Bộ 19 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 4
19 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Góc 18o có số đo bằng rađian là bao nhiêu?
\(\frac{\pi }{{10}}\).
\(\frac{\pi }{{360}}\).
\(\pi \).
\(\frac{\pi }{{18}}\).
Chọn A
Ta có: 18°=18°.π180°=π10
Các dãy số có số hạng tổng quát \({u_n}\). Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là cấp số cộng?
\(49\), \(43\),\(37\), \(31\), \(25\).
\({u_n} = 1 + {3^n}\).
\({u_n} = {\left( {n + 3} \right)^2} - {n^2}\).
\({u_n} = 2n + 5\).
Chọn B
Xét dãy số \({u_n} = 1 + {3^n}\), suy ra \({u_{n + 1}} = 1 + {3^{n + 1}}\). Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = {2.3^n},\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Do đó \({u_n} = 1 + {3^n}\) không phải là cấp số cộng.
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{2\sin x - 1}}{{\cos x}}\) là
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn D
Hàm số \(y = \frac{{2\sin x - 1}}{{\cos x}}\) xác định khi \[\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\].
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ;\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Trong không gian cho hai đường thẳng a và b cắt nhau. Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và Có bao nhiêu mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
I) a, b, c luôn đồng phẳng.
II) a, b đồng phẳng.
III) a, c đồng phẳng.
2.
3.
0.
1.
Chọn D
Mệnh đề I sai
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1,\,\,{u_2} = 3\,\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2{u_{n - 1}}\end{array} \right.\,\) với \(n \ge 2\). Tìm 5 số hạng đầu của dãy.
\( - 1,\,3,\,1,\,7,\,9\).
\( - 1,\,3,\,5,\,13,\,31\).
\( - 1,\,3,\,2,\,5,\,7\).
\( - 1,\,3,\,5,\, - 1,\, - 11\).
Chọn A
+ Ta có \({u_1} = - 1,\,\,{u_2} = 3\).
+ Từ hệ thức truy hồi ta có \({u_3} = {u_2} + 2{u_1} = 3 + 2.\left( { - 1} \right) = 1\)
\({u_4} = {u_3} + 2{u_2} = 1 + 2.\left( 3 \right) = 7\)
\({u_5} = {u_4} + 2{u_3} = 7 + 2.\left( 1 \right) = 9\).
+ Từ đó ta được 5 số hạng đầu của dãy số đã cho là \( - 1,\,3,\,1,\,7,\,9\).
Mệnh đề nào sau đây sai?
\(\cos 2a = {\cos ^{2{\rm{ }}}}a - {\sin ^2}a\).
\(\cos 2a = {\sin ^{2{\rm{ }}}}a - {\cos ^2}a\)
\(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\).
\(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\).
Chọn B
Cho \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?
\(\sin \alpha = - \sin \beta \).
\(\tan \alpha = - \tan \beta .\)
\(\cos \alpha = - \cos \beta .\)
\(\cot \alpha = - \cot \beta .\)
Chọn ATa có α+β=180o⇒sinα=sinβ.
Nghiệm của phương trình \(\sin 2x = 1\) là.
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \).
\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \).
\(x = \frac{{k\pi }}{2}\).
\(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \).
Chọn BTa có: \(\sin 2x = 1\)\( \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \).
Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\). Điều kiện đủ để kết luận \(a\) và \(b\)chéo nhau là
\(a\) và \(b\)là 2 cạnh của 1 tứ diện.
\(a\) và \(b\)không có điểm chung.
\(a\) và \(b\)không cùng nằm trên \(1\) mặt phẳng bất kì.
\(a\) và \(b\)nằm trên 2 mp phân biệt.
Chọn D
A sai vì \(a\) và \(b\) có thể cắt nhau.
B sai vì \(a\) và \(b\) có thể song song.
C sai vì \(a\) và \(b\) có thể song song.
Vậy đáp án D đúng.
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(AC,AD;G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\). Khi đó giao tuyến của \(\left( {BMN} \right)\) và \(\left( {GCD} \right)\) là
đường thẳng \(BG\).
đường thẳng \(d\) đi qua \(B\) và \(d\)//\(CD\).
đường thẳng \(d\) đi qua \(G\) và \(d\)//\(CD\).
đường thẳng \(BK\) với \(K = MN \cap CD\).
Chọn B
Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\). Ta có \(\left. \begin{array}{l}B \in CE\\CE \subset \left( {GCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow B \in \left( {GCD} \right)\).
Xét tam giác \(ACD\) có \(M,N\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(AC,AD\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ACD\). Suy ra, \(MN\) // \(CD\).
Xét hai mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\) và \(\left( {GCD} \right)\)có \(B\) là điểm chung. Mặt khác, \(MN\) // \(CD\) và \(MN \subset \left( {BMN} \right),CD \subset \left( {GCD} \right)\). Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\) và \(\left( {GCD} \right)\) là đường thẳng \(d\) đi qua \(B\) và \(d\)//\(CD\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(I\), \(J\) lần lượt là trung điểm \(SB\) và \(SD\). Thiết diện của mặt phẳng \(\left( {AIJ} \right)\) với hình chóp \(S.ABCD\) là 
tứ giác.
tam giác.
lục giác.
ngũ giác.
Chọn A
Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\), \(E = IJ \cap SO\), \(K = AE \cap SC\).
Khi đó, thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) khi cắt bởi \(\left( {AIJ} \right)\) là tứ giác \(AIKJ\).
Một bể nước có dung tích \(1000\) lít. Người ta mở vòi cho nước chảy vào bể, ban đầu bể cạn nước. Trong một giờ đầu vận tốc nước chảy vào bể là \(1\) lít/\(1\) phút. Trong các giờ tiếp theo vận tốc nước chảy giờ sau gấp đôi giờ liền trước. Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu thì bể đầy nước (kết quả gần đúng nhất )?
\[3,14\] giờ.
\[4,64\] giờ.
\[4,14\] giờ.
\[3,64\] giờ.
Chọn C
Ta thấy, lượng nước chảy vào bể theo giờ là một cấp số nhân với \({u_1} = 60,q = 2\).
Gọi \(n\) là khoảng thời gian để nước chảy đầy bể.
Ta có \({S_n} = 1000\).
Khi đó \(\frac{{{u_1}\left( {1 - {2^n}} \right)}}{{1 - 2}} = 1000\)\( \Leftrightarrow \frac{{60\left( {1 - {2^n}} \right)}}{{ - 1}} = 1000\)\( \Leftrightarrow {2^n} = 1 + \frac{{1000}}{{60}}\)\( \Leftrightarrow n \approx 4,14\) (giờ).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a) \(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k\pi (k \in \mathbb{Z})\).
b) \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).
c) \(\tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).
d) \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})\).
a) | S | b) | S | c) | S | d) | S |
Ta thấy
\(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi (k \in \mathbb{Z}).\)
(Sai) \(\tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\)
(Sai) \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k2\pi (k \in \mathbb{Z})\)
(Sai) \(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k\pi (k \in \mathbb{Z})\)
(Sai) \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SC\). Cho biết tính đúng, sai của mỗi phát biểu sau:
a) Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \((MNB)\) là một hình thang.
b) Đường thẳng \(MN\) song song với đường thẳng \(BD\).
c) Giao tuyến của mặt phẳng \((MNB)\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là một đường thẳng đi qua \(B\) và song song với \(AC\).
d) Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\). Giao tuyến của \((MNB)\) và \((SBD)\) là đường thẳng đi qua \(B\) và trung điểm của đoạn \(SO\).
a) | S | b) | S | c) | Đ | d) | Đ |
(Sai) Đường thẳng \(MN\) song song với đường thẳng \(BD\)
(Vì): \(MN\) là đường trung bình của nên \(MN\parallel AC\). Vì \(AC\) cắt \(BD\) nên \(MN\) không thể song song với \(BD\).
(Đúng) Giao tuyến của mặt phẳng \((MNB)\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là một đường thẳng đi qua \(B\) và song song với \(AC\)
(Vì): Ta có \(B\) là điểm chung, \(MN \subset (MNB)\), \(AC \subset (ABCD)\) và \(MN\parallel AC\). Theo định lí về giao tuyến, giao tuyến sẽ đi qua \(B\) và song song với \(AC,MN\).
(Đúng) Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\). Giao tuyến của \((MNB)\) và \((SBD)\) là đường thẳng đi qua \(B\) và trung điểm của đoạn \(SO\)
(Vì): Gọi \(K = MN \cap SO\) suy ra \(K\) là trung điểm của \(SO\) (do tính chất đường trung bình trong ). Giao tuyến cần tìm chính là đường thẳng \(BK\).
(Sai) Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \((MNB)\) là một hình thang
(Vì): Thiết diện là tứ giác \(MNIB\) (với \(I = BK \cap SD\)). Tứ giác này không phải là hình thang vì không có cặp cạnh đối nào song song.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2.
Người ta dự định xây dựng 1 tòa tháp 10 tầng tại một ngôi chùa nọ, theo cấu trúc diện tích của mặt sàn tầng trên bằng nửa diện tích mặt sàn tầng dưới, biết diện tích mặt đáy tháp là \(16{m^2}\). Hãy giúp nhà chùa ước lượng số gạch hoa cần dùng để lát nền nhà. Để cho đồng bộ các nhà chùa yêu cầu nền nhà phải lót gạch hoa cỡ \(30 \times 30cm\). (làm tròn đến hàng đơn vị).
Gọi \({S_1}\) là diện tích của mặt đáy tháp thì \({S_1} = 16{m^2}\)
\({S_i}\)là diện tích mặt trên của tầng thứ \(i\left( {i = \overline {1;10} } \right)\)
Ta nhận thấy \(\left\{ {{S_i},i = \overline {1;10} } \right\}\) lập thành một cấp số nhân với công bội \(q = \frac{1}{2}\)
Tổng diện tích mặt trên của 10 tầng tháp là tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân trên
\({T_{11}} = \frac{{{S_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{16.\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{10}}} \right)}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 31,97{m^2}\)
Diện tích của mỗi viên gạch là \(30 \times 30 = 900c{m^2} = 0,09{m^2}\).
Vậy số lượng gạch cần dùng là:\(31,97:0,09 \approx 355\)(viên).
Trong Địa lí, phép chiếu hình trụ được sử dụng để vẽ một bản đồ phẳng như trong Hình 9. Trên bản đồ phẳng lấy đường xích đạo làm trực hoành và kinh tuyến \({0^0}\)làm trục tung. Khi đó tung độ của một điểm có vĩ độ \({\varphi ^0}( - 90 < \varphi < 90)\)được cho bởi hàm số \(y = 30\tan (\frac{\pi }{{180}}\varphi )\,(cm)\). Sử dụng đồ thị hàm số tang, Biết điểm ở vĩ độ dương lớn nhất là \({A^0}\) nằm cách xích đạo không quá \(30\,cm\)trên bản đồ. Tìm \(A\)
Vì điểm cách xích đạo không quá \(30cm\)trên bản đồ nên ta có
\(( - 30 \le y \le 30)\). Khi đó: \( - 30 \le 30\tan (\frac{\pi }{{180}}\varphi )\, \le 30\)
Hay \( - 1 \le \tan (\frac{\pi }{{180}}\varphi )\, \le 1\).
Ta có: \(( - 90 < \varphi < 90) \Leftrightarrow \frac{{ - \pi }}{2} < \frac{\pi }{{180}}\varphi < \frac{\pi }{2}\)
Xét đồ thị hàm số \(y = \tan x\) trên khoảng \((\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2})\)(Hình).
Ta thấy \( - 1 \le \tan (\frac{\pi }{{180}}\varphi )\, \le 1\) khi và chỉ khi \((\frac{{ - \pi }}{4} \le \frac{\pi }{{180}}\varphi \le \frac{\pi }{4}\))
Hay \( - 45 \le \varphi \le 45\).
Vậy trên bản đồ, các điểm cách xích đạo không quá \(30cm\) nằm ở vĩ
Độ từ \( - {45^0}\) đến \({45^0}\). Điểm ở vĩ độ dương lớn nhất là \({45^0}\).
PHẦN IV. Câu hỏi tự luận. Thí sinh trình bày lời giải vào giấy làm bài.
Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ vị trí \(A\), đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 60°. Tàu thứ nhất chạy với tốc độ \(20\) km/h, tàu thứ hai chạy với tốc độ \(30\) km/h. Hỏi sau \(3\) giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km?
Ta có quãng đường tàu thứ nhất đi được là \({s_1} = {v_1}t = 20 \cdot 3 = 60\) (km).
Quãng đường tàu thứ hai đi được là \({s_2} = {v_2}t = 30 \cdot 3 = 90\) (km).
Tam giác \(ABC\) với \(B\) là vị trí tàu thứ nhất chạy đến sau \(3\) giờ, nghĩa là \(AB = {s_1} = 60\) km; \(C\) là vị trí tàu thứ hai chạy đến sau \(3\) giờ, nghĩa là \(AC = {s_2} = 90\) km.
BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcosBAC^⇔BC2=602+902−2⋅60⋅90⋅cos60°⇔BC2=6300.
Vậy khoảng cách hai tàu sau \(3\) giờ chạy là \(BC = 30\sqrt 7 \).
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}m - 1\) có nghiệm?
Ta có phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
\( - 1 \le \frac{1}{2}m - 1 \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \frac{1}{2}m \le 2 \Leftrightarrow 0 \le m \le 4\).
Vậy có \(5\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD; Tìm giao điểm của SC và mặt phẳng (AMN).
Chọn mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) chứa SC
Gọi O là giao điểm của AC và BD trong \(\left( {ABCD} \right)\).
Gọi H là giao điểm của MN và SO trong \(\left( {SBD} \right)\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}H \in MN \subset \left( {AMN} \right)\\H \in SO \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow H \in \left( {AMN} \right) \cap \left( {SAC} \right)\) \( \Rightarrow AH = \left( {AMN} \right) \cap \left( {SAC} \right)\)
Gọi I là giao điểm của SC và AH trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in SC\\I \in AH \subset \left( {AMN} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I = SC \cap \left( {AMN} \right)\).
