Bộ 19 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 6
19 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là một tứ giác lồi. Hình chóp \(S.ABCD\)có tất cả bao nhiêu mặt?
\(4\).
\(3\).
\(6\).
\(5\).
Chọn D
Mệnh đề nào sau đây đúng với mọi số nguyên \(k\)
\[\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi + \alpha + k2\pi \end{array} \right.\].
\[\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\].
\[\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\].
sinx=sinα⇔x=α+kπx=π−α+kπ
Chọn B
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b . Lấy A,B thuộc a và C,D thuộc b . Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về hai đường thẳng AD và BC ?
Chéo nhau.
Cắt nhau.
Song song nhau.
Có thể song song hoặc cắt nhau.
Chọn A
Ta có : \(A,\,B \in a\) và \(C,\,D \in b\) mà \(a\) và \(b\) chéo nhau nên \(A,\,B,\,C,\,D\) không đồng phẳng. Do đó, \(AD\) và \(BC\) chéo nhau.
Công thức nào sau đây là đúng với một cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1}\), công sai \(d\) và số tự nhiên \(n \ge 2\)
\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).
\({u_n} = {u_1} - \left( {n - 1} \right)d\).
\({u_n} = {u_1} + \left( {n + 1} \right)d\).
\({u_n} = {u_1} + d\).
Chọn A
Một cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1}\), công sai \(d\) thì số hạng tổng quát được tính theo công thức \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d,\,\,n \ge 2\).
Góc có số đo \(108^\circ \) đổi ta rađian là
\(\frac{{3\pi }}{5}\).
\(\frac{\pi }{4}\).
\(\frac{{3\pi }}{2}\).
\(\frac{\pi }{{10}}\).
Chọn A
Ta có \(180^\circ = \pi \)(radian).
Vậy \(108^\circ = \frac{{108.\pi }}{{180}} = \frac{{3\pi }}{5}\) (radian).
Đẳng thức nào sau đây Sai?
\[\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\].
\[\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a\].
\[\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\].
\[\cos 2a = 2.\sin a.cosa\].
Chọn BCác đáp án A, C, D đúng theo công thức lượng giác.
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
sin1800–a=−sina
sin1800–a=cosa
cos1800–a=–cosa
sin1800–a=−sina
Chọn C
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{u_n}}}\end{array} \right.\). Số hạng \({u_4}\) bằng
\(2\).
\( - 2\).
\( - \frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{2}\).
Chọn D
\({u_2} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^1}}}{{{u_1}}} = - \frac{1}{2}\); \[{u_3} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2}}}{{{u_2}}} = \frac{1}{{ - \frac{1}{2}}} = - 2\]; \({u_4} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^3}}}{{{u_3}}} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}} = \frac{1}{2}\).
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{2\cos x - 1}}{{\sin 2x}}\) là:
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ;\frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn BHàm số xác định \( \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\). Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Cho tứ diện \[ABCD\] có \[M,\,\,N\] lần lượt là trung điểm của \[BC\] và \[CD.\] Gọi \[K\] là điểm tuỳ ý thuộc miền trong tam giác \[ABD.\] Giao tuyến của \[\left( {KMN} \right)\] và \[\left( {ABD} \right)\] có tính chất là:
Song song với \[BD.\]
Cắt cạnh \[AC.\]
Chứa trong \[\left( {ACD} \right).\]
Cắt cạnh \[BD.\]
Chọn A![Chọn A Ta thấy \[K\] là một điểm chu (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/2-1761530731.png)
Ta thấy \[K\] là một điểm chung của hai mp \[\left( {ABD} \right)\] và \[\left( {KMN} \right)\].
Gọi \[Kx = \left( {ABD} \right) \cap \]\[\left( {IKJ} \right)\,.\]
Ta có: \[IJ\] là đường trung bình của tam giác \[ABC\]\[ \Rightarrow IJ//AB.\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN \subset \left( {IJK} \right)\\AB \subset \left( {ABD} \right)\\MN//BD\\\left( {AB{\rm{D}}} \right) \cap \left( {IKJ} \right)\, = Kx\end{array} \right. \Rightarrow Kx//BD\].
Vậy giao tuyến là đường thẳng qua \[K\] và song song với \[BD.\]
Cho tứ diện \(ABCD\)có \(M\), \(N\)lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(CD\)và \(P\)là một điểm thuộc cạnh \(BC\)(\(P\) không là trung điểm của \(BC\)). Thiết diện của tứ diện bị cắt bởi mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\)là
Lục giá
Tứ giá
Ngũ giá
Tam giá
Chọn B
Gọi \(Q = NP \cap BD\). Gọi \(R = QM \cap AD\). Suy rA. \(Q \in \left( {MNP} \right)\)và \(R \in \left( {MNP} \right)\).
Vậy thiết diện của tứ diện bị cắt bởi mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\)là tứ giác \(MRNP\).
Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là \(12288{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\)). Tính diện tích mặt trên cùng.
\(10{m^2}\).
\(12{m^2}\).
\(8{m^2}\).
\(6{m^2}\).
Chọn D
Ta nhận thấy diện tích các mặt trên của mỗi tầng lập thành 1 cấp số nhân với công bội \(q = \frac{1}{2}\)
Số hạng đầu \({u_1} = 12288\). Khi đó mặt trên cùng tầng 11 ứng với \({u_{12}}\).
Do đó \({u_{12}} = {u_1}.{q^{11}}\)\( = 12288.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{11}}\)\( = 6\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là tứ giác không có cạnh nào song song với nhau. Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(M\) là điểm thuộc miền trong của tam giác \(SAB\), \(I\) là giao điểm của \(AB\) và \(CD\).
a) Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\) là đường thẳng \(SM\).
b) Nếu \(BC\parallel AD\) thì giao tuyến của hai mặt phẳng \((MBC)\) và \((SAD)\) là đường thẳng \(d\) song song với \(AD\) và đi qua điểm \(M\).
c) Điểm \(I\) là một điểm chung của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\).
d) Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\) là đường thẳng \(SO\).
a) | S | b) | S | c) | S | d) | Đ |
(Sai) Điểm \(I\) là một điểm chung của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\)
(Vì): Xét hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\).
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{S \in (SAC),S \in (SBD)}\\{O \in AC,AC \subset (SAC)}\\{O \in BD,BD \subset (SBD)}\end{array}} \right.\) nên giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\) là đường thẳng \(SO\), mà \(SO\) không đi qua điểm \(I\).
(Đúng) Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\) là đường thẳng \(SO\)
(Vì): Xét hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\) có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{S \in (SAB)}\\{S \in (SCD)}\end{array}} \right.\) nên \(S\) là một điểm chung của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\).
Mặt khác \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I \in AB,AB \subset (SAB)}\\{I \in CD,CD \subset (SCD)}\end{array}} \right.\) nên \(I \in (SAB) \cap (SCD)\).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\) là đường thẳng \(SI\).
(Sai) Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\) là đường thẳng \(SM\)
(Vì): Nếu \(BC\parallel AD\), xét hai mặt phẳng \((MBC)\) và \((SAD)\).
Trong mặt phẳng \((SAB)\) gọi \(E\) là giao điểm của \(BM\) và \(SA\), ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{E \in BM,BM \subset (MBC)}\\{E \in SA,SA \subset (SAD)}\end{array}} \right. \Rightarrow E \in (MBC) \cap (SAD)\).
Mặt khác, có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC\parallel AD}\\{BC \subset (MBC)}\\{AD \subset (SAD)}\end{array}} \right.\) nên giao tuyến của hai mặt phẳng \((MBC)\) và \((SAD)\) là đường thẳng \(d\) song song với \(AD\) và đi qua điểm \(E\).
(Sai) Nếu \(BC\parallel AD\) thì giao tuyến của hai mặt phẳng \((MBC)\) và \((SAD)\) là đường thẳng \(d\) song song với \(AD\) và đi qua điểm \(M\)
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a) Tập xác định của hàm số \(y = \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\) là \(\mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
b) Tập xác định của hàm số \(y = \sin 2x\) là \(\mathbb{R}\).
c) Đường cong trong hình dưới là đồ thị của hàm số \(y = \sin x\)
d) Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {\sin ^2}x - \cos x + 2\) là \(3\).
a) | S | b) | S | c) | Đ | d) | S |
(Đúng) Tập xác định của hàm số \(y = \sin 2x\) là \(\mathbb{R}\)
(Vì): Vì hàm số \(y = \sin 2x\) xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên có tập xác định là \(\mathcal{D} = \mathbb{R}\).
(Sai) Tập xác định của hàm số \(y = \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\) là \(\mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
(Vì): Vì hàm số đã cho xác định khi
\(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{{5\pi }}{{12}} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy tập xác định \(\mathcal{D} = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{{5\pi }}{{12}} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
(Sai) Đường cong trong hình dưới là đồ thị của hàm số \(y = \sin x\)
(Vì): Vì đường cong trong hình là đồ thị của hàm số \(y = - \sin x\).
(Sai) Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {\sin ^2}x - \cos x + 2\) là \(3\).
(Vì): Vì ta có \(y = {\sin ^2}x - \cos x + 2 = - {\cos ^2}x - \cos x + 3\).
Đặt \(t = \cos x\), \(t \in [ - 1;1]\). Khi đó \(y = f(t) = - {t^2} - t + 3\).
Bảng biến thiên của hàm số \(f(t)\) trên \([ - 1;1]\) là
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là \(\frac{{13}}{4}\) khi \(\cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z}).\)
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2.
Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu được gọi tương ứng là huyết áp tâm thu và tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương,tương ứng. Chỉ số huyết áp \[120/80\] là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó được mô hình hóa bởi hàm số
\[P\left( t \right) = 110 + 10\sin \left( {\frac{{5\pi }}{2}t} \right)\].
Trong đó \[P\left( t \right)\] là huyết áp tính theo đơn vị \[{\rm{mmHg}}\] (milimét thủy ngân) và thời gian \[t\] tính theo giây.Hỏi trong khoảng từ \(0\)đến \(5\)giây có bao nhiêu lần huyết áp là \[120\] mmHg?
Huyết áp là \[120\] mmHg khi
\[\begin{array}{l}P\left( t \right) = 120 \Leftrightarrow 110 + 10\sin \left( {\frac{{5\pi }}{2}t} \right) = 120 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{5\pi }}{2}t} \right) = 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \frac{{5\pi }}{2}t = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = \frac{{1 + 4k}}{5}\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\]
Xét \(0\, < t < 5\, \Rightarrow \,\,0\, < \,\,\frac{{1 + 4k}}{5}\, < \,5\, \Leftrightarrow \, - \frac{1}{4}\, < \,k\, < \,6\,\, \Leftrightarrow \,\,k\, \in \,\,\left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}\) vì \[k \in \mathbb{Z}.\]
Vậy trong khoảng từ \(0\)đến \(5\)giây có\(6\) lần huyết áp là \[120\] mmHg.
Bạn An là sinh viên của một trường đại học, muốn vay tiền ngân hàng với lãi suất ưu đãi để trang trải kinh phí học tập. Đầu năm thứ nhất, bạn ấy vay ngân hàng số tiền 40 triệu đồng với lãi suất là \(4\% \) một năm. Tính số tiền mà bạn An nợ ngân hàng sau 4 năm, biết rằng trong 4 năm đó bạn An chưa trả bất kì khoản nào và lãi suất ngân hàng không thay đổi.
Gọi \({u_n}\)là số tiền bạn An nợ ngân hàng sau \(n\) năm
Ta có: \({u_1} = {u_{n - 1}} + {u_{n - 1}}.0,04 = {u_{n - 1}}.1,04\)
Ta có dãy số: \(\left( {{u_n}} \right)\)lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = 40 + 40.0,04 = 41,6\) (triệu đồng) và công bội \(q = 1,04\)
Vậy số tiền bạn An nợ ngân hàng sau 4 năm là:
\({u_4} = {u_1}.{q^3} = 41,6.1,{04^3} = 46,8\)(triệu đồng).
PHẦN IV. Câu hỏi tự luận. Thí sinh trình bày lời giải vào giấy làm bài.
Tìm \(m\) để phương trình để \(2{\sin ^2}\frac{x}{2} + \sqrt 3 \sin x - 5m = 0\) luôn có nghiệm.
\(\begin{array}{*{20}{l}}{2{{\sin }^2}\frac{x}{2} + \sqrt 3 \sin x - 5m = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin x - \cos x - 5m + 1 = 0}\\{ \Leftrightarrow 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - 5m + 1 = 0}\\{ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{5m - 1}}{2}.}\end{array}\)
Mà \( - 1 \le \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 1\).
Nên để phương trình trên luôn có nghiệm khi \( - 1 \le \frac{{5m - 1}}{2} \le 1 \Leftrightarrow - \frac{1}{5} \le m \le \frac{3}{5}\).
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ACBD có các cạnh đối diện không song song với nhau và M là một điểm trên cạnh SA. Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng (MCD) .
Trong mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\], gọi \[E = AB \cap CD\].
Trong \[\left( {SAB} \right)\] gọi \[N = SB \cap EM\].
Ta có \[N \in EM \subset \left( {MCD} \right) \Rightarrow N \in \left( {MCD} \right)\] và \[N \in SB\] nên \[N = SB \cap \left( {MCD} \right)\].
Thành phố X muốn thi công xây dựng cây thông noel đặt ở trung tâm thành phố. Giá thi công tầng thứ nhất là \(2\) triệu đồng, tầng tiếp theo tăng \(500\) ngàn đồng và cứ tiếp tục như vậy cho đến tầng \(81\). Hỏi thành phố X phải trả chi phí thi công là bao nhiêu?
Gọi \({u_n}\) (triệu) là số tiền thi công tầng thứ \(n\).
Khi đó, ta có \({u_1} = 2\) và \({u_{n + 1}} = {u_n} + 0,5,n \ge 1\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({u_1} = 2\) và công sai \(d = 0,5\) nên có
Vậy tổng số tiền thành phố X phải trả là:
\({S_{81}} = \frac{{81\left[ {2{u_1} + \left( {81 - 1} \right)d} \right]}}{2} = \frac{{81.\left( {2.2 + 80.0,5} \right)}}{2} = 1782\) (triệu).
