Bộ 19 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 15
19 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Trong không gian cho hai đường thẳng song song \[a\] và \[b\]. Kết luận nào sau đây đúng?
Nếu \[c\] cắt \[a\] thì \[c\] chéo \[b\].
Nếu đường thẳng \[c\] song song với \[a\] thì \[c\] song song hoặc trùng \[b\].
Nếu \[c\] chéo \[a\] thì \[c\] chéo \[b\].
Nếu \[c\] cắt \[a\] thì \[c\] cắt \[b\].
Nếu \[c\] cắt \[a\] thì \[c\] có thể chéo \[b\] nên A sai.
Nếu \[c\] chéo \[a\] thì \[c\] có thể cắt \[b\] nên B sai.
Nếu \[c\] cắt \[a\] thì \[c\] có thể cắt \[b\] nên C sai.
Vậy chọn D
Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\). Công thức số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là:
\({u_n} = {u_1} - nd\).
\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).
\({u_n} = {u_1} + \left( {n + 1} \right)d\).
\({u_n} = {u_1} + nd\).
Chọn B
Tập nghiệm của phương trình \[\sin \,2x = \sin \,x\]là:
\[S = \left\{ {k2\pi ; - \frac{\pi }{3} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\]
\[S = \left\{ {k2\pi ;\pi + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\]
\[S = \left\{ {k2\pi ;\frac{\pi }{3} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\]
\[S = \left\{ {k2\pi ;\frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}\left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\]
Chọn D
Ta có:
\[\sin \,2x = \sin \,x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\\2x = \pi - x + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\\x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3},\,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\].
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\tan x}}{{\cos x + 1}}\) là
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ;k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ;\pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn D
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\cos x \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \pi + k2\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Giá trị của biểu thức \(\tan 110^\circ \tan 340^\circ + \sin 160^\circ \cos 110^\circ + \sin 250^\circ \cos 340^\circ \) bằng
\( - 1\).
\(0\).
\(2\).
\(1\).
Chọn B
\(A = \tan 110^\circ \tan 340^\circ + \sin 160^\circ \cos 110^\circ + \sin 250^\circ \cos 340^\circ \)\(\begin{array}{l}A = \tan \left( {90^\circ + 20^\circ } \right)\tan \left( {360^\circ - 20^\circ } \right) + \sin \left( {180^\circ - 20^\circ } \right)\cos \left( {90^\circ + 20^\circ } \right) + \\\,\,\,\, + \sin \left( {360^\circ - 110^\circ } \right)\cos \left( {360^\circ - 20^\circ } \right)\end{array}\)
\[A = \cot 20^\circ \tan 20^\circ - \sin 20^\circ \sin 20^\circ - \sin 110^\circ \cos 20^\circ \]
\[A = 1 - {\sin ^2}20^\circ - \sin \left( {90^\circ + 20^\circ } \right)\cos 20^\circ \]
\[A = 1 - {\sin ^2}20^\circ - {\cos ^2}20^\circ = 0\]
Số đo bằng đơn vị radian của góc \[270^\circ \] là:
\(\frac{{3\pi }}{2}\).
\(\pi \).
\(\frac{{2\pi }}{3}\).
\(\frac{{3\pi }}{4}\).
Chọn A
Ta có \(1^\circ = \frac{\pi }{{180}}\) \( \Rightarrow 270^\circ = 270 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{{3\pi }}{2}\).
Trong các câu sau, công thức nào sai ?
\(\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1.\)
\({\cos ^2}x = \frac{{\cos 2x + 1}}{2}.\)
\(\sin 2x = 2\cos x.\sin x.\)
\(\tan 2x = \frac{{2\tan x}}{{1 + {{\tan }^2}x}}.\)
Chọn D
Ta có: \[\tan 2x = \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}}.\]
Tứ diện \(ABCD\)có bao nhiêu mặt?
5.
4.
3.
6.
Chọn B
Tứ diện có 4 mặt gồm \(\left( {ABC} \right),\;\left( {ACD} \right),\;\left( {ABC} \right),\;\left( {BCD} \right)\).
Cho dãy số\(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{a{n^2}}}{{n + 1}}\) (\(a\) hằng số). Hỏi \({u_{n + 1}}\) là số hạng nào sau đây?
\({u_{n + 1}} = \frac{{a.{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}}\).
\({u_{n + 1}} = \frac{{a.{n^2} + 1}}{{n + 1}}\).
\({u_{n + 1}} = \frac{{a.{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 1}}\).
\({u_{n + 1}} = \frac{{a{n^2}}}{{n + 2}}\).
Chọn A
Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{a.{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{a.{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}}\).
Cho hình chóp \[S.ABCD,\] đáy \[ABCD\] là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {SAD} \right)\] và \[\left( {SBC} \right)\] là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
\[AC\].
\[BD\].
\[DC\].
\[AD\].
Chọn D
Từ giả thiết ta có
\[\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = Sx\\AD\;{\rm{//}}\;BC\\AD \subset \left( {SAD} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right.\;\quad \Rightarrow \;\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = Sx\;{\rm{//}}AD\;{\rm{//}}\;BC\].
Cho tứ diện đều \[ABCD\] có cạnh bằng \[a\]. Gọi \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\]. Thiết diện tạo bởi tứ diện đều \[ABCD\] và mặt phẳng \[(GCD)\] có diện tích bằng
\[\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\].
\[\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6}\].
\[\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\].
\[\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\].
Chọn A
![Chọn D Gọi \[F\] là tru (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/3-1761550865.png)
Gọi \[F\] là trung điểm của \[AB\], thiết diện tạo bởi tứ diện đều \[ABCD\] và mặt phẳng \[(GCD)\] là tam giác \[DFC\].
\[DF = FC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]\[ \Rightarrow FH = \sqrt {D{F^2} - D{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\].
Diện tích thiết diện là \[{S_{DCF}} = \frac{1}{2}FH.DC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\].
Một cơ sở khoan giếng có đơn giá như sau: giá của mét khoan đầu tiên là \(50000\) đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm \(7\% \) so với giá của mét khoan ngay trước đó. Tính số tiền mà chủ nhà phải trả cho cơ sở khoan giếng để khoan được \(50\left( m \right)\) giếng gần bằng số nào sau đây?
\(20326446\).
\(21326446\).
\(23326446\).
\(22326446\).
Chọn A
Đặt \({S_1}\) là giá của mét khoan đầu tiên thì \({S_1} = 50000\) đồng.
Kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm 7% so với giá của mét khoan ngay trước đó.
Suy ra \({S_2} = {S_1} + {S_1}.7\% = {S_1}\left( {1 + 0,07} \right)\).
Tương tự \({S_3} = {S_2} + {S_2}.0,07 = {S_2}\left( {1 + 0,07} \right)\).
Vậy các giá trị \({S_1},\,{S_2},\,...,{S_{50}}\) lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu \({S_1} = 50000\) và công bội \(q = 1 + 0,07\).
Gọi \(T\) là tổng tiền mà chủ nhà phải thanh toán khi khoan \(50\left( m \right)\) thì
\(T = {S_1} + {S_2} + ... + {S_{50}} = 50000.\frac{{{{\left( {1 + 0,07} \right)}^{50}} - 1}}{{\left( {1 + 0,07} \right) - 1}} = 20326446\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M\) là trung điểm của \(SC\). Gọi \(I\) giao điểm của đường thẳng \(AM\) và mặt phẳng \((SBD)\). Khi đó:
a) \(AM \cap SO = I\)với \(O = AC \cap BD\).
b) \(IA = 3IM\).
c) Giao điểm \(E\) của đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \((ABM)\) là điểm thuộc đường thẳng \(BI\)
d) Gọi \(N\) là một điểm tuỳ ý trên cạnh \(AB\). Khi đó giao điểm của đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \((SBD)\) là điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng \((SBD),(SNC)\)
a) | Đ | b) | S | c) | Đ | d) | Đ |
a. b. Trong \((SAC):AM \cap SO = I\).
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I \in AM}\\{I \in SO \subset (SBD)}\end{array} \Rightarrow I \in AM \cap (SBD)} \right.\).
Tam giác \(SAC\) có hai đường trung tuyến \(AM\) và \(SO\) cắt nhau tại \(I\), suy ra \(I\) là trọng tâm của tam giác \(SAC\). Từ đó ta có \(IA = 2IM\).
c. Trong \((SBD):BI \cap SD = E\).
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{E \in SD}\\{E \in BI \subset (ABM)}\end{array} \Rightarrow I \in SD \cap (ABM)} \right.\).
d. Trong \((ABCD):CN \cap BD = F\).
Trong \((SNC):SF \cap MN = J\).
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{J \in MN}\\{J \in SF \subset (SBD)}\end{array} \Rightarrow J \in MN \cap (SBD)} \right.\).
Cho các hàm số sau \(f(x) = 3{\sin ^3}x\); \(g(x) = - 5\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a) Tập xác định hàm số \(f(x)\) là \(\mathcal{D} = {\mathbb{R}^ + }\).
b) Hàm số \(f(x)\) đã cho là hàm số lẻ.
c) Tập xác định hàm số \(g(x)\) là \(\mathcal{D} = \mathbb{R}\).
d) Hàm số \(g(x)\) đã cho không chẵn, không lẻ.
a) | S | b) | Đ | c) | Đ | d) | Đ |
(Sai) Tập xác định hàm số \(f(x)\) là \(\mathcal{D} = {\mathbb{R}^ + }\)
(Vì): Xét \(y = f(x) = 3{\sin ^3}x\).
Tập xác định \(\mathcal{D} = \mathbb{R}\) suy ra \(\forall x \in \mathcal{D}\) thì \( - x \in \mathcal{D}\).
Ta có \(f( - x) = 3{\sin ^3}( - x) = - 3{\sin ^3}x = - f(x)\).
(Đúng) Hàm số \(f(x)\) đã cho là hàm số lẻ
(Vì): Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
(Đúng) Tập xác định hàm số \(g(x)\) là \(\mathcal{D} = \mathbb{R}\)
(Vì): Xét \(y = g(x) = - 5\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\).
Tập xác định \(\mathcal{D} = \mathbb{R}\) suy ra \(\forall x \in \mathcal{D}\) thì \( - x \in \mathcal{D}\).
(Đúng) Hàm số \(g(x)\) đã cho không chẵn, không lẻ
(Vì): Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) = - 5\cos \left( { - \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = - 5\cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{ - 5\sqrt 3 }}{2}}\\{f\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) = - 5\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = - 5\cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) \ne f\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right)}\\{f\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) \ne - f\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right).}\end{array}} \right.\)
Do đó hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2.
Một công ty điện lực đề xuất bán điện sinh hoạt cho người dân theo hình thức lũy tiến (bậc thang) như sau: Mỗi bậc gồm \(50\) số; bậc \(1\) từ số thứ \(1\) đến số thứ \(50\), bậc \(2\) từ số \(51\) đến số \(100\), bậc \(3\) từ số thứ \(101\) đến số thứ \(150\),…Bậc \(1\) có giá là \(1\,\,728\) đồng/1 số, giá của mỗi số ở bậc thứ \(n + 1\) tăng \(3,5\% \) so với giá của mỗi số ở bậc thứ \(n\). Biết rằng gia đình ông A sử dụng hết \(425\) số trong tháng \(9\). Hỏi tháng \(9\) gia đình ông A phải đóng bao nhiêu tiền sử dụng điện bằng bao nhiêu nghìn đồng? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Gọi \[{u_1}\] là số tiền phải trả cho \(50\) số điện đầu tiên.
Suy ra \[{u_1} = 50 \cdot 1\,\,728 = 86\,\,400\] (đồng).
\[{u_2}\]là số tiền phải trả cho các số điện từ \(51\) đến \(100\).
Suy ra \[{u_2} = {u_1}\left( {1 + 0,035} \right)\] (đồng).
\[{u_3}\]là số tiền phải trả cho các số điện từ \(101\) đến \(150\).
Suy ra \[{u_3} = {u_2}\left( {1 + 0,035} \right) = {u_1}{\left( {1 + 0,035} \right)^2}\](đồng).
…….
\[{u_8}\]là số tiền phải trả cho các số điện từ 351 đến 400.
Suy ra \[{u_8} = {u_1}{\left( {1 + 0,035} \right)^7}\](đồng).
Các số \[{u_1};\,{u_2};...;\,{u_8}\] lập thành cấp số nhân với \[{u_1} = 86\,\,400\] và công bội \[q = 1 + 0,035\].
Số tiền phải trả cho \(400\) số điện đầu tiên là
\[{S_1} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^8}}}{{1 - q}} = 86\,\,400.\frac{{1 - {{\left( {1 + 0,035} \right)}^8}}}{{1 - \left( {1 + 0,035} \right)}} = 782\,\,065,737\](đồng).
Số tiền phải trả cho 25 số điện từ 401 đến 425 là
\[{S_2} = 25 \cdot 1\,\,728{\left( {1 + 0,035} \right)^8} = 56\,\,886,1504\](đồng).
Tháng 9 gia đình ông A phải trả số tiền điện là
\[S = {S_1} + {S_2} = 782\,\,065,737 + 56\,\,886,1504 = 838\,\,951,8874\](đồng).
Độ sâu \(h\left( m \right)\) của mực nước ở một cảng biển vào thời điểm \(t\) (giờ) sau khi thủy triều lên lần đầu tiên trong ngày được tính xấp xỉ bởi công thức \(h\left( t \right) = 0,8\cos 0,5t + 5\)
(Theo https://noc.ac.uk/files/documents/ business/an-introduction-to-tidalmodelling.pdf)
Một con tàu cần mực nước sâu \(4,6m\) để có thể di chuyển ra vào cảng an toàn. Hỏi có bao nhiêu thời điểm trong vòng 12 tiếng sau khi thủy triều lên lần đầu tiên trong ngày tàu có thể hạ thủy?
Để tàu có thể hạ thủy thì mực nước sâu \(4,6m\), tức là
\[\begin{array}{l}h\left( t \right) = 0,8\cos 0,5t + 5 = 4,6 & \Leftrightarrow \cos 0,5t = - \frac{1}{2}\\ & \Leftrightarrow 0,5t = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{4\pi }}{3} + k4\pi \\t = - \frac{{4\pi }}{3} + l4\pi \end{array} \right.\,\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\].
Do \(0 \le t \le 12\) nên
Với \(k = 0\), suy ra \(t = \frac{{4\pi }}{3} \approx 4,19\) (giờ).
Với \(l = 1\), suy ra \(t = \frac{{2\pi }}{3} \approx 2,09\) (giờ).
Vậy, có 2 thời điểm trong vòng 12 tiếng sau khi thủy triều lên lần đầu tiên trong ngày tàu có thể hạ thủy.
PHẦN IV. Câu hỏi tự luận. Thí sinh trình bày lời giải vào giấy làm bài.
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Lấy M,N,P lần lượt là các điểm trên SA, SB, SC. Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng (MNP).
Tìm giao điểm \(Q\) của \(SO\) với \((MNP)\)
Trong \((SAC)\), gọi \(Q = SC \cap MI\), mà \(MI \subset (MNP) \Rightarrow Q = SC \cap (MNP)\).
Biết nghiệm âm lớn nhất của phương trình \(\cos 3x = \sin x\) là \(\frac{{ - m\pi }}{n}\) với \(m,n\) là các số nguyên dương và \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của \(3m + 4n\).
\(\cos 3x = \sin x \Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi }\\{3x = - \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}}\\{x = - \frac{\pi }{4} + k\pi }\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Suy ra nghiệm âm lớn nhất là \(x = - \frac{\pi }{4}\).
Một tam giác vuông có chu vi bằng \(3\) và có độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Tính độ dài các cạnh đó.
Độ dài các cạnh của tam giác có thứ tự dạng \(x - d\), \(x\), \(x + d\), với \(x > d > 0\).
Vì tam giác trên là vuông nên ta có \({\left( {x + d} \right)^2} = {x^2} + {\left( {x - d} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} - 4dx = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0\;\;{\rm{(lo?i)}}}\\{x = 4d.}\end{array}} \right.\)
Mặt khác do chi vi của tam giác bằng \(3\) nên ta có
\(x - d + x + x + d = 3 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow d = \frac{1}{4}.\)
Vậy các cạnh của tam giác có độ dài lần lượt là \(\frac{3}{4}\), \(1\), \(\frac{5}{4}\).
