Bộ 19 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 1
19 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho dãy số 
. Năm số hạng đầu của dãy số là
\[4,\,16,\,32,\,64,\,128.\]
\[4,\,6,\,9,\,13,\,18.\]
\[4,\,5,\,7,\,10,\,14.\]
\[4,\,5,\,6,\,7,\,8.\]
Chọn C
Trong các công thức sau, công thức nào sai?
\[\cot 2x = \frac{{{{\cot }^2}x - 1}}{{2\cot x}}\].
\[\cos 3x = 4{\cos ^3}x - 3\cos x\].
\[\tan 2x = \frac{{2\tan x}}{{1 + {{\tan }^2}x}}\].
\[\sin 3x = 3\sin x - 4{\sin ^3}x\].
Chọn CTa có \[\tan 2x = \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} = \frac{{2\sin x\cos x}}{{2{{\cos }^2}x - 1}} = \frac{{{{\cos }^2}x\left( {\frac{{2\sin x}}{{\cos x}}} \right)}}{{{{\cos }^2}x\left( {2 - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)}} = \frac{{2\tan x}}{{2 - \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)}} = \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}}\]
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hai đường thẳng phân biệt không song song thì cheo nhau.
Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Chọn C
Đáp án C đúng, vì hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong mặt phẳng nên chúng không có điểm chung.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)có số hạng đầu \({u_1}\)và công sai \(d\). Công thức tìm số hạng tổng quát \({u_n}\)là:
\({u_n} = n{u_1} + d\).
\({u_n} = {u_1} + nd\).
\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).
\({u_n} = {u_1} + \left( {n + 1} \right)d\).
Chọn CCông thức tìm số hạng tổng quát \({u_n}\)là: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d.\)
Trong tam giác \[ABC\], đẳng thức nào dưới đây luôn đúng?
\[{\rm{cos}}\,A = \sin \,B\].
\[{\rm{cos}}\frac{{A + B}}{2} = \sin \frac{C}{2}\].
\(\tan \,A = \cot \left( {B + \frac{\pi }{2}} \right)\).
\(\sin \left( {A + B} \right) = {\rm{cos }}C\).
Chọn BTa có: \[{\rm{cos}}\frac{{A + B}}{2} = {\rm{cos}}\frac{{{{180}^0} - C}}{2} = {\rm{cos}}\left( {{{90}^0} - \frac{C}{2}} \right) = \sin \frac{C}{2}\].
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\,,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\,,\,CD\) và điểm \(P\) thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(P\) không là trung điểm của \(BC\). Cặp đường thẳng nào sau đây không cắt nhau?
\(MN\) và \(BD\).
\(MP\) và \(AC\).
\(PN\) và \(BD\).
\(AP\) và \(CM\).
Chọn A
Tập xác định của hàm số \[y = \tan x\] là
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Chọn C
Hàm số \[y = \tan x\] xác định khi \[\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\]
Vậy, tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Góc có số đo \(120^\circ \) đổi sang rađian là:
\(\frac{{3\pi }}{2}\).
\(\frac{\pi }{4}\).
\(\frac{\pi }{{10}}\).
\(\frac{{2\pi }}{3}\).
Chọn D
Ta có: \(120^\circ = \frac{\pi }{{180}}.120 = \frac{{2\pi }}{3}\,\) rad.
Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
\[\sin x + 3 = 0\].
\[\tan x + 3 = 0\].
\[3\sin x - 2 = 0\].
\(2{\cos ^2}x - \cos x - 1 = 0\).
Chọn A
Xét đáp án A: \[\tan x + 3 = 0 \Leftrightarrow \tan x = - 3\] có nghiệm nên loại.
Xét đáp án B: \[\sin x + 3 = 0 \Leftrightarrow \sin x = - 3\] vô nghiệm nên chọn.
Xét đáp án C: \[3\sin x - 2 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{2}{3}\] có nghiệm nên loại.
Xét đáp án D: \(2{\cos ^2}x - \cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\\cos x = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\) có nghiệm nên loại.
Cho hình chóp tứ giác\[S.ABCD\], đáy \[ABCD\] là hình bình hành, gọi \[M,N,Q\] lần lượt là trung điểm các cạnh\[AB,AD,SC\]. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng \[\left( {MNQ} \right)\] là đa giác có bao nhiêu cạnh?
\(4\).
\(3\).
\(6\).
\(5\).
Chọn D
Gọi \[E = MN \cap BC;{\rm{ }}F = MN \cap CD\]; \[K = EQ \cap SB;{\rm{ }}P = QF \cap SD\].
Ta có \[\left( {MNQ} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\];
\[\left( {MNQ} \right) \cap \left( {SAB} \right) = MK\];
\[\left( {MNQ} \right) \cap \left( {SBC} \right) = KQ\];
\[\left( {MNQ} \right) \cap \left( {SCD} \right) = QP;{\rm{ }}\]
\[\left( {MNQ} \right) \cap \left( {SAD} \right) = MP\]
Do đó thiết diện cần tìm là ngũ giác \[MKQPN\]
Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\) là hình thang \(\left( {AB\,{\rm{//}}\,CD} \right)\). Gọi \[I\], \[J\] lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\), \(G\) là trọng tâm \(\Delta SAB\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\)và \(\left( {IJG} \right)\)là
\[SC\].
đường thẳng qua \(G\) và cắt \(BC\).
đường thẳng qua \(S\) và song song với \(AB\).
đường thẳng qua \(G\) và song song với \(DC\).
Chọn D
Ta có \[IJ\,{\rm{//}}\,AB\] \[\left( 1 \right)\] (đường trung bình hình thang).
\(G \in \left( {GIJ} \right) \cap \left( {SAB} \right)\) \(\left( 2 \right)\).
\(IJ \subset \left( {GIJ} \right)\),\(AB \subset \left( {SAB} \right)\) \(\left( 3 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\),\(\left( 3 \right) \Rightarrow Gx = \left( {GIJ} \right) \cap \left( {SAB} \right)\), \(Gx\,{\rm{//}}\,AB\), \(Gx\,{\rm{//}}\,CD\).
Để tiết kiệm năng lượng, một công ty điện lực đề xuất bán điện sinh hoạt cho dân với theo hình thức lũy tiến (bậc thang) như sau: Mỗi bậc gồm \[10\]số; bậc \[1\]từ số thứ \[1\]đến số thứ \[10\], bậc \[2\]từ số thứ \[11\]đến số \[20\], bậc \[3\]từ số thứ \[21\]đến số thứ \[30\],…. Bậc \[1\]có giá là \[800\]đồng/\[1\] số, giá của mỗi số ở bậc thứ \[n + 1\]tăng so với giá của mỗi số ở bậc thứ \[n\]là \[2,5\% \]. Gia đình ông A sử dụng hết \[347\]số trong tháng \[1\], hỏi tháng \[1\]ông A phải đóngbao nhiêu tiền ? (đơn vị là đồng, kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).
\(x \approx 433868,89\).
\(x \approx 402832,28\).
\(x \approx 402903,08\).
\(x \approx 415481,84\).
Chọn A
Gọi \({u_1}\)là số tiền phải trả cho \[10\]số điện đầu tiên. \({u_1}\)=10. 800= 8000 (đồng)
\({u_2}\)là số tiền phải trả cho các số điện từ \[11\]đến \[20\]: \({u_2} = {u_1}(1 + 0,025)\)
\({u_{34}}\)là số tiền phải trả cho các số điện từ \[331\]đến \[340\]: \({u_{34}} = {u_1}{(1 + 0,025)^{33}}\)
Số tiền phải trả cho \[340\]số điện đầu tiên là: \({S_1} = {u_1}.\frac{{1 - {{\left( {1 + 0,025} \right)}^{34}}}}{{1 - \left( {1 + 0,025} \right)}} = 420903,08\)
Số tiền phỉ trả cho các số điện từ \[341\]đến \[347\]là: \({S_2} = 7.800{(1 + 0,025)^{34}} = 12965,80\)
Vậy tháng \[1\]gia đình ông A phải trả số tiền là: \(S = {S_1} + {S_2} = 433868,89\)(đồng).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho phương trình lượng giác \(3 - \sqrt 3 \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a) Khi \( - \frac{\pi }{4} < x < \frac{{2\pi }}{3}\) thì phương trình có \(3\) nghiệm.
b) Phương trình có nghiệm \(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\), \(k \in \mathbb{Z}\).
c) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{\pi }{6}\).
d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{{2\pi }}{3}} \right)\) bằng \(\frac{\pi }{6}\).
a) | S | b) | S | c) | Đ | d) | Đ |
Để giải phương trình, ta có:
\(3 - \sqrt 3 \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\)
\(\sqrt 3 \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 3\)
\(\tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{3}{{\sqrt 3 }}\)
\(\tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \)
Vì \(\tan \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \), suy ra:
\(2x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi \), với \(k \in \mathbb{Z}\)
\(2x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \)
\(x = \frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2}\), với \(k \in \mathbb{Z}\)
(Sai) Phương trình có nghiệm \(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\), \(k \in \mathbb{Z}\)
(Vì): Nghiệm tổng quát của phương trình là \(x = \frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2}\), \(k \in \mathbb{Z}\), nên khẳng định \(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\) là sai.
(Đúng) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{\pi }{6}\)
(Vì): Nghiệm tổng quát là \(x = \frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2}\). Với \(k = - 1\), ta có \(x = \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{2} = - \frac{\pi }{6}\). Với \(k \le - 2\), các nghiệm sẽ nhỏ hơn \( - \frac{\pi }{6}\). Vậy nghiệm âm lớn nhất là \( - \frac{\pi }{6}\).
(Sai) Khi \( - \frac{\pi }{4} < x < \frac{{2\pi }}{3}\) thì phương trình có \(3\) nghiệm
(Vì): Trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{{2\pi }}{3}} \right)\), phương trình có các nghiệm là \(x = - \frac{\pi }{6}\) (ứng với \(k = - 1\)) và \(x = \frac{\pi }{3}\) (ứng với \(k = 0\)). Vậy chỉ có \(2\) nghiệm, nên khẳng định trên là sai.
(Đúng) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{{2\pi }}{3}} \right)\) bằng \(\frac{\pi }{6}\)
(Vì): Các nghiệm trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{{2\pi }}{3}} \right)\) là \({x_1} = - \frac{\pi }{6}\) và \({x_2} = \frac{\pi }{3}\). Tổng của chúng là \({x_1} + {x_2} = - \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6}\). Khẳng định này là đúng.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M\), \(N\), \(K\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\), \(BC\), \(SB\).
a) \((MNK)\parallel (SAD)\). b) \(NK\parallel (SCD)\).
c) \(MK\parallel (SAB)\). d) \((MNK)\parallel (SAC)\).
a) | S | b) | Đ | c) | S | d) | Đ |
(Sai) \(MK\parallel (SAB)\)
(Vì):
Vì \(MK \subset (SAB)\).
(Đúng) \((MNK)\parallel (SAC)\)
(Vì):
Ta có \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(MN\parallel AC \Rightarrow MN\parallel (SAC)\).
Ta có \(MK\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\) nên \(MK\parallel SA \Rightarrow MK\parallel (SAC)\).
Do \(MN\) cắt \(MK\) trong \((MNK)\) nên \((MNK)\parallel (SAC)\).
(Đúng) \(NK\parallel (SCD)\)
(Vì):
Ta có \(NK\) là đường trung bình của tam giác \(SBC\) nên \(NK\parallel SC\).
Mặt khác ta có \(NK\not \subset (SCD)\) nên \(NK\parallel (SCD)\).
(Sai) \((MNK)\parallel (SAD)\)
(Vì):
Vì trong mặt phẳng \((ABCD)\), đường thẳng \(MN\) cắt đường thẳng \(AD\), suy ra \((MNK)\) có điểm chung với \((SAD)\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2.
Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \(h(m)\)của mực nước trong kênh tính theo thời gian \(t(h)\) được cho bởi công thức \(h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) + 12\).\(\left( {0\, \le \,t\, \le \,24} \right)\). Xác định thời điểm trong ngày khi chiều cao của mực nước trong kênh là \(15\,\,m\).
Do chiều cao của mực nước trong kênh là \(15\,\,m\) nên ta có:
\(3\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t + \frac{\pi }{3}} \right) + 12 = 15 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}t + \frac{\pi }{3} = k2\pi \)\( \Leftrightarrow t = - 4 + 24k\).
Vì \(0 \le t \le 24 \Leftrightarrow 0 \le - 4 + 24k \le 24 \Leftrightarrow \frac{1}{6} \le k \le \frac{7}{6}\)
Do \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 1\). Khi đó \(t = 20\)
Bạn Vân là học sinh giỏi của một trường THPT nên được hưởng học bổng hằng tháng là 4 triệu đồng. Học bổng được cấp vào đầu tháng. Vì muốn để dành tiền đóng học phí vào năm nhất đại học nên bắt đầu từ đầu tháng 9/2023 (đầu năm học lớp 11), cứ đầu tháng bạn Vân dành 30% số tiền học bổng nói trên để gửi tiết kiệm ở ngân hàng với lãi suất 0,4%/tháng và sẽ cố gắng giữ vững thành tích học tập để nhận học bổng đến hết tháng 8/2025. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu, học bổng được cấp đến hết tháng 8/2025. Hỏi đến hết tháng 8/2025 bạn Vân có bao nhiêu triệu đồng để đóng học phí học đại học (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Từ đề bài ta suy ra được mỗi tháng bạn Vân trích ra \(4.30\% = 1,2\)triệu đồng để gửi tiết kiệm.
Tháng 9/2023 bạn Vân gửi 1,2 triệu đồng với lãi suất 0,4% mỗi tháng thì đến hết tháng 8/2025 thì số tiền bạn nhận được là: \({u_{24}} = 1,2{(1 + 0,004)^{24}}\).
Tháng 10/2023 bạn Vân gửi 1,2 triệu đồng với lãi suất 0,4% mỗi tháng thì đến hết tháng 8/2025 thì số tiền bạn nhận được là: \({u_{23}} = 1,2{(1 + 0,004)^{23}}\).
…
Tháng 8/2025 bạn Vân gửi 1,2 triệu đồng với lãi suất 0,4% mỗi tháng thì đến hết tháng 8/2025 thì số tiền bạn nhận được là: \({u_1} = 1,2(1 + 0,004) = 1,2048\).
Số tiền bạn Vân nhận được khi gửi tiết kiệm như thế tạo thành một cấp số nhân với \({u_1} = 1,2(1 + 0,004) = 1,2048;q = 1,004\).
Vậy tổng số tiền bạn Vân nhận được chính là tổng 24 số hạng đầu của một cấp số nhân ở trên.
\({S_{24}} = \frac{{{u_1}(1 - {q^{24}})}}{{1 - q}} = \frac{{1,2048(1 - 1,{{004}^{24}})}}{{1 - 1,004}} \simeq 30,285148\)(đồng).
Vậy số tiền bạn Vân nhận được đến hết tháng 8/2025 là 30.285.148 đồng.
PHẦN IV. Câu hỏi tự luận. Thí sinh trình bày lời giải vào giấy làm bài.
Một cấp số cộng có \(7\) số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng \(30\), còn tổng của số hạng thứ ba và số hạng thứ sáu bằng \(35\). Tính số hạng thứ bảy của cấp số cộng đó.
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + {u_7} = 30}\\{{u_3} + {u_6} = 35}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{u_1} + 6d = 30}\\{2{u_1} + 7d = 35}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 0}\\{d = 5.}\end{array}} \right.\)
Vậy \({u_7} = {u_1} + 6d = 0 + 6 \cdot 5 = 30\).
Cho hình chóp S.ABC có hai điểm M,N lần lượt thuộc hai cạnh SA;SB và O là điểm nằm trong tam giác ABC. Xác định giao điểm của đường thẳng SO và mặt phẳng (CMN)
Chọn mặt phẳng \(\left( {SCI} \right)\) chứa \(SO\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}J \in MN \subset \left( {MNC} \right)\\J \in SI \subset \left( {SIC} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow J \in \left( {SIC} \right) \cap \left( {MNC} \right)\) \( \Rightarrow CJ = \left( {SIC} \right) \cap \left( {MNC} \right)\)
Gọi \(K\) là giao điểm của \(JC\) và \(SO\) trong mặt phẳng \(\left( {SCI} \right)\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}K \in SO\\K \in CJ \subset \left( {CMN} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow K = SO \cap \left( {CMN} \right)\).
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) - m = 2\) có nghiệm. Tính tổng các phần tử trong \(S\).
Ta có \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) - m = 2 \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = m + 2\). Phương trình này có nghiệm khi
\( - 1 \le m + 2 \le 1 \Leftrightarrow - 3 \le m \le - 1.\)
Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1} \right\} = S\).
Vậy tổng các phần tử trong \(S\) là \( - 3 - 2 - 1 = - 6\).
