường parabol như hình vẽ. Hàm số \(y = f\left( {1 - {x^2}} \right) + 6{x^2}\)đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( {1;\sqrt 2 } \right)\).
\(\left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \sqrt 2 ;0} \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\)đi qua 3 điểm \(\left( {2;0} \right)\), \(\left( {1;0} \right)\), \(\left( {0;2} \right)\)nên hàm số \(y = f'\left( x \right)\)có dạng\(y = f'\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\).
Xét hàm số \(y' = {\left[ {f\left( {1 - {x^2}} \right) + 6{x^2}} \right]^'} = - 2xf'\left( {1 - {x^2}} \right) + 12x\)
\( = - 2x\left[ {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2} - 3\left( {1 - {x^2}} \right) + 2} \right] + 12x = - 2x\left( {{x^4} + {x^2} - 6} \right) = - 2x\left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)\).
Bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( {1 - {x^2}} \right) + 6{x^2}\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right)\)và\(\left( {0;\sqrt 2 } \right) \Rightarrow \) hàm số \(y = f\left( {1 - {x^2}} \right) + 6{x^2}\)đồng biến trên khoảng \(\left( {1;\sqrt 2 } \right)\).
Bạn có thích hoạt động này không?
Khám phá các nguồn tài nguyên miễn phí, phù hợp với tiêu chuẩn trong vài giây
