Bộ 20 đề thi giữa học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án- Đề 6

Chọn A

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hàm số $y=f\left(x\right)$   nghịch biến trên khoảng $\left(-2;0\right)$  .

Chọn A

Từ đồ thị ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(0;1\right).$

Chọn B

Dựa vào đồ thị của hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$  nên ta có bảng biến thiên như sau.

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng  $\left(-1;0\right)$

Chọn B

Dựa vào hình dạng đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.

Chọn D

$f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x\left(x+1\right){\left(x-4\right)}^3=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-1\\ x=4\end{array}\right.$.

Lập bảng biến thiên của hàm số $f\left(x\right)$

Chọn B

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=0\\ x=1\end{array}\right.$

Từ bảng biến thiên ta thấy $f^{\text{'}}\left(x\right)$  đổi dấu khi x   qua nghiệm -1  và nghiệm 1  ; không đổi dấu khi x  qua nghiệm 0  nên hàm số có hai điểm cực trị.

Ta có: $g\left(x\right)=f\left(x\right)-5$

Dựa vào đồ thị, giá trị cực đại của hàm số $f\left(x\right)$  là 4 nên giá trị cực đại của $g\left(x\right)$  là -1.

Chọn A

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy  $\underset{\left(1;3\right)}{\max }f\left(x\right)=f\left(2\right).$

Chọn A

Nhìn vào đồ thị ta thấy:$M=\underset{\left[-2;1\right]}{\max }f\left(x\right)=-1$

$m=\underset{\left[-2;1\right]}{\min }f\left(x\right)=-5$

Chọn D

+ Dựa vào hình dạng đồ thị ta khẳng định được a>0 .

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=2\Rightarrow y=2$là một tiệm cận ngang

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty \Rightarrow x=1$là một tiệm cận đứng

Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận là 2.

Chọn A

Ta có Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao điểm của tiệm cận đứng, và tiệm cận ngang

Ta có: + $\underset{x\to +\infty }{\lim }=1,\underset{x\to -\infty }{\lim }=1$nên ta có TCN của đồ thị hàm số là y=1

+ $\underset{x\to {(-3)}^{+}}{\lim }=-\infty ,\underset{x\to {(-3)}^{-}}{\lim }=+\infty$ nên ta có TCĐ của đồ thị hàm số là x=-3

Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $I\left(-3;1\right)$

Chọn C

Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ta chọn đáp án C.

Chọn A

Vì mỗi mặt của khối 20 mặt đều là tam giác đều nên số cạnh của khối chóp 20 mặt đều là $\frac{20.3}{2}=30$

Chọn C

Chọn B

Theo công thức thể tích khối lăng trụ chọn đáp án         B.

Chọn A

Theo công thức thể tích khối chóp chọn đáp án   A.

Chọn D

Thể tích khối hộp đã cho bằng $\mathrm{3.4.5}=60$  .

Chọn B

Ta có: $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}.SA=\frac{1}{3}.a^2.a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$ .

Chọn B

Từ đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$  ta tịnh tiến sang trái  đơn vị ta được đồ thị của hàm số $g\left(x\right)=f\left(x+1\right)$  như hình vẽ sau.

Từ đồ thị, ta có hàm số $g\left(x\right)=f\left(x+1\right)$  nghịch biến trên $\left(-2;0\right)$.

Chọn A

Ta có: $y^{\text{'}}=x^2+2mx+4$  .

Hàm số đã cho không có điểm cực trị

 $\iff y^{\text{'}}=0$  vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

$\iff {\Delta }^{\text{'}}\le 0\iff m^2-4\le 0\iff -2\le m\le 2$.

Vậy có 5  giá trị nguyên của tham số m  thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A

Ta có: Đồ thị hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$  có 2 điểm cực trị là $A(0;2),B(2;-14)$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}\left(0\right)=0\\ y^{\text{'}}\left(2\right)=0\\ y\left(0\right)=2\\ y\left(2\right)=-14\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}0=0\\ 32a+4b=0\\ c=2\\ 16a+4b+c=-14\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-8\\ c=2\end{array}\right..$

Thử lại ta thấy hàm số  $y=x^4-8x^2+2$ thỏa dữ kiện đề bài.

Vậy $a+b+c=-5$ .

Chọn B

+) Nếu $m=-2$  thì $y=2$  không thỏa mãn đề bài.

+) Nếu $m\ne -2$  thì hàm số là hàm nhất biến

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{-2-m}{{\left(x-1\right)}^2}$

TH 1: Nếu $-2-m>0\iff m<-2$  thì $\underset{\left[2;5\right]}{\max }y=y\left(5\right)=\frac{10+m}{4}=6\iff m=14$  (loại).

TH 2: Nếu $-2-m<0\iff m>-2$   thì$\underset{\left[2;5\right]}{\max }y=y\left(2\right)=4+m=6\iff m=2$  (thỏa mãn).

Vậy m=2

Chọn B

Hàm số $f\left(x\right)=x^4-10x^2+1$  xác định và liên tục trên $\left[-3;2\right]$ .

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=4x^3-20x$ .

$f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0_{}{{{}_{}}_{}}_{}\in \left[-3;2\right]\\ x={\sqrt{5}}_{}\notin \left[-3;2\right]\\ x=-\sqrt{5}\in \left[-3;2\right]\end{array}\right..$.

$f\left(-3\right)=-8;f\left(-\sqrt{5}\right)=-24;f\left(0\right)=1;f\left(2\right)=-23$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[-3;2\right]$  bằng -24  tại $x=-\sqrt{5}$ .

Chọn B

Đồ thị (C') của hàm số $y=\left|x^3+3x^2-2\right|$  được suy ra từ đồ thị $\left(C\right)$  ở hình 1 như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị $\left(C\right)$  không nằm dưới trục hoành.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị $\left(C\right)$  nằm dưới trục hoành qua trục hoành.

+ Đồ thị $\left(C^{\text{'}}\right)$  là $y=\left|x^3+3x^2-2\right|$

Vậy hình 2 là đồ thị của hàm số $y=\left|x^3+3x^2-2\right|$ .

Chọn B

Do đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị, trong đó có hai điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu nên $a<0$  và $b>0$ . Mặt khác đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $c<0$ .

Chọn B

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=2$  nên đáp án C loại.

$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }y=-\infty$ nên đáp án A, D loại.

Vậy chọn đáp án B đúng.

Chọn B

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x-1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x-1}=2\Rightarrow y=2$    là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2x+1}{x-1}=+\infty$; $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{2x+1}{x-1}=-\infty$$\Rightarrow x=1$  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Hai đường tiệm cận tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích là $S=2.1=2$ .

Chọn B

Tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{-1;1\right\}$

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-1}{x^2-1}=0$;$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-1}{x^2-1}=0$  .

Nên đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận ngang y=0 .

Lại có $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{2x-1}{x^2-1}=+\infty$ ; $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{2x-1}{x^2-1}=-\infty$ .

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{2x-1}{x^2-1}=+\infty$; $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{2x-1}{x^2-1}=-\infty$

Nên đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận đứng $x=-1;x=1$ .

Chọn A

Nhận thấy một mặt phẳng chứa một cạnh của tứ diện và đi qua trung điểm cạnh đối diện với nó là một phẳng đối xứng của hình tứ diện đều. (tham khảo hình vẽ bên dưới)

Một hình tứ diện đều có 6 cạnh có vai trò như nhau nên có tất cả 6 mặt phẳng đối xứng.

Chọn D

Học sinh cần nắm được đa diện đều loại  là hình lập phương.

Chọn C

Ta có $SB\perp \left(ABC\right)$  nên góc giữa SA  với $\left(ABC\right)$  là $\widehat{SAB}={30}^0$ .

Tam giác ABC  vuông cân tại A  có $BC=2a$  nên $AB=AC=a\sqrt{2}$  .

Tam giác SAB  vuông tại C  có $\tan {30}^0=\frac{SB}{AB}\iff SB=a\sqrt{2}.\tan {30}^0=\frac{a\sqrt{6}}{3}$  .

Ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)=f^{\text{'}}\left(x\right)-{\left(x-1\right)}^2$

Vẽ đồ thị của các hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right);y=x^2-2x+1$  trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ sau:

Dựa vào đồ thị trên ta có BBT của hàm số $y=g\left(x\right)$  như sau:

Dựa vào BBT ta thấy hàm số $y=g\left(x\right)$  có điểm cực đại x=1  .

Ta có: $DF=CH=x,FH=30-2x\Rightarrow p_{\Delta DHF}=15.$

Thể tích khối lăng trụ như hình vẽ là: $V=S_{FDH}.EF=30\sqrt{15\left(15-x\right)\left(15-x\right)\left(15-30+2x\right)}$

$=30\sqrt{15{\left(15-x\right)}^2\left(2x-15\right)};x\in \left(\frac{15}{2};15\right)$

Xét hàm số $f\left(x\right)={\left(15-x\right)}^2\left(2x-15\right);x\in \left(\frac{15}{2};15\right).$

Ta có: $f\text{'}\left(x\right)=-2\left(15-x\right)\left(2x-15\right)+2{\left(15-x\right)}^2=-2\left(15-x\right)\left(3x-30\right)$;  $f\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=10\\ x=15\end{array}\right..$

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT, $\underset{\left(\frac{15}{2};15\right)}{\max }f\left(x\right)=125$ khi  x=10 Do đó thể tích khối lăng trụ như hình vẽ lớn nhất khi $x=10\left(cm\right).$ Khi đó $V_{\max }=750\sqrt{3}\left(c{m}^3\right).$

Bpt: $m\sqrt{1-x}+12\sqrt{1-x^2}\ge 16x+3m\sqrt{1+x}+2m+15$

$m\left(\sqrt{1-x}-3\sqrt{1+x}-2\right)\ge 2\left(8x-6\sqrt{1-x^2}\right)+15$ (1).

Đặt $t=\sqrt{1-x}-3\sqrt{1+x}$  với $x\in \left[-1;1\right]$  .

$t^{\text{'}}=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}-\frac{3}{2\sqrt{1+x}}<0\forall x\in \left(-1;1\right)$.

Suy ra  nghịch biến trên $\left[-1;1\right]$ .

Nên $t\left(1\right)\le t\le t\left(-1\right)$$\iff -3\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$  .

Ta có $t^2=8x+10-6\sqrt{1-x^2}$$\iff 2t^2-5=2\left(8x-6\sqrt{1-x^2}\right)+15$ .

Khi đó (1) trở thành:$m\left(t-2\right)\ge 2t^2-5$  với $t\in \left[-3\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$ .

$m\le \frac{2t^2-5}{t-2}$ (2) với $t\in \left[-3\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$   (vì $t\in \left[-3\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$  nên $\left(t-2\right)<0$ ).

 Xét hàm số $f\left(t\right)=\frac{2t^2-5}{t-2}$  trên đoạn $\left[-3\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$  .

$f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{4t\left(t-2\right)-\left(2t^2-5\right)}{{\left(t-2\right)}^2}=\frac{2t^2-8t+5}{{\left(t-2\right)}^2}$.

$f^{\text{'}}\left(t\right)=0$$\left[\begin{array}{l}t=\frac{4+\sqrt{6}}{2} ( loại)\\ t=\frac{4-\sqrt{6}}{2} ( thõa mãn)\end{array}\right.$

$f(-3\sqrt{2})=\frac{62-93\sqrt{2}}{14}\approx -4,97$; $f\left(\sqrt{2}\right)=\frac{2+\sqrt{2}}{2}\approx 1,7$; $f\left(\frac{4-\sqrt{6}}{2}\right)=8-2\sqrt{6}\approx 3,1$

(1) nghiệm đúng với mọi $x\in \left[-1;1\right]\iff$ (2) nghiệm đúng với mọi $t\in \left[-3\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$

$m\le \underset{\left[-3\sqrt{2};\sqrt{2}\right]}{\min }f\left(t\right)=f\left(-3\sqrt{2}\right)=\frac{62-93\sqrt{2}}{14}\approx -4,97$.

Kết hợp với điều kiện bài toán ta có: $\left\{\begin{array}{l}m\in \mathbb{Z}\\ m\in \left[-9;9\right]\\ m\le \frac{62-93\sqrt{2}}{14}\approx -4,97\end{array}\right.$ .

$m\in \left\{-9;-8;-7;-6;-5\right\}$

Vậy $m\in \left\{-9;-8;-7;-6;-5\right\}$ .

Xét hàm số $g\left(x\right)=f^3\left(x\right)-3f\left(x\right)$  trên đoạn $\left[-1;2\right]$

$g^{\text{'}}\left(x\right)=3\left[f^2\left(x\right)-1\right]\cdot f^{\text{'}}\left(x\right)$,$g^{\text{'}}\left(x\right)=0$$\iff \left[\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=0\left(1\right)\\ f^2\left(x\right)=1\left(2\right)\end{array}\right.$ .

Từ bảng biến thiên, ta có: $\left(1\right)\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\in \left[-1;2\right]\\ x=2\in \left[-1;2\right]\end{array}\right.$

Và $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0$ , $\forall x\in \left[-1;2\right]$   nên $f\left(x\right)$  đồng biến trên $\left[-1;2\right]$$\Rightarrow f\left(x\right)\ge f\left(-1\right)=\frac{10}{3}$

$\Rightarrow f\left(x\right)>1$ $\Rightarrow f^2\left(x\right)>1$, $\forall x\in \left[-1;2\right]$  nên  vô nghiệm.

Do đó, $g^{\text{'}}\left(x\right)=0$  chỉ có  nghiệm là $x=-1$  và x=-2  .

Ta có $g\left(-1\right)=f^3\left(-1\right)-3f\left(-1\right)$$={\left(\frac{10}{3}\right)}^3-3\left(\frac{10}{3}\right)=\frac{730}{27}$

$g\left(2\right)=f^3\left(2\right)-3f\left(2\right)$$={\left(6\right)}^3-3\left(6\right)=198$.

Vậy $\underset{\left[-1;2\right]}{\min }g\left(x\right)=g\left(-1\right)=\frac{730}{27}$ .