Bộ 19 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 5
19 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Giải phương trình \(\sin 3x = \sin x\) ta được tập nghiệm của phương trình là
\(\left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z};\frac{\pi }{4} + l\frac{\pi }{2}\,,\,l \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\left\{ {k2\pi \,,\, k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\left\{ {\frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn A
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = x + k2\pi \\3x = \pi - x + l2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + \frac{{l\pi }}{2}\end{array} \right.,\)\(k \in \mathbb{Z},l \in \mathbb{Z}\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(\left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z};\frac{\pi }{4} + l\frac{\pi }{2}\,,\,l \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Cho hai đường thẳng phân biệt \[a\] và \[b\] trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa \[a\] và \[b\]?
\(2\)
\(4\)
\(3\)
\(1\)
Chọn C
Hai đường thẳng phân biệt \[a\] và \[b\]trong không gian có những vị trí tương đối sau:
Hai đường thẳng phân biệt \[a\] và \(y = \frac{{2 - x}}{{9 - {x^2}}}\) cùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng có thể song song hoặc cắt nhau
Hai đường thẳng phân biệt \[a\] và \[b\] không cùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng chéo nhau
Vậy chúng có 3 vị trí tương đối là song song hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.
Ba số \(a,b,c\)theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
\(a + c = 2b\).
\(ac = {b^2}\).
\(bc = {a^2}\).
\(b + c = 2a\).
Chọn A
Khẳng định nào dưới đây sai?
\(\sin 2a = 2\sin a\cos a\).
\(2{\sin ^2}a = 1 - \cos 2a\).
\(\cos 2a = 2\cos a - 1\).
\(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a\).
Chọn C
Ta có: \(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\) nên A sai.
Và: \(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a \Leftrightarrow 2{\sin ^2}a = 1 - \cos 2a\) nên B đúng.
Các đáp án C và D hiển nhiên đúng.
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{2\cos x - 1}}\)là
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ,\frac{{5\pi }}{3} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\]
\[\left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ,\frac{{5\pi }}{3} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\]
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{5\pi }}{3} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\)
Chọn A
Điều kiện \(2\cos x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x \ne \frac{{5\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\), \[k \in \mathbb{Z}\].
Vậy tập xác định của hàm số là \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ,\frac{{5\pi }}{3} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
Chọn khẳng định SAI.
Qua ba điểm phân biệt xác định được một và chỉ một mặt phẳng.
Qua 2 đường thẳng phân biệt cắt nhau xác định được một và chỉ một mặt phẳng.
Qua một đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng xác định được một và chỉ một mặt phẳng.
Qua 2 đường thẳng phân biệt và song song xác định được một và chỉ một mặt phẳng.
Chọn A
A sai vì phải qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng mới xác định được một và chỉ một mặt phẳng.
Cho dãy số \(\left( {{U_n}} \right)\) có số hạng tổng quát \({U_n} = \frac{{n - 1}}{{n + 2}},\left( {n \in {N^*}} \right)\). Số hạng thứ \(100\) của dãy số là
\({U_{100}} = \frac{{33}}{{34}}.\)
\({U_{100}} = \frac{{39}}{{34}}.\)
\({U_{100}} = \frac{{37}}{{34}}.\)
\({U_{100}} = \frac{{35}}{{34}}.\)
Chọn A
Ta có \({U_{100}} = \frac{{100 - 1}}{{100 + 2}} = \frac{{33}}{{34}}\).
Chọn khẳng định đúng.
\(\cot \left( {\pi - \alpha } \right) = \cot \alpha \).
\(\tan \left( {\pi - \alpha } \right) = \tan \alpha \).
\(\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cos \alpha \).
\(\sin \left( {\pi - \alpha } \right) = - \sin \alpha \).
Chọn C
Công thức lượng giác về hai góc bù nhau.
Cung có số đo \[250^\circ \] thì có số đo theo đơn vị radian là:
\[\frac{{25\pi }}{{12}}\].
\[\frac{{25\pi }}{9}\].
\[\frac{{25\pi }}{{18}}\].
\[\frac{{35\pi }}{{18}}\].
Chọn C
Ta có 250°=250.π180=25π18
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang AB€CD,AB>CD. Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm \(SB,SC.\) Khi đó mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) cắt hình chóp \(S.ABCD\) theo thiết diện là
ngũ giác.
tam giác.
hình thang.
tứ giác.
Chọn D
- Trong \(\left( {ABCD} \right){,^{}}AC \cap BD = O.\)
- Trong \(\left( {SAC} \right){,^{}}AN \cap SO = E.\)
- Trong \(\left( {SBD} \right){,^{}}ME \cap SD = F.\)
Suy ra, thiết diện là tứ giác \(AFNM.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD,\,ABCD\) là hình bình hành ( tham khảo hình vẽ). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\)và \((SBC)\).
Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\)và \((SBC)\)là đường thẳng \(d\)đi qua \(S\)và song song với \(AB\).
Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\)và \((SBC)\)là đường thẳng \(SE\) với \(E\)là giao điểm của \(AC\)và \(BC\).
Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\)và \((SBC)\)là đường thẳng \(SE\) với \(E\)là giao điểm của \(AD\)và \(BD\).
Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\)và \((SBC)\)là đường thẳng \(d\)đi qua \(S\)và song song với \(AD\).
Chọn DTa có: \[\left\{ \begin{array}{l}AD \subset (SAD),BC \subset (SBC)\\BC//AD\\S \in (SAD) \cap (SBC)\end{array} \right. \Rightarrow \,\,(SAD) \cap (SBC) = d\,\,\], với \(d\) qua \(S\) và \(AD//d//BC\).
Sinh nhật bạn của An vào ngày \[01\] tháng năm. An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn nên quyết định bỏ ống heo \[100\] đồng vào ngày \[01\] tháng \[01\] năm \[2016\], sau đó cứ liên tục ngày sau hơn ngày trước \[100\] đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu tiền ? (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày \[01\] tháng \[01\] năm \[2016\] đến ngày \[30\] tháng \[4\] năm \[2016\]) .
\(726.000\) đồng.
\(750.300\) đồng.
\(738.100\) đồng.
\(714.000\) đồng.
Chọn C
Số ngày bạn An để dành tiền (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày \[01\] tháng \[01\] năm \[2016\] đến ngày \[30\] tháng \[4\] năm \[2016\]) là \[31 + 29 + 31 + 30 = 121\] ngày.
Số tiền bỏ ống heo ngày đầu tiên là: \[{u_1} = 100\].
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ hai là: \[{u_2} = 100 + 1.100\].
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ ba là: \[{u_3} = 100 + 2.100\].
…
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ \[n\] là: \[{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\] \[ = 100 + \left( {n - 1} \right)100\] \[ = 100n\].
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ \[121\] là: \[{u_{121}} = 100.121\] \[ = 12100\] .
Sau \[121\] ngày thì số tiền An tích lũy được là tổng của \[121\] số hạng đầu của cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 100\), công sai \(d = 100\).
Vậy số tiền An tích lũy được là \({S_{121}} = \frac{{121}}{2}\left( {{u_1} + {u_{121}}} \right)\) \( = \frac{{121}}{2}\left( {100 + 12100} \right)\) \( = 738100\) đồng.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho các hàm số \(f(x) = \sqrt {3 - 2\sin x} \); và \(g(x) = \tan \frac{x}{2} - \frac{1}{3}\cos x\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a) Hàm số \(f(x)\) đã cho là hàm tuần hoàn.
b) Hàm số \(f(x)\) có tập xác định là \(\mathcal{D} = \mathbb{R}\).
c) Hàm số \(g(x)\) xác định khi \(x \ne k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).
d) Hàm số \(g(x)\) đã cho là hàm không tuần hoàn.
a) | Đ | b) | Đ | c) | S | d) | S |
(Đúng) Hàm số \(f(x)\) có tập xác định là \(\mathcal{D} = \mathbb{R}\)
(Vì): Hàm số xác định \( \Leftrightarrow 3 - 2\sin x \ge 0 \Leftrightarrow \sin x \le \frac{3}{2}\) (đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\)).
Vì vậy tập xác định hàm số là \(\mathcal{D} = \mathbb{R}\).
(Đúng) Hàm số \(f(x)\) đã cho là hàm tuần hoàn
(Vì): Với mọi \(x \in \mathcal{D}\) thì \(x \pm 2\pi \in \mathcal{D}\) và \(f(x + 2\pi ) = \sqrt {3 - 2\sin (x + 2\pi )} = \sqrt {3 - 2\sin x} = f(x)\).
Vậy hàm số đã cho là hàm tuẩn hoàn.
(Sai) Hàm số \(g(x)\) xác định khi \(x \ne k2\pi (k \in \mathbb{Z})\)
(Vì): Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} \ne 0 \Leftrightarrow \frac{x}{2} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x \ne \pi + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).
Vì vậy tập xác định hàm số là: \(\mathcal{D} = \mathbb{R}\backslash \{ \pi + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}\} \).
(Sai) Hàm số \(g(x)\) đã cho là hàm không tuần hoàn
(Vì): Với mọi \(x \in \mathcal{D}\) thì \(x \pm 2\pi \in \mathcal{D}\) và
\(\begin{array}{*{20}{l}}{f(x + 2\pi ) = \tan \frac{{x + 2\pi }}{2} - \frac{1}{3}\cos (x + 2\pi )}\\{ = \tan \left( {\frac{x}{2} + \pi } \right) - \frac{1}{3}\cos x = f(x).}\end{array}\)
Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn.
Cho biết tính đúng sai của mỗi phát biểu sau
a) Hai mặt phẳng phân biệt không cắt nhau thì song song.
b) Nếu mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.
c) Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.
a) | Đ | b) | S | c) | S | d) | S |
(Đúng) Hai mặt phẳng phân biệt không cắt nhau thì song song
(Vì): Đúng.
(Sai) Nếu mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó song song với nhau
(Vì): Sai.
Vì trong giả thiết đã thiếu đi một yếu tố cần thiết là hai đường thẳng phải cắt nhau, khi đó ta mới kết luận hai mặt phẳng song song với nhau.
(Sai) Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau
(Vì): Sai.
Vì hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng vẫn có thể trùng nhau.
(Sai) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau
(Vì): Sai.
Vì hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì chúng có thể cắt nhau hoặc song song với nhau.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2.
Một du khách vào trường đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 100 000 đồng, mỗi lần sau, tiền đặt cược gấp đôi số tiền cược trước đó. Người đó thua 5 lần liên tiếp tính từ lần đặt cược đầu tiên và thắng ở lần thứ 6 (số tiền nhận được khi thắng bằng 2 lần số tiền đã đặt cược ở lần chơi đó). Hỏi số tiền (nghìn đồng) du khách trên đã thắng hay thua là bao nhiêu sau 6 lần chơi?
Số tiền du khách đặt cược trong mỗi lần chơi là một cấp số nhân có \({u_1} = 100\,000\) và công bội \(q = 2.\) Du khách thua trong \(5\) lần chơi đầu tiên nên tổng số tiền thua là
\({S_5} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {2^5}} \right)}}{{1 - 2}} = 3100000\)đồng
Số tiền mà du khách đã đặt cược trong lần thứ 6 là\({u_6} = {u_1}.{q^5} = 3200000\) đồng. Do số tiền đã nhận khi thắng bằng hai lần tiền đặt cược nên số tiền đã thắng ở lần chơi này là \(2.3200000 - 3200000 = 3200000\).
Ta có \(3200000 - 3100000 = 100000 > 0\) nên du khách thắng 100 nghìn đồng sau 6 lần chơi.
Học sinh An tiến hành làm một thí nghiệm trên một con lắc đơn. Tại vị trí cân bằng, An tác động một lực lên con lắc theo phương ngang. Từ các kết quả thí nghiệm cho thấy, An tính được con lắc dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng theo phương trình \(s = 2\sqrt 2 \cos \left( {7t + \frac{\pi }{3}} \right)\) với \(s\)(\(cm\)) là độ dài cung quét của con lắc từ một vị trí bất kì tại thời điểm \(t\) (giây) đến vị trí cân bằng. Con lắc đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần trong khoảng thời gian từ \(0\)đến \(30\) giây?
Khi vật đi qua vị trí cân bằng thì \(s = 0\), ta có:
\(2\sqrt 2 \cos \left( {7t + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {7t + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 7t + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow 7t = \frac{\pi }{6} + k\pi \)
\( \Leftrightarrow t = \frac{\pi }{{42}} + \frac{{k\pi }}{7}\).
Trong khoảng thời gian từ \(0\)đến \(30\) giây, ta có:
\(0 \le \frac{\pi }{{42}} + \frac{{k\pi }}{7} \le 30\)\( \Leftrightarrow - \frac{1}{6} \le k \le \frac{{210}}{\pi } - \frac{1}{6}\)
Vì k∈ℤ⇒k∈0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; .....;66
Vậy khoảng thời gian từ \(0\)đến \(30\) giây, vật đi qua vị trí cân bằng \(67\) lần.
PHẦN IV. Câu hỏi tự luận. Thí sinh trình bày lời giải vào giấy làm bài.
Cho tứ giác \[ABCD\] có \[AC\] và \[BD\] giao nhau tại \[O\] và một điểm \[S\] không thuộc mặt phẳng\[\left( {ABCD} \right)\]. Trên đoạn \[SC\] lấy một điểm \[M\] không trùng với \[S\] và \[C\]. Xác định giao điểm của đường thẳng \[SD\] với mặt phẳng \[\left( {ABM} \right).\]
![Cho tứ giác \[ABCD\] có \[AC\] và \[BD\] gia (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/6-1761529384.png)
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\] và\[\left( {ABM} \right)\].
Ta có \[B\] là điểm chung thứ nhất của \[\left( {SBD} \right)\] và \[\left( {ABM} \right)\].
Trong mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\], gọi\[O = AC \cap BD\].
Trong mặt phẳng\[\left( {SAC} \right)\], gọi \[K = AM \cap SO\]. Ta có:
▪ \[K \in SO\] mà \[SO \subset \left( {SBD} \right)\] suy ra \[K \in \left( {SBD} \right)\].
▪ \[K \in AM\] mà \[AM \subset \left( {ABM} \right)\] suy ra \[K \in \left( {ABM} \right)\].
Suy ra \[K\] là điểm chung thứ hai của \[\left( {SBD} \right)\] và \[\left( {ABM} \right)\].
Do đó \[\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABM} \right) = BK\].
Trong mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\], gọi \[N = SD \cap BK\]. Ta có:
▪ \[N \in BK\] mà \[BK \subset \left( {ABM} \right)\] suy ra \[N \in \left( {ABM} \right)\].
▪ \[N \in SD\].
Vậy \[N = SD \cap \left( {ABM} \right)\].
Công ty \(A\) đề xuất \(2\) phương án trả lương để người lao động chọn như sau:
Phương án 1: Người lao động sẽ nhận \(45.000.000\)đồng cho năm làm việc đầu tiên và kể từ năm thứ hai, mức lương sẽ tăng thêm \(3.000.000\) đồng so với năm trước đó.
Phương án 2: Người lao động sẽ nhận mức lương \(7.000.000\)đồng cho qúy làm việc đầu và kể từ qúy thứ hai mức lương sẽ tăng thêm \(500.000\) đồng so với qúy trước đó.
Hỏi sau \(10\) năm số tiền lương mà người lao động nhận được theo mỗi phương án là bao nhiêu?
Ta thấy ở phương án 1: mức lương ở mỗi năm lập thành một cấp số cộng, với
\({u_1} = 45\)(triệu đồng), \(n = 10\)(năm), công sai \(d = 3\)(triệu đồng)
Vậy \({S_{10}} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right] = 5.\left[ {2.45 + 9.3} \right] = 585\,\)triệu đồng.
Ở phương án 2: mức lương ở mỗi năm lập thành một cấp số cộng, với
\({u_1} = 7\)(triệu đồng), \(n = 40\) (quý),công sai \(d = 0,5\)(triệu đồng)
Vậy \({S_{10}} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right] = 20.\left[ {2.7 + 39.0,5} \right] = \,670\,\)triệu đồng
Số giờ có ánh sáng của thành phố \(T\) ở vĩ độ 40o bắc trong ngày thứ \(t\) của một năm không nhuận được cho bởi hàm số \(d(t) = 3 \cdot \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] + 12\) với \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\). Bạn An muốn đi tham quan thành phố \(T\) nhưng lại không thích ánh sáng mặt trời, vậy bạn An nên chọn đi vào ngày nào trong năm để thành phố \(T\) có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
Ta có
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] \ge - 1}\\{ \Rightarrow 3 \cdot \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] \ge - 3}\\{ \Rightarrow 3 \cdot \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] + 12 \ge 9}\\{ \Rightarrow d(t) \ge 9.}\end{array}\)Vậy thành phố \(T\) có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất khi và chỉ khi\\ \(\begin{array}{*{20}{l}}{\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] = - 1}\\{ \Rightarrow \frac{\pi }{{182}}(t - 80) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{ \Rightarrow t - 80 = 182\left( { - \frac{1}{2} + 2k} \right)}\\{ \Rightarrow t = 364k - 11,k \in \mathbb{Z}.}\end{array}\) Mặt khác \(\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le 364k - 11 \le 365}\\{ \Rightarrow \frac{{11}}{{364}} \le k \le \frac{{376}}{{364}}}\\{ \Rightarrow k = 1({\rm{do }}k \in \mathbb{Z})}\\{ \Rightarrow t = 364 - 11 = 353.}\end{array}\)
Vậy thành phố \(T\) có ít giờ ánh sáng Mặt Trời nhất là \(9\) giờ khi \(t = 353\), tức là vào ngày thứ \(353\) trong~năm.
