Bộ 20 đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án (Đề 12)
50 câu hỏi
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên \[\mathbb{R}\]?
\[y = - {x^4} + 2{x^2} - 2\].
\[y = {x^4} - 3{x^2} + 5\].
\[y = - {x^3} + {x^2} - 2x - 1\].
\[y = - {x^3} - 3{x^2} + 4\].
Lời giải
Chọn C
Ta loại ngay được hai hàm số ở các phương án A và B
Với hàm số ở
Ta có \(y' = - 3{x^2} - 6x\), \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x = 0\) và \(x = - 2\) nên không thể đơn điệu trên \(\mathbb{R}\). Vậy đáp án là C
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)có đồ thị như hình bên dưới:
Mệnh đề nào sau đây sai?
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Lời giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị ta có hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)và \(\left( {1; + \infty } \right)\), hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( {1; + \infty } \right).\)
\(\left( { - \infty ;1} \right).\)
\(\left( { - 1;0} \right).\)
\(\left( {0;1} \right).\)
Lời giải
Chọn D
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right).\)
Do đó đáp số của câu hỏi này là phương án D.
Có bao nhiêu điểm cực trị của hàm số \(y = \frac{1}{x}\)?
\(3\).
\(2\).
\(0\).
\(1\).
Lời giải
Chọn C
Điều kiện \(x \ne 0\).
Ta có \(y' = - \frac{1}{{{x^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne 0\). Vậy hàm số không có cực trị.
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ.
Hỏi hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực đại ?
\(3\).
\(2\).
\(1\).
\(4\).
Lời giải
Chọn C
Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{x = 1}\\{x = 0}\\{x = - 2}\end{array}} \right.\).
Ta có bảng xét dấu đạo hàm \(f'\left( x \right)\)
Từ bảng xét dấu ta thấy \(f'\left( x \right)\) đổi dấu khi qua \(x = - 2\), \(x = 1\) và \(x = 3\) (hàm số \(f'\left( x \right)\) không đổi dấu khi qua \(x = 0\)).
Khi qua \(x = 1\), \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số có một điểm cực đại là \(x = 1\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Mệnh đề nào dưới đây là sai?
Hàm số không đạt cực tiểu tại điểm \(x = 2\).
Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = - 1\).
Điểm cực đại của đồ thị hàm số là \(\left( { - 1;2} \right)\).
Giá trị cực đại của hàm số là \(y = 2\).
Lời giải
Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) do đó mệnh đề A sai.
Giá trị lớn nhất \[M\] của hàm số \[f\left( x \right) = 2{x^3} + 3{x^2} - 12x + 1\] trên \[\left[ { - 1;2} \right]\] là
\[M = 6\].
\[M = 5\].
\[M = 9\].
\[M = 14\].
Lời giải
Chọn D
Hàm số \[y = f\left( x \right)\]xác định và liên tục trên \(\left[ { - 1;2} \right]\).
Ta có: \(f'\left( x \right) = 6{x^2} + 6x - 12 ; \,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\)
Trên \(\left[ { - 1;2} \right]\): \(f\left( { - 1} \right) = 14,\,\,f\left( 1 \right) = - 6,\,\,f\left( 2 \right) = 5.\)
Suy ra \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = 14.\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên bên dưới. Gọi \[M,{\rm{ }}m\] lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) khi \(x \in \left[ { - 3;3} \right]\). Giá trị \(M - 2m\) bằng
\( - 2\).
\(10\).
\(6\).
\(f\left( 2 \right)\).
Lời giải
Chọn B
Dựa vào bảng biên thiên trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) ta có giá trị lớn nhất \(M = 4\)và giá trị nhỏ nhất \(m = - 3\).
Vậy: \(M - 2m = 4 + 6 = 10\).
Giao điểm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}}\) là
\(I\left( {2; - 2} \right)\).
\(N\left( {2; - 1} \right)\).
\(M\left( { - 2;2} \right)\).
\(J\left( {2;2} \right)\).
Lời giải
Chọn D
\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} = + \infty \)và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} = - \infty \)
\( \Rightarrow \) Đường tiệm cận đứng \({d_1}:\;x = 2\).
\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to \pm \;\infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to \pm \;\infty } \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} = 2\)
\( \Rightarrow \) Đường tiệm cận ngang \({d_2}:\;y = 2\).
Giao điểm của hai đường tiệm cận là \(J\left( {2;2} \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình bên dưới. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là
\(4.\)
\(3.\)
\(5.\)
\(2.\)
Lời giải
Chọn B
·\(\mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = - \infty \) suy ra TCĐ: \(x = 1\).
·\(\mathop {lim}\limits_{x \to {5^ - }} f\left( x \right) = - \infty \) suy ra TCĐ: \(x = 5\).
·\(\mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 4 \Rightarrow TCN:y = 4\).
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án \(A,B,C,D\)dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
\(y = {x^4} - {x^2} + 1\).
\(y = - {x^2} + x - 1\).
\(y = - {x^3} + 3x + 1\).
\(y = {x^3} - 3x + 1\)
Lời giải
Chọn D
Ta thấy đồ thị hàm số có dạng bậc 3 với hệ số \(a > 0\).
Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất bao nhiêu mặt?
Ba mặt.
Hai mặt.
Bốn mặt.
Năm mặt.
Lời giải
Chọn A
Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất của ba mặt. Ví dụ đỉnh của tứ diện.
Hình đa diện dưới đây có bao nhiêu mặt?
10.
15.
14.
9.
Lời giải
Chọn D
Nhìn hình vẽ ta đếm được 9 mặt gồm có 4 mặt trên chóp, 4 mặt xung quanh và 1 mặt đáy.
Trong các hình dưới đây hình nào không phải đa diện lồi?
Hình (I) Hình (II) Hình (III) Hình (IV)
Hình (IV).
Hình (III).
Hình (II).
Hình (I).
Lời giải
Chọn A
Ta có đường nối hai điểm \[MN\]không thuộc hình IV nên đây không phải là đa diện lồi.
Khối đa diện đều loại \(\left\{ {5;3} \right\}\)có số mặt là
\(14\).
\(12\).
\(10\).
\(8\).
Lời giải
Chọn B
Khối đa diện đều loại \(\left\{ {5;3} \right\}\)là khối mười hai mặt đều nên có số mặt là \(12\).
Cho hình chóp \[S.ABC\]có \[SA\]vuông góc mặt đáy, tam giác \[ABC\]vuông tại \[A\], \[SA = 2{\rm{cm}}\], \[AB = 4{\rm{cm}}\], \[AC = 3{\rm{cm}}\]. Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
\(\frac{{12}}{3}{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
\(\frac{{24}}{5}{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
\(\frac{{24}}{3}{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
\(24{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
Lời giải
Chọn A
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.2.\frac{1}{2}.4.3 = 4\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
Thể tích khối tứ diện đều có cạnh bằng \(3\)là
\(\sqrt 2 \).
\(\frac{{4\sqrt 2 }}{9}\).
\(2\sqrt 2 \).
\(\frac{{9\sqrt 2 }}{4}\).
Lời giải
Chọn D
Cho \(ABCD\) là tứ diện đều.
Gọi \(F\)là trung điểm \(CD\), \(G\)là tâm của tam giác đều \(BCD\), ta có \(AG \bot \left( {BCD} \right)\).
\(BF = \sqrt {B{C^2} - C{F^2}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
Xét tam giác \(ABG\) vuông tại \(G\):
\(AB = 3\),\(BG = \frac{2}{3}BF = \frac{2}{3}.\frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \)\( \Rightarrow AG = \sqrt {A{B^2} - B{G^2}} = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = \sqrt 6 \).
Có \({S_{BCD}} = \frac{1}{2}BF.CD = \frac{{{3^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}\).
Vậy \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}AG.{S_{BCD}} = \frac{1}{3}.\sqrt 6 .\frac{{9\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9\sqrt 2 }}{4}\).
Nếu các kích thước của một khối hộp chữ nhật đều tăng thêm 4 lần thì thể tích của nó tăng lên
\(4\) lần.
\(216\) lần.
\(16\) lần.
\(64\) lần.
Lời giải
Chọn D
Gọi \(a,\,\,b,\,\,c\) là 3 kích thước của khối hộp chữ nhật ban đầu và có thể tích là \({V_1}\), \({V_2}\) là thể tích sau khi đều tăng các kích thước lên 4 lần. Ta có \({V_2} = 4a.4b.4c = 64abc = 64{V_1}\).
Cho khối lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] có thể tích \[V = {\rm{ }}1\]. Tính thể tích \[{V_1}\] của khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\].
\[{V_1} = \frac{1}{3}\].
\({V_1} = \frac{1}{2}\).
\[{V_1} = \frac{1}{6}\].
\[{V_1} = \frac{2}{3}\].
Lời giải
Chọn B
Khối lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] và khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có cùng chiều cao mà \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}}\] nên \[{V_1} = \frac{1}{2}V = \frac{1}{2}\].
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 1} \right){\left( {x + 2} \right)^3}\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
\[2\].
\[1\].
\[3\].
\[5\].
Lời giải
ChọnA
\(f'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\\{x = - 2}\end{array}} \right.\).
Ta có bảng xét dấu sau:
\(f'\left( x \right)\) đổi dấu khi qua \(x = - 2\) và \(f'\left( x \right)\)đổi dấu khi qua \(x = 1\) nên hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + \left( {m + 1} \right)x\) nghịch biến trên tập xác định của nó.
\(m \ge - \frac{4}{3}\).
\(m \ge 0\).
\(m < - 2\).
\(m \le - 2\).
Lời giải
Chọn D
Ta có \(y' = - {x^2} + 2x + m + 1\). \(y' \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\) khi \(\Delta ' = 1 + m + 1 \le 0\)\( \Leftrightarrow m \le - 2\).
Hàm số \[y = f(x)\] có đạo hàm \[f'\left( x \right) = \left( {{x^4} - {x^2}} \right){\left( {x + 2} \right)^3},{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\]. Số điểm cực trị của hàm số là:
3.
2.
1.
4.
Lời giải
Chọn A
Ta có
\[\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^4} - {x^2}} \right){\left( {x + 2} \right)^3} = 0 \Leftrightarrow {x^2}({x^2} - 1){(x + 2)^3} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\\x = - 2\end{array} \right.\end{array}\]
Trong đó \[x = 0\] là nghiệm kép. Vậy số điểm cực trị của hàm số là 3. Chọn đáp án A
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}\left( {m + 2} \right){{\rm{x}}^3} + 2(\left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {m - 5} \right)x + 2m - 1\)có đồ thị \(\left( C \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\)để đồ thị \(\left( C \right)\)có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung.
\(5\).
\(6\).
\(7\).
\(8\).
Lời giải
Chọn B
Ta có \(y' = \left( {m + 2} \right){{\rm{x}}^2} + 4(\left( {m + 1} \right)x + \left( {m - 5} \right)\)
Đồ thị \(\left( C \right)\)có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung khi và chỉ khi phương trình
\(y' = 0\)có hai nghiệm phân biệt trái dấu \( \Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)\left( {m - 5} \right) < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 5\).
Suy ra có 6 giá tri nguyên của \(m\)thỏa mãn đề bài.
Tìm tổng các số nguyên dương \[m\] để hàm số \[y = {x^4} + \left( {m - 5} \right){x^2} + 5\] có 3 điểm cực trị.
10.
15.
24.
4.
Lời giải
Chọn A
Để hàm số \[y = {x^4} + \left( {m - 5} \right){x^2} + 5\] có 3 điểm cực trị thì \[1.\left( {m - 5} \right) < 0\]\[ \Leftrightarrow m < 5\].
Mà \[m \in {\mathbb{Z}^ + }\]nên \[m = 1;2;3;4\].
Khi đó tổng các giá trị \[m\] thỏa yêu cầu bài toán là: \[1 + 2 + 3 + 4 = 10\].
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x - 5 + \frac{1}{x}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
\[\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = 2\].
\[\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = - 4\].
\[\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = - 3\].
\[\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = - 5\].
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số \(y = x - 5 + \frac{1}{x}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có \(y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left( {0; + \infty } \right)\\x = - 1 \notin \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên
Dựa vào BBT ta được \[\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = - 3\], đạt được khi \(x = 1\).
Cho hàm số \(y = {x^2} - 6x + m\) (\(m\) là tham số thực) thỏa mãn \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y + \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = - 23\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(m < - 10\).
\( - 10 < m \le - 7\).
\( - 7 < m < 0\).
\(0 < m < 10\).
Lời giải
Chọn B
Ta có \(y' = 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 3\).
Suy ra
+) \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = \min \left\{ {y\left( 0 \right);y\left( 3 \right);y\left( 4 \right)} \right\} = \min \left\{ {m\,;\,m - 9\,;\,m - 8} \right\} = m - 9\)
+) \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = \max \left\{ {y\left( 0 \right);y\left( 3 \right);y\left( 4 \right)} \right\} = \max \left\{ {m\,;\,m - 9\,;\,m - 8} \right\} = m\).
Theo giả thiết ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y + \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = 7 \Rightarrow m - 9 + m = - 23 \Leftrightarrow m = - 7\).
Vậy \( - 10 < m \le - 7\).
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y = \frac{{5x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\]là
\[2\].
\(4\).
\(3\).
\(1\).
Lời giải
Chọn A
Xét hàm số \[y = f\left( x \right) = \frac{{5x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\]có TXĐ: \[D = \mathbb{R}\].
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Xét \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = 5\]và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = - 5\]
Nên đồ thị hàm số nhận \[y = 5\]và \[y = - 5\]làm các tiệm cận ngang.
Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là 2.
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\)để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 8x + m}}\)có 3 đường tiệm cận?
\(14\).
\(8\).
\(15\).
\(16\).
Lời giải
Chọn A
Ta có \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 8x + m}} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 8x + m}} = 0\) nên hàm số có một tiện cận ngang \(y = 0\).
Hàm số có 3 đường tiệm cận khi và chỉ khi hàm số có hai đường tiệm cận đứng \( \Leftrightarrow \)phương trình \({x^2} - 8x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác \(1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta }}' = 16 - m > 0}\\{m - 7 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 16}\\{m \ne 7}\end{array}} \right.\).
Kết hợp với điều kiện \(m\)nguyên dương ta có \(m \in \left\{ {1;2;3;..;6;8;..;15} \right\}\). Vậy có \(14\) giá trị của \(m\) thỏa mãn đề bài.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
\(y = {x^3} - 2{x^2} + 1\).
\(y = - {x^3} + 2{x^2} + 1\).
\(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1\).
\(y = {x^4} - 2{x^2} + 1\).
Lời giải
Chọn D
Dựa vào hình dạng đồ thị đã cho ta có đồ thị là đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương có \(a,b\)trái dấu.
Lại có nhánh cuối đồ thị hướng lên trên, suy ra hệ số \(a > 0\).
Cho hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\)có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng:
\(a > 0,c < 0\).
\(a > 0,c > 0\).
\(a < 0,c < 0\).
\(a < 0,c > 0\).
Lời giải
Chọn D
Dựa vào đồ thị hàm số ta dễ dàng suy rA.\(a < 0,c > 0\)
Cho hàm số 
có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = x - 1. Số giao điểm của (C) và d là:
1.
3.
0.
2.
Lời giải
Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
.
Phương trình (1) có 3 nghiệm do đó đồ thị (C) và đường thẳng d có 3 giao điểm.
Þ chọn B.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên
Số nghiệm phương trình \(2f\left( x \right) - 3 = 0\) là:
\(3\).
\(1\).
\(2\).
\(0\).
Lời giải
Chọn A
Số nghiệm phương trình \(f\left( x \right) = \frac{3}{2}\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) với đường thẳng \(y = \frac{3}{2}\).
Dựa vào BBT suy ra số nghiệm phương trình là \(3\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( x \right) = m\) có \(3\) nghiệm phân biệt.
\(0\).
\(3\).
\(1\).
\(2\).
Lời giải
Chọn C
Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\).
Khi đó chỉ có \(1\) giá trị nguyên của \(m\) là \(m = 0\) để \(f\left( x \right) = m\) có \(3\) nghiệm phân biệt.
Cho một đa diện có \[m\] đỉnh và mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng \[3\] cạnh. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
\[m\] là một số chẵn.
\[m\] chia cho \[3\] dư \[2\].
\[m\] chia hết cho \[3\].
\[m\] là một số lẻ.
Lời giải
Chọn A
Gọi là số đỉnh và \[C\] là số cạnh của hình đa diện đã cho.
Vì mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng \[3\] mặt và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên hay là số chẵn. Vậy là số chẵn.
Cho khối chóp tứ giác \(S.ABCD\). Mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) chia khối chóp đã cho thành các khối nào sau đây?
Một khối tứ diện và một khối chóp tứ giác.
Hai khối chóp tứ giác.
Hai khối tứ diện.
Hai khối tứ diện bằng nhau.
Lời giải
Chọn C
Từ hình vẽ ta thấy mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) chia khối chóp đã cho thành hai khối tứ diện.
Số mặt phẳng đối xứng của khối lập phương là
6.
9.
8.
3.
Lời giải
Chọn B
Cho khối chóp \(OABC\) có \(OA\), \(OB\), \(OC\) đôi một vuông góc tại \(O\) và \(OA = 2\), \(OB = 3\), \(OC = 6\). Thể tích khối chóp bằng
\(12\).
\(6\).
\(24\).
\(36\).
Lời giải
Chọn B
Thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3}{S_{\Delta OAB}}OC = \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{2}OA.OB} \right)OC = 6\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B\). Hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trung điểm \(I\) của cạnh \(AC\), biết rằng tam giác \(SAC\) đều cạnh \(a\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABC\).
\(V = \frac{{{a^3}}}{{24}}\).
\(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{48}}\).
\(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{6}\).
\(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{24}}\).
Lời giải
Chọn D
\(\Delta ABC:AC = a \Rightarrow AB = BC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^2}}}{4}\).
\(\Delta SAC\) đều\( \Rightarrow SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Thể tích khối chóp \(S.ABC\): \(V = \frac{1}{3}.SI.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục trên \(\mathbb{R}\)và có đạo hàm \(f'\left( x \right)\)thỏa mãn: \(f'\left( x \right) = \left( {1 - {x^2}} \right)\left( {x - 5} \right)\).Hàm số \(y = 3f\left( {x + 3} \right) - {x^3} + 12x\)nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( {1\,;\,5} \right)\).
\(\left( {2\,;\, + \infty } \right)\).
\(\left( { - 1\,;\,0} \right)\).
\(\left( { - \infty \,;\, - 1} \right)\).
Lời giải
Chọn B
Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {1 - {x^2}} \right)\left( {x - 5} \right)\)suy ra \(f'\left( {x + 3} \right) = \left[ {1 - {{\left( {x + 3} \right)}^2}} \right]\left( {x + 3 - 5} \right)\)\( = - \left( {x + 4} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\).
Mặt khác: \(y' = 3.f'\left( {x + 3} \right) - 3{x^2} + 12\)\( = - 3\left[ {\left( {x + 4} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) + \left( {{x^2} - 4} \right)} \right]\)\( = - 3\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 5} \right)\).
Xét \(y' < 0\)\( \Leftrightarrow - 3\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 5} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 5 < x < - 2\\x > 2\end{array} \right.\).
Vậy hàm số \(y = 3f\left( {x + 3} \right) - {x^3} + 12x\)nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 5\,;\, - 2} \right)\)và \(\left( {2\,;\, + \infty } \right)\).
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\]có đạo hàm trên \[\mathbb{R}.\]Đồ thị hàm số \[y = f'\left( x \right)\]như hình vẽ.
Hàm số \[y = f\left( {{x^2} + 2x} \right)\]đồng biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( {1;\;2} \right)\).
\(\left( { - \infty ;\; - 3} \right)\).
\(\left( {0;\;1} \right)\).
\(\left( { - 2;\;0} \right)\).
Lời giải
Chọn A
Từ đồ thị của hàm số \[y = f'\left( x \right)\]ta có bảng biến thiên của hàm số \[y = f\left( x \right)\]như sau
Đặt \[g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 2x} \right)\], ta có \[g'\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 2x} \right)^\prime }.f'\left( {{x^2} + 2x} \right) = 2\left( {x + 1} \right).f'\left( {{x^2} + 2x} \right).\]
Hàm số \[g\left( x \right)\]đồng biến khi \[g'\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right).f'\left( {{x^2} + 2x} \right) \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\f'\left( {{x^2} + 2x} \right) \ge 0\end{array} \right.\quad \left( 1 \right)\]hoặc \[\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \le 0\\f'\left( {{x^2} + 2x} \right) \le 0\end{array} \right.\quad \left( 2 \right)\]
·Xét \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\\left[ \begin{array}{l} - 1 \le {x^2} + 2x \le 1\\{x^2} + 2x \ge 3\end{array} \right.\end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\\left[ \begin{array}{l} - 1 - \sqrt 2 \le x \le - 1 + \sqrt 2 \\x \le - 3\\x \ge 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 \le x \le - 1 + \sqrt 2 \\x \ge 1\end{array} \right..\]
·Xét \[\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \le 0\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x \le - 1\\1 \le {x^2} + 2x \le 3\end{array} \right.\end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - 1\\\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 1 \ge 0\\{x^2} + 2x - 3 \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - 1\\\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le - 1 - \sqrt 2 \\x \ge - 1 + \sqrt 2 \end{array} \right.\\ - 3 \le x \le 1\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 3 \le x \le - 1 - \sqrt 2 \\x = - 1\end{array} \right..\]
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số 
đồng biến trên khoảng 
. Số phần tử của S là
\[10\].
\[7\].
\[9\].
\[8\].
Lời giải
Chọn D
Đặt \[t = \ln x,\,\,x > 1\]
Khi đó \[t' = \frac{1}{x} > 0\,,\forall x > 1\] nên hàm số \[t = \ln x\] đồng biến trên khoảng \[\left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow t > \ln 1 = 0\]
Khi đó hàm số 
đồng biến trên khoảng \[\left( {1; + \infty } \right)\]\( \Leftrightarrow \)hàm số \(y = \frac{{ - t - 8}}{{t - m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Xét hàm số \(y = \frac{{ - t - 8}}{{t - m}}\) có \(y' = \frac{{m + 8}}{{{{\left( {t - m} \right)}^2}}}\)\(\left( {t \ne m} \right)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {0, + \infty } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 8 > 0\\m \notin \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 8\\m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 8 < m \le 0\]
Suy ra các giá trị nguyên của \[m\] là \[ - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0\].
Vậy \(S\) có \(8\) phần tử.
Với giá trị nào của \(m\) thì \(x = 1\) là điểm cực tiểu của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {{m^2} + m + 1} \right)x\)?
\(m \in \left\{ { - 2;\,\, - 1} \right\}\).
\(m = - 2\).
\(m = - 1\).
Không có \(m\).
Lời giải
Chọn D
Ta có \(y' = {x^2} + 2mx + {m^2} + m + 1\).
Nếu \(x = 1\) là điểm cực tiểu của hàm số thì \(y'\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 3m + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - 2\end{array} \right.\).
Với \(m = - 1\) thì \(y' = {x^2} - 2x + 1 = {\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\).
Hàm số không có điểm cực trị.
Với \(m = - 2\) thì \(y' = {x^2} - 4x + 3\), \(y'' = 2x - 4\), suy ra \(y''\left( 1 \right) = - 2 < 0\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\).
Vậy \(m \in \emptyset \).
Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(S = - \frac{1}{3}{t^3} + 4{t^2} + 9t\) với \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và \(S\) (mét) là quãng đường vật chuyển động trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian \(10\) giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của chất điểm là bao nhiêu?
\(88\left( {{\rm{m/s}}} \right).\)
\(25\left( {{\rm{m/s}}} \right).\)
\(100\left( {{\rm{m/s}}} \right).\)
\(11\left( {{\rm{m/s}}} \right).\)
Lời giải
Chọn B
Ta có \(v = S' = - {t^2} + 8t + 9,t \in \left( {0;10} \right)\)
\(v' = - 2t + 8\). Xét \(v' = 0 \Rightarrow t = 4 \in \left( {0;10} \right)\)
Bảng biến thiên:
Vậy vận tốc lớn nhất của chất điểm là \(25\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) tại tại \(t = 4.\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)và có bảng biến thiên như sau:
Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{2f\left( x \right) - 5}}\)có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
\(0\).
\(4\).
\(2\).
\(1\).
Lời giải
Chọn B
Dựa vào BBT, phương trình \[2f\left( x \right) - 5 = 0\]\[ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{5}{2}\]có \[4\]nghiệm phân biệt thuộc các khoảng \[\left( { - \infty ; - 2} \right)\], \[\left( { - 2;1} \right)\], \[\left( {1;2} \right)\], \[\left( {2; + \infty } \right)\]nên đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{2f\left( x \right) - 5}}\)có \[4\]đường tiệm cận đứng.
Với giá trị nào của tham số \(m\) thì phương trình \({x^3} - m{x^2} - 6x - 8 = 0\) có ba nghiệm thực lập thành một cấp số nhân?
\(m = 1\).
\(m = - 3\).
\(m = 3\).
\(m = - 4\).
Lời giải
Chọn B
Ta chứng minh nếu \({x_1}\), \({x_2}\), \({x_3}\) là nghiệm của phương trình \({x^3} - m{x^2} - 6x - 8 = 0\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} + {x_3} = m}\\{{x_1}{x_2}{x_3} = 8}\end{array}} \right.\).
Thật vậy \({x^3} - m{x^2} - 6x - 8 = \left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^3} - m{x^2} - 6x - 8 = {x^3} - \left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right){x^2} + \left( {{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1}} \right)x - {x_1}{x_2}{x_3} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} + {x_3} = m}\\{{x_1}{x_2}{x_3} = 8}\end{array}} \right.\).
Điều kiện cần: Phương trình \({x^3} - m{x^2} - 6x - 8 = 0\)có ba nghiệm thực \({x_1} < {x_2} < {x_3}\)
lập thành một cấp số nhân \( \Leftrightarrow {x_1}.{x_3} = {x_2}^2\)\( \Leftrightarrow {x_1}.{x_2}.{x_3} = {x_2}^3 \Leftrightarrow 8 = {x_2}^3 \Leftrightarrow {x_2} = 2\).
Vậy phương trình \({x^3} - m{x^2} - 6x - 8 = 0\)phải có nghiệm bằng \(2\).
Thay \(x = 2\) vào phương trình ta có \(m = - 3\).
Điều kiện đủ: Thử lại với \(m = - 3\)ta có \({x^3} + 3{x^2} - 6x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 4}\\{x = 2}\\{x = - 1}\end{array}} \right.\) (thỏa yêu cầu bài toán).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Đồ thị hàm \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ
Đặt \(g\left( x \right) = 3f\left( x \right) - {x^3} + 3x - m\), với \(m\) là tham số thực. Điều kiện cần và đủ để bất phương trình \(g\left( x \right) \ge 0\) đúng với \(\forall x \in \left[ { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]\) là
\(m \le 3f\left( {\sqrt 3 } \right)\).
\(m \le 3f\left( 0 \right)\).
\(m \ge 3f\left( 1 \right)\).
\(m \ge 3f\left( { - \sqrt 3 } \right)\).
Lời giải
Chọn A
\(g\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow 3f\left( x \right) - {x^3} + 3x - m \ge 0 \Leftrightarrow 3f\left( x \right) - {x^3} + 3x \ge m\).
Đặt \(h\left( x \right) = 3f\left( x \right) - {x^3} + 3x\). Ta có \(h'\left( x \right) = 3f'\left( x \right) - 3{x^2} + 3\). Suy ra
\(\,\,\left\{ \begin{array}{l}h'\left( { - \sqrt 3 } \right) = 3f'\left( { - \sqrt 3 } \right) - 6 = 0\\h'\left( {\sqrt 3 } \right) = 3f'\left( {\sqrt 3 } \right) - 6 = 0\\h'\left( 0 \right) = 3f'\left( 0 \right) = 0\\h'\left( 1 \right) = 3f'\left( 1 \right) < 0\end{array} \right.\)
Từ đó ta có bảng biến thiên
Vậy \(g\left( x \right) \le m \Leftrightarrow g\left( x \right) \le h\left( {\sqrt 3 } \right) = 3f\left( {\sqrt 3 } \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(ABCD\) là hình chữ nhật. \(SA = AD = 2a\). Góc giữa \(\left( {SBC} \right)\) và mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) là \(60^\circ \). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SBC\). Tính thể tích khối chóp \(S.AGD\) là
\(\frac{{32{a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\).
\(\frac{{8{a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\).
\(\frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{9}\).
\(\frac{{16{a^3}}}{{9\sqrt 3 }}\).
Lời giải
Chọn B
Vì góc giữa \(\left( {SBC} \right)\) và mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) là \(60^\circ \) nên \(\widehat {SBA} = 60^\circ \)\( \Rightarrow AB = \frac{{SA}}{{\tan 60^\circ }} = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\).
Khi đó: \({S_{ABCD}} = AB.AD = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.2a = \frac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{3}\).
Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), khi đó:\({S_{ADM}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}} = \frac{{2{a^2}\sqrt 3 }}{3}\).
\( \Rightarrow \)\({V_{S.ADG}} = \frac{2}{3}{V_{S.ADM}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{3}.2a.\frac{{2{a^2}\sqrt 3 }}{3} = \frac{{8{a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\).
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) tạo với mặt đáy góc \(60^\circ \). Tính theo \(a\) thể tích lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
\(\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).
\(\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
Lời giải
Chọn A
Gọi \[I\] là trung điểm \(B'C'\).
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) và \(\left( {A'B'C'} \right)\) là \(\widehat {AIA'}\)\( \Rightarrow \widehat {AIA'} = 60^\circ \)
\[AA' = A'I.\,tan60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3 = \frac{{3a}}{2}\].
\({V_{ABC.A'B'C'}}{\rm{ = }}AA'{\rm{.}}{{\rm{S}}_{A'B'C'}} = \frac{{3a}}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm \[f'\left( x \right)\]có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số \[g\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} - x + 2\] đạt cực tiểu tại bao nhiêu điểm?
1.
2.
0.
3.
Lời giải
Chọn B
\[g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - {x^2} + 2x - 1;\,\,\,g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = {x^2} - 2x + 1.\]
Từ đồ thị, ta thấy \[x = 0\], \[x = 1\], \[x = 2\] là các nghiệm đơn của phương trình \[g'\left( x \right) = 0\].
Bảng biến thiên:
Suy ra, hàm số \[g\left( x \right)\] đạt cực tiểu tại hai điểm.
Tính tích tất cả các số thực \[m\] để hàm số \(y = \left| {\frac{4}{3}{x^3} - 6{x^2} + 8x + m} \right|\) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {0;\,\,3} \right]\) bằng \[18\] là
\[432\].
\[ - 216\].
\[ - 432\].
\[288\].
Lời giải
Chọn C
+ Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{4}{3}{x^3} - 6{x^2} + 8x + m\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\,\,3} \right]\).
+ Ta có \(f'\left( x \right) = 4{x^2} - 12x + 8\).
+ \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ {0;3} \right]\\x = 2 \in \left[ {0;3} \right]\end{array} \right.\).
+ \(f\left( 0 \right) = m;\,\,f\left( 1 \right) = \frac{{10}}{3} + m;\,\,f\left( 2 \right) = \frac{8}{3} + m;\,\,f\left( 3 \right) = 6 + m\).
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( 0 \right);\,f\left( 1 \right);\,f\left( 2 \right);\,f\left( 3 \right)} \right\} = f\left( 3 \right) = m + 6\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( 0 \right);\,f\left( 1 \right);\,f\left( 2 \right);\,f\left( 3 \right)} \right\} = f\left( 0 \right) = m\end{array} \right.\].
Suy ra \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = \min \left\{ {0\,;\,\left| m \right|;\,\,\left| {m + 6} \right|} \right\}\].
TH1. \[m > 0\].
\[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = m \Leftrightarrow m = 18\](thỏa mãn).
TH2. \[m + 6 < 0 \Leftrightarrow m < - 6\].
\[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = - m - 6 \Leftrightarrow - m - 6 = 18 \Leftrightarrow m = - 24\] (thỏa mãn).
TH3. \[m\left( {m + 6} \right) \le 0 \Leftrightarrow - 6 \le m \le 0 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = 0\](loại).
Kết luận: tích các số thực \[m\] thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \( - 24.18 = - 432\).
