Bộ 19 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 3
19 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Phương trình \[\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\] có nghiệm là
\[x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \].
\[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k\pi \end{array} \right.\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\].
\[x = \frac{\pi }{3} + k\pi \].
Chọn C
Ta có \[\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\], với \[k \in \mathbb{Z}\].
Trong các dãy số sau, dãy nào là 1 cấp số cộng?
\(1,3,5,8,10\).
\(2,5,8,11,14\).
\(2, - 4,8, - 16,32\).
\(1,5,3,6,9\).
Chọn B
Vì \(5 = 2 + 3;8 = 5 + 3;11 = 8 + 3;14 = 11 + 3\)nên dãy \(2,5,8,11,14\)là CS
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau
\(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\) .
\(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\) .
\(\cos 2a = 1 - 2{\cos ^2}a\) .
\(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a\) .
Chọn B
Theo công thức nhân đôi ta có:
\(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 1 - 2{\cos ^2}a = 1 - 2{\sin ^2}a.\)
Vậy đáp án A, C, D đúng suy ra B sai.
Số đo góc \(105^\circ \)đổi sang rađian bằng
\(\frac{{9\pi }}{{12}}\).
\(\frac{{7\pi }}{{12}}\).
\[\frac{{5\pi }}{{12}}\].
\(\frac{{5\pi }}{8}\).
Chọn B
Số đo góc \(105^\circ \)khi đổi sang radian là \(\frac{{105\pi }}{{180}} = \frac{{7\pi }}{{12}}\).
Cho hai đường thẳng phân biệt \(a,b\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Giả sử \(a{\rm{//}}\left( \alpha \right),\,\,b \subset \left( \alpha \right)\). Khi đó
\(a,\,\,b\) chéo nhau.
\(a,\,\,b\) cắt nhau.
\(a{\rm{//}}b\) hoặc \(a,\,\,b\) chéo nhau.
\(a{\rm{//}}b\).
Chọn C
Do a//α, b⊂α nên \(a\) và \(b\) không có điểm chung. Suy ra chúng song song hoặc chéo nhau.
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
\[\tan 150^\circ = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\].
\[\cot 150^\circ = \sqrt 3 \].
\[\cos 150^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].
\[\sin 150^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].
Chọn A
\[\cos 150^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\] suy ra A sai.
\[\cot 150^\circ = - \sqrt 3 \] suy ra B sai.
\[\tan 150^\circ = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\] suy ra C đúng.
\[\sin 150^\circ = \frac{1}{2}\] suy ra D sai.
Tập xác định của hàm số \(y = \sin \frac{x}{{2019}}\)là
\(\mathbb{Z}\).
\(\mathbb{R}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {2019} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{{2019}}} \right\}\).
Chọn B
Vì \(\sin \frac{x}{{2019}}\)xác định \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Chọn khẳng định sai.
Qua hai đường thẳng phân biệt cắt nhau xác định được một và chỉ một mặt phẳng.
Qua ba điểm phân biệt xác định được một và chỉ một mặt phẳng.
Qua hai đường thẳng song song xác định được một và chỉ một mặt phẳng.
Qua một đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng xác định được một và chỉ một mặt phẳng.
Chọn B
Ba điểm đó phải là ba điểm không thẳng hàng.
Cho dãy số\(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = n\left[ {1 + {{\left( { - 1} \right)}^n}} \right]\). Số hạng \({u_7}\) bằng
\[0\].
\( - 14\).
\[7\].
\[14\].
Chọn A
\({u_7} = 7\left[ {1 + {{\left( { - 1} \right)}^7}} \right] = 7\left[ {1 - 1} \right] = 7.0 = 0\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành \(ABCD\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
\(AC\).
\(AD\).
\(BD\).
\(SC\).
Chọn B
Do \(BC{\rm{//}}AD\) nên giao tuyến của \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng \(d\) qua \(S\) và song song với \(BC,AD\).
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) và một mặt phẳng \(\left( P \right)\) thay đổi. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\) là một đa giác có số cạnh nhiều nhất có thể là:
\(5\) cạnh.
\(4\) cạnh.
\(3\) cạnh.
\(6\) cạnh.
Chọn A
Hình trên là một minh họa cho trường hợp mặt phẳng \(\left( P \right)\)cắt hình chóp tứ giác theo thiết diện là một ngũ giác.
Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\) và có diện tích \({S_1}\). Nối bốn trung điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) theo thứ tự của bốn cạnh \(AB,BC,CD,DA\) ta được hình vuông thứ hai có diện tích \({S_2}\). Tiếp tục làm như thế, ta được hình vuông thứ ba là \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) có diện tích là \({S_3}\), … và cứ tiếp tục làm như thế, ta tính được các hình vuông lần lượt có diện tích \({S_4},{S_5},...,{S_{100}}\) (hình vẽ)
Biết tổng \({S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_{100}} = \frac{{{2^{100}} - 1}}{{{2^{93}}}}\). Tính a?
\(a = 8\)
\(a = 4\)
\(a = 2\)
\(a = 1\)
Chọn ADễ thấy \({S_1} = {a^2};\,\,{S_2} = \frac{{{a^2}}}{2};\,\,{S_3} = \frac{{{a^2}}}{4};...;{S_{100}} = \frac{{{a^2}}}{{{2^{99}}}}\).
Như vậy \({S_1},\,{S_2},{S_3},...,\,{S_{100}}\) là cấp số nhân với công bội \(q = \frac{1}{2}\).
\(S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_{100}} = {a^2}\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{99}}}}} \right) = \frac{{{a^2}\left( {{2^{100}} - 1} \right)}}{{{2^{99}}}}\).
Theo giả thiết: \(\frac{{{a^2}\left( {{2^{100}} - 1} \right)}}{{{2^{99}}}} = \frac{{{2^{100}} - 1}}{{{2^{93}}}}\)\( \Leftrightarrow {a^2} = {2^6} = 64 \Leftrightarrow a = 8\)
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho phương trình lượng giác \(2\sin x = \sqrt 2 \), khi đó:
a) Số nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) là hai nghiệm
b) Phương trình tương đương \(\sin x = \sin \frac{\pi }{4}\)
c) Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng \(\frac{\pi }{4}\)
d) Phương trình có nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ;x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).
a) | S | b) | Đ | c) | Đ | d) | S |
Ta có: \(2\sin x = \sqrt 2 \Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{4}\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}).} \right.} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ;x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).
Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng \(\frac{\pi }{4}\)
Số nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) là một nghiệm
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABD\), \(M\) là điểm thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(AM = 2MB\), \(N\) là trung điểm \(CD\) (tham khảo hình vẽ bên dưới). a) \(MN\)và \(AC\) cắt nhau. b) \(CG\)và \(AD\) cắt nhau. c) \(GM\parallel (BCD)\). d) \(D \in (GMN)\).
a) | S | b) | S | c) | Đ | d) | S |
(Sai) \(CG\) và \(AD\) cắt nhau
(Vì): Sai.
Vì \(C \notin (AGD)\) nên hai dường thẳng \(CG\) và \(AD\) không đồng phẳng.
(Đúng) \(GM\parallel (BCD)\)
(Vì): Đúng.
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BD\).
Xét tam giác \(ABI\), ta có \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AG}}{{AI}} = \frac{2}{3}\) nên \(GM\parallel BD\).
Mà \(BD \subset (BCD)\) nên \(GM\parallel (BCD)\).
(Sai) \(D \in (GMN)\)
(Vì): Sai.
\(D \notin (GMN)\).
(Sai) \(MN\) và \(AC\) cắt nhau
(Vì): Sai.
Vì \(M \notin (ACN)\) nên hai đường thẳng \(MN\) và \(AC\) không đồng phẳng.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2.
Giả sử vật giao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình \(x = 2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right)\). Ở đây, thời gian \(t\) tính bằng giây và quãng đường \(x\) tính bằng cm. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần? ( hình ảnh minh họa vị trí cân bằng)
Khi vật ở vị trí cân bằng thì \(x = 0\)\( \Leftrightarrow 3\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow c{\rm{os}}\left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 5t - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\\ \Leftrightarrow t = \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k\pi }}{5},k \in \mathbb{Z}\end{array}\)
Mà theo giả thiết \(0 < t < 6 \Leftrightarrow 0 < \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k\pi }}{5} < 6 \Leftrightarrow - \frac{2}{3} < k < \frac{{30}}{\pi } - \frac{2}{3}\)
\(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\)
Đáp số: 9
Trong trò chơi mạo hiểm nhảy bungee, mỗi lần nhảy, người chơi sẽ được dây an toàn có tính đàn hồi kéo nảy ngược lên \(60{\rm{\% }}\) chiều sâu của cú nhảy. Một người chơi bungee thực hiện củ nhảy đầu tiên có độ cao nảy ngược lên là \(9{\rm{\;m}}\). Tính tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong 5 lần nảy đầu. (Kết quả làm tròn hàng phần chục)
Độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ nhất là \({u_1} = 9\)
Độ cao các lần nảy lần lượt tạo thành cấp số nhân có công bội là q = 0,6 \({u_n} = 9.0,{6^{n - 1}}\)
\({S_5} = \frac{{5 \cdot \left[ {1 - 0,{6^5}} \right]}}{{1 - 0,6}} \approx 11,5\)
PHẦN IV. Câu hỏi tự luận. Thí sinh trình bày lời giải vào giấy làm bài.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là trung điểm của \(SB\), \(SD\) và \(OC\). Gọi giao điểm của \(\left( {MNP} \right)\) với \(SA\) là \(K\). Tỉ số \(\frac{{KS}}{{KA}} = \frac{m}{n}\), với \(m\), \(n \in \mathbb{Z}\) và \(\left( {m,n} \right) = 1\). Tính \(m + n\).
Gọi \(J = SO \cap MN\), \(K = SA \cap PJ\) thì \(K = SA \cap \left( {MNP} \right)\).
Vì \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SB\), \(SD\) nên \(J\) là trung điểm của \(SO\).
Áp dụng định lí Menelaus vào tam giác \(SAO\) với cát tuyến là \(KP\), ta có
\(\frac{{SK}}{{KA}} \cdot \frac{{AP}}{{PO}} \cdot \frac{{OJ}}{{JS}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{SK}}{{KA}} \cdot 3 \cdot 1 = 1 \Leftrightarrow \frac{{KS}}{{KA}} = \frac{1}{3}.\)
Vậy \(\frac{{KS}}{{KA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{n = 3.}\end{array}} \right.\)
Khán đài A của một sân vận động có \(3456\) chỗ ngồi, hàng ghế đầu tiên có \(15\) chỗ ngồi và mỗi hàng ghế sau có thêm \(6\) chỗ so với hàng ghế ngay trước nó. Hỏi khán đài A của sân vận động có bao nhiêu hàng ghế?
Đây là một bài toán về dãy số cộng, trong đó
Số chỗ ngồi của hàng đầu tiên (hàng thứ nhất) \({a_1} = 15\).
Mỗi hàng ghế sau có thêm \(6\) chỗ so với hàng ghế trước, tức là công sai \(d = 6\).
Tổng số chỗ ngồi trên khán đài là \(S = 3456\).
Công thức tổng quát của dãy số cộng là
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{a_1} + (n - 1)d} \right],n > 0 \Leftrightarrow 3456 = \frac{n}{2}(2 \cdot 15 + (n - 1) \cdot 6)}\\{ \Leftrightarrow {n^2} + 4n - 1152 = 0}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{n = 32}\\{n = - 36\;{\rm{(kh\^o ng th?a m\~a n)}}.}\end{array}} \right.}\end{array}\)
Kết luận
Khán đài A của sân vận động có \(32\) hàng ghế.
Theo định luật khúc xạ ánh sáng, khi một tia sáng được chiếu tới mặt phân cách giữa hai môi trường trong suốt không đồng chất thì tỉ số 
, với i là góc tới và r là góc khúc xạ, là một hằng số phụ thuộc và chiết xuất của hai môi trường. Biết rằng khi góc tới bằng 45o thì góc khúc xạ bằng 30o. Khi góc tới là 60o thì góc khúc xạ là bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Vì 
