Bộ 19 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 13
19 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Phát biểu nào sau đây là đúng?
Hình (1) và (4) là các hình chóp tứ giá
Hình (3), (4) không phải là hình chóp.
Hình (2) và (4) là các hình chóp tam giá
Hình (1), (2), (3) là các hình chóp.
Chọn D
Hình (1) là hình chóp tứ giá
Hình (2) là hình chóp tam giá
Hình (3) là hình chóp ngũ giá
Hình (4) là không phải là hình chóp.
\(x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi \).
\(x \ne k\pi \).
\(x \ne \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\).
\(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \).
Chọn B
Hàm số \(y = \cot x\) xác định khi và chỉ khi: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \),\({\rm{ }}k \in Z\).
\(\tan \left( {\pi + \alpha } \right) = - \tan \alpha \).
\(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \alpha \).
\(\tan \left( {\pi - \alpha } \right) = - \tan \alpha \).
\(\tan \left( { - \alpha } \right) = - \tan \alpha \).
Chọn A
Lý thuyết các cung lượng giác có liên quan đặc biệt.
Đẳng thức nào không đúng với mọi\[x\]?
\[\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x\].
\[\sin 2x = 2\sin x.\cos x\].
\[{\cos ^2}3x = \frac{{1 + \cos 6x}}{2}\].
\[{\sin ^2}2x = \frac{{1 + \cos 4x}}{2}\].
Chọn D
Vì \[{\sin ^2}2x = \frac{{1 - \cos 4x}}{2}\]
\(51,2\).
\(51,3\).
\(102,3\).
\(51,1\).
Chọn B
Ta có: \({u_{10}} = \frac{{{2^{10 - 1}} + 1}}{{10}}\)\( = 51,3\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau hoặc song song.
Chọn C
Hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể song song hoặc chéo nhau vậy A sai
\(300^\circ \) .
\(600^\circ \) .
\(270^\circ \) .
\[5^\circ \] .
Chọn A
Ta có \(\frac{{5\pi }}{3}\,rad\) đổi sang đơn vị độ bằng \(\frac{{5.180^\circ }}{3} = 300^\circ \) .
\({u_n} = {\left( { - 3} \right)^{n + 1}}\).
\({u_n} = 3n + 1\).
Tất cả đều là cấp số cộng
\({u_n} = {3^n}\).
Chọn B
Xét đáp án \({u_n} = {3^n}\): \[{u_{n + 1}} - {u_n} = {3^{n + 1}} - {3^n} = {2.3^n}\left( {\forall n \in {{\rm N}^*}} \right)\] nên \({u_n} = {3^n}\) không phải là cấp số cộng.
Xét đáp án \({u_n} = {\left( { - 3} \right)^{n + 1}}\): \[{u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( { - 3} \right)^{n + 1}} - {\left( { - 3} \right)^n} = - 4.{\left( { - 3} \right)^n}\left( {\forall n \in {{\rm N}^*}} \right)\] nên \({u_n} = {\left( { - 3} \right)^n}\) không phải là cấp số cộng.
Xét đáp án \({u_n} = 3n + 1\): \[{u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {3\left( {n + 1} \right) + 1} \right] - \left( {3n + 1} \right) = 3\left( {\forall n \in {{\rm N}^*}} \right)\] không đổi, nên \({u_n} = 3n + 1\) là cấp số cộng.
\(x = k{180^0},k \in \mathbb{Z}\)
\(x = {60^0} + k{180^0},k \in \mathbb{Z}\)
\(x = {90^0} + k{270^0},k \in \mathbb{Z}\)
\(x = \pm {450^0} + k{270^0},k \in \mathbb{Z}\)
Chọn C
Ta có: \(\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - {{60}^0}} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} - {60^0} = k{180^0} \Leftrightarrow x = {90^0} + k{270^0},k \in \mathbb{Z}\).
\(d\)qua \(S\) và song song với \(AB\).
\(d\)qua \(S\) và song song với \(DC\).
\(d\)qua \(S\) và song song với \(BD\).
\(d\)qua \(S\) và song song với \(BC\).
Chọn D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD \subset \left( {SAD} \right)\\BC \subset \left( {SAC} \right)\\d = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SAC} \right)\\AD{\rm{//}}BC\end{array} \right. \Rightarrow d{\rm{//}}BC\) (Theo hệ quả của định lý 2
(Giao tuyến của ba mặt phẳng)).
Lục giá
Tứ giá
Ngũ giá
Tam giá
Chọn C
Trong mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\], gọi \[E\]là giao điểm của \[MN\]với \[AD\], \[F\]là giao điểm của \[MN\]với \[AB\].
Khi đó:
\[\begin{array}{l}\left( {MNP} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\,\,\\\left( {MNP} \right) \cap \left( {SAB} \right) = PF\,\\\left( {MNP} \right) \cap \left( {SAD} \right) = PE\end{array}\]
Gọi \[K\]là giao điểm của \[PF\]với \[SB\]và \[I\]là giao điểm của \[PE\]với \[SD\].
Suy ra \[\left( {MNP} \right) \cap \left( {SCD} \right) = NI\]; \[\left( {MNP} \right) \cap \left( {SBC} \right) = MK\]
Vậy Mặt phẳng \[\left( {MNP} \right)\]cắt hình chóp \[S.ABCD\]theo thiết diện là hình ngũ giác \[MNIPK\].
\(3960000\) đồng.
\(89000\) đồng.
\(4095000\) đồng.
\(4005000\) đồng.
Chọn D
Số tiền bỏ heo của An mỗi ngày tạo thành một cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 1000\) công sai \(d = 1000\).
Tổng số tiền bỏ heo tính đến ngày thứ n là:
\({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\)
Tính đến ngày \(30\) tháng \(4\) năm \(2018\) (tính đến ngày thứ \(89\)) tổng số tiền bỏ heo là:
\({S_{89}} = \frac{{89\left[ {2.1000 + \left( {89 - 1} \right).1000} \right]}}{2} = 45.89.1000 = 4005000\) đồng.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC\), \(CD\), \(SD\).
a) Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\) là một đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(CD\)
b) Gọi \(Q\) là giao điểm của \(SA\) với \((MNP)\). Khi đó \(\frac{{SQ}}{{SA}} = \frac{1}{5}\).
c) \(NP\parallel (SBC)\).
d) Gọi \(H\) là giao điểm của \(BP\) và mặt phẳng \((SAC)\). Khi đó \(H = BP \cap SO\).
a) | Đ | b) | S | c) | Đ | d) | Đ |
(Đúng) Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\) là một đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(CD\)
(Vì): \\ Ta có
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \subset (SAB)}\\{CD \subset (SCD)}\\{AB\parallel CD}\\{S \in (SAB) \cap (SCD)}\end{array}} \right.\).
Vậy \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\) với \(d\parallel AB\parallel CD\), \(S \in d\).
(Đúng) Gọi \(H\) là giao điểm của \(BP\) và mặt phẳng \((SAC)\). Khi đó \(H = BP \cap SO\)
(Vì): \\ Trong mặt phẳng \((ABCD)\),
gọi \(O = AC \cap BD\).
Suy ra \(SO = (SAC) \cap (SBD)\).
Trong mặt phẳng \((SBD)\), gọi \(H = BP \cap SO\).
Vậy \(BP \cap (SAC) = H\).
(Đúng) \(NP\parallel (SBC)\)
(Vì): \\ Vì \(P\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SD\), \(CD\) nên \(NP\) là đường trung bình của tam giác \(SCD\).
Suy ra \(NP\parallel SC\).
Mà \(SC \subset (SBC)\) nên \(NP\parallel (SBC)\).
(Sai) Gọi \(Q\) là giao điểm của \(SA\) với \((MNP)\). Khi đó \(\frac{{SQ}}{{SA}} = \frac{1}{5}\)
(Vì): \\ Trong mặt phẳng \((ABCD)\), gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(MN\).
Trong mặt phẳng \((SAC)\), lấy \(Q\) thuộc \(SA\) sao cho \(IQ\parallel SC\).
Khi đó, ta có \(I \in (MNP)\) và \(IQ\parallel NP\) nên \(Q \in (MNP)\).
Vậy \(Q\) là giao điểm của \(SA\) với mặt phẳng \((MNP)\).
Ta có \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\) nên \(MN\parallel BD\) hay \(NI\parallel DO\).
Trong tam giác \(DOC\) có \(NI\parallel DO\) và \(N\) là trung điểm của \(CD\) nên \(NI\) là đường trung bình của tam giác \(DOC\), suy ra \(I\) là trung điểm của \(OC\).
Khi đó \(\frac{{CI}}{{CO}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{CI}}{{CA}} = \frac{1}{4}\).
Xét tam giác \(SAC\), ta có \(IQ\parallel SC\) nên \(\frac{{SQ}}{{SA}} = \frac{{CI}}{{CA}} = \frac{1}{4}\).
a)
b)
c)
d)
a) | S | b) | S | c) | Đ | d) | Đ |
Áp dụng công thức đổi rad sang độ \(n = \frac{{\alpha \cdot 180}}{\pi }\).
Đúng: \(n = \frac{\pi }{9} \cdot \frac{{{{180}^{\rm{o}}}}}{\pi } = {20^{\rm{o}}}\).
Đúng: \(n = \frac{{5\pi }}{4} \cdot \frac{{{{180}^{\rm{o}}}}}{\pi } = {225^{\rm{o}}}\).
Sai: \(n = \frac{{3\pi }}{5} \cdot \frac{{{{180}^{\rm{o}}}}}{\pi } = {108^{\rm{o}}}\).
Sai: \(n = \frac{{7\pi }}{{12}} \cdot \frac{{{{180}^{\rm{o}}}}}{\pi } = {105^{\rm{o}}}\).
(Đúng)
(Vì): Ta có \(n = \frac{\pi }{9} \cdot \frac{{{{180}^{\rm{o}}}}}{\pi } = {20^{\rm{o}}}\).
(Sai)
(Vì): Ta có \(n = \frac{{5\pi }}{4} \cdot \frac{{{{180}^{\rm{o}}}}}{\pi } = {225^{\rm{o}}}\).
(Đúng)
(Vì): Ta có \(n = \frac{{3\pi }}{5} \cdot \frac{{{{180}^{\rm{o}}}}}{\pi } = {108^{\rm{o}}}\).
(Sai)
(Vì): Ta có \(n = \frac{{7\pi }}{{12}} \cdot \frac{{{{180}^{\rm{o}}}}}{\pi } = {105^{\rm{o}}}\), vậy 155o là sai.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2.
Truyện kể rằng, Aladin nhặt được cây đèn thần, chàng miết tay vào cây đèn và gọi Thần đèn ra. Thần đèn cho chàng \(4\) điều ước. Aladin ước \(3\) điều đầu tiên tùy thích, nhưng điều ước thứ \(4\) của chàng là: "Ước gì ngày mai tôi lại nhặt được cây đèn và Thần cho tôi số điều ước gấp đôi số điều ước ngày hôm nay". Thần đèn chấp thuận và mỗi ngày Aladin đều thực hiện theo quy tắc như trên: ước hết các điều đầu tiên và luôn chừa lại điều ước cuối cùng để kéo dài thỏa thuận với thần đèn cho ngày hôm sau. Sau \(11\) ngày gặp Thần đèn, Aladin đã ước tất cả bao nhiêu điều ước.Ngày thứ nhất Aladin ước được \({u_1} = 4\) điều.
Ngày thứ hai Aladin ước \({u_2} = 2{u_1} = 4.2\) điều.
Ngày thứ ba Aladin ước \({u_3} = 2{u_2} = {4.2^2}\) điều.
Ngày thứ tư Aladin ước \({u_4} = 2{u_3} = {4.2^3}\) điều.
Ngày thứ năm Aladin ước \({u_5} = 2{u_4} = {4.2^4}\) điều.
Ngày thứ n Aladin ước \({u_n} = 2{u_{n - 1}} = {4.2^{n - 1}}\) điều.
Vậy \({u_1},\,{u_2},...,{u_n},...\) lập thành 1 cấp số nhân với \({u_1} = 4\) và công bội \(q = 2.\)
Vậy sau \(11\) ngày Aladin đã ước: \({S_5} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{11}} = 4\left( {\frac{{1 - {2^{10}}}}{{1 - 2}}} \right) = 4092\) điều.
Thành phố A có 12 giờ ánh sáng mặt trời nên \[d\left( t \right) = 12\]
\[ \Leftrightarrow 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 = 12\]\[ \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 0\]
\[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\]\( \Leftrightarrow t = 80 + 182k\)
Mà \(0 < t \le 365 \Rightarrow 0 < 80 + 182k \le 365 \Leftrightarrow - \frac{{40}}{{91}} < k \le \frac{{285}}{{182}}\)
Do \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 0\\k = 1\end{array} \right.\)
Với \(k = 0 \Rightarrow t = 80\)
Với \(k = 1 \Rightarrow t = 262\)
Vậy có 2 ngày để thành phố A có 12 giờ ánh sáng mặt trời.
PHẦN IV. Câu hỏi tự luận. Thí sinh trình bày lời giải vào giấy làm bài.
Có hai cơ sở khoan giếng \(A\) và \(B\). Cơ sở \(A\) giá mét khoan đầu tiên là \(8000\) đồng một mét và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm \(500\) đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Cơ sở \(B\): Giá của mét khoan đầu tiên là \(6000\) đồng một mét và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm \(7\% \) giá của mét khoan ngay trước đó. Một công ty giống cây trồng muốn thuê khoan hai giếng với độ sâu lần lượt là \(20\,\left( m \right)\) và \(25\left( m \right)\) để phục vụ sản xuất. Giả thiết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau. Công tý ấy nên chọn cơ sở nào để tiết kiệm chi phí nhât?
Cơ sở A giá mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó.
Nếu đào giếng \(20\left( m \right)\) hết số tiền là: 
.
Nếu đào giếng \(25\left( m \right)\) hết số tiền là: 
.
Cơ sở B Giá của mét khoan đầu tiên là 6000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước đó.
Nếu đào giếng \(20\left( m \right)\) hết số tiền là: 
.
Nếu đào giếng \(25\left( m \right)\) hết số tiền là: 
.
Ta thấy 
, 
nên giếng \(20\left( m \right)\) chọn B còn giếng \(25\left( m \right)\) chọn A.
Gọi giao điểm của \(CG\) với \(AB\) là \(I\).
Thiết diện của mặt phẳng \((CGD)\) với tứ diện \(ABCD\) là tam giác \(DCI\).
Ta có \(G\) là trọng tâm tam giác đều \(ABC\) nên ta có \(CI = \frac{{8\sqrt 3 }}{2} = 4\sqrt 3 \) và \(CG = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}\).
Áp dụng định lí Pytago nên \(DG = \sqrt {D{C^2} - C{G^2}} = \frac{{8\sqrt 6 }}{3}\).
Vậy \({S_{DCI}} = \frac{1}{2}DG \cdot CI = \frac{1}{2} \cdot \frac{{8\sqrt 6 }}{3} \cdot \frac{{8\sqrt 3 }}{2} = 16\sqrt 2 = 22,6\)
Đổi \(2,4{\rm{m}} = 240{\rm{cm}}\), \(1,2{\rm{m}} = 120{\rm{cm}}\).
Số viên gạch ở hàng đầu tiên (ứng với đáy lớn) là \({u_1} = \frac{{240}}{{10}} = 24\).
Số viên gạch ở hàng trên cùng (ứng với đáy nhỏ) là \({u_n} = \frac{{120}}{{10}} = 12\).
Vì mỗi hàng ở phía trên chứa ít hơn một viên so với hàng ở ngay phía dưới nó nên ta thu được một cấp số cộng có công sai \(d = - 1\).
Như vậy \({u_n} = 12 = {u_1} + (n - 1)d \Leftrightarrow n = 13\).
Vậy số viên gạch hình vuông cần thiết để ốp hết bức tường đó là
\({S_{13}} = \frac{{13\left( {{u_1} + {u_{13}}} \right)}}{2} = 234{\rm{ vi\^e n gach}}{\rm{.}}\)
