Bộ 20 đề thi giữa học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án- Đề 13

TXĐ: $D=ℝ$

Ta có: $y^{\text{'}}=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$

Bảng biến thiên:

 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-1;1\right)$  .

Từ đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng  $\left(-\infty ;-1\right)$và $\left(0;1\right)$

Nên trong các đáp án ta chọn A.

TXĐ:  $D=ℝ\backslash \left\{1\right\}$

             Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{-2}{{\left(x+1\right)}^2}<0$   với mọi thuộc tập xác định.

             Nên hàm số đã cho luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

TXĐ: $D=ℝ\backslash \left\{-1\right\}$ .

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{m+3}{{\left(x+1\right)}^2}$  .

Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định ta có: $y^{\text{'}}<0$  với mọi  thuộc tập xác định

 $\iff \frac{m+3}{{\left(x+1\right)}^2}<0$với mọi x  thuộc tập xác định

$\iff m+3<0\iff m<-3$.

Do m  là số nguyên thuộc $\left[-10;10\right]$  nên $m\in \left\{-10;-9;-8;-7;-6;-5;-4\right\}$

Khi đó, tổng các giá trị nguyên của m  là: $S=-10-9-8-7-6-5-4=-49$ .

Ta có: $y^{\text{'}}=x^2-2mx+9$  .

Để hàm số đồng biến trên R  ta có:  $x^2-2mx+9\ge 0$với mọi $x\in ℝ$

$\iff {\Delta }^{\text{'}}=m^2-9\le 0\iff -3\le m\le 3$

Do m nguyên nên $m\in \left\{-3;-2;-1;0;1;2;3\right\}$

Số giá trị nguyên của m  là: 7.

Tập xác định :$D=ℝ$ .

Ta có $y^{\text{'}}=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$ , $y\left(1\right)=-2,y(-1)=2$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(1;-2)$

Tập xác định : $D=ℝ$ .

Ta có:  $y^{\text{'}}=3x^2-6x-9=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=3\end{array}\right.$, $y(-1)=7,y\left(3\right)=-25$ .

Bảng biến thiên:

Qua bảng biến thiên ta thấy, giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{CT}=-25$.

Tập xác định  $D=ℝ$ .

Ta có $y^{\text{'}}=3x^2+2mx-4$  và ${y^{\text{'}}}^{\text{'}}=6x+2m$.

Vì $y=f\left(x\right)$  là hàm số bậc 3  nên để hàm số đạt cực đại tại điểm $x_0=2$  thì

              $\left\{\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}\left(2\right)=0\\ {y^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(2\right)<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4m+8=0\\ 2m+12<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=-2\left(KTM\right)\\ m<-6\end{array}\right.$

                Vậy không có giá trị nào của  để hàm số đạt cực đại tại điểm $x_0=2$ .

Cho $f^{\text{'}}\left(x\right)=(x-2){(x-4)}^3=0\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=4\end{array}\right.$  .

Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số đạt cực đại tạix=2 .

Tập xác định $D=ℝ.$

Ta có $y^{\text{'}}=3x^2-4mx+m^2.$

${y^{\text{'}}}^{\text{'}}=6x-4m.$

Vì hàm số đạt cực tiểu tại  nên $\left\{\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}\left(1\right)=0\\ {y^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(1\right)>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3-4m+m^2=0\\ 6-4m>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m=1\\ m=3\end{array}\right.\\ m<\frac{3}{2}\end{array}\right.\iff m=1.$

Lại có điểm (1,3)  thuộc đồ thị hàm số nên $y\left(1\right)=3\iff 1-2m+m^2+n=3\iff n=3.$

Vậy m+n =4

Tập xác định $D=ℝ.$

Ta có $y^{\text{'}}=4x^3+4mx.$

$y^{\text{'}}=0\iff 4x\left(x^2+m\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=-m\end{array}\right..$

Để hàm số có 3 cực trị thì $-m>0\iff m<0.$

Khi đó ta có tọa độ 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A\left(0;-1\right),B\left(-\sqrt{-m};-m^2-1\right),C\left(\sqrt{-m};-m^2-1\right).$

Gọi $H\left(0;-m^2-1\right)$  là trung điểm của BC

$AH=m^2,BC=2\sqrt{-m}.$

$S_{\Delta ABC}=4\sqrt{2}\iff \frac{1}{2}.AH.BC=4\sqrt{2}\iff m^2.2\sqrt{-m}=8\sqrt{2}\iff -m^5=32\iff m=-2.$

Vậy $m=-2.$

Hàm số $y=f\left(x\right)=x^3+x^2+2x+3$   xác định và liên tục trên $\left[-1;2\right]$ .

$y\text{'}=3x^2+2x+2>0\forall x\in \left[-1;2\right]\Rightarrow$ hàm số đồng biến trên $\left[-1;2\right]$ , do đó

$\underset{\left[-1;2\right]}{\max }y=\max \left\{f(-1),f\left(2\right)\right\}=19,\underset{\left[-1;2\right]}{\min }y=\min \left\{f(-1),f\left(2\right)\right\}=1$.

Vậy tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^3+x^2+2x+3$  trên đoạn $\left[-1;2\right]$  là 19  .

Hàm số $f\left(x\right)=x+\frac{1}{x}$  xác định và liên tục trên đoạn $\left[\frac{1}{2};2\right]$  .

$f\text{'}\left(x\right)=1-\frac{1}{x^2}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\in \left[\frac{1}{2};2\right]\\ x=-1\notin \left[\frac{1}{2};2\right]\end{array}\right.$.

$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{2},f\left(2\right)=\frac{5}{2},f\left(1\right)=2$.

Vậy $m=\underset{\left[\frac{1}{2};2\right]}{\min }f\left(x\right)=2$ .

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên $\left[1;2\right]$ .

$y\text{'}=\frac{1-m}{{\left(x+1\right)}^2}$

+ Nếu $m=1\Rightarrow y=1\Rightarrow \underset{\left[1;2\right]}{\max }y=\underset{\left[1;2\right]}{\min }y=1\Rightarrow \underset{\left[1;2\right]}{\max }y+\underset{\left[1;2\right]}{\min }y=2$  (loại).

+ Nếu $m\ne 1\Rightarrow$  Hàm số đơn điệu trên $\left[1;2\right]$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\underset{\left[1;2\right]}{\min }y=y\left(1\right)\\ \underset{\left[1;2\right]}{\max }y=y\left(2\right)\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}\underset{\left[1;2\right]}{\min }y=y\left(2\right)\\ \underset{\left[1;2\right]}{\max }y=y\left(1\right)\end{array}\right.\end{array}\right.\Rightarrow \underset{\left[1;2\right]}{\min }y+\underset{\left[1;2\right]}{\max }y=y\left(1\right)+y\left(2\right)=\frac{1+m}{2}+\frac{2+m}{3}=\frac{7+5m}{6}$.

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên $\left(0;+\infty \right)$ . Ta có 

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{-3}{x^4}+\frac{1}{x^2}=0\iff x^2=3\iff \left[\begin{array}{l}x=\sqrt{3}\\ x=-\sqrt{3}\end{array}\right.$.

Giới hạn: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }y=+\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=0$  .

Bảng biến thiên

Vậy $m=\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }f\left(x\right)=-\frac{2\sqrt{3}}{9}$  .

Dựa vào đồ thị hàm số, suy ra a<0   và khi $x=0\Rightarrow y=-1<0$  .

Dựa vào BBT, ta thấy đây là hàm nhất biến và có $y^{\text{'}}<0$ .

Dựa vào đồ thị suy ra hệ số $a<0$ .

Đồ thị cắt trục Oy  tại điểm có tung độ âm nên d<0.

Ta thấy đồ thị như hình vẽ có hai điểm cực trị, hoành độ các điểm cực trị trái dấu suy ra phương trình $y^{\text{'}}=3a{x}^2+2bx+c=0$   có 2 nghiệm $x_1,x_2$  trái dấu suy $a.c<0\Rightarrow c>0$  .

Mặt khác: $\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{b}{3a}>0\Rightarrow b>0$ .

Ta có: $-2f\left(x\right)+\sqrt{2}=0\iff f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ta có: $f\left(x\right)+1-m=0\iff f\left(x\right)=m-1$

Để phương trình có hai nghiệm thì $\left[\begin{array}{l}m-1=2\\ m-1<1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}m=3\\ m<2\end{array}\right.$ .

Xét hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x-3}{x-1}$  có tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{1\right\}$

 $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=2$và$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=2$ nên đường thẳng y=2  là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ .

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ và $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$  nên đường thẳng x=1   là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ .

Các hàm số $y=\frac{x}{x^2+1}$ ; $y=-x^3-3x^2-1$ ; $y=\frac{x^2-2x}{3}$  có tập xác định là R  nên không có tiệm cận đứng.

Hàm số $y=\frac{x^2-2x+1}{x-3}$  có:

$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ và $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$   nên đường thẳngx=3 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ .

Xét hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x^2-4}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\frac{(x-2)(x+2)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}$  có tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{1;2\right\}$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2-4}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1-\frac{4}{x^2}}{\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1-\frac{2}{x}\right)}=1$; tương tự$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-4}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=1$  nên đường thẳng y=1  là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$.

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{(x-2)(x+2)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x+2}{x-1}=-\infty$ và $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{(x-2)(x+2)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x+2}{x-1}=+\infty$  nên đường thẳng x=1   là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .$y=f\left(x\right)$

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{(x-2)(x+2)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x+2}{x-1}=4$ và $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{(x-2)(x+2)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x+2}{x-1}=4$  nên đường thẳng x=2  không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .

Do đó đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$  có hai tiệm cận

Xét hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{\sqrt{-x^2-x+2}}{x}$  có tập xác định  $D=\left[-2;1\right]\backslash \left\{0\right\}$nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Hình chóp trên có 4 mặt bên.

Hình lập phương dưới có 4 mặt xung quanh và 1 mặt đáy.

Mặt phẳng $\left(BD{D}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)$ chia khối hộp thành hai khối lăng trụ là  $ABD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$và $BCD.B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$.

Lục giác đều có 6 trục đối xứng là 3 đường chéo và 3 đường thẳng đi qua trung điểm cặp cạnh đối.

Ứng với mỗi trục đối xứng của lục giác đều ta có một mặt phẳng đối xứng của lăng trụ lục giác đều.

Ngoài ra, lăng trụ lục giác đều còn có một mặt phẳng đối xứng đi qua trung điểm của các cạnh bên.

Vậy lăng trụ lục giác đều có tất cả 7 mặt phẳng đối xứng.

Hình 20 mặt đều thì mỗi mặt là một tam giác đều cạnh a  .

Diện tích một mặt là $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ .

Vậy diện tích 20 mặt là $20.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=5\sqrt{3}{a}^2$ .               

Áp dụng công thức tính thể tích khổi chóp có $V=\frac{1}{3}B.h=\frac{1}{3}.a^2.2a=\frac{2a^3}{3}$

Áp dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ có   $V=B.h=5.6=30$

Gọi H  là trung điểm của AB  ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\perp \left(ABCD\right)\\ \left(SAB\right)\cap \left(ABCD\right)=AB\\ SH\perp AB\end{array}\right.$.

Suy ra: $SH\perp \left(ABCD\right)$  .

Diện tích hình vuông ABCD  là $S_{ABCD}=a^2$  .

Do tam giác SAB   vuông cân tại S   nên $SH=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$ .

Thể tích khối chóp SABCD  có chiều cao $SH=\frac{a}{2}$  và diện tích đáy  $S_{ABCD}=a^2$ là: $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}.SH=\frac{1}{3}{a}^2.\frac{a}{2}=\frac{a^3}{6}$

.

 Góc giữa A'B  và mặt phẳng đáy là $\widehat{A\text{'}BA}\Rightarrow \widehat{A\text{'}BA}={60}^0$

Có : $A\text{'}A=AB.\tan {60}^0=a\sqrt{3}$ , $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin {60}^0=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Vậy $V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=AA\text{'}.S_{\Delta ABC}=a\sqrt{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^3}{4}$  .

Theo công thức tính thể tích khối chóp      $V=\frac{1}{3}B.h=\frac{1}{3}\mathrm{.9.8}=24$

Ta có: $y^{\text{'}}=x^2-2\left(m-1\right)x+m^2-2m-3$

Xét: $x^2-2\left(m-1\right)x+m^2-2m-3=0\iff \left[\begin{array}{l}x=m+1\\ x=m-3\end{array}\right.$

Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng biến thiến ta có hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(m-3;m+1\right)$

Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(3;5\right)\Rightarrow \left(3;5\right)\subset \left(m-3;m+1\right)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m-3\le 3\\ m+1\ge 5\end{array}\right.\iff 4\le m\le 6$.

Đáp số: $4\le m\le 6$ .

Xét hàm số: $y=\frac{f\left(x\right)-1}{f\left(x\right)-m}$  trên $\left(-1;1\right)$

Đặt $f\left(x\right)=t$

Từ đồ thị hàm số ta thấy với $x\in \left(-1;1\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in \left(-1;3\right)\Rightarrow t\in \left(-1;3\right)$

Ngoài ra, trên $\left(-1;1\right)$  hàm số $y=f\left(x\right)$   nghịch biến.

Khi đó, yêu cầu bài toán ban đầu trở thành

Tìm m để hàm số $y=g\left(t\right)=\frac{t-1}{t-m}$  nghịch biến trên khoảng $\left(-1;3\right)$

Xét hàm $g\left(t\right)=\frac{t-1}{t-m}$  có tập xác định là: $ℝ\backslash \left\{m\right\}$

Để hàm số $y=g\left(t\right)=\frac{t-1}{t-m}$ nghịch biến trên khoảng $\left(-1;3\right)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{g}^{\text{'}}\left(t\right)<0\\ m\notin \left(-1;3\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{-m+1}{{\left(t-m\right)}^2}<0\\ \left[\begin{array}{l}m\le -1\\ m\ge 3\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>1\\ \left[\begin{array}{l}m\le -1\\ m\ge 3\end{array}\right.\end{array}\right.\iff m\ge 3$

Trong mp $\left(SAB\right)$, kẻ $EK//AB\left(K\in SB\right)$. Ta có: 

* $\frac{S_{\Delta EMN}}{S_{\Delta EKN}}=\frac{MN}{EK}=\frac{\frac{1}{2}AB}{\frac{2}{3}AB}=\frac{3}{4}\Rightarrow S_{\Delta EMN}=\frac{3}{4}{S}_{\Delta EKN}$$\Rightarrow V_{F.MNE}=\frac{3}{4}{V}_{F.EKN}$      

*$V_{F.EKN}=\frac{1}{2}{V}_{S.EKN}=\frac{1}{2}\left(\frac{SE}{SA}.\frac{SK}{SB}.V_{S.ABN}\right)$

                            $=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}.V_{S.ABN}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}.\frac{1}{2}.V_{S.ABC}$$=\frac{1}{9}.\frac{16\sqrt{34}}{3}=\frac{16\sqrt{34}}{27}$.

* $V_{MN\text{EF}}=V_{F.MNE}=\frac{3}{4}{V}_{F.EKN}=\frac{3}{4}.\frac{16\sqrt{34}}{27}=\frac{4\sqrt{34}}{9}$.

Kết luận: $V_{MN\text{EF}}=\frac{4\sqrt{34}}{9}$.

Ta có: $y^{\text{'}}=3x^2-6mx+2m^2-8m$

${y^{\text{'}}}^{\text{'}}=6x-6m$

Cho ${y^{\text{'}}}^{\text{'}}=0\iff x=m\Rightarrow y=m^2-m$

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có điểm uốn   $I\left(m;m^2-m\right)$
Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau

 $\Rightarrow I\in Ox\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=1\end{array}\right.$

Với m=0 , ta có: $y=x^3$ , cho $y=0\Rightarrow x=0$

Nên đồ thị của hàm số chỉ cắt trục Ox tại một điểm duy nhất, suy ra $m=0$  không thỏa 

Với m=1, ta có: $y=x^3-3x^2-6x+8$ , cho$y=0\iff \left[\begin{array}{l}{x}_1=-2\\ x_2=1\\ x_3=4\end{array}\right.\Rightarrow x_1+x_3=2x_2$

Vậy với $m=1$   thỏa yêu cầu bài toán.