Đề thi
Bộ 20 đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án (Đề 14)
AdminToánLớp 12119 lượt thi
35 câu hỏi
1. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2} - 2x\),\(\forall x \in \mathbb{R}\). Hàm số \(y = - 2f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng
\(\left( {0;2} \right)\).
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).
\(\left( { - 2;0} \right)\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Ta có: \(y' = - 2f'\left( x \right) = - 2{x^2} + 4x > 0 \Leftrightarrow x \in \left( {0;2} \right)\).
Suy ra: hàm số \(y = - 2f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\)
2. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
\(0\).
\(5\).
\(1\).
\(2\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là \(1\).
3. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
\(\left( { - 1;4} \right)\).
\(\left( { - 1;1} \right)\).
\(\left( { - \infty ;0} \right)\).
\(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).
4. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị đạo hàm như hình vẽ bên dưới. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
4.
3.
2.
1.
Xem đáp án 
Lời giải
Chọn B
· Giả sử \(f{\rm{'}}\left( x \right)\) cắt trục \(Ox\) tại \(a,b,c(a < b < c)\)
5. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho khối lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\] có \[BB' = a\], đáy \[ABC\] là tam giác vuông cân tại \[B\] và \[AB = a\]. Tính thể tích \[V\]của khối lăng trụ đã cho?
\[V = {a^3}\].
\[V = \frac{{{a^3}}}{6}\].
\[V = \frac{{{a^3}}}{3}\].
\[V = \frac{{{a^3}}}{2}\].
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Thể tích của khối lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\] là \(V = a.\frac{1}{2}a.a = \frac{{{a^3}}}{2}\).
6. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Thể tích \(V\) của khối chóp có diện tích đáy bằng \(S\) và chiều cao bằng \(h\) là
\(V = Sh\).
\(V = \frac{1}{2}Sh\).
\(V = \frac{1}{3}Sh\).
\(V = 3Sh\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Thể tích \(V\) của khối chóp có diện tích đáy bằng \(S\) và chiều cao bằng \(h\) là \(V = \frac{1}{3}Sh\).
7. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ bên?
\(y = - {x^3} + 3x + 1\).
\(y = - {x^2} + x - 1\).
\(y = {x^4} - {x^2} + 1\).
\(y = {x^3} - 3x + 1\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Nhìn vào đồ thị thì đây là đồ thị hàm số bậc 3 nên loại đáp án B, C
Do đồ thị đi từ dưới lên nên \(a > 0\) nên ta loại đáp án D
8. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho khối chóp \(S.ABC\) có các cạnh \(SA,{\rm{\;}}SB,{\rm{\;}}SC\) đôi một vuông góc. Biết độ dài các cạnh \(SA,{\rm{\;}}SB,{\rm{\;}}SC\) lần lượt là \(a,{\rm{\;}}b,{\rm{\;}}c\). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là
\(V = \frac{1}{2}abc.\)
\(V = \frac{1}{6}abc\)
\(V = \frac{1}{3}abc\)
\(V = abc.\)
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Vì \(SA,{\rm{\;}}SB,{\rm{\;}}SC\) đôi một vuông góc nên \(SA \bot \left( {SBC} \right)\).
Do đó \(SA\) là chiều cao của hình chóp \(S.ABC\).
Suy ra \({V_{S.ABC}} = {V_{A.SBC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{SBC}} = \frac{1}{3}a.\frac{1}{2}bc = \frac{1}{6}abc.\)
9. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( { - 1;2} \right)\).
\(\left( { - 2; - 1} \right)\).
\(\left( { - 2;1} \right)\).
\(\left( { - 1;1} \right)\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Dựa vào đồ thị nhận thấy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).
10. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ { - 2;6} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ.
Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ { - 2;6} \right]\) . Hiệu \(M - m\) bằng
\(3\).
\(6\).
\(8\).
\(4\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất \(M = 3\) tại \(x = - 2\) và đạt giá trị nhỏ nhất \(m = - 1\) tại \(x = 0\). Vậy \(M - m = 4\).
11. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Khối bát diện đều thuộc loại khối đa diện đều nào sau đây?
\(\left\{ {5;3} \right\}.\)
\(\left\{ {3;4} \right\}.\)
\(\left\{ {4;3} \right\}.\)
\(\left\{ {3;5} \right\}.\)
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Ta thấy, mỗi mặt của bát diện đều là một tam giác đều, mỗi đỉnh của bát diện đều là đỉnh chung của đúng 4 mặt nên bát diện đều là khối đa diện đều loại \(\left\{ {3;4} \right\}.\)
12. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\) và có bảng biến thiên ở hình vẽ.
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
\(3\).
\(1\).
\(2\).
\(0\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Từ bảng biến thiên ta thấy:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty \) suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = + \infty \) suy ra đồ thị hàm số có \(1\) tiệm cận đứng là \(x = 1\).
Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là \(1\).
13. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Phát biểu nào sau đây là sai?
Nếu \[f'\left( {{x_0}} \right) = 0\] và \[f''\left( {{x_0}} \right) > 0\] thì hàm số đạt cực tiểu tại \[{x_0}\].
Nếu \[f'\left( {{x_0}} \right) = 0\] và \[f''\left( {{x_0}} \right) < 0\] thì hàm số đạt cực đại tại \[{x_0}\].
Nếu \[f'\left( x \right)\] đổi dấu khi \[x\] qua điểm \[{x_0}\] và \[f\left( x \right)\] liên tục tại \[{x_0}\] thì hàm số \[y = f\left( x \right)\] đạt cực trị tại điểm \[{x_0}\].
Hàm số \[y = f\left( x \right)\] đạt cực trị tại \[{x_0}\] khi và chỉ khi \[{x_0}\] là nghiệm của đạo hàm.
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số
Hàm số \[y\] không đạt cực trị tại điểm \[x = 0\].
14. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Số giao điểm của đồ thị \(y = {x^3} - 4x\) và trục hoành là
2.
3.
4.
0.
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - 4x = 0\) Û \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = \pm 2}\end{array}} \right.\).
Vậy số giao điểm là 3.
15. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tiệm cận ngang của đồ thị \(y = \frac{{ - x + 2}}{{3x - 1}}\)là
\(y = - \frac{1}{3}\).
\(x = - 3\).
\(y = 2\).
\(x = \frac{1}{3}\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Ta có \(\mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x + 2}}{{3x - 1}} = \frac{{ - 1}}{3},\mathop {lim}\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x + 2}}{{3x - 1}} = \frac{{ - 1}}{3} \Rightarrow y = \frac{{ - 1}}{3}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - x + 2}}{{3x - 1}}\).
16. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \[y = {x^4} - {x^2} + 13\] trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\).
\[m = \frac{{51}}{4}\].
\[m = \frac{{49}}{4}\].
\[m = 13\].
\[m = \frac{{51}}{2}\].
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên \(\left[ { - 2;3} \right]\).
Ta có \(y' = 4{x^3} - 2x\), \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \in - \left[ { - 2;3} \right]\\x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \in - \left[ { - 2;3} \right]\\x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \in \left[ { - 2;3} \right]\end{array} \right.\).
Khi đó \(y\left( { - 2} \right) = 25\), \(y\left( 0 \right) = 13\), \(y\left( 3 \right) = 85\), \(y\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{51}}{4}\), \(y\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{51}}{4}\).
Vậy \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;3} \right]} y = y\left( { \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{51}}{4}\).
17. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Hình đa diện trong hình vẽ có bao nhiêu mặt?
\(6\).
\(10\).
\(12\).
\(11\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Đếm đáy hình chóp có 5 mặt và 5 mặt của lăng trụ và 1 mặt đáy. Vậy có 11 mặt.
18. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), \(AC = a\), cạnh \(SA\)vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Ta có \(\Delta ABC\) là tam giác đều cạnh \(a \Rightarrow {S_{ABCD}} = AB.BC\sin 60^\circ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\)
Vậy \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}.\)
19. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có thể tích \(V\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\), \(MC\). Thể tích của khối chóp \(N.ABCD\) là
\(\frac{V}{4}\).
\(\frac{V}{2}\).
\(\frac{V}{3}\).
\(\frac{V}{6}\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Đặt \(B = {S_{ABCD}}\), \(d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right) = h\). Suy ra \(V = \frac{1}{3}Bh\).
Vì \(M\) là trung điểm của \(SA\) nên \(d\left( {M;\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right)\),
Lại vì \(N\) là trung điểm của \(MC\) nên \(d\left( {N;\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {M;\left( {ABCD} \right)} \right)\).
Suy ra \(d\left( {N;\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{4}d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{4}h\).
Từ đó ta có \({V_{N.ABCD}} = \frac{1}{3}d\left( {N;\left( {ABCD} \right)} \right).B = \frac{1}{4}.\frac{1}{3}Bh = \frac{V}{4}\).
20. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ.
Phương trình \(2\left| {f\left( x \right)} \right| = 1\) có bao nhiêu nghiệm nhỏ hơn 2?
\(4\).
\(2\).
\(6\).
\(3\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Ta có \(2\left| {f\left( x \right)} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = \frac{1}{2}}\\{f\left( x \right) = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\).
Từ bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta có:
+) Phương trình \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}\) có 2 nghiệm nhỏ hơn 2.
+) Phương trình \(f\left( x \right) = - \frac{1}{2}\) có 3 nghiệm nhỏ hơn 2.
Vậy phương trình \(2\left| {f\left( x \right)} \right| = 1\) có bốn nghiệm nhỏ hơn 2.
21. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x - 1} \right)^3}\left( {2 - x} \right)\). Hàm số \(f\left( x \right)\)đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( { - \infty ;1} \right)\).
\(\left( {1;2} \right)\).
\(\left( { - 1;1} \right)\).
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1{\rm{ }}\left( {{\rm{nghie\"a m ke\`u p}}} \right)\\x = 1{\rm{ }}\left( {{\rm{nghie\"a m bo\"a i ba}}} \right)\\x = 2{\rm{ }}\left( {{\rm{nghie\"a m \~n \^o n}}} \right)\end{array} \right.\).
Bảng xét dấu \(f'\left( x \right)\):
Vậy hàm số \(f\left( x \right)\)đồng biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).
22. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm \[f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}{\left( {x - 3} \right)^3}\left( {2x + 3} \right),\forall x \in \mathbb{R}\]. Số cực trị của hàm số đã cho là
\(3.\)
\(1\).
\(2\).
\(0\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Ta có \[f'\left( x \right)\] đổi dấu khi qua các giá trị \[x = 3\] và \[x = \frac{{ - 3}}{2}\] nên hàm số có 2 cực trị .
23. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm tất cả các số thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} + {x^2} + mx + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
\(m \ge \frac{4}{3}\).
\(m \le \frac{4}{3}\).
\(m \ge \frac{1}{3}\).
\(m \le \frac{1}{3}\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
+ TXĐ: \(\mathbb{R}\)
+ \(y' = 3{x^2} + 2x + m\).
+ Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) thì \(y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow 3{x^2} + 2x + m \ge 0\,\,,\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 3m \le 0\\a = 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge \frac{1}{3}\).
24. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Hàm số nào sau đây không có giá trị lớn nhất?
\(y = - \sin x + \cos x\).
\(y = - {x^4} + {x^2} - 2019\).
\(y = {x^3} + 3{x^2} + 2019\).
\(y = - {x^2} + x + 2019\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} + 2019} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}\left( {1 + \frac{3}{x} + \frac{{2019}}{{{x^3}}}} \right) = + \infty \)nên hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + 2019\)không có giá trị lớn nhất.
25. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho biết rằng bảng biến thiên sau là bảng biến thiên của một hàm số trong các hàm số được liệt kê ở các phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
\(y = \frac{{2x + 5}}{{x + 2}}\).
\(y = \frac{{x - 3}}{{x - 2}}\).
\(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\).
\(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
1.Hàm số không xác định tại điểm \(x = 2\). Nên loại đáp án
2.Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\), tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 1\). Loại được đáp án
3.Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Chọn D vì \(y' = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0\), \(\forall x \ne 2\).
26. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^3} + \left( {2m + 1} \right){x^2} + \left( {1 - 5m} \right)x + 3m + 2\) đi qua điểm \(A\left( {2;3} \right)\).
\(m = 10\).
\(m = - 10\).
\(m = 13\).
\(m = - 13\)
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Để đồ thị hàm số \(y = {x^3} + \left( {2m + 1} \right){x^2} + \left( {1 - 5m} \right)x + 3m + 2\)đi qua điểm \(A\left( {2;3} \right)\),
\( \Rightarrow \) ta thay tọa độ điểm \(A\left( {2;3} \right)\) vào công thức cho hàm số, ta được:
\(3 = {2^3} + \left( {2m + 1} \right){2^2} + \left( {1 - 5m} \right)2 + 3m + 2 \Leftrightarrow m + 13 = 0 \Leftrightarrow m = - 13\).
27. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng \(3\). Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
\(\frac{{9\sqrt 3 }}{4}\).
\(\frac{{27\sqrt 3 }}{4}\).
\(\frac{{27\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{{9\sqrt 3 }}{2}\).
Xem đáp án 
Lời giải.
Chọn B
Diện tích đáy: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.3.3.\sin 60^\circ = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}\). Thể tích \({V_{lt}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{27\sqrt 3 }}{4}\).
28. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 2x - m}}\) có hai đường tiệm cận đứng.
\[m \le - 1\].
\[m \ge 0\].
\[m > - 1\].
\[m > - 1\] và \(m \ne 3\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình \({x^2} + 2x - m = 0\)có hai nghiệm phân biệt khác \( - 3\). Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 1 + m > 0\\3 - m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\m \ne 3\end{array} \right.\).
29. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm tập hợp các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^4} + \left( {{m^2} - 4} \right){x^2} + 1 - m\) có một điểm cực trị
\[\left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\].
\[\left[ { - 2;2} \right]\].
\(\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
\(\left( { - 2;2} \right)\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Ta có \(y' = 4{x^3} + 2\left( {{m^2} - 4} \right)x = 2x\left( {{x^2} + {m^2} - 4} \right)\)
Hàm số đã cho là hàm số trùng phương nên có đúng một cực trị khi \(y' = 0\) có một nghiệm.
Hay \(2x\left( {{x^2} + {m^2} - 4} \right) = 0\)có đúng một nghiệm \( \Leftrightarrow {m^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 2\\m \ge 2\end{array} \right.\).
Chú ý:
+ Hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đúng một cực trị khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}ab \ge 0\\{a^2} + {b^2} > 0\end{array} \right..\)\(\left( 1 \right)\)
Đặc biệt: Hàm số trùng phương \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)có đúng một cực trị khi và chỉ khi \(ab \ge 0\).
+ Hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có ba cực trị khi và chỉ khi \(ab < 0.\)\(\left( 2 \right)\)
30. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
\[2\].
\[1\].
\[4\].
\[3\].
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
TXĐ: \(D = \left( { - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = + \infty \)
Do vậy, \(x = - 2\) và \(x = 0\)là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
31. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Hàm số \(y = \frac{{x - {m^2}}}{{x + 1}}\) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) bằng \( - 1\) khi
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m = - 1}\end{array}} \right.\).
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \sqrt 3 }\\{m = - \sqrt 3 }\end{array}} \right.\).
\(m = - 2\).
\(m = 3\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
\(y' = \frac{{1 + {m^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\;\;\forall x \ne - 1\).
Suy ra hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\). Do đó, ta có:
\(\mathop {{\rm{Min}}}\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = - 1 \Leftrightarrow y\left( 0 \right) = - 1
\Leftrightarrow - {m^2} = - 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m = - 1}\end{array}} \right.\).
32. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số bậc năm \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)\) là
\(7\).
\(6\).
\(11\).
\(4\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Ta có \(g'\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 6x} \right).f'\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)\).
\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x^2} + 6x = 0}\\{f'\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) = 0}\end{array}} \right.\).
Phương trình
\(3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = - 2}\end{array}} \right..\)
Phương trình
\(f'\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} + 3{x^2} = a < 0}\\{{x^3} + 3{x^2} = 0}\\{{x^3} + 3{x^2} = 4}\\{{x^3} + 3{x^3} = b > 4}\end{array}} \right.\).
Ta thấy: \({x^3} + 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = - 3\)
Và \({x^3} + 3{x^2} = 4 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1;x = - 2\).
Hàm số \(h\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2}\) có \(h'\left( x \right) = 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = - 2}\end{array}} \right.\).
Bảng biến thiên của hàm \(h\left( x \right)\):
Dựa vào bảng biên thiên của hàm \(h\left( x \right)\), ta có
Phương trình \({x^3} + 3{x^2} = a < 0\) có duy nhất một nghiệm \({x_1} < - 3\).
Phương trình \({x^3} + 3{x^2} = b > 4\) có duy nhất một nghiệm \({x_2} > 1\).
Do đó, phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có bốn nghiệm đơn phân biệt và hai nghiệm bội ba nên hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 6 điểm cực trị.
33. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và có thể tích \(V\). Gọi \(E\) là điểm trên cạnh \(SC\) sao cho \(EC = 2ES\), \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng \(AE\) và song song với đường thẳng \(BD\), \(\left( \alpha \right)\) cắt hai cạnh \(SB,\;SD\) lần lượt tại hai điểm \(M,\;N\). Tính theo \(V\) thể tích khối chóp \(S.AMEN\).
\(\frac{{2V}}{9}\).
\(\frac{V}{3}\).
\(\frac{V}{6}\).
\(\frac{V}{{12}}\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\); \(I\) là giao điểm của \(AE\) và \(SO\).
Theo bài ra: \(\frac{{SE}}{{SC}} = \frac{1}{3}\); \(MN\) đi qua điểm \(I\)và \(MN//BD\).
Ta có: \(\frac{{{V_{S.AME}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SE}}{{SC}}\); \(\frac{{{V_{S.ANE}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \frac{{SN}}{{SD}}.\frac{{SE}}{{SC}}\), \({V_{S.ABC}} = {V_{S.ADC}} = \frac{V}{2}.\)
Kẻ \(OF//AE,\;\;F \in \left[ {SC} \right]\). Vì \(O\)là trung điểm của \(AC\)nên \(F\) là trung điểm của \(EC\), theo giả thiết suy ra \(E\) là trung điểm của \(SF\).
Xét tam giác \(SOF\) có \(E\) là trung điểm của \(SF\) và \(OF//IE\), suy ra \(I\) là trung điểm của \(SO\).
\( \Rightarrow \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{2}\).
Do đó \(\frac{{{V_{S.AME}}}}{{\frac{1}{2}V}} = \frac{{{V_{S.ANE}}}}{{\frac{1}{2}V}} = \frac{1}{6} \Rightarrow \)\({V_{SAMEN}} = \frac{1}{6}V\).
34. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên dưới.
Hỏi hàm số \(g\left( x \right) = 2f\left( {2 - \frac{x}{2}} \right) + \frac{{{x^2}}}{4} - 2x + 2020\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
\(\left( {2;\,3} \right)\).
\(\left( {\, - 1;\,3} \right)\).
\(\left( { - 2;\,3} \right)\).
\(\left( {10;\, + \infty } \right)\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Ta có \(g\left( x \right) = 2f\left( {2 - \frac{x}{2}} \right) + \frac{{{x^2}}}{4} - 2x + 2020 \Rightarrow g'\left( x \right) = - f'\left( {2 - \frac{x}{2}} \right) + \frac{x}{2} - 2\)
Đặt \(t = 2 - \frac{x}{2} \Rightarrow x = 4 - 2t\)
Suy ra \(g'\left( {4 - 2t} \right) = - f'\left( t \right) - t\)
\(g'\left( {4 - 2t} \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) = - t\,\left( * \right)\)
Phương trình (*) là phương trình trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(f'\) và đường thẳng \(y = - x\).
Dựa vào đồ thị:
\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 3\\t = 1\\t = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\\x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\)
Ta có bảng xét dấu của hàm \(g'\)
\(g(x)\)nghịch biến trên khoảng \(\left( {2;10} \right)\)nên nghịch biến trên khoảng \(\left( {2;\,3} \right)\).
35. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục, có đạo hàm trên \(\left[ { - 2;4} \right]\)và có bảng biến thiên như hình vẽ
Số nghiệm của phương trình \(3f\left( { - 2x + 1} \right) = 8{x^3} - 6x\)trên đoạn \(\left[ {\frac{{ - 3}}{2};\frac{3}{2}} \right]\) là
\(3\).
\(5\).
\(1\).
\(2\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Đặt \(t = - 2x + 1\).Với \(x \in \left[ {\frac{{ - 3}}{2};\frac{3}{2}} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 2;4} \right]\).
Mỗi nghiệm của \(t\)cho duy nhất một nghiệm của \(x\).
Biến đổi \(8{x^3} - 6x = {\left( {2x} \right)^3} - 3\left( {2x} \right) = {\left( {1 - t} \right)^3} - 3\left( {1 - t} \right) = - {t^3} + 3{t^2} - 2\).
Phương trình trở thành \(3f\left( t \right) - \left( { - {t^3} + 3{t^2} - 2} \right) = 0\).
Xét hàm số
\(g\left( t \right) = 3f\left( t \right) - \left( { - {t^3} + 3{t^2} - 2} \right)\) \( \Rightarrow g'\left( t \right) = 3f'\left( t \right) - \left( { - 3{t^2} + 6t} \right) = 3\left[ {f'\left( t \right) - \left( { - {t^2} + 2t} \right)} \right]\)
\(g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) = - {t^2} + 2t\)
Ta có \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)
\( - {t^2} + 2t = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)
Ta có bảng xét dấu \(g'\left( t \right)\)
Từ đó ta có bảng biến thiên sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình \(g\left( t \right) = 0\) có \(1\) nghiệm nên phương trình ban đầu có \(1\) nghiệm.
